一元一次方程应用题分类练习题四 ——利润损失问题

一元一次方程应用题分类练习题四——
利润损失问题
题目描述
某公司生产一种商品，售价为x元/件。

已知每件商品的生产成本为60元，每年销售量为8000件。

根据市场调查，如果每件商品的售价增加1元，销售量将减少200件。

如果每件商品的售价降低1元，销售量将增加300件。

请通过一元一次方程求解以下问题：
1. 如果我们将售价提高多少元，才能使该商品的利润最大化？
2. 在此售价下，该商品的利润是多少？
解题思路
利润可以表示为：利润 = （售价 - 成本）×销售量
设提高的售价为a元，则售价为(x + a)元/件。

根据题意，可得到以下方程：(x + a - 60) × (8000 - 200a) = (x - 60) × 8000 。

问题一：售价的最大化
其中，利润为：利润 = (x + a - 60) × (8000 - 200a) - 8000 × 60
为了求售价的最大化，即求利润的最大值。

可以将利润对售价
的导数设为0，即求解方程：d(利润)/da = 0。

解方程可得： - 1000a - 8000a + 400a^2 = 0
化简得：400a^2 - 9000a + = 0
求解该方程，得到a的值。

问题二：在最大化的售价下的利润
将得到的a值带入利润公式即可得到在最大化的售价下的利润。

利润 = (x + a - 60) × (8000 - 200a) - 8000 × 60
解答
问题一：售价的最大化
解一元二次方程：400a^2 - 9000a + = 0，得a ≈ 12.1888 或a ≈ 137.811
由题意可知售价必须为正数，所以a ≈ 137.811，即我们需要将
售价提高约137.81元，才能使该商品的利润最大化。

问题二：在最大化的售价下的利润
将a ≈ 137.811 带入利润公式，可得最大化售价下的利润：
利润 = (x + a - 60) × (8000 - 200a) - 8000 × 60
请进行计算得出具体的结果。

总结
通过一元一次方程求解利润损失问题，我们能够得到售价最大化的解以及在最大化的售价下的利润。

这个方法可以帮助我们在实际问题中进行决策，以达到最大化利润的目标。

通过了解产品价格与销售量之间的关系，我们能够更好地规划和调整价格策略，从而实现经营的最佳效益。