一维谐振子定态递推公式的数学推导

一维谐振子定态递推公式的数学推导一维谐振子是量子力学中一个非常重要的模型，它在很多物理现象
中都有应用。

咱们今天就来好好聊聊一维谐振子定态递推公式的数学
推导。

先说说什么是一维谐振子。

想象一下一个小球被一根弹簧拴在一个
固定点上，然后在一条直线上振动，这就是个简单的一维谐振子模型。

在量子力学中，我们要用薛定谔方程来描述它的状态。

薛定谔方程
长这样：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} +
\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi$ 其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是粒子的质量，$\omega$ 是角频率，$E$ 是能量，$\psi$ 是波函数。

咱们开始推导啦！为了方便，设 $\alpha =
\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ ，然后令 $\xi = \alpha x$ ，这样薛定谔
方程就变成了：$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} -
\xi^2)\psi = 0$ 。

我们假设波函数可以写成幂级数的形式：$\psi(\xi) =
\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n$ 。

对它求导两次：$\frac{d\psi}{d\xi} =
\sum_{n=1}^{\infty} n c_n \xi^{n-1}$ ，$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} =
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2}$ 。

把这些代入薛定谔方程，得到：
$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} - \xi^2)\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n = 0$
把级数展开，然后合并同类项：
$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} +
\frac{2E}{\hbar\omega}\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n -
\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^{n+2} = 0$
为了让等式成立，各项的系数都得是 0。

先看 $n = 0$ 和 $n = 1$ 的情况，有：
$2c_2 + \frac{2E}{\hbar\omega}c_0 = 0$ ，$6c_3 +
\frac{2E}{\hbar\omega}c_1 = 0$ 。

再看一般的 $n$ ，有：
$(n + 2)(n + 1)c_{n + 2} + \frac{2E}{\hbar\omega}c_n - c_{n - 2} = 0$
这就是一维谐振子定态的递推公式啦。

说到这，我想起之前给学生讲这个的时候，有个学生特别较真儿，一直问我为啥要这么设波函数，为啥要这样那样的。

我就跟他说，这就像你走迷宫，总得先选条路试试，这条路走不通再换嘛。

然后带着他一步一步推导，最后他终于搞明白了，那股兴奋劲儿，让我也觉得特有成就感。

总之，一维谐振子定态递推公式的推导虽然有点复杂，但只要一步一步来，还是能搞清楚的。

希望大家也能在学习的过程中找到乐趣，攻克这些看似困难的知识！。