2016年高三数学二轮复习考点汇编专题1.11数列的通项公式与求和(原卷版)

热点十一 数列的通项公式与求和
【热点考法】
（1）数列的通项公式的考查在高考中主要考查利用n a 和n S 的关系求通项n a ，以选择、填空题为主，较为简单；若涉及递推公式常为解答题，属中等难度题目．
（2）数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高．题型上以解答题为主．
【热点考向】
考向一 数列的通项公式
【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法： （1）已知数列的前几项，求其通项公式．
常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等． 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力．
已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等．
（2）累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推关系用累加法可求出通项． （3）累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推关系可考虑用累乘法求通项n a ．
（4）待定系数法：形如1n n a ka b +=+（,k b 为常数，且()10k k -≠）可通过变形，设
1
n n b
b a k =+
-构造等比数列求通项n a ． （5）待定系数法：n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）或1n n n a pa rq +=+（其中,,p q r 均为常数）． 解法：在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
111n n n n a a p q q q q ++=⋅+，令n
n
n
q a b =，得：q
b q p b n n 1
1+=
+，再按第（4）种情况求解． （6）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知
递推式比较，解出y x ,，从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列． （7）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令
221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,，从而
转化为{}
2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列．
（8）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）． 解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，其中,s t 满足s t p
st q +=⎧⎨
=-⎩
，再按第（4）种情况求解． （9）取倒数法：1()()()
n
n n g n a a f n a t n +=
+
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（4）种情况求解（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（4）种情况求解．
）． （10）取对数r
n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（4）种情况求解．
（11）已知数列前n 项和n S ，或前n 项和n S 与n a 的关系求通项．
解法：这种类型一般利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S
)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解．虽然已知n a 求n S 时，方法千差万
别，但已知n S 求n a 时，方法却相对固定． （12） h
ra q pa a n n n ++=
+1
解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=+1（其中
p 、q 、r 、h
均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h
rx q px x ++=，当特征方程有且仅有一根0x 时， 则01n a x ⎧
⎫
⎨
⎬-⎩⎭是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2
x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列． 例1．【2015届上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学】定义：若各项为正实数的数列{}n a
满足*1N )n a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”．已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2
x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上．
（1）试判断数列{}21n x +*
(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记lg(21)n n y x =+*
(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；
（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成
一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===．若数列{}n z 是首项为111()2
m z -=、公比为
*1(,N )2k q m k =
∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663
，求正整数k m 、的值． 考向二 数列求和
【解决法宝】数列求和的主要方法：
（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分1q =或1q ≠．
（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． （3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．
（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的拆项公式如下： ①分式型：
1111111
()
(1)1(21)(21)22121
11111111
()(2)22(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =-=-++-+-+⎡⎤=-=-
⎢⎥+++++++⎣⎦，，，
②乘式型
()()()()()()()()()()()1(1)1112,3
1(1)21121234
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +=--+-++⎡⎤⎣⎦++=--++-+++⎡⎤⎣⎦ ③阶乘型
()()()()11111
1111,,1!1!!1!n n n k k m m m n
n n n
C C C kC nC n n n n -----+-==-=-=+++，
④三角函数型
()111tan tan tan tan 1tan n n
n n n n a a a a a a +++-=-
-，
()()()()()()111111cot cot tan tan 11,,
sin sin sin cos cos sin 21sin 1sin 21cos 1cos cos ,sin 222sin 2sin
22
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a k n k n kn k n k n kn k k ++++++--==--++-++-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- ⑤根式型
=-
（6）并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 例2．【甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末】已知等差数列{a n }满足a 2=2，a 6+a 8=14
（1）求数列{a n }的通项公式 （2）求数列{
}的前n 项和S n ．
例3．【黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末】已知数列的前n 项和为S n
，且满足
．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =log 2a n ，
，且数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围．
【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中11种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解．
【热点集训】
一、填空题：
1．辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________.
2.【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知数列{}n a 中，对任意的n ∈*N 若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）
，则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积.已知数列
{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足
342
321
2p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________. 3．【2014学年第一学期期末杭州地区重点中学高三数学(理科)试题】已知数列{}n a 满足
21
,121==a a ，且1
2
12++++=
n n n n a a a a ，则该数列的通项公式n a = ． 4．【湖北省八校2015届高三第一次联考数学试题（理科）】以(0， m)间的整数∈>m m ,1(N)为分子，以m 为分母组成分数集合A 1，其所有元素和为a 1；以),0(2m 间的整数∈>m m ,1(N)为
分子，以2m 为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2，其所有元素和为a 2；……，依次类推以),0(n m 间的整数∈>m m ,1(N)为分子，以n m 为分母组成不属于A 1，A 2，…，1-n A 的分数集合
A n ，其所有元素和为a n ；则=+++n a a a 21=________． 二、解答题：
5.【北京市海淀区2016届高三第一学期期中】已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n
项和为 ，且
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求
的通项公式；
（Ⅲ）若15n =时，n S 取得最小值，求a 的值．
6.【山东省临沂市2016届高三上学期期中】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
7.【北京市东城区2016届高三第一学期期末】设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，
1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列
{}n b 的前n 项和.
8.【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末】已知数列{a n }是公差大于零的等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=1，b 1=2，b 2﹣a 2=1，a 3+b 3=13 （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式 （Ⅱ）设c n =a n b n ，求数列{c n }前n 项和T n ．
9．【华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期末检测】已知数列{}n a 是等差数列，
{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，
12323a a a b b ++=+．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式
（Ⅱ）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
10．【重庆市巴蜀中学2015届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题】已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，21=a ，且964,,a a a 成等比数列． （1）求通项公式n a ；
（2）令n n n a b 21++=，*∈N n ，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．
11．【江苏省南通第一中学2015届高三上学期期末】已知函数bx ax x f +=2)(的图像过点)0,(n -，且在))0(,0(f 处的切线的斜率为n ，（n 为正整数） （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）若数列{}n a 满足：211=a ，)1('11n n a f a =+，令11++=n a b n
n ，求数列{}n b 的通项公式；
(III)对于（Ⅱ）中的数列{}n a ，令2n n
n
c n a =
+ ，求数列{}n c 的前n 项的和n S ． 12．【湖北省襄阳市第五中学2015届高三第一学期11月质检】已知数列{}n a 满足：
*121113
,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列{}n b 满足：10b <，
*13(2,)n n b b n n n N --=≥∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ．
（1）求证：数列}{n n a b -为等比数列； （2）求证：数列}{n b 为递增数列；
（3）若当且仅当3n =时，n S 取得最小值，求1b 的取值范围
13．【河北省保定市重点中学2015届第一学期高三12月份联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1()2
n n n
a T λλ++=为常数，*
2()n n c b n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和为n R
14.【北京市朝阳区2016届高三第一学期期末】已知有穷数列：1a ，2a ，3a ，……，
k a *(,3)k N k ∈≥的各项均为正数，且满足条件：
①1k a a =；②11
212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++
=+=-．
（1）若3k =，12a =，求出这个数列； （2）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （3）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．
15．【2014～2015学年度宝安中学 潮阳一中 桂城中学高三第二次联考】已知各项均为正数的
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
42n n n S a a =+(*n ∈N )．
(Ⅰ) 求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 记数列31n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证:532n T <(*n ∈N )；
16．【济宁市育才中学2014－2015学年度高三第一学期期末考试】各项均为正数的数列}{n a ，其前n 项和为n S ，满足
11
21n n
n n a a a a ++-=（*N n ∈）
，且562S a +=． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：127()31n a n ->+(*)n N ∈；
（Ⅲ）若*N n ∈，令2
n n a b =，设数列}{n b 的前n 项和为n T ，试比较
n n T T 4121++与46
41
n n +-的大小．
17．【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）】已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2
)
1(*N n a a S n n n ∈+=
（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,1
21n n n
n b b b T S b +⋅⋅⋅++==
求n T ． 18．【武昌区2015届高三年级元月调研考试】 已知等差数列{a n }的首项为1，前n 项和为n S ，
且S 1，S 2，S 4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列}1{
1n
n a a +的前n 项和，是否存在正整数n ，使得2015
1007<n T ？若存在，求n 的
最大值；若不存在，说明理由．
19．【江门市2015届普通高中高三调研测试】已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵对一切正整数n ，设1
)1(+⋅-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20．【株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）】已知数列{}n a 中，11a =，
*11
()()2
n n n a a n N +⋅=∈，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和．
设2n n b a =，
(1)证明：数列{}n b 是等比数列；
(2)不等式：222643(1)n n n T a ka ⋅⋅≤-对于一切*n N ∈恒成立，求实数k 的最大值． 21．【雅安中学2014-2015学年高三上期“二诊”模拟试题）】在等比数列{a n } (n ∈N *
)中，a 1>1，公比q>0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小．
22．【荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试】 已知等比数列{}n a 满足：
28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 2
1log =，12n S b b =++…n b +，求使
5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．
23．【惠州市2015届高三第三次调研考试】已知数列{}n a 的前n 项和()12
n n n a S +=
，且
11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．
24．【昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测】已知数列{}n a 满足11
2
a =
，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ，
2n n b a =，其中*n ∈N ．
(I) 求23a a +的值；
(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III) 是否存在*
()n n ∈N ，使得21241
?2
n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．。