二项展开式最值问题探究

二项展开式系数的最值
在二项式定理的学习过程中，我们都会遇到求二项展开式系数的最值问题，处理这类问题的一般方法是设第1+r 项的系数最大或最小，利用第1+r 项系数与r 项，第2+r 项系数的关系列不等式组解出r 的值，并且好象这是一种通法，下面举几个例子来说明这种方法. 1. 求
()9
2
3
2
3x
x
+展开式中系数最大项
解：()()r
r
r r x x C T 2932
9
1
3-+=r r x
C 3
469
r
3+=
设展开式中第1+r 项的系数最大，则有()
()⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥--++23313319191919
r r r r r r r r C C C C ，
由（1）可得，
()()()!
8!1!
93!9!9r r r r -+⨯≥
-！，解得213≥
r ， 由（2）可得，
()()()!
10!1!
9!
9!93r r r r -≥
-⨯—！，解得2
15≤
r ， 所以7=r ，所以第8项的系数最大，且3
467
9783x
C T =，
2.求()4
51x +展开式中系数最大项
解：()r
r r x C T 541=+r r x C 4r 5=
设展开式中第1+r 项的系数最大，则有()
()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥--++25515514141414r r r r r r r r C C C C ，
由（1）可得，
()()()!
3!1!
45!4!4r r r r -+⨯≥
-！，解得6
19
≥
r ，4≥r 由（2）可得，
()()()!
5!1!
4!
4!45r r r r -≥
-⨯—！，解得6
25
≤
r ，4≤r 所以4=r ，所以第5项的系数最大，且4
5625x T =，
从（1）看30≤≤r ，故4≥r ，恒不成立， 从（2）看41≤≤r ，故4≤r ，恒成立，
故展开式中各项系数是单调递增的，故最后一项的系数最大4
5625x T =.
3.求4
511⎪⎭
⎫
⎝⎛+x 展开式中系数最大项
解：r r r x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5141
r r x C 4r
51⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
设展开式中第1+r 项的系数最大，则有()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--++25151151511
41
41
414r r r r r r r r C C C C ，
由（1）可得，
()()()!
3!1!
4!
4!45r r r r -+≥
-⨯！，解得6
1
-
≥r ，0≥r 由（2）可得，
()()()!
5!1!
45!
4!4r r r r -⨯≥
-—！，解得6
5
≤
r ，0≤r 所以0=r ，所以第1项的系数最大，且11=T ， 从（1）看30≤≤r ，故0≥r ，恒成立， 从（2）看41≤≤r ，故0≤r ，恒不成立，
故展开式中各项系数是单调递减的，故第一项的系数最大且11=T .
从上述讨论来看当展开式系数单调递增或单调递减时，虽然不等式组一个恒成立，一个恒不成立，但不等式组的解正好就是我们要求的答案，所以还是可以用不等式组求解的.
不等式组只是列出来了系数比前后两项都大的项，有没有可能有另外更大的值呢？从不等式组中我们应该能解出比前后两项都大的项，不等式组若只有一个解，此解就是我们要求的解，不等式组要有多个解，我们还要求出这些解，解得最大值才是我们要求的解，解题思路与函数的极值类似.。