中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(210)(无答案)(2021年整理)

答案）
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案）的全部内容。

（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.设函数()x x f 2log =，实数a 、b ()＜b a 满足()()＋2＋1b f a f =，()4＋6b＋2210=a f ，则ab = 。

2。

已知数列{}n a 满足2
＋10-1＋345,0n
n n a
a a a ==()N n ∈，记,0
∑==n
i i n a S 则51S = 。

3.已知椭圆15
y ＋92
2=x 的右焦点为F ，P 为椭圆上一点，点()
32,0A ，当APF ∆的周长最大时，
APF ∆的面积为 。

4.已知AB 是以()1,0C 为圆心且与函数1
1
-=
x y 图像有公共点的所有圆中半径R 最小的圆的一条直径,O 为原点，则OA OB = 。

5.抽屉中装有红、蓝两种颜色的短袜，总数不超过2016只,随机取出两只短袜，其同色的概率
为2
1
，则抽屉中红袜数量的最大值为 。

6.在ABC ∆中,,3
B A
C π
∠==点D 在边AB 上，BD=1，且DA=DC ，则=∠DCA
7。

已知半径为
2
22
的球的球心O 为正四面体Γ的中心，且球O 的球面被四面体Γ的四个面截得的曲线总长度为8π，则四面体Γ的体积为 。

8.已知非负整数数列{}n a 满足n n a a a ≤=＋11,2016，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相等，那么,这样的数列{}n a 的个数为 .
二、解答题
9.设321x x x 、、为方程0＋17163=-x x 的三个根，证明123arctan arctan arctan 4
x x x π
++=
10.已知抛物线C ∶x y 42=的焦点为F ，M 为圆Γ∶()8＋322
=-y x 上一点，以F 为圆心、FM 为
半径作F ,直线l 与F 切于点M ，与抛物线C 交于A 、B 两点,直线21、l l （异于直线l ）分别过点A 、B 且与F 相切，证明∶21//l l
11.对任意2016个复数201621,…,,z z z ,均有{
}2016
2
2
112016
1
min
k k k
k k z z z λ≤≤=≥-∑，其中12017
z z
=，求λ的最
大值。

加试
一、如图1，AD、BE分别为锐角ABC
∆的
∆的边BC、AC上的高,AB的中点为M，直线DE与ABC
外接圆交于点F、K，线段MK、MF分别与MDE
∆的外接圆交于点P、Q（异于点M），证明：A、P、Q、B四点共圆。

二、已知存在整数()＋21,…,,Z n x x x n ∈,使得()2
11241＋14⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i x x n 。

求所有可能的n 的值及
相应的整数解()n x x x ,…,,21
三、设k 为正整数，m 为奇数，证明∶存在正整数n ，使得()m n n k -2
四、给定整数2≥n ，设整数n a a a ,…,,10满足12＜…＜＜010-==n a a a n ，求集合{}n j i 0＋j ≤≤≤a a i 的元素个数的最小可能值。