天津雍阳中学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）
A ．13
B ．32
C ．40
D ．20 2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222
4．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）
A ．124
B ．122
C ．120
D ．118
5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点
G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②④
D ．①③ 6．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交
BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:3
D ．1:3
7．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =100°，AD 是BC 边上的中线，CE 平分BCA ∠交AB 于点E ，AD 、CE 相交于点F ，则∠CFA 的度数是（ ）
A ．100°
B ．105°
C ．110°
D ．120°
9．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
10．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12
BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④
二、填空题
13．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．
14．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．
15．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．
（1）△ABC 的周长等于_____；
（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
16．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．
17．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．
18．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．
19．已知等边三角形ABC ．如图，
（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；
（3）分别以点A ，C 为圆心，大于
12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；
（6）连接OA ，OB ，OC ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．
20．如图①，点D 为一等腰直角三角形纸片的斜边AB 的中点，E 是BC 边上的一点，将这张纸片沿DE 翻折成如图②，使BE 与AC 边相交于点F ，若图①中AB ＝2，则图②中△CEF 的周长为______________．
三、解答题
21．如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．
（1）如图2，若点P 正好落在BC 边上．
①求∠B 的度数；
②求证：BC=3PC ．
（2）如图3，若点C 、P 、D 恰好在一条直线上，线段AD 、PD 、BC 之间的数量关系是否满足AD +PD=BC ？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
22．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．
（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；
（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．
23．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．
（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．
求证：AF MF PF +=．
（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．
24．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．
（1）用尺规作出BAC ∠的平分线，并标出它与边BC 的交点D （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若30B ∠=︒，1CD =，求BD 的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，(1,5)A -，(1,0)B -，(4,3)C -．
（1）作出ABC 关于y 轴的对称图形A B C '''；
（2）写出点A '，B '，C '的坐标；
（3）在y 轴上找一点P ，使PA PC +最短（不写作法）．
26．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．【详解】
⊥交AB于点E，
解：∵D是AC的中点，ED AC
∴ED垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠A，
∵∠A=36°，
∴∠ECD=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=1
（180°-36°）=72°，
2
∵∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∵AE=CE，ED⊥AC，∴CD=1
AC=3，
2
在Rt△CED中，
∴
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
故选择：D．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 3．A
解析：A
【分析】
先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，
∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，
∵∠O=30°，
∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，
∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，
∴∠O=∠OA 1B 1=30°，
∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，
在Rt △A 2A 1B 2中，
∵∠A 1A 2B 2=30°，
∴A 2B 2=2A 1B 2=2，
同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，
∴202020202021A B B △的边长=22019，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
4．B
解析：B
【分析】
由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．
【详解】
解：如图：
∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD ，
∴△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE=∠CBD ，
即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，
∵60EBC ABE ∠=︒-∠，
∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，
∴58ABE BAE ∠+∠=︒，
∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 5．B
解析：B
【分析】
根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠CAD ，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG ＝∠ACD ，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解】
∵BE 是中线，
∴AE ＝CE ，
∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF 是角平分线，
∴∠ACF ＝∠BCF ，
∵AD 为高，
∴∠ADC ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∠ACB ＋∠CAD ＝90°，
∴∠ABC ＝∠CAD ，
∵∠AFG ＝∠ABC ＋∠BCF ，∠AGF ＝∠CAD ＋∠ACF ，
∴∠AFG ＝∠AGF ，故②正确；
∵AD 为高，
∴∠ADB ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∠ABC ＋∠BAD ＝90°，
∴∠ACB ＝∠BAD ，
∵CF 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACB ＝2∠ACF ，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
6．D
解析：D
【分析】
先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=1
2
AD，再由三角形的面积公式即可得出结
论．
【详解】
解：由作图过程可知：AP平分∠BAC，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴CD=1
2
AD，AD=BD，
∴BC=BD+CD=AD+1
2AD=
3
2
AD，
S△DAC=1
2
AC•CD=
1
4
AC•AD，
∴S△ABC=1
2AC•BC=
1
2
AC•
3
2
AD=
3
4
AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=1：3，
故选D．
【点睛】
本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，
∴∠BAC ＝60°，
由作法得AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，
∴∠ADC ＝90°﹣∠CAD ＝60°，所以②正确；
∵∠B ＝∠BAD ，
∴DA ＝DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°，
∴CD ＝12
AD ， ∴BC ＝CD+BD ＝
12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ． ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34
AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC ＝
14AC•AD ：34AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
8．C
解析：C
【分析】
根据等腰三角形的性质得BCA ∠的度数，再根据角平分线算出ACF ∠的度数，再由“三线合一”的性质得CAD ∠的度数，即可求出结果．
【详解】
解： ∵AB AC =， ∴180100402
BCA ︒-︒∠=
=︒， ∵CE 平分BCA ∠，
∴1202
ACF BCA ∠=∠=︒， ∵AB AC =，AD 是BC 上的中线， ∴1502
CAD BAC ∠=
∠=︒， ∴180110CFA CAD ACF ∠=︒-∠-∠=︒．
故选：C ．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
9．C
解析：C
【分析】
易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．
【详解】
解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形
∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，
∴∠DCE ＝60°，
在△ACE 和△DCB 中，
AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；
∠CBD ＝∠AEC ，
∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，
∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；
在△ACM 和△DCN 中，
60BDC EAC DC AC
ACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），
∴AM ＝DN ，④正确；
∠AMC ＝∠DNC ，②正确；
CM ＝CN ，
∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，
∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，
∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；
故有①②④⑤正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证
△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
首先根据DE是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，然后根据△BCD的周长是9cm，以及AD＋DC＝AC，求出BC的长即可．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长是9cm，
∴BD＋DC＋BC＝9（cm），
∴AD＋DC＋BC＝9（cm），
∵AD＋DC＝AC，
∴AC＋BC＝9（cm），
又∵AC＝5cm，
∴BC＝9−5＝4（cm）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
11．D
解析：D
【分析】
①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；
②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；
③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；
④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】
解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，
∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，
∠PBE＝∠PAB＋∠APB，
即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB．
故①正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一）．
故②正确；
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴PG＝AG．
故③正确；
如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PO⊥BC于点O，
∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，
∴PM=PN，PM=PO，
∴PN =PO，
∴CP平分∠DCB．
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
又由（2），知BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG 在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故④错误．
∴正确的选项有①②③；故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
二、填空题
13．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出O A2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边
解析：12n -
【分析】
根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=
12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122
-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】
解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°
∵∠MON=30°，
∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°
∴OA 1=A 1B 1=12
OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=12
OA 4 ∵48OA = ∴OA 3=1842
⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==， 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．
故答案为2n-1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．
14．32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP ＝∠CBP 根据线段的垂直平分线性质得出BP ＝CP 根据等腰三角形的性质得到∠CBP ＝∠BCP 根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°解方
解析：32
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP＝CP，根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°，解方程得到答案．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查角平分线的定义和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和垂直平分线的性质．
15．见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点F连接EF交AB 于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算
解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形
【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
【详解】
⨯=，
（1）△ABC的周长等于4312
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
16．①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA △BAC 是等腰三角形即可判断①②正确作GM ⊥BD 于M 只要证明GH ＜DG 即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分 解析：①②④
【分析】
只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断③错误，证明DGF DFG ∠=∠可判断④正确．
【详解】
解：①CD AB ⊥，
90CDA BDF ∠∴∠==︒，
18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，
又BE AC ⊥，
90BEA ∴∠=︒，
18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，
DAC DFB ∠=∠∴，
又45ABC ∠=︒，
18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，
∴BCD △是等腰直角三角形，
BD CD ∴=，
在ACD △和FBD 中，
DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD FBD AAS ∴≅，
AC BF ∴=．故①正确；
②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，
ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，
∴在ABE △和CBE △中，
ABE CBE BE BE
BEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ASA ABE CBE ∴≅，
AE CE ∴=，
2AC AE CE CE ∴=+=，
又AC BF =，
2BF CE ∴=，故②正确；
③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，
H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，
DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，
又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，
GM GH ∴=，
又BD BH >，
BDG BGH S
S
∴>， 又ABE CBE ≅ ABE CBE S S ∴=，
ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，
ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；
④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，
BGH DFG ∴∠=∠，
又BGH DGF ∠=∠，
DGF DFG ∴∠=∠，
DGF ∴为等腰三角形．
∴综上，答案为①②④．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．
17．110【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=70º再根据平行线的性质求出的度数【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB==70º∵//∴+∠B=180º∴=110º故答案为：110【点睛】本题考查了
解析：110
【分析】
根据等腰三角形的性质，求出∠B=70º，再根据平行线的性质，求出BCD ∠的度数．
【详解】
解：∵AB=AC ，40A ∠=，
∴∠B=∠ACB=
180402
︒-︒=70º， ∵CD //AB ， ∴BCD ∠+∠B=180º，
∴BCD ∠=110º，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练运用已知条件，准确推理计算，是解决这类题的关键．
18．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】
解析：3
【分析】
再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12
AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=12
AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，
∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD 为等边三角形，
∴CD=BC=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等
边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．
19．①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点即：MN ⊥ABHL ⊥AC ∴根据等边三角形
解析：①③④
【分析】
根据题意可得点O 是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．
【详解】
由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点，即：MN ⊥AB ，HL ⊥AC ，
∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE ，
∴△ADO ≌△AEO ，
∴OD=OE ，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，
∴在Rt △COE 中，OC=2OE ，
∴OC=2OD ，故①正确；
在Rt △ABE 中，显然AB=2AE ，而OA ＞AE ，
∴AB≠2OA ，故②错误；
根据中垂线性质可得OA=OB ，OA=OC ，
∴OA=OB=OC ，故③正确；
在四边形ADOE 中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．
20．【分析】如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N 连接DF 首先证明△DFB ≌△DFC 推出CF=BF 可得再利用勾股定理求解即可得到答案【详解】解：如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N
【分析】
如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．首先证明
△DFB ≌△DFC ，推出CF=BF ，可得
()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=，再利用勾股定理求解B C '即可得到答案．
【详解】
解：如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．
∵,90CA CB ACB ''=∠=︒，AD B D '=，
∴CD DB AD DB '===，45DCB DCA '∠=∠=︒，45B B '∠=∠=︒．
∴DH DM =，
,B DE BDE '≌
,DH DN ∴=
,DH DM DN ∴==
∴DFM DFN ∠=∠，
∵∠BFM=∠EFC ，
∴∠DFB=∠DFC ，
在△DFB 和△DFC 中，
B DCF DFB DF
C DF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DFB ≌△DFC ，
∴CF=BF ，
∵()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=， ∵2AB '=，
∴224B C AC '+=，
,B C AC '=
2.B C '∴= （负根舍去）
2.CEF C ∴= 2.
【点睛】
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
21．（1）①∠B 的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析
【分析】
（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明
BP=2PD，进而即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．
【详解】
（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=1
∠ACB=45°．
2
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt △AEP 和Rt △ADP 中，
,,
AP AP PE PD =⎧⎨=⎩ ∴Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），
∴AE=AD ，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD ，
又∵AC=BC ，
∴AD+PD=BC ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．
22．（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析
【分析】
（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；
（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【详解】
解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，
故答案为：(3，2)；
（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，
连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．
【点睛】
本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．
23．（1）20°；（2）证明见解析；（3）12
AM AN AP =+．
【分析】
（1）借助等边三角形的性质可证明△CAE≌△OAD，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；
（2）在OM上截取EM=PF，证明△FAP≌△EAM，得出AE=AF，∠EAM=∠FAP，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF为等边三角形，继而得出结论；
（3）证明△CAM≌△COP可得AM=OP=OA+AP，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得
∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得1
2
OA AN
=，
继而可得
1
2
AM AN AP
=+．
【详解】
解：（1）∵△AOC和△DAE是等边三角形，∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°，
∵10
DAC
∠=︒，
6070 CAE DAO DAC
∴∠=∠=︒+∠=︒，在△CAE和△OAD中
∵
AC AO
CAE OAD
AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴∠AEC=∠ADO，
∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，
∴∠AEC=20°，
∴故答案为：20°；
（2）与（1）同理可证，△OAM≌△CAP，∴∠OMA=∠CPA，AM=AP，
如下图，在OM上截取EM=PF，
在△FAP和△EAM中，
∵
PF ME
OMA CPA
AP AM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△FAP ≌△EAM （SAS ），
∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，
∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，
∴∠EAF=∠MAP=60°，
∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，
∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MF PF +=；
（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，
∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，
∵OP=OA+AP ，
∴AM=OA+AP ，
∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，
∴∠PAM=∠MCP=60°，
∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12
OA AN =， ∴12
AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =
+． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 24．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据尺规作图的基本步骤进行画图，即可得到答案；
（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，由角平分线的性质定理，得到1DE CD ==，再由含30度直角三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
（1）解：如图所示：
（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ． AD 为BAC ∠的平分线，90C AED ∠=∠=︒．
1DE CD ∴==．
在Rt BED △中，30B ∠=︒，
22BD DE ∴==．
【点睛】
本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，以及含30度的直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形．
25．（1）见解析；（2）(1,5)A '，(1,0)B '，3)(4,C '；（3）见解析
【分析】
（1）根据轴对称的性质确定点,,A B C '''，顺次连线即可得到图形；
（2）根据点的位置直接得解；
（3）连接AC '与y 轴交于一点即为点P ，连接PC ，此时AP+PC 最短．
【详解】
解：（1）如图所示，A B C '''为所求作．
（2）由图可得，(1,5)A '，(1,0)B '，4,3)C '．
（3）如图所示，点P 即为所求作．
【得解】
此题考查轴对称的性质，轴对称作图，点的坐标，最短路径问题，正确理解轴对称的性质作出图形是解题的关键．
26．见解析
【分析】
由已知可得∠ABD=∠D，从而得到AB=AD，进而得到AC=AD．
【详解】
证明：∵BD是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
又AD//BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AC=AD．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键．。