2020年全国中考数学分类解析汇编专题含答案9：由运动产生的线段和差问题

2020年全国中考数学分类解析汇编专题9：由运动产生的线段和差问题
一、选择题
1. （2020湖北黄石3分）如图所示，已知A 11(,y )2，B
2(2,y )为反比例函数1y x 图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【
】
A. 1(,0)2
B. (1,0)
C. 3(,0)2
D. 5
(,0)2
【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。

【分析】∵把A 11(,y )2，B
2(2,y )分别代入反比例函数1y x 得：y 1=2，y 2=1
2 ，∴A （12 ，2），B （2，1
2 ）。

∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P 2，当P 在P 2点时，PA －PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大。

设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：
12=k+b 2
1=2k+b 2
，解得：k=15b=2。

∴直线AB 的解析式是
5y x 2。

当y=0时，x= 52，即P （5
2 ，0）。

故选D 。

二、填空题三、解答题
1.（2020北京市8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距离”，给出如下定义：
若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣； 若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.
例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）。

（1）已知点A 1
(0)
2 ，，B 为y 轴上的一个动点，
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线
3
y x 34
上的一个动点，
①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。

【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②21。

（2）①设C 坐标为003x x 34
，，如图，过点C 作CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q 。

由“非常距离”的定义知，当OP=DQ 时，点C 与点D 的“非常距离”最小，
∴003
x 0x 314。

两边平方并整理，得2
007x 48x 64=0 ，解得，
08x 7
或0x 8 （大于8
7，舍
去）。

∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值距离为87，此时815C 77
，。

②设直线
3
y x 34
与x 轴和y 轴交于点A ，B ，过点O 作
直线
3y x 34
的垂线交直线3
y x 34 于点C ，交圆于点E ，过点C
作CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，作EN ⊥y 轴于点N 。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。

由△OAB ∽△MEM ，OE=1，得OM=35，ON=45。

∴34E 55
，。

设C 坐标为003x x 34
，由“非常距离”的定义知，当MP=NQ 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，∴
00334
x +
x 3545 。

两边平方并整理，得2
00175x 840x 1792=0 ，
解得，
08x 5
或0224
x 35 （大于85，舍去）。

∴点C 与点E 的“非常距离”的最小值距离为1，此时89C 55 ，，34E 55
，。

【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。

【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。

（2）①解题关键是，过C 点向x 、y 轴作垂线，当CP 和CQ 长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C 点到达C’点，其与点D 的“非常距离”都会增大。

故而C 、D 为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。

②同①，同时理解当OC 垂直于直线
3
y x 34
时，点C 与点E 的“非常距离”最小。

2. （2020广西南宁10分）已知点A （3，4），点B 为直线x=-1上的动点，设B （－1，y ）．（1）如图1，若点C （x ，0）且－1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B 的坐标为（－1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF=1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．
【答案】解：（1）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ．
在△BCD 与△CAE 中，
∵∠BCD=∠CAE=90°－∠ACE ，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD ∽△CAE ，∴
BD CD CE AE 。

∵A （3，4），B （－1，y ），C （x ，0）且－1＜x ＜3，
∴y x 1
3x
4。

∴y 与x 之间的函数关系式为2113y x x 424
（－1＜x ＜3）。

（2）y 没有最大值。

理由如下：
∵
222113131
y x x (x 2x)(x 1)1424444
，
又∵－1＜x ＜3，∴y 没有最大值。

（3）如图2，过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA 2，使AA 2=1，作点B 关
于x 轴的对称点B 2，连接A 2B 2，交x 轴于点E ，在x 轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF 的周长最小。

∵A （3，4），∴A 2（2，4）。

∵B （－1，1），∴B 2（－1，－1）。

设直线A 2B 2的解析式为y=kx+b ，
则2k b 4
k b 1
，解得5k 32b 3。

∴直线A 2B 2的解析式为52
y x 33。

当y=0时，52x 033 ，解得
2
x 5。

∴线段EF 平移至如图2所示位置时，四边形ABEF 的周长最小，
此时点E 的坐标为（2
5
，0）。

【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。

【分析】（1）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，先证明△BCD ∽△CAE ，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y 与x 之间的函数关系式。

（2）先运用配方法将
2113y x x 424
写成顶点式，再根据自变量x 的取值范围即可求解。

（3）欲使四边形ABEF 的周长最小，由于线段AB 与EF 是定长，所以只需BE+AF
最小．为此，
先确定点E 、F 的位置：过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA 2，使AA 2=1，作点B 关于x 轴的对称点B 2，连接A 2B 2，交x 轴于点E ，在x 轴上截取线段EF=1，则点E 、F 的位置确定．再根据待定系数法求出直线A 2B 2的解析式，然后令y=0，即可求出点E 的横坐标，从而得出点E 的坐标。

3. （2020山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM
的最小值．
【答案】解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得
4a+2b+c=04a 2b+c=4
c=0
，解这个方程组，得1a=2b=1c=0。

∴抛物线的解析式为y=﹣1
2x 2+x 。

（2）由y=﹣12x 2+x=﹣12（x ﹣1）2+1
2，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线
段OB 。

∴OM=BM 。

∴OM+AM=BM+AM 。

连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小。

过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，
在Rt △ABN
中， ，
因此OM+AM
最小值为
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。

（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。

对x=1上其它任一点M 2，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：
O M 2+A M 2= B M 2+A M 2＞AB=OM+AM，
即OM+AM为最小值。

4. （2020湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，
1b+c=04+2b+c=3 ，解得b=2c=3 。

∴抛物线的函数关系式为
2y x 2x 3 。

设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直
线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得
k+n=02k+n=3 ，解得k=1n=1 。

∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。

（2）作N 点关于直线x=3的对称点N 2， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。

∴N 2（6， 3）由
2
2y x 2x 3=x 1+4
得
D （1，4）。

设直线DN 2的函数关系式为y=sx+t ，则
6s+t=3
s+t=4
，解得1s=521t=5。

∴故直线DN 2的函数关系式为
121
y x 55。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN 2上时，MN+MD 的值
最小，
∴
12118
m 3=
555 。

∴使MN+MD 的值最小时m 的值为18
5。

（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），
①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，
此时，点E 与点C 重合，即E （2，3
）。

②当BD 为平行四边形边时，
∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x+1），则F （x ，2
x 2x 3 ）。

又∵BD=2
∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。

∴
2x 2x 3x 1=2
，即
2x x 2=2。

若2
x x 2=2 ，解得，x=0或x=1（舍去），∴E （0，1）。

若2x x 2=2
，解得，，∴
E 或
E。

综上，满足条件的点E 为（2，3）、（0，1
）、
、。

（4）如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，
设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3）。

∴22PQ x 2x 3x 1x x 2
（）。

∴APC APQ CPQ 1
S S +S PQ AG
2
22
131
27
x x 23x 222
8
）（。

∵30
2< ，
∴当
1x=
2时，△APC 的面积取得最大值，最大值为27
8。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N 2，当M （3，m ）在直
线DN 2上时，MN+MD 的值最小。

（3）分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。

（4）如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x+1），则P （x ，
﹣x 2+2x+3），求得线段PQ=﹣x 2+x+2。

由图示以及三角形的面积公式知APC APQ CPQ
S S +S ，由二次函
数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值。

5. （2020湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C 1: 1
y x 2(x m)m 0m
与x 轴相交于点B 、
C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线C 1过点M(2，2)，∴
1
222(2m)m
，解得m=4。

（2）由（1）得
1
y x 2(x 4)4。

令x=0，得y 2 。

∴E （0，2），OE=2。

令y=0，得
1
0x 2(x 4)4
，解得x 1=－2，x=4。

∴B （－2，，0），C （4，0），BC=6。

∴△BCE 的面积=1
6262 。

（3）由（2）可得
1
y x 2(x 4)4
的对称轴为x=1。

连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间
线段最短的性质，知此时BH+EH 最小。

设直线CE 的解析式为y kx+b ，则
4k+b=0b=2 ，解得1k=2b=2。

∴直线CE 的解析式为1y x+2
2 。

当x=1时，
3y 2。

∴H （1，3
2）。

（4）存在。

分两种情形讨论：
①当△BEC ∽△BCF 时，如图所示。

则
BE BC
BC BF ，∴BC 2=BE•BF 。

由（2）知B （－2，0），E （0，2），即OB=OE ，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。

作FT ⊥x 轴于点F ，则BT=TF 。

∴令F （x ，－x －2）（x ＞0），
又点F 在抛物线上，∴－x －2= 1
x 2(x m)m
，
∵x+2＞0（∵x ＞0），∴x=2m ，F （2m ，－2m －2）。

此时
BF m 1BE BC m 2
，
又BC 2=BE•BF ，∴（m+2）2
=
•m 1 ，解得
m=2±。

∵m ＞0，∴
m=。

②当△BEC ∽△FCB
时，如图所示。

则
BC EC
BF BC ，∴BC 2=EC•BF 。

同①，∵∠EBC=∠CFB ，△BTF ∽△COE ，
∴
TF OE 2
BT OC m 。

∴令F （x ，－2
m （x+2））（x ＞0），
又点F 在抛物线上，∴－2 m （x+2）= 1
x 2(x m)
m 。

∵x+2＞0（∵x ＞0），
∴x=m+2。

∴F （m+2，－2
m （m+4）），EC ，BC=m+2。

又BC 2=EC•BF ，∴（m+2）2= .
整理得：0=16，显然不成立。

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形
与△BCE 相似，m=。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m 的值。

（2）求出B 、C 、E 点的坐标，从而求得△BCE 的面积。

（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B 、C 关于对称轴x=1对称，连接EC 与对
称轴的交点即为所求的H 点。

（4）分两种情况进行讨论：
①当△BEC ∽△BCF 时，如图所示，此时可求得+2。

②当△BEC ∽△FCB 时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。

6. （2020湖南郴州10分）如图，已知抛物线
2
y ax bx c 经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线
2
y ax bx c
经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
∴
16a4b c0
4a2b c3
c3
，解得
3
a
8
3
b
4
c3。

∴抛物线的解析式为：
2
33
y x x3
84
，其对称轴为：
b
x1
2a。

（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连
接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。

设直线AC的解析式为y=kx＋b
，
∵A （4，0），C （0，3），∴ 4k b 0 b 3
，解得3k 4b 3。

∴直线AC 的解析式为：y=3
4
x ＋3。

令x=1，得y=94 。

∴M 点坐标为（1，9
4）。

（3）结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1。

由B （2，3），C （0，3），可知BC ∥x 轴，则x 轴与抛
物线的另一个交点P 1即为所求。

在233
y x x 3
84 中令y=0，解得x 1=-2，x 2=4。

∴P 1（－2，0）。

∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A"`BC 。

∴四边形ABCP 1为梯形。

②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2。

设CP 2与x 轴交于点N ，
∵BC ∥x 轴，AB ∥CP 2，∴四边形ABCN 为平行四边形。

∴AN=BC=2。

∴N （2，0）。

设直线CN 的解析式为y=k 1x+b 1，则有： 1112k b 0b 3 ，解得3k 2b 3。

∴直线CN 的解析式为：y=3
2
x+3。

∵点P 2既在直线CN ：y=32
x+3上，又在抛物线：233
y x x 3
84 上，
∴32
x+3=233
x x 3
84 ，化简得：x 2－6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6。

∴点P 2横坐标为6，代入直线CN 解析式求得纵坐标为－6。

∴P 2（6，－6
）。

∵ABCN，∴AB=CN，而CP2"`CN，∴CP2"`AB。

∴四边形ABCP2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，
线段最短的性质，梯形的判定。

【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称
轴公式
b
x
2a
求出对称轴。

（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用
待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。

（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1为抛物线与x 轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出
点P2的坐标。

7. （2020四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．
（1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点A．B的对应点分别为A1、B1，
依题意，由翻折变换的性质可知A 1（3，0），B 1（
﹣1，0），C 点坐标不变，
∴抛物线l 1经过A 1（3，0），B 1（﹣1，0），C （0，
﹣3）三点，
设抛物线l 1的解析式为y=ax 2+bx+c ，则
9a+3b+c=0a b+c=0c=3
，解得
a=1b=2c=3。

∴抛物线l 1的解析式为：y=x 2﹣2x ﹣3。

（2）抛物线l 1的对称轴为：x=b 2==12a 2
，
如图2，连接B 1C 并延长，与对称轴x=1交于
点P ，则点P 即为所求。

此时，|PA 1﹣PC|=|PB 1﹣PC|=B 1C 。

设P 2为对称轴x=1上不同于点P 的任意一点，则有：|P 2A ﹣P 2C |=|P 2B 1﹣P 2C |＜B 1C （三角
形两边之差小于第三边），
∴|P 2A ﹣P 2C |＜|PA 1﹣PC|，即|PA 1﹣PC|最
大。

设直线B 1C 的解析式为y=kx+b ，则
k+b=0
b=3
，解得k=b=﹣3。

∴直线B 1C 的解析式为：y=﹣3x ﹣3。

令x=1，得y=﹣6。

∴P （1，﹣6）。

（3）依题意画出图形，如图3，有两种情况：
①当圆位于x 轴上方时，设圆心为D ，半径为r ，
由抛物线及圆的对称性可知，点D 位于对称轴x=1上，则D （1，r ），F （1+r ，r ）。

∵点F （1+r ，r ）在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3上，∴r=（1+r ）2﹣2（1+r ）﹣3，化简得：r 2﹣r ﹣
4=0
解得r1，r2
；
②当圆位于x。

【考点】二次函数综合题，翻折变换的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的轴对称性质，三角形三边关系，直线和圆的位置关系，解一元二次方程和二元一次方程组。

【分析】（1）根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，（2）根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B1C的延长线与对称轴x=1的交点P，即为所求。

求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。

（3）设圆心为D，半径为r，根据直线与圆相切的性质知D（1，r），F（1+r，r）。

由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。

分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。