(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》检测(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为
（ ） A ．32-
B ．28-
C ．2
D ．3
2．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
3．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-+的最大值为（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．2
D ．-5
4．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则26
14
t a a =+的最小值为（ ） A ．9
B ．
94
C ．
52
D ．2
5．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．1
2a a
+≥
B ．222(1)a b a b +≥+- C
≥D ．3322a b ab +≥
6．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z x y =+的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．10
7．已知2
212,202
b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜n C ．m ＞n D ．不确定
8．若实数,x y 满足约束条件2
2x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值
范围为（ ） A
．(1,1 B
．()
1++∞ C ．（1，3）
D ．（3，+∞）
10．已知集合{
}
2
4120A x x x =--≤，{
}
440B x x =->，则A
B =（ ）
A ．{}
12x x <≤
B ．{}2x x ≥-
C ．{}16x x <≤
D ．{}6x x ≥-
11．已知4213
33
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪
<⎨⎪+-≥⎩
,则221z x y =--的取值范围是( )
A ．5,53
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．5,53
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
二、填空题
13．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________.
14．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，若2z y x =-的最大值为11，则实数c
的值为____．
15．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236
x y y xy
++的最小值是_________．
16．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
,则24z x y =+-的最大值是___.
17．已知不等式2
4
x
a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 18．在下列函数中，
①1y x x
=+
②1123212y x x x ⎛
⎫=++< ⎪-⎝⎭
③()2114141
x y x x x x ⎛⎫=
++> ⎪+⎝⎭ ④2
2
22
1πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫
⎛⎫=+
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中最小值为2的函数是__________. 19．已知0,0a b >>，若
313m
a b a b
+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 20．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2
b a
﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．
三、解答题
21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010
(k
y k x =-
+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?
22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫
=⋅-
⎪+⎝⎭
(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).
（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
23．（1）解不等式22650k x kx -+<．
（2）当1k =时，不等式22650k x kx -+<的解集为(,)a b ，如图，在矩形ABCD 中，
,AB b AD a ==，点P 为边AB 上一动点，当DPC ∠最大时，求线段AP 的长．
24．已知函数()()2
31f x x a x b =-++.
（1）当1a =，5b =-时，解不等式()0f x >；
（2）当222b a a =+时，解关于x 的不等式()0f x <（结果用a 表示）.
25．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．
（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？ 26．已知定义在R 上的函数2()f x x x k =-+，其中k 为常数． （1）求解关于x 的不等式()f x kx <的解集；
（2）若()2f 是()f a 与f b 的等差中项，求+a b 的取值范围．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形
结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】
作出x，y满足约束条件
20
30
x y
x y m
x
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z＝3x-4y得3
44
z
y x
=-，它表示斜率为
3
4
纵截距为
4
z
-的一系列直线，
当直线经过点A时，直线的纵截距
4
z
-最小，z最大.
由
3
x y m
x
+-=
⎧
⎨
=
⎩
，解得A(3，m－3)，
故()
max
33439
z m
=⨯--=，解得3
m=.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量,x y；
（2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)
z f x y
=；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系()(
y f x z
=为参数).
2．C
解析：C
【分析】
画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2
y x z
=-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2
y x z
=-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2
y x z
=-+过点A时截距最大，因此，解出A点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.
【详解】
画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
的目标区域，如图所示:
由2z x y =+,得2y x z =-+，
要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，
联立20
350
x y x y -=⎧⎨
+-=⎩,解得(1,2)A ， 所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C. 【点睛】
方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3．A
解析：A 【解析】
作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域，如图
，
得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫
---
⎪⎝⎭
，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4．B
解析：B 【分析】
根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意172677()7()
1422
a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =
+=+
+62264119
(5)(5444
a a a a =++≥+=，当且仅当6226
4a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．
5．D
解析：D 【解析】
分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：3
3
2
2
2
2()()a b ab a b a ab b +-=-+-，
a b <<有3322a b ab <+， 故D
项错误，其余恒成立：11
22,a a a a
+
≥=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-
当a b ≥
时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒
当a b <时0a b a b ->>-，选D ．
点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.
6．B
解析：B 【分析】
结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】
如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即
314z =+=故选B 【点睛】
本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法
7．C
解析：C 【解析】
因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()11
2222
m a a a a =+
=-++≥-- ()1
2242
a a +-⋅
=-，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以2
22b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综 上可得m ＞n ，故选C ．
8．B
解析：B 【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值． 【详解】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，
由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由2
x y x
=⎧⎨
=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．
9．A
解析：A 【解析】 试题分析：∵
，故直线
与直线
交于
点，目标函数
对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系
如图所示：即，解得，又∵，解得，
选：A ．
考点：简单线性规划的应用.
【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜
角位于区间
上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据
平面直线方程判断出目标函数
对应的直线与直线
垂直，且在
点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．
10．C
解析：C 【分析】
根据不等式的解法，求得集合{}
26A x x =-≤≤，{}
1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
412026A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}4401B x x x x =->=>，
根据集合交集的概念与运算，可得{}
16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【详解】
因为42223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两
个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．D
解析：D
【分析】
画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围.
【详解】
作出可行域如下：
由221z x y =--得12z y x +=-
， 平移直线12
z y x +=-， 由平移可知当直线12z y x +=-
，经过点C 时， 直线12z y x +=-
的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21
x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -， 此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12z y x +=-
，经过点A 时， 直线12
z y y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得132
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3 代入221z x y =--得125221333
z =⨯-⨯-=-，
故5[3
z ∈-，5) 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．
二、填空题
13．9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为：9【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件 解析：9
【分析】
首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．
【详解】
因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->， 111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，
4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等号成立，
所以4a b +的最小值为9．
故答案为：9．
【点睛】
易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
14．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值 解析：23
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
直线320x y c +-=在y 轴上的截距为
2c ，则由图可知12c ≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122
z y x =+， 观察图形可知，当直线122z y x =
+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23.
【点睛】
方法点睛：线性规划常见类型，
（1）y b z x a
-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-
+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.
15．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一 解析：11
【分析】 由题得1x y x y xy xy
+=⇒+=，化简整理得()2223636361xy xy x y y xy xy xy xy
-+++==+-再利用基本不等式可得解.
【详解】 由110,0,1x y x y
>>+=， 得1x y x y xy xy
+=⇒+=， 则()2223636x y x y x y y xy xy
+++++= ()2
223636x y xy x xy y xy xy +-++++== (
)236361111xy xy xy xy xy -+==+-≥=， 当且仅当6xy =时等号成立，
此时33x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
33x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 则2236x y y xy
++的最小值是11. 故答案为：11.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可
【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化 解析：21
【分析】
画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可．
【详解】
画出,x y 满足的可行域，由20250
x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
17．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解 解析：1[,)4
+∞. 【分析】 利用基本不等式求得
24
x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】 因为[]1,3x ∈，则21144442x x x x x x
=≤=++⨯，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14
， 又由不等式
24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4
+∞. 故答案为：1[,)4
+∞. 【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得
24
x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 18．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数 解析：①③
【分析】
结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于①，函数1y x x =+
是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数，
当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x =+
的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=+
+=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12
x <，所以120x ->，
则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立， 所以1124212y x x ⎛
⎫=--+
-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意； 对于③，222114144141
x x x y x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭， 因为1x >，所以2104x x
+>，
所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即
2x =
所以()2114141
x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x
=+，
因为π0,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x >，
所以22221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x
=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222
x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x
=+
的最小值不是2，不符合题意； 故答案为：①③.
【点睛】 本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
19．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题
解析：(],12-∞
【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】
解：根据题意，0,0a b >>，若
313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，
由于0,0a b >>，()31993336612b a a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+=
⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b
=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤
故答案为：(],12-∞
【点睛】
本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.
20．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键
解析：p q
【分析】
由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．
【详解】
因为0a >，0b >，2b p a a =-与2
a q
b b
=-， 所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba
-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ．
故答案为：p q ．
【点睛】
本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．
三、解答题
21．（1）20k =，()16002440,010
L x x x =-
-≥+；（2）30万元. 【分析】
（1）0x =，28,y =代入已知模型求出k ，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得 利润函数；
（2）利用基本不等式求最值．
【详解】
（1）由题意，可知当0x =时，28,y = 283010
k ∴=-， 解得20k =
203010
y x ∴=-+ 又每件产品的销售价格为801601.5y y +⨯
元， ()801601.580160y L y y x y ⎛⎫+∴=⨯-++ ⎪⎝⎭
4080y x =+-
2040803010x x ⎛⎫- ⎝
=+⎪⎭-+ ()16002440,010x x x =-
-≥+ （2）0x ≥，
()
1016001600101070101010x x x x ∴+=++++-≥== 当且仅当
16001010
x x =++时等号成立， 2440702370y ∴≤-= max 2370y ∴=
故该工厂计划投入促销费为30万元时，才能获得最大利润，最大利润为2370万元.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 22．（1）3601808204k y k x x =-
--+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（
2）4-；（3）0.65
【分析】
（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=-
--=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544
k x x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004k k x x -
--≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802
x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max
20841802x x k x ++⎡⎤
≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】
（1）由题意，
80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝
⎭3601808204
k k x x =---+， 即3601808204
k y k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=-
--=+-++⎢⎥++⎣⎦， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以
()45
44k x x ++≥=+4544k x x +=+，即4x =时，等号成立.
所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣
⎦
故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为
18012k +-.
（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004
k k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，
不等式整理得，()()20841802
x x k x ++≥+， 令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x m m ++++==+++， 由函数()8820h m m m
=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯+
+=+， 所以21801163k ≥+，即211630.65180
k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.
【点睛】
本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
23．（1）当0k =时，不等式的解集为φ；当0k >时，不等式的解集为
15{|}x x k k
<<； 当k 0<时，不等式的解集为51{|
}x x k k <<； （2）52. 【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法，分0k =，0k >和k 0<，三种情况讨论，即可求解； （2）当1k =时，求得不等式2650x x -+<的解集，得到5,1AB AD ==，设AP x =，
得到11tan ,tan 5DPA CPB x x
∠=∠=-，进而得到则tan DPC ∠的表达式，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】
（1）由题意，不等式22650k x kx -+<可化为(5)(1)0kx kx --<，
当0k =时，不等式可化为50<（不成立），所以不等式的解集为空集；
当0k ≠时，不等式可化为251()()0k x kx k k --<，即51()()0x kx k k --<，
①当0k >时，不等式51()()0x kx k k --<，可得
15x k k <<； ②当k 0<时，不等式51()()0x kx k k --<，可得
51x k k <<， 综上可得：
当0k =时，不等式的解集为φ；
当0k >时，不等式的解集为15{|
}x x k k <<； 当k 0<时，不等式的解集为51{|}x x k k
<<. （2）当1k =时，不等式化为265(1)(5)0x x x x -+=--<，解得15x <<，
因为不等式的解集为(,)a b ，所以1,5a b ==，即5,1AB AD ==，
设AP x =，可得5,(05)BP x x =-<<， 可得11tan ,tan 5DPA CPB x x
∠=∠=-， 则tan tan(180)tan()DPC DPA CPB DPA CPB ∠=-∠-∠=-∠+∠
21155,(05)1151(5)
x x x x x x x +-=-=<<-+--， 当DPC ∠最大时，tan DPC ∠的值最大， 因为225951()24y x x x =-+=--，当52x =时，取得最小值， 即线段AP 的长
52． 【点睛】
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解，以及两角和与差正切公式的计算和应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，合理利用两角和与差的正切公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，综合题强，属于中档试题. 24．（1）()(),15,-∞-+∞；（2）1a >时，解集为()1,2a a +，1a =时，解集为∅，1a <时，解集为()2,1a a +.
【分析】
（1）求出()0f x =的根（由因式分解完成），根据二次函数的图象写出结论．
（2）化简变形表达式[]()(2)(1)f x x a x a =--+，然后根据2a 和1a +的大小关系分类讨论．
【详解】
（1）当1a =，5b =-时()()()2
4515f x x x x x =--=+-， ∴()0f x >的解集为()(),15,-∞-+∞.
（2）当222b a a =+时，()()()()22312221f x x a x a a x a x a =-+++=--+⎡⎤⎣⎦，
()0f x <即()()210x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，
①当1a >时，21a a >+，此时不等式的解集为()1,2a a +，
②当1a =时，21a a =+，此时不等式的解集为∅，
③当1a <时，21a a <+，此时不等式的解集为()2,1a a +.
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解，二次函数的图象，一元二次方程的根之间的关系是解题关键．
25．（1）1000(20)(
8),(0)S x x x =++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.
【分析】
（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；
（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽.
【详解】
（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x
+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(
8),(0)S x x x =++>，
（2）100020000(20)(
8)1160811601960S x x x x =++=++≥+= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x
= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.
【点睛】
本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
26．（1）详见解析；（2）[]2,4-
【分析】
（1）不等式转化为()()10x x k --<，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为
224a b a b +--=，再转化为关于+a b 的一元二次不等式.
【详解】
（1）()22
10x x k kx x k x k -+<⇔-++<， 整理为()()10x x k --<，
当1k <时，不等式的解集是{}1x k x <<，
当1k =时，不等式的解集是∅，
当1k >时，不等式的解集是{}
1x x k <<;
（2）由条件可知()()()22f a f b f +=，
即2242a a k b b k k -++-+=+，
即()()222424a b a b a b ab a b +--=⇔+--+=， ()222a b ab +≤，()()()2242
a b a b a b +∴+--+≤， ()()2280a b a b +-+-≤ ，即()()240a b a b +++-≤，
解得：24a b -≤+≤，
所以+a b 的范围是[]2,4-.
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，讨论的思想，计算能力，属于基础题型.。