(文理通用)2019届高考数学大二轮复习第1部分专题6解析几何第2讲圆锥曲线

第一部分专题六第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计
算问题
A组
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线方程为( B )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝15 2 x
[解析]依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝p 2，
所以|MF|＝2p，即x＋p
2
＝2p，
解得x＝3p
2
，y＝3p.
又△MFO的面积为43，所以1
2
×
p
2
×3p＝43，
解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.
2．若双曲线x2
a
－
y2
b
＝1(a>0，b>0)和椭圆
x2
m
＋
y2
n
＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两
条曲线的一个交点，则|PF1|·｜PF2|＝ ( D )
A．m2－a2B．m－a
C．1
2
(m－a) D．m－a
[解析]不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，故|PF1|·｜PF2|＝m－a.
3．(文)若双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为
( D )
A．
7
3
B．
5
4
C．4
3
D．
5
3
[解析]由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求
出双曲线的离心率即可．因为双曲线
x 2a 2－y
2
b
2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b ＝4a ，∴9(c 2
－a 2
)＝16a 2
，∴e ＝c a ＝5
3
，故选D ．
(理)已知双曲线x
24－y
2
b
2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双
曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C
、D 四点，四边形的ABCD
的面积为2b ，则双曲线的方程为( D )
A ．
x 2
4
－
3y 2
4
＝1 B ．
x 2
4
－
4y 2
3
＝1
C ．
x
2
4
－
y
2
4
＝1 D ．
x
2
4
－
y
2
12
＝1
[解析]根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为
y ＝±b
2x ，圆的方程为
x 2＋y 2
＝4，不妨设交点
A 在第一象限，由
y ＝b 2
x ，x 2＋y 2
＝4得x A ＝
44＋b
2
，y A ＝
2b
4＋b
2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2
＝12，故所求的双曲线方程为
x
2
4
－
y
2
12
＝1，故选D ．
4．(2018·重庆一模
)已知圆(x －1)2
＋y 2
＝3
4
的一条切线y ＝kx 与双曲线
C
：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)有两个交点，则双曲线
C 的离心率的取值范围是
( D )
A ．(1，3)
B ．(1,2)
C ．(3，＋∞)
D ．(2，＋∞）
[解析]
由题意，圆心到直线的距离
d ＝
|k |
12＋k
2＝3
2，所以k ＝±3，
因为圆(x －1)2＋y 2
＝3
4
的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：
x 2a 2－y
2
b
2＝1(a >0，b >0)有两个交点，所以b a >3，所以1＋b
2
a
2>4，所以e >2.
5．(2018·济南一模)已知抛物线
C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q
是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( B )
A ．
7
2B ．3
C ．
52
D ．2。