湘教版解读-111全等三角形略讲

**全等三角形
新知概览
知识要点
课标要求中考考点
节内对应例题
节内对应习题
全等三角
形的有关
概念
理解全等三角形
的概念，能识别全
等三角形中的对
应边、对应角。

全等三角形中的对
应边、对应角（掌
握）
试练例题2；
易错典例1，2；
题型典例1，2，3，
中考典例1，4
新题精练 1，
全等三角
形的性质
掌握全等三角形
的性质
全等三角形的性质
（掌握）
试练例题3；
题型典例4，5，6，
7，8，9，10
中考典例3，
中考变式练
1,2，3
新题精练 2，
3，4，5，9，
10
本节重、难点
（1）重点：全等三角形的相关概念及性质，及利用全等三角形的性质解决问题。

（2）难点：确定全等三角形的对应边和对应角。

知识全解
知识点一：全等形（了解、略讲）
知识点
能够完全重合的两个图形叫做全等形．互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角.
方法规律：判别两个图形是全等图形的方法
全等图形的形状和大小完全相同，如果缺少其中的任一个条件，两个图形都不是全等图形.如图11-1-1（1），两个图形形状相同，大小不同，它们不是全等图形；如图11-1-4，两个图形的形状不同，大小相同，它们也不是全等的图形.
知识拓展：全等图形的形状和大小都相同.全等图形的形状和大小都相同.同时全等图形的其它元素同样相同；如：全等图形的周长相等；全等图形的面积相等；全等图形中的对应的线段和角也是相等的.
知识警示：图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够完全重合就可以.
【试练例题1】找出图11-1-2中的全等图形.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
图（1）图（2）
图11-1-1
（7）（8）（9）（10）（11）（12）-
图11-1-2
思路导引:利用全等图形的定义能够完全重合的两个图形是全等形来判断.
解:（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
方法：运用观察法找全等形,一看形状是否相同,二看大小是否相等.
知识点二全等三角形的有关概念（重点）
知识点
(1)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
(2)全等三角形的对应元素：互相重合的点叫做对应点；互相重合的边叫对应边；互相重合的角叫对应角.
(3)全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．其中“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小相等，即“全等”．△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。

在表示两个三角形的全等的时候，我们通常是把对应点所对应的字母写在对应的位置上.
如图11-1-3中△ABC≌△DEF则
（1）对应顶点：顶点A和D、B和E、C和F是对应顶点．
(2) 对应边：AB和DE、AC和DF、BC和EF是对应边．
(3) 对应角：∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角．
图11-1-3
倍速学法：找对应边、对应角的方法
方法1: 如果两个全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连结对应顶点的边是对应边，对应顶点的对边是对应边；以对应顶点为顶点的角是对应角，剩下的第三个角是对应角.
例如，图11-1-4中所示的△ABC与△A′B′C′是一次性剪出的两个三角形纸片.如果点A 的对应点是A′，点B的对应点是B′，那么对应相等的元素为：AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′,∠C=∠C′.
图11-1-4 图11-1-5 图11-1-6 图11-1-7 方法2: 如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边；第三
个角为对应角.
例如，图11-1-4中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么对应相等的元素为：BC=B′C′，AC=A′C′，AB=A′B′，∠C=∠C′.
方法3: 如果两个边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角；第三条边为对应边.
例如，图11-1-4中，如果BC=B′C′，AC=A′C′，那么对应相等的元素为：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′.
以上是三种最基本的判定全等三角形对应元素的方法.另外，还有一些常用方法：
方法4: 公共边是对应边.
例如，图11-1-5中的△BCD，是△ADC通过全等变形得到的，那么公共边CD就是一组对应边，它的对角∠A=∠B.
方法5 : 公共角或者对顶角是对应角.
例如，图11-1-6中的△OCD，是通过△OBA旋转得到的，其中，∠AOB与∠COD是对顶角，则它们就是对应角，其对边也是对应边，即AB=CD.
上述方法在实际应用中，都是很严谨的.实际上，在很多情况下，我们是通过观察，去寻找和发现对应元素的.
方法6: 按照全等三角形的对应顶点中字母的出现位置来确定对应元素，在相同位置上出现的字母所表示的元素必为对应元素.这种方法的使用前提是，表示全等三角形时，所写的表达式中对应顶点的位置必须写得准确无误.
知识警示：任何两个三角形只要能完全重合，那么这两个三角形就是全等的，与它们的位置无关.
【试练例题2】
方法：
知识点三全等三角形的性质（重点）
知识拓展：
【试练例题3】如图11-1-10，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B =30°，∠ACB =85°，求△AEC 各内角的度数。

思路导引：由全等的性质可知∠ACB=∠ACE 、∠BAC=∠EAC, ∠B=∠E ，由此可以解决问题。

解 因为△ABC ≌△AEC ，
所以∠ACB=∠ACE 、∠BAC=∠EAC, ∠B=∠E ， 又因为∠B=30°，∠ACB=85°， 所以∠E=30°，∠ACE=85°， 所以∠EAC=65°。

方法：解决本题的关键是找出对应角，然后根据全等三角形的性质求出每一个内角的度数.
知识点四 全等变换
知识衔接：平移、旋转、翻折
A
B
C E
图11-1-10
知识点
【试练例题4】拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形，把这两个三角形一起放在下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图11-1-14中的各个图形.
图11-1-14
思路导引：通过动手操作，体会图形变换的思想，经过图形变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来.在本题中，图形的位置变化了，但形状、大小都没有改变，即变换前后的图形全等.
解：图（1）是把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离，可以变到△ECD的位置.
图（2）是把△ABC以BC为轴翻折180°，可以变到△DBC的位置.
图（3）是把△ABC以点A为中心旋转180°，可以变到△AED的位置.
图（4）是把△ABC沿直线AB向下移动线段AD的长的距离，可以变到△DEF的位置.
图（5）是把△ABC以B为中心旋转180°后，沿直线BC向上移动线段BD那样长的距离，可以变到△EDF的位置.
图（6）是把△ABC以A为中心旋转∠BAD的度数.可以变到△ADE的位置.
图（7）是把△ABC翻折180°后平移，使边BC为两个三角形的公共边，这样可以变到△DCB的位置.
图（8）是把.△ABC绕点A旋折180°后，再旋转使∠A为这两个三角形的公共角，即可变到△ADE的位置.
图（9）是把△ABC绕边AC的中点旋转180°，可变到△CDA的位置
规律：经过平移、翻折(轴对称)、旋转得到的三角形和原三角形是全等三角形，上面的变换过程都是改变三角形的位置，不改变三角形的形状和大小，经过移动后是可以完全重合的．
易错易混辨析
易错点1：对全等形的定义理解不透造成错误
【易错典例1】下列说法正确的是（）
A.两个面积相等的图形一定是全等形
B.两个等边三角形是全等三角形
C.两个全等图形的面积一定相等
D.两个图形周长相等，则它们一定是全等形
解：C
误区总结：不理解全等形的概念造成错误.面积相等的两个图形不一定是全等形，等边三角形有大小的区分也不一定全等，周长相等的两个图形也不一定全等.显然只有C是正确的.
易错点2：混淆全等三角形的对应元素
【易错典例2】如图11-1-15所示，△ABD≌△CAE，∠BAE=∠ACE，∠D=∠E。

请写出全等三角形的其它对应元素。

思路导引：记两个全等三角形时，对应的顶点字母写在对应的位置上，根据字母顺序去找对应元素就不会出错。

解：对应角∠ B和∠ CAE，对应边
BD和AE ，AD和CE ， AB和CA 。

图11-1-15
误区总结：对全等三角形的表示方法理解不透，不能在复杂的图形中找全等三角形的对应元素，一定要注意将全等三角形分离、重合，能重合的元素才是对应元素。

基础经典全析
题型1确定对应角和对应边
出题方向①：根据书写字母顺序找对应边和对应角
【题型典例1】已知△ABC≌△ADE，指出△ABC和△ADE的对应边、对应角．
思路导引：先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，A→D→E，然后按同样的顺序找出对应元素。

解：边AB与AD；BC与DE；AC与AE分别是对应边；（3）∠ABC与∠ADE；∠ACB与∠AED；∠CAB与∠EAD分别是对应角．
出题方向②：根据等量关系找对应边和对应角、
【题型典例2】如图11-1-16，已知△ABD≌△CDB，∠ABD=∠CDB，写出其它的对应边，对应角
图11-1-16
思路导引：在△ABD和△CDB中，∠ABD=∠CDB，则∠ABD、∠CDB所对应的边AD与CB是，公共边BD与DB是对应边，余下的一对边AB与CD是对应边，有对应边所对的角是对应角可确定其它两组对应角
解：BD与DB、AD与CB、AB与CD是对应边；∠A与∠C、∠ABD与∠CDB、图3
∠ADB与∠CBD是对应角
点拨：确定全等三角形的对应边的方法比较多，只要抓住全等三角形的之间的特征，确定对应边和对应角
出题方向③：根据对应角和对应边确定法
【题型典例3】如图11-1-17，△ACB≌△BDA，AC和BD对应，BC和AD对应，写出其他的对应边及对应角.
图11-1-17
思路导引：因为已经知道了两组对应边，剩下的一组边是对应边，根据对应边所对的角是对应角，所以比较容易发现AC的对应角是∠CBA，BD的对应角是∠DAB，BC的对应角是∠CAB，AD的对应角是∠DBA，剩下的一组∠ACB和∠BDA是对应角.
解：对应边是AB和BA，对应角是∠CBA和∠DAB、∠CAB和∠DBA、∠ACB和∠BDA.
方法：当全等三角形的两组对应边(角)已确定，剩下的一组边(角)是对应边(角)
题型2 利用全等三角形的性质求角的度数
【题型典例4】如图11-1-18，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是（）
A、20°
B、30°
C、35°
D、40°
图11-1-18
思路导引：∵△ACB ≌△A ′CB ′，∴∠ACB=∠A ′CB ′，∴∠ACB-∠A ′CB=∠A ′CB ′-∠A ′CB ，即∠ACA ′=∠BCB ′，∵∠A ′CB=30°，∠ACB ′=110°，∴∠ACA ′= 12（110°-30°）=40°．故选D ． 答案：D
点拨：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

题型3 利用全等三角形的性质求线段的长度
【题型典例5】如图11-1-19 ，△ACF 与△DBE 全等，∠E =∠F ,若AD=11，BC=7,求线段AB 的长
思路导引：应用全等三角形的性质及等式性质解决问题 解：由题意可得：△ACF ≌△DBE , ∴AC =DB
∴AC -BC =DB -BC ∴AB =DC =
1
2(AD -BC )= 1
2
×4=2 方法：所求线段不是全等三角形的对应边，但是可以用等式的性质进行转化，从而找到所求
线段与已知线段的关系求解.
题型4 利用全等变换解题
出题方向①：利用平移变换解题
【题型典例6】如图11-1-20，将△ABC 向右平移得到△DEF ，那么∠F = ( )．
A ．60°
B ．55°
C ．65°
D ．不确定
图11-1-20
思路导引：因为∠A =60°，∠B =55°，所以∠C =180°－60°－55°=65°．△DEF 是ABC 平移得
A
E
F
D
C B 图11-1-19
到的，所以△DEF≌ABC．所以∠F=∠C=65°．
答案：C．
规律：经过平移得到的三角形和原三角形全等．
出题方向②：利用旋转变换解题
【题型典例7】如图11-1-21所示，△ABC绕着点B旋转90°后得到△DBE且∠ABC=90°，（1）△ABC和△DBE是否全等？若全等，请指出对应边和对应角；
（2）直线AC与直线DE有怎样的位置关系？
A
B C D
E
图11-1-21
思路导引：
解：⑴由题知可得：△ABC≌△DBE
AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角。

⑵延长AC交DE于E，如图2所示。

∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等）∠A＋∠ACB＝90°
∴∠D＋∠DCF＝90°即∠AFE＝90°
∴AC与DE是垂直的位置关系。

图11-1-22
方法：证明两条线段垂直，可以利用全等三角形的性质证明它们组成的三角形是直角三角形即可。

出题方向③：利用翻折变换解题 【题型典例8】如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F ，若∠BAF=56°，则∠
DAE= °
图11-1-23
思路导引：∵△AEF 是△AED 沿直线AE 折叠而成，∴△ADE ≌△AFE ，∴∠DAE=∠EAF ，∵∠BAF=56°，∠BAD=90°，∴∠DAF=90°-∠BAF=90°-56°=34°，∴∠DAE= 12∠DAF= 12×34°=17°． 答案：17°．
方法：解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是全等变换，在此过程中，往往产生了全等三角形，让后根据全等三角形的性质解题。

题型5 全等三角形性质的实际应用 （找不到相应的应用题，不行的话就把这个题型删除） 【题型典例9】
A
B
C D
E F
综合创新探究
题型6 分割全等图形
【题型典例10】如图11-1-24，由一个正方形和一个等腰直角三角形拼接而成的直角梯形，如何把它剪在4块全等的图形？
图11-1-24
题眼直击：全等图形、分割
思路导引：如果分成的4个图形全等，那么它们的面积也相等，即分开后的图形的面积相等，由图可知总面积是6，那么分开的面积应该是1.5，即一个小正方形加上半个正方形.
解如图11-1-25所示就是要求的图形.
图11-1-25
方法：对于图形的分割问题，我们一定要先确定分割后的新图形的面积，然后根据面积确定图形的形状.
题型7 利用全等三角形解决面积问题
【题型典例11】
题眼直击：直角三角形、全等三角形、面积
题型8利用全等图形进行图案设计
【题型典例12】根据所给的三角形（如图11-1-28）为“基本图案”，利用平移设计
一个比较美观的图案.
11-1-28
题眼直击：全等三角形、图案设计、平移
思路导引：利用所给三角形为基本图案，借助平移设计图案，答案是多种多样的.在设计时一定要注意只能借助平移，而不能采用其它的图案变换，设计时尽量使所设计的图案美观．解：如图11-1-29给出其中的一个方案仅供参考
图11-1-29
点拨：根据平移的特征由基本图案设计出比较美观的图案，可以使我们认识到平移在设计图案中的重要意义.不仅可增强我们的审美能力，同时也可以感受到数学与生活密切相关.
题型9全等三角形探究性问题
【题型典例13】题眼直击：三角形的内角和全等三角形折叠
备战中考
考情分析：有关三角形全等的概念和性质，在中考中单独命题并不多，主要考查对全等的认识、全等三角形性质的简单运用，通常以填空题、选择题的形式出现。

与图形变换知识综合起来考查本节内容正逐渐成为各地中考命题的趋势，多以阅读理解、开放探究和实际应用题形式出现。

考法1 利用全等三角形的性质求角的度数或线段的长
【中考典例1】（2011-2012河北承德地区八年级上期中，3,3分）如图,在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）
A、15°
B、20°
C、25°
D、30°
思路导引：由△ADB≌△EDB≌△EDC可以得到这三个三角形的对应角相等，∴∠ADB=∠EDB=∠EDC，又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC=180°，∴∠EDC=60°，∴∠C=30°。

答案：D
中考变式练：
1.（2011-2012安徽芜湖七校联考期中测试，3，3分）如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于……………………………………（）A．120° B.70° C.60° D.50°.
答案：B
思路导引：由∠B=50°，∠ANC=120°，∴∠NAB=70°；由∵△ABN ≌△ACM ，∴∠MAC=∠NAB=70°。

点拨：全等三角形的对应边相等，对应角相等是全等三角形的重要性质，几乎所有与全等有关的题目都离不开这个性质。

考法2 利用全等变换解题
【中考典例2】（2011天津，5,3分）如图图11-1-31，将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为（ ）
**° B.30° C.45° D.60°
图11-1-31
思路导引：根据折叠对应角相等可得到∠ABE=∠DBE ，∠CBF=∠DBF ，且∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF=90°，所以可求∠EBF=45°.
答案：C
中考变式2：（2011昭通，8，3）如图11-1-32所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若︒='∠125C EF ，那么∠ABE 的度数为（ ）
图11-1-32
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
答案：B
思路导引由折叠前后的图形是全等形，得到∠DEC=∠BEC ，125EFC EFC '∠=∠=︒，∵AD ∥BC ∴∠DEC=∠BEC=180°-125°=55º，∠AEB=180º-2∠BEF=180º-110º=70º，即∠ABE =20º.
A E D
C
F C '
B
新题精练
1. 如图，已知ABC △≌ADE △， DAC BAE ∠=∠，则相等的对应元素有 （写出一对即可）．
知识点2 题型1
2.如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．
知识点3 题型2
3.如图，ACB A C B '''△≌△，BCB '∠=42°，则ACA '∠的度数为 .
知识点3 题型2
4.如图,△ABC ≌△DEF,求证:AD=BE.
知识点3 题型3B
A
E
F C D
5.如图11-1- ，已知△ABC ≌△ADE ,BC 的延长线交DE 于F ，若∠D =250, ∠AED =1050, ∠DAC =100,求∠DFB 是多少？
知识点3 题型2
C A
B
B 'A 'A
B C C 1 A 1 B 1 A
C E
B
D
图11－1－
6.如图11－1－ ，△ABC ≌△DEF ，且B 与E ，C 与F 是对应顶点，问经过怎样的图形变换可使这两个三角形重合？
知识点4 题型4
7.用不同的方法把图中的平行四边形分成4个全等的图形。

苏科七下第107页 11.1习题第3题
知识点1 题型6
8.用下图中的箭头拼出一个美丽的图案
.
知识点1 题型8
9.
知识点3 题型7
9.如图所示，△ABC 是一个不等边三角形，另有一条线段DE=BC 。

D
F E M C
B A 图11-1-
（1） 以DE 为一边作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角
形最多可以画出几个？为什么？
（2） 如果以△ABC 是等腰三角形，且AB=AC ，（1）中的结论成立吗？
知识点3 题型9
参考答案：
1.AE AC =（或填E C ∠=∠或D B ∠=∠）AD AB =，思路导引：根据字母书写的顺序ABC △≌ADE △及DAC BAE ∠=∠可以看出AE AC =.
2.30°思路导引：本题主要应用全等三角形的性质，可以得到1C ∠=180°－（∠A 1+B 1）=180°－（∠A+B ）=30°.
3. 42°思路导引：本题主要考查全等三角形的性质。

由全等三角形的对应角相等及等式的性质很容易得出ACA '∠=BCB '∠.
4.∵△ABC ≌△EBD ∴AB=DE 又∵AD=AB-BDBE=DE-BD ∴AD=BE
5.思路导引： 由全等可以得到角的相等关系，从而求出一些未知的角的度数，再利用三角形的内角和即可解决问题。

解:因为∠D =250, ∠AED =1050，
所以∠DAE =500,又因为△ABC ≌△ADE ,
所以∠B =∠D =250, ∠ACB =∠AED =1050，∠BAC =∠DAE =500,
因为∠DAC =100,所以∠BAD =600,
所以∠A M F =850,所以∠DFB =600。

6. 解法1： 先将△DEF 沿着CB 方向平移，使E 与B 重合(此时F 与C 重合)，再将移动后的△DEF 沿着BC 翻折，它即与△ABC 重合．
解法2： 先把△DEF 沿 EF 翻折，再把翻折后的△DEF 沿着CB 方向平移，使E 与B 重合，则△DEF 即与△ABC 重合．
点拨：变换后使对应顶点重合．
7.解：如图所示：
8.思路导引：我们可以用图中的箭头进行转动拼接.
解：如图中右图拼成一棵大树的样子.
9.解：（1）如图：
这样的三角形最多可以画出4个
（2）若△ABC是等腰三角形且AB=AC，则F、G重合，H、I重合，这样，符合条件的三角形有两个。