《创新设计》2017届高考理科数学(江苏专用)二轮教师文档讲义：专题7.2附加题必做-计数原理、数学归纳法等

第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理，B 级要求.(2)排列与组合，B 级要求.(3)数学归纳法的简单应用，B 级要求；(4)n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B 级要求.
真 题 感 悟
(2016·江苏卷)(1)求7C 36－4C 4
7的值；
(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：
(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2. (1)解 7C 36－4C 47＝7×20－4×35＝0.
(2)证明 对任意的m ，n ∈N *，n ≥m ， ①当n ＝m 时，左边＝(m ＋1)C m m ＝m ＋1，
右边＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＝m ＋1，原等式成立.
②假设n ＝k (k ≥m )时命题成立.
即(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)C m ＋
2k ＋2，
当n ＝k ＋1时，
左边＝(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＋(k ＋2)C m k ＋1
＝(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1， 右边＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3. 而(m ＋1)C m ＋2k ＋3－(m ＋1)C m ＋2k ＋2
＝(m ＋1)
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
（k ＋3）！（m ＋2）！（k －m ＋1）！－（k ＋2）！（m ＋2）！（k －m ）！ ＝(m ＋1)×（k ＋2）！
（m ＋2）！（k －m ＋1）！
[(k ＋3)－(k －m ＋1)]
＝(k ＋2)
（k ＋1）！m ！（k －m ＋1）！
＝(k ＋2)C m
k ＋1， ∴(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)C m ＋2
k ＋3，
∴左边＝右边.
即m ＝k ＋1时命题也成立.
综合①②可得原命题对任意m ，n ∈N *，n ≥m 均成立.
考 点 整 合
1.两种计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.排列
(1)排列的定义；(2)排列数公式：A m
n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝
n ！
（n －m ）！
(m ≤n ，m ，n ∈N *). 3.组合
(1)组合的定义； (2)组合数公式：C m n ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝
n ！
m ！（n －m ）！
(m ≤n ，m ，n ∈N *).
(3)组合数性质：C m n ＝C n －m n ；C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.
4.数学归纳法
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)，假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可. 5.概率、随机变量及其分布
(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：
①离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量； ②离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表； 性质：1°p i ≥0(i ＝1，2，3，…，n )；2°p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝1. (2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)符号表示：X ～0－1分布； ②超几何分布：1°符号表示：X ～H (n ，M ，N )；
2°概率分布列：X ～H (r ；n ，M ，N )＝P (X ＝r )＝C r M C n －r
N －M
C M N
；
③二项分布(又叫独立重复试验，伯努利试验)：1°符号表示：X ～B (n ，p )；2°
概率分布列：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
. 注意：P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝r )＋…＋P (X ＝n )＝1.
热点一 与计数原理有关的问题
【例1】 (2011·江苏卷)设整数n ≥4，P (a ，b )是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1，2，3，…，n }，a ＞b .
(1)记A n 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求A n ； (2)记B n 为满足1
3(a －b )是整数的点P 的个数，求B n .
解 (1)点P 的坐标满足条件1≤b ＝a －3≤n －3，所以A n ＝n －3.
(2)设k 为正整数，记f n (k )为满足条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数，只要讨论f n (k )≥1的情形.
由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知f n (k )＝n －3k ，且k ≤n －1
3，设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N *
，r ∈{0，1，2}，则k ≤m ，所以B n ＝∑m
k ＝1f n (k )＝∑m
k ＝1 (n －3k )＝mn －3m （m ＋1）
2
＝m （2n －3m －3）2，
将m ＝
n －1－r 3代入上式，化简得B n ＝（n －1）（n －2）6－r （r －1）
6
，所以B n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n －3）6，n
3是整数，（n －1）（n －2）6
，n
3不是整数.
探究提高 此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算.
【训练1】 (2016·南京、盐城、徐州、连云港模拟)设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.
(1)设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；
(2)设b k ＝k ＋1
n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，
求⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
S m C m n －1的值. 解 (1)因为a k ＝(－1)k C k n ，k ∈N ，
当n ＝11
时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝
12
(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210
＝1 024.
(2)b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1k ＋1n －k C k ＋1n ＝(－1)k ＋1C k n ， 当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1C k n
＝(－1)k ＋1(C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1C k －1n －1＋(－1)k ＋1C k n －1
＝(－1)k －1C k －1n －1－(－1)k C k n －1.
当m ＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪S m C m n －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 0C 0n －1＝1.
当1≤m ≤n －1时，
S m ＝－1＋∑k ＝1
m
[(－1)k －1C k －1n －1－(－1)k C k
n －1]＝－1＋1－
(－1)m C m n －1＝－(－1)m C m n －1.所以⎪⎪⎪⎪
⎪⎪S m C m n －1＝1. 综上，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
S m C m n －1＝1.
热点二 数学归纳法的应用
【例2】 (2016·南通调研)已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.
(1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；
(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，
所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )，
同理，f 2(x )＝f 1′(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x . (2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为
f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，
f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋
2π2，
f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋
3π2， 猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋
n π2.(*) 下面用数学归纳法证明上述等式. 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，
即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋k π2，
则当n ＝k ＋1时，
f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋k π2＋(x －
k )·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋k π2
＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立.
综上所述，当n ∈N *时，
f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋
n π2成立. 探究提高 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项.同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法.
【训练2】 (2015·江苏卷)已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.
(1)写出f (6)的值；
(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)Y 6＝{1，2，3，4，5，6}，S 6中的元素(a ，b )满足：
若a ＝1，则b ＝1，2，3，4，5，6；若a ＝2，则b ＝1，2，4，6； 若a ＝3，则b ＝1，3，6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，
f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧
n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
n 2＋n 3，n ＝6t ，
n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，
n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，
n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *
).
下面用数学归纳法证明：
①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋6
3＝13，结论成立；
②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： 1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －2
3＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1
3，结论成立； 2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k
3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋
（k ＋1）－12＋（k ＋1）－1
3
，结论成立； 3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －1
3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－2
3
，结论成立；
4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k
2＋
k－2
3＋2
＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－1
2＋
k＋1
3，结论成立；
5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1
2＋
k
3＋2
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2＋
（k＋1）－1
3，结论成立；
6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k
2＋
k－1
3＋1
＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－1
2＋
（k＋1）－2
3，结论成立.
综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立.
热点三随机变量的分布列及其数学期望
【例3】(2016·扬州高三期末)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球，则可获得奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元.活动规定：①参与者每个箱子中只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；
③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.
(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；
(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.
解(1)设“参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元”为事件M.
则P(M)＝1
3×
3
4＝
1
4，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为
1
4.
(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：
①先在甲箱中摸球，参与者获奖金额X的可能取值为0，m，m＋n，
则P (X ＝0)＝3
4， P (X ＝m )＝14×23＝1
6， P (X ＝m ＋n )＝14×13＝1
12， 故X 的分布列为
E (X )＝0×34＋m ×16＋(m ＋n )×112＝m 4＋n
12.
②先在乙箱中摸球，参与者获奖金额Y 的可能取值为0，n ，m ＋n ， 则P (Y ＝0)＝2
3， P (Y ＝n )＝13×34＝1
4， P (Y ＝m ＋n )＝13×14＝1
12， 故Y 的分布列为
E (Y )＝0×23＋n ×14＋(m ＋n )×112＝m 12＋n
3. E (X )－E (Y )＝
2m －3n 12.
当E (X )－E (Y )＞0时，m n ＞3
2， 当E (X )－E (Y )＝0时，m n ＝3
2， 当E (X )－E (Y )＜0时，m n ＜3
2，
综上，当m n ＞3
2时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金额的期望值较大；
当m n ＝3
2时，两种顺序摸球，参与者获奖金额的期望值相等；
当m n ＜3
2时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金额的期望值较大. 探究提高 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算.
【训练3】 (2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ).
解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有
8C 23对相交棱，因此
P (ξ＝0)＝8C 2
3
C 212
＝8×366＝411.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6
11，
所以随机变量ξ的分布列是
因此E (ξ)＝1×611＋2
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
2.数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题.通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，要了解数学归纳法的原理，并能
加以简单的应用.
3.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
4.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
1.(2014·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P ； (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X ). 解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P
＝C 24＋C 23＋C 22C 2
9
＝6＋3＋136＝518.
(2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.
{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44
C 49＝1126；
{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 4
9
＝20＋6126＝13
63； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝11
14. 所以随机变量X 的概率分布如下表：
因此随机变量X
E(X)＝2×11
14＋3×
13
63＋4×
1
126＝
20
9.
2.(2016·苏北四市调研)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
解(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23
C48＝
6
35.
所以，事件A发生的概率为6 35.
(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝C k5C4－k
3
C48(k＝1，2，3，4).
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝1×1
14＋2×
3
7＋3×
3
7＋4×
1
14＝
5
2.
3.(2015·南通调研)记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*).性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i＞a i＋1(i∈{1，2，…，n－1}).
(1)求f(3)；(2)求f(n).
解(1)当n＝3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i∈{1，2，3}，使得a i＞a i ＋1
的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以f(3)＝4.
(2)在1，2，…，n 的所有排列(a 1，a 2，…，a n )中，
若a i ＝n (1≤i ≤n －1)，从n －1个数1，2，3，…，n －1中选i －1个数按从小到大顺序排列为a 1，a 2，…，a i －1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是
满足题意的排列个数为C i －1
n －1.
若a n ＝n ，则满足题意的排列个数为f (n －1).
综上，f (n )＝f (n －1)＋i ＝1
n －1C i －1n －1＝f (n －1)＋2
n －1－1. 从而f (n )＝23（1－2n －3）1－2
－(n －3)＋f (3)＝2n －n －1.
4.(2016·苏、锡、常、镇、宿调研)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列.
(1)解 存在.杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成. 若第n 行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，
则C k －1n C k n
＝k n －k ＋1＝34，C k n C k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45，
即3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5， 解得k ＝27，n ＝62.
即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 28
62的比为3∶4∶5.
(2)证明 若有n ，r (n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，
则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ，
即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！， 2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！
（r ＋1）！（n －r －1）！＋
n ！
（r ＋3）！（n －r －3）！
，
所以2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1
（r ＋1）（r ＋2），
2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1
（r ＋2）（r ＋3），
整理得n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减得n ＝2r ＋3，
所以C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋3
2r ＋3成等差数列， 由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，
这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立. 5.(2010·江苏卷)已知△ABC 的三边长都是有理数. (1)求证：cos A 是有理数；
(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数.
证明 (1)设三边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，
∵a ，b ，c 是有理数，
b 2＋
c 2－a 2是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， ∴b 2＋c 2－a 2
2bc 必为有理数， ∴cos A 是有理数.
(2)①当n ＝1时，显然cos A 是有理数； 当n ＝2时，∵cos 2A ＝2cos 2A －1， 因为cos A 是有理数， ∴cos 2A 也是有理数；
②假设当n ≤k (k ≥2)时，结论成立，即cos kA 、cos(k －1)A 均是有理数. 当n ＝k ＋1时，cos(k ＋1)A ＝cos kA cos A －sin kA sin A ＝cos kA cos A －1
2[cos(kA －A )－cos(kA ＋A )] ＝cos kA cos A －12cos(k －1)A ＋1
2cos(k ＋1)A 解得：cos(k ＋1)A ＝2cos kA cos A －cos(k －1)A ∵cos A ，cos kA ，cos(k －1)A 均是有理数， ∴2cos kA cos A －cos(k －1)A 是有理数， ∴cos(k ＋1)A 是有理数. 即当n ＝k ＋1时，结论成立.
综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 是有理数.
6.(2014·江苏卷)已知函数f 0(x )＝sin x
x (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2的值；
(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪
nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立.
(1)解 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f ′1(x )＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1
⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16
π3
， 故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＝－1.
(2)证明 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝ cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2，类似可得
2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋3π2，
4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin ()x ＋2π.
下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立.
(ⅰ)当n ＝1时，由上可知等式成立. (ⅱ)假设当n ＝k 时等式成立， 即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋k π2.
因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x ＋（k ＋1）π2，
所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋
（k ＋1）π
2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立. 综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式nf n －1(x )＋xf n (x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立.
令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4
＋n π2(n ∈N *).
所以⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *).。