海珠区2010届高三第一次(第1周

海珠区2010届高三第一次综合测试卷
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：1.锥体的体积公式1
3
V sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 2．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{}5,4,3,2,1=U ，{}4,2,1=A ，{}5,4=B C U ，则=⋂B A A ．{
}2,1
B ．{}4
C ．{
}3,2,1
D ．{}5,3
2.i 是虚数单位，
i
i
-+11等于 A ．i B ．i - C ．2i D ．i 2-
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若,15,934==S a ，则数列{}n a 的通项为
A ．32-n
B ．12-n
C ．12+n
D ．32+n
4. 已知向量()x a ,1=,()3,x b =，若//
A ．1
B
C ．4
D ．2
5．下面给出的四个点中，到直线02=+-y x 的距离为2，且位于⎩⎨⎧>+-<-+0
20
2y x y x 表示
的平面区域的点是
A ．()2,2
B ．()2,2--
C ．()2,2-
D ．()2,2- 6．给定下列四个命题：
①若两个平面互相垂直,那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直; ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
④若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 其中，为真命题的是
A ．①和③
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和②
7.某工厂对一批产品长度进行抽样检测.如图1是根据抽样检测后的产品长度（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图，其中产品长度
的范围是[34，44]，样本数据分组为[34，36）， [36，38),[38，40)，[40，42),[42，44],已
知样本中产品长度小于38厘米的个数是36，
则样本中净重大于或等于36厘米并且小于
42厘米的产品的个数是 A.90 B.75 C. 60 D.45
8.已知双曲线1222=-y a
x 的右焦点与抛物线x y 82
=的焦点重合，则该双曲线的一条渐近线
方程为
A ．x y 3=
B ．x y 33=
C ．x y 5=
D ．x y 5
5= 9.已知函数()()0,sin >∈=ωωR x x x f 的最小正周期为π,为了得到函数
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=4sin πωx x g 的图象,只要将()x f y =的图象
A ．向左平移4π个单位长度
B ．向右平移4π
个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8
π
个单位长度
10.定义运算:()()⎩⎨⎧>≤=∆.
时当，时当b a b b a a b a 例如,,121=∆则()⎪⎭⎫
⎝⎛-∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-212212x x x f 的零
点是
A ．-1
B ．()1,1-
C ．1
D ．-1，1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11--13题)
11.阅读如图2所示的流程图图,1ln a =0
015cos 15sin 2=b ,21
2-=c 则输出的数是 .
(以数字作答)
0.150
3840
3634
4244
0.050
0.100
0.125
0.075
图1
12.如图3，边长为2的正三角形ABC 内接于圆O ，在圆O 内随机撒一把豆子，豆子落在正三角形ABC 内的概率为 .
13.如图4，在平面上，用一条直线截正方形的一个角截下一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理得2
2
2
b a
c +=.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥ABC O -,若用321,,s s s 表示三个侧面面积,4s 表示截面面积,你类比得到的结论是 .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直线2cos =θρ截圆⎩⎨
⎧+-=+=θ
θ
sin 22cos 21y x （θ为参数）所得
的弦长为 . 15．(几何证明选讲选做题）如图⊙0的直径cm AD 2=，四边形ABCD 内接于⊙0，直线MN 切⊙0于点B ，0
30=∠MBA ，则AB 的长是 .cm
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本小题满分12分）
在锐角三角形ABC 中，BC=1，2=AB ，()4
14B sin =
-π. （1）求AC 的值；
（2）求()B A -sin 的值.
图3
a
b
c
C
B
A O
图4
图5
17.(本小题满分12分）
某校90名专职教师的年龄状况如下表:
现拟采用分层抽样的方法从这90名专职教师中抽取6名老、中、青教师下乡支教一年, (1)求从表中三个年龄段中分别抽取的人数;
(2)若从抽取的6个教师中再随机抽取2名到相对更加边远的乡村支教,计算这两名教师至少有一个年龄是35～50岁教师的概率.
18.(本小题满分14分）
如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O C B BC =⋂11,H 点为点O 在平面
11DCC D 内的正投影.
（1）求以A 为顶点，四边形CH 1D D 为底面的四棱锥的体积; （2）求证：⊥1BC 平面CD B A 11； （3）求直线B A 1和平面CD B A 11所成的角.
C 1D
C D 1
B 1
A 1
A
B
H 图6
19.(本小题满分14分）
已知椭圆C :22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为35,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 上的动点P 引圆O ：2
2
2
b y x =+的两条切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，由点P 向圆O 所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
20.(本小题满分14分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ,满足12-=n n a S . (1)求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ; (2)若数列{}n b 满足()()
()
*+∈+⋅+=
N n S S b n n n 1log 1log 1
122,求数列{}n b 的前n 项和n T ;
(3)若对任意的R x ∈,恒有22
+-<ax x T n 成立,求实数a 的取值范围.
图7
21.(本小题满分14分）
已知函数()23
3
1mx x x f +=,其中m 为实数 (1)函数()x f 在1-=x 处的切线斜率为3
1
，求m 的值；
(2)求()f x 的单调区间；
(3) 若()f x 在2-=x 处取得极值，直线a y =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求a
的取值范围.
2010年海珠区普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
1
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式、正弦定理、余弦定理等知识，考查化归与转化的数数思想方法和运算求解能力） 解：（1） ABC ∆为锐角三角形，()4
14
B sin =
-π 4
14
sin =
∴B ……1分 .4
216141sin 1cos 2=-
=-=∴B B ……2分 ∴在ABC ∆中，由余弦定理得：
B B
C AB BC AB AC cos 2222⋅-+=……3分 ()
4
21221222
⨯
⨯⨯-+=
2=……5分
.2=∴AC ……6分
（2）在ABC ∆中，由正弦定理得
B
AC
A BC sin sin =
……7分
得472
414
1sin sin =⨯
=
⨯=
AC
B
BC A ……8分
∴4
3
1671sin 1cos 2=-
=-=A A .……9分 ()B A B A B A sin cos cos sin sin -=-∴……10分 414434247⨯-⨯=
8
14
-
=……12分 17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查分层抽样、等可能事件、互斥事件的概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）样本容量与总体中的个数比为
15
1
906=，……2分 所以35岁以下、35～50岁、50岁以上三个年龄段应分别抽取的人数为3,2,1. ……4分
(2)设321,,A A A 为在35岁以下教师中抽得的3个教师，21,B B 为在35～50岁教师中抽得的2个教师，1C 为在50岁以上教师中抽得的1个教师. ……5分
从抽取的6个教师中随机抽取2名有:
()()()()()1121113121,,,,,,,,,C A B A B A A A A A ，()()()()12221232,,,,,,,C A B A B A A A ， ()()()132313,,,,,C A B A B A ，()()()121121,,,,,C B C B B B 共15种，……8分
其中随机抽取的两名教师至少有一个年龄是35～50岁的教师的有：
(),,11B A (),,21B A ()12,B A ，()22,B A ，(),,13B A ()23,B A ，()21,B B ，()11,C B ，()
12,C B 共9种，……11分
所以所求概率为
.5
3
159=……12分 18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，线面夹角等基础知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:(1) 如图, O 点 是正方形11B BCC 的中心
H ∴为1CC 的中点,
11==∴HC CH ……1分
()()32122
1
2111=⨯+⨯=⨯+⨯=
∴CD CH DD S DCH D ……2分
C 1D
C
D 1
B 1
A 1
A
B
H D DD CD DD AD DC AD =⋂⊥⊥11,, ∴⊥AD 平面11DCC D ,……3分
故所求四棱锥体积为
AD S V DCH D DCH D A ⨯⨯=-113
1
.2233
1
=⨯⨯=……5分 （2）由题意四边形11B BCC 是正方形,
∴C B BC 11⊥……6分
11111111111,,B B B C B B B B A C B B A =⋂⊥⊥ 1111B BCC B A 平面⊥∴……7分 ⊂1BC 平面11B BCC ∴111BC B A ⊥.……8分
又1111B B A C B =⋂ ,⊂C B 1平面CD B A 11,11B A ⊂平面CD B A 11……9分 ⊥∴1BC 平面CD B A 11.……10分
(3)如图,连O A 1,由(1)知⊥1BC 平面CD B A 11,O 为 垂足,所以O A 1为斜线B A 1在平面CD B A 11内的射影, O BA 1∠为B A 1与平面CD B A 11所成的角. ……12分
在,2,2211==∆BO B A BO A Rt 中，
所以2
1
sin 11==
∠∴B A BO O BA .30O BA 01=∠∴……13分
因此,直线B A 1与平面CD B A 11所成的角为0
30.……14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查圆、椭圆等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力）
解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧+===222335c b a a a c ……3分
2=∴b ，……4分
∴所求椭圆方程为14
92
2=+y x ．……5分 （2）如图，设P 点坐标为()00,y x ,……6分
若0
90=∠APB ，则有AP OA =.……7分 即2
2OA OP OA -=……8分
有422
02
0-+=
y x
两边平方得82
020=+y x ……①……9分
又因为()00,y x P 在椭圆上,所以36942
02
0=+y x ……②……10分
①,②联立解得5
4
,536202
0==
y x ……11分 所以满足条件的有以下四组解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==55255600y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=55255600y x ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=5525
5
600y x ……13分 所以,椭圆C 上存在四个点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛552,556，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552,556，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-552,556，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--552,556，分别由这四个点向圆O 所引的两条切线均互相垂直. ……14分 20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列、裂项求和、恒成立问题及解不等式等知识，考查化归与转化的思想方法以及综合运用知识分析问题和解决问题的能力） 解:(1)由1,12111=-=a a S 得,……1分
由2,12,12S 222122=-=+-=a a a a a 得得……2分
数列{}n a 是等比数列 ∴数列{}n a 的公比21
2
==
a a q ……3分 所以，数列{}n a 的通项公式为
1112--=⋅=n n n q a a ()
*∈N n ……4分 前n 项和公式为
()
*-∈-=-⋅-=N n S n n n 122
12211.……5分
(2) ()()()
()
*
++∈+=⋅=+⋅+=N n n n S S b n n n n n 112log 2log 11log 1log 11
22122……6分
()11431321211+++⨯+⨯+⨯=
∴n n T n ……7分 11
141313121211+-
++-+-+-=n n ……8分 ()
*∈+=N n n n 1
……9分 (3) 由22
+-<ax x T n 恒成立
即
21
2+-<+ax x n n
恒成立 即21
1
12+-<+-ax x n 恒成立……10分
必须且只须满足212
+-≤ax x 恒成立……11分
即012
≥+-ax x 在R 上恒成立……12分
∴()0142
≤⨯--a ,……13分 解得22≤≤-a .……14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考察函数导数及其几何意义、函数的单调性、极值、图象的交点等知识，考查化归与转化、分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）
解:(1) ()mx x x f 22
+=',……1分
()m f 211-=-'
由31
21=-m ，……2分, 解得31
=m .……3分
(2) ()mx x x f 22
+='=()m x x 2+
①当0=m 时，()3
3
1x x f =，在()+∞∞-,上单调递增；……4分
②当0>m 时
x 变化时，x f x f ,'的变化状态如下表：
函数()x f 的单调递增区间是()m 2,-∞-和()+∞,0，单调递减区间是()0,2m -.……7分
当0<m 时
x 变化时，x f x f ,'的变化状态如下表：
函数()x f 的单调递增区间是()0,∞-和()+∞-,2m ，单调递减区间是()m 2,0-.……10分 综上: 当0=m 时，()x f 的单调递增区间是()+∞∞-,；
当0>m 时,()x f 的单调递增区间是()m 2,-∞-和()+∞,0，单调递减区间是()0,2m -; 当0<m 时, ()x f 的单调递增区间是()0,∞-和()+∞-,2m ，单调递减区间是()m 2,0-. (3)由题意()02=-'f ,解得1=m .
所以,()23
3
1x x x f +=
……11分 由（2）知()x f 在区间()2,-∞-上递增，在()0,2-上递减，()+∞,0上递增……12分
所以()(),3
4
2=-=f x f 极大()(),00==f x f 极小……13分 要使直线a y =与()y f x =的图象有三个不同的交点
只需，.3
4
0<<a ……14分
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