重庆市巴蜀中学高2018届高2015级高三第一学期第六次月考一模理数试题参考答案

巴蜀中学2018届高考适应性月考卷(六)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
巴蜀中学2018届高考适应性月考卷(六)理科数学答案
一、选择题
1-5:DCCBD 6-10:BCCBD 11、12:AA
二、填空题
14.80-
2 16.4034-
三、解答题
17.解:(1)设1a a =,公差为d ,则2
(3)()a a d a d +=+,解得3d a ==,
所以3n a n =,3(1)
2
n n n S +=. (2)
121211()3(1)31
n S n n n n =⋅=-++, 从而12111211111(1)32231n n b S S S n n =
+++=-+-++-+……21(1)31
n =-+, 故
1219327
n b <<. 18.(1)证明:1sin sin sin 22sin ABC ac A C S ac B B ∆=
=
,即2
sin sin sin B A C =, 由正弦定理可得a b
b c
=,故a ,b ,c 成等比数列.
(2)解:依题意得22211
cos (1)222
a c
b
c a B ac a c +-=
=+-≥, 又B 为ABC ∆的一个内角,
从而sin B =≤当且仅当ABC ∆为等边三角形时等号成立.
19.解:(1)设A 为巴黎总进球数,则(2)(2)(3)(4)P A P A P A P A ≥==+=+=
511115111111231179()()1243341234434472616144
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++=. (2)A 和H 的分布列如下:
则()()3
E A E H ==
. 20.(1)证明:设直线l 的斜率为k (0k ≠),则直线l 的方程为(2)y k x =-,
联立方程组22
1,62
(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 可得2222
(31)121260k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则21222
12212,31
126,
31k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
于是有121224()431k y y k x x k k +=+-=-+,
所以线段AB 中点C 的坐标为22
262(,)3131
k k
k k -++. 又直线OC 的斜率13OC k k =-,因此直线OC 的方程为13y x k =-,它与直线3x =的交点1(3,)D k -,故直线2DF 的斜率为21
DF k k
=-,于是21DF k k ⋅=-.
因此2AB DF ⊥.
(2)解:记2222
2221212121212222()()()()||(
)()11||11x x y y x x k x x AB t k x x DF k k
-+--+-====-++ 2
2
1212()4k x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦22222
222221212624(1)
()4()3131(31)k k k k k k k k ⎡⎤-+=-=⎢⎥+++⎣⎦
.
令2
31u k =+,则222(1)(2)16111161198()()33223416u u t u u u u -+⎡⎤
=⋅
=---=---⎢⎥⎣⎦
. 因为2
311u k =+>,所以1
01u
<
<. 故当4u =时,即1k =±时,t 取最大值3.
从而当1k =±时,
2||
||
AB DF
21.(1)解:依题意得()f x 的定义域为R ,当0b =时,'()x
f x ae c =+. 若0a >,0c >,则'()0f x c >>,从而()f x 在R 上单调递增； 若0a <,0c <,则'()0f x <,从而()f x 在R 上单调递减； 若0a >,0c <,令'()0f x =,得ln()c x
=-,列表如下:
若0a <,0c >,令'()0f x =得ln()x =-,列表如下:
(2)证明:函数()f x 在R 上单调递增,则'()20x
f x ae bx c =++≥对任意实数x 均成立,
取实数10x >,10x -<,则11
1120,20,
x x ae bx c ae bx c -⎧++≥⎪⎨-+≥⎪⎩两式相加得:11()20x x
a e e c -++≥,
令1x →+∞,则11x x
e e -+→+∞,从而0a >.
又由1
120x ae
bx c --+≥,当1x →+∞时,10x ae -→,若0b >,则1120x ae bx c --+≥不恒成立,又0b ≠,
从而0b <,从而0a b >>. 下证22(ln()1)b
c b a
≥--
-. 记()x
g x ae =,()2h x bx c =--,22ln()b
x a
=-
,由于'()x g x ae =, ()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为:2222()()22ln()2b
y b x x g x bx b b a
=--+=-+-
-. 接下来,我们证明2()22ln()2x
b
g x ae bx b b a
=≥-+-
-,
构造函数2()22ln()2x
b
H x ae bx b b a
=+--
+,'()2x H x ae b =+. 当2(,)x x ∈-∞时,'()0H x <,()H x 单调递减； 当2(,)x x ∈+∞时,'()0H x >,()H x 单调递增；
从而min 2()()()0H x H x H x ≥==,故2()22ln()2x
b
g x ae bx b b a
=≥-+-
-成立. 考虑到直线222ln()2b
y bx b b a
=-+-
-与直线()y h x =斜率相等,即它们平行, 又由于()()g x h x ≥恒成立,从而222ln()2()b
bx b b h x a
-+--≥恒成立,
即22(ln()1)b c b a -≤--,即22(ln()1)b
c b a
≥---.
22.解:(1)当4
π
α=时,直线l
的普通方程为y x =,曲线C 的普通方程为2
214x y +=. (2)
把cos ,
sin x t y t αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩代入2214x y +=,
得222(4sin cos ))10t t ααα++-=, 21222
151||||||||4sin cos 22MA MB t t OM αα⋅==
=-=+,得2
1sin 3
α=, ∴2
1
tan 2
α=
,
∴斜率2k =±.
23.(1)解:()|1||2|3f x x x =-+-≤,即1,123x x x <⎧⎨
-+-+≤⎩或12,123x x x ≤≤⎧⎨--+≤⎩或2,
123,
x x x >⎧⎨-+-≤⎩
即01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤,即解集[]0,3C =. (2)证明:∵
222
11124a b c ++=, 由柯西不等式得
222222222111149(49)()24a b c a b c a b c ++=++++2111125
(23)222
a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅≥
,当且仅当231112a b c
a b c
==时取等号,即2225432a b c ===时取等号.。