【巩固】2020届高三数学二轮复习131三角函数的图象与性质课时巩固过关练理新人教版

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课时巩固过关练八三角函数的图象与性质
(35分钟55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2016·太原一模)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的单调递加区间为()
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选D.根据已知得=π,得ω=2.
由不等式2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递加区间是
(k∈Z).
2.(2016·郑州一模)将函数y=sin(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,则所得的图象的解析式为()
A.y=sin(x∈R)
B.y=sin(x∈R)
C.y=sin(x∈R)
D.y=sin(x∈R)
【解析】选B.原函数图象向左平移个单位后得y=sin=sin
(x∈R)的图象,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y=sin(x∈R)的图象.
3.(2016·山东高考)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是
() A. B.π C. D.2π
【解析】选B.f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)
=3sinxcosx-sin2x+cos2x-sinxcosx
=sin2x+cos2x
=2sin.
所以,最小正周期是π.
4.(2016·成都一模)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=对称,则实数a的值为()
A.-
B.-
C.
D.
【解题导引】由函数图象的对称性可知,函数在x=时取得最值,利用f=
±确定a的值.
【解析】选B.由函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=对称,可知f=±,可求得a=-.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2016·哈尔滨一模)函数y=sinx+cosx,x∈的单调递加区间是_____.
【解析】因为y=sinx+cosx=sin,
所以函数的单调递加区间为(k∈Z),
又x∈,
所以单调递加区间为.
答案:
6.(2016·浙江高考)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+)+b(A>0),则A=________,b=________.
【解析】2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=sin+1,所以A=,b=1.
答案:1
三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.(2016·天津高考)已知函数f(x)=4tanxsincos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期.
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
【解析】f=4tanxsincos-
=4sinx-
=sin2x+-
=sin2x-cos2x
=2sin.
(1)定义域,最小正周期T==π.
(2)-≤x≤,-≤2x-≤,设t=2x-,
因为y=sint在t∈时单调递减,在t∈时单调递增.
由-≤2x-≤-,解得-≤x≤-,
由-≤2x-≤,解得-≤x≤,
所以函数f在上单调递增,在上单调递减.
【加固训练】已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】(1)由已知,有
f(x)=-
=-cos2x
=sin2x-cos2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f=-,f=-,f=,
所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
8.(2016·丹东一模)已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(A,B,ω是常数,ω>0)的最小正周期为
2,并且当x=时,f(x)max=2.
(1)求f(x)的解析式.
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+ϕ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π. 又当x=时,f(x)max=2,知π+ϕ=2kπ+(k∈Z),
即ϕ=2kπ+(k∈Z),
所以f(x)=2sin=2sin(k∈Z).
故f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z),由≤k+≤,解得≤k≤.
又k∈Z,知k=5,由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴,其方程为x=.
(30分钟55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知直线x=和点恰好是函数f(x)=sin(ωx+ϕ)图象的相邻的对称轴和对称中心,则ω,ϕ的值分别是( )
A.2,-
B.2,-
C.4,
D.4,
【解析】选B.由题意可知,=-=,T=π=,
所以ω=2.又因为sin=0,
所以ϕ=kπ-,k∈Z,当k=0时,ϕ=-.
2.已知函数f(x)=sin(2x+α)在x=时有极大值，且f(x-β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )
A.，-
B.，
C.，-
D.，
【解析】选D.依题意得2×+α=2k1π+，k1∈Z，
即α=2k1π+，k1∈Z，因此选项A，B均不正确；
由f(x-β)是奇函数得f(-x-β)=-f(x-β)，
即f(-x-β)+f(x-β)=0，函数f(x)的图象关于点(-β，0)对称，f(-β)=0，
sin(-2β+α)=0，sin(2β-α)=0，2β-α=k2π，k2∈Z，结合选项C，D，则α=得β=+，k2∈Z.
3.同时具有性质“周期为π,图象关于直线x=对称,在上是增函数”的函数是( )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=cos
D.y=sin
【解析】选A.因为周期为π,所以ω=2,排除选项D.
图象关于x=对称,即函数在x=处取得最值,排除选项C.
又x∈,
所以2x-∈,
则函数y=sin在上为增函数.
4.已知函数f(x)=2sin,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<c<b
B.c<a<b
C.b<a<c
D.b<c<a
【解题导引】利用函数f(x)=2sin的单调性结合诱导公式进行比较大小.
【解析】选B.f(x)=2sin
=2sin,
a=f=2sin,b=f=2sin,
c=f=2sin=2sin,
因为y=sinx在上单调递增,且0<<<,所以sin<sin<sin,
即c<a<b.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间上是减函数,则a的最大值是________.
【解题导引】将函数f(x)=cos2x+asinx化为关于sinx的二次函数的形式,结合图象求解. 【解析】f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,
令t=sinx,x∈,则t∈,
原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减
函数,结合抛物线图象可知,≤,所以a≤2.所以a的最大值是2.
答案:2
6.已知函数f(x)=sin2xsinϕ+cos2xcosϕ-sin(0<ϕ<π),将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象,且g=,则ϕ=________.
【解析】因为f(x)=sin2xsinϕ+cos2xcosϕ-sin
=sin2xsinϕ+cosϕ-cosϕ=sin2xsinϕ+cos2xcosϕ
=cos(2x-ϕ),
所以g(x)=cos
=cos.
因为g=,所以2×+-ϕ=2kπ(k∈Z),
即ϕ=-2kπ(k∈Z).
因为0<ϕ<π,所以ϕ=.
答案:
三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间.
【解析】因为由f(x)的最小正周期为π，则T==π，
所以ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x).
所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ)，
展开整理得sin2xcosφ=0，
由已知上式对∀x∈R都成立，所以cosφ=0，
因为0<φ<，所以φ=.
(2)f(x)的图象过点时，
sin=，
即sin=.
又因为0<φ<，所以<+φ<π.
所以+φ=，φ=.所以f(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
【加固训练】已知函数f(x)=sinωx+cos2-,ω>0.
(1)若ω=1,求f(x)的单调递增区间.
(2)若f=1,求f(x)的最小正周期T的表达式并
指出T的最大值.
【解析】(1)当ω=1时,
f(x)=sinx+cos2-
=sinx+cosx=sin.
令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z.
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是
,k∈Z.
(2)由f(x)=sinωx+cos2-
=sinωx+cosωx=sin.
因为f=1,
所以sin=1.
则+=2nπ+,n∈Z.
解得ω=6n+,n∈Z.
又因为函数f(x)的最小正周期
T==,n∈Z,且ω>0,
所以当ω=时,T的最大值为4π.
8.已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称,且t∈(0,π),求t的值.
(3)当x∈时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)=-cos-cos2x
=2sin,
故f(x)的最小正周期为π.
(2)h(x)=2sin.
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又t∈(0,π),故t=或.
(3)当x ∈时,2x-∈,
所以f(x)∈[1,2].
又|f(x)-m|<3,
即f(x)-3<m<f(x)+3,
所以2-3<m<1+3,
即-1<m<4.
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