黑龙江省大庆市第一中学高中数学多选题专题复习附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()sin sin x
x
f x e e
=+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 最小值为2
C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()()2
g x f x x π
=-
的零点个数为5
【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】
∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；
因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变
化情况.()sin sin sin 2,01
,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪
=⎨+<≤⎪⎩
， 当0x π≤≤，()sin 2cos x
f x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()[]
2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()(
)sin sin cos x
x f x x e
e -'=-，则()
f x 在3,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在
3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()12,f x e e ⎡
⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，
B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递
增，故C 错误. 对于D ，转化为()2
f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,
2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2
2x π
<，()2
f x x π=
无实根.()3,x π∈+∞时，
()max 2
62x e f x π
>>=，()2
f x x
π
=
无实根，3,
2x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，显然x π=为方程之根.()sin sin x x
f x e e -=+，
()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e π
ππ⎛⎫=+>⨯=
⎪
⎝⎭
，单独就这段图象，()302
f f π
π⎛⎫'='=
⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个零点，又5252
f e π
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，结合图象，知D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.
2．已知函数()22,1
,1
x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦
，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABD 【分析】
令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】
令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像
由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()2
2,1
,1a a f a a a -≥⎧=⎨
<⎩
，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()2
0f a a ==，解得：0a =；
综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
3．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．
11
2a b
+> C ．11a b a b
+
<+ D ．b a a a b b +<+
【答案】ABD 【分析】
根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】
解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，5
8log b =，
因为33
4443
5533535log 3log 54
<⇒<⇒<=， 又由3
3
444
3
883
5858log 5log 84
>⇒>⇒>=
，所以a b <，选项A 正确；
35lo 01g a <=<，5
80log 1b <=<，则
11a >，11b >，所以11
2a b +>，选项B 正确；
因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，
1
1ab
>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+
-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以11
a b a b
+>+，故选项C 不正确； 由
1324a <<和3
14
b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
4．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a
b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD 【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函
数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，
函数2x
y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(
),2
a
A a ，()2
,log B b b .
由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a
b +=.因为0a >，0b >，且a
b ，
所以2
012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，(1)10f =>， 所以
1
12
a <<. 因为22222
1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
6．已知函数()()1
24,01,
21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩
其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确
的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,
C ．当2a =且[](
)
*
1,x n n n ∈-∈N
时，()1
212
242n n f x x --⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭ D ．当0a >时，不等式()12
2x f x a -
≤在[
)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】
对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]
*,1,x m m m N ∈+∈时，
()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的
值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，
()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.
【详解】
解：对于A 选项，当2a =时，31112224
42222
f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]
*
,1,x m m m N ∈+∈时，
()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；
对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m
f x a f x m =-，故当2
a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，
()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫
=-+=--+- ⎪
⎝
⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取8
12a =
，34x =，则331241442f ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
，1
2
2x a
-=()311
142
4
82
488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，不满足式()1
22x f x a -≤，故D
选项错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]
*
,1,x m m m N ∈+∈时，()()m
f x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域
为[]
0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.
7．函数()()1x
f x x R x
=
∈+，以下四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有
()()1212
0f x f x x x ->-
C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x f f x +==，则对任意的(),1n x
n N f x n x
*
∈=
+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2
1
22
f x t at ≤-+
恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥
【答案】ABC 【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】
由函数解析式可得11,01
()11,01x x f x x x
⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：
∴()f x 的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212
0f x f x x x ->-(利用单调性定义结合奇偶性
也可说明)，即有AB 正确； 对于C ，有()11x f x x =
+，若()1
,1(1)n x n N f x n x
*
-∈=+-， ∴当2n ≥时，1
1(1)||
()(())1||1||1(1)||
n n x
x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n x
n N f x n x
*∈=
+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2
f x f ==
，若函数()2
122f x t at ≤-+恒成立，即有
211
222
t at -+
≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；
0t =时，()0h a 故恒成立；
0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；
综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
8．下列命题正确的是（ ）
A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-
B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分
不必要条件是1m <-．
C ．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1
()x g x x
+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8
【答案】BD 【分析】
根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定
D 正确，即可求解. 【详解】
对于A 中，幂函数2
1
()(1)m f x m x
--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，
当0m =时，函数1
()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在
(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；
对于B 中，若函数2
()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足(0)30f m =<，解得0m <，
所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln(
)1x f x x x x +=++-，则满足101x
x
+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；
对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11
()x x g x x x
-+--=
=-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]
a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数
()21f x x =-，则（ ）
A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”
B ．1122⎡-⎢⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间”
C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+
D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】
根据定义，当[]
0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】
对于A ，当[]
0,1x ∈时，()2
2
11f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的
范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；
对于B ，因为函数()2
10f x x =-≥，所以其值域为[
)0,+∞0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；
对于C ，由定义域为[
]
a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()22
11f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递
减，
则满足()()2
2
11f a a b f b b a
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，
解得a b =（舍）或1a b +=，
由2
1
1a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为
()22b a -=；
当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]
a b ，的值域为[]
a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()2
1f b b b =-=，即满足
2
10b b --=，解得152b +=
，15
2b -=（舍）.所以此时完美区间为150,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
，则“复区间长度”为()15
2215b a +-=⨯
=+； ②若1a ≤，则()2
1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]
a b ，内单调递增，若()
f x 的值域为[]a b ，，则()()2
2
11f a a a
f b b b
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，
解得1152x -=，215
2x +=， 所以15
15
2a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美
区间.
综上可知，函数()2
1f x x =-的“复区间长度”的和为21535++=+，所以C 正确，
D 错误； 故选：AC. 【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
10．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD
【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x
x f x e
e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
二、导数及其应用多选题
11．关于函数()e cos x
f x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =
B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =
C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立
D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】
解：对于A ，当1a =时，()e cos x
f x x =-，()π,πx ∈-，
所以()0
0e cos00f =-=，故切点为（0，0），
则()e sin x f x x '=+，所以()0
0e sin01f '=+=，故切线斜率为1，
所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；
对于B ，()e cos x f x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin x
f x a x '=+，
若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin x
x
a e
-=
在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin x
x
g x e
-=
的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos x
x x
g x e
-'=
，()π,πx ∈-， 令()0g x '=，解得：134x π
=-，24
x π=， 当3,,44x ππππ⎛
⎫⎛⎫∈--
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛
⎫--
⎪⎝
⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以极大值为3432
04g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4
204g e π
π⎛⎫=
< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sin
x
g x e -=
，()π,πx ∈-的大致图象，如下：
由图可知，当0a =时，y a =与()sin
x g x e
-=
的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，
即在()π,πx ∈-上，()e cos 0x
f x a x =-≥恒成立，
即在()π,πx ∈-上，cos x x
a e ≥恒成立，即max
cos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
设()cos x x h x e =
，()π,πx ∈-，则()sin cos x
x x
h x e
--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14
x π
=-，234
x π
=
， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,
44
x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭
上单调递减，在3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为4
2
204h e
ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11
,h h e e ππππ--==，
所以()cos x x
h x e =在()π,πx
∈-上的最大值为42
204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
， 所以42
2a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0x
f x a x =-≥恒成立，
即当4
2
2a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，
所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos x
f x x =-，()π,πx ∈-，
令()0f x =，则()e cos 0x
f x x =-=，即e cos x x =，
作出函数x
y e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，
则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
12．已知偶函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A
34f ππ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B
34f ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．(
)04f π⎛⎫
>
- ⎪⎝⎭ D
．63f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =
，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
上单调递
增，即可得
23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可判断C 选项.
【详解】
因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()
()cos f x g x x =
，则()()2
cos sin ()0cos f x x f x x g x x
'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，6636cos 6
f g f ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫
⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 对于AB
，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭
⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<
⎪
⎝⎭
，(
)044f ππ⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D
263f f
ππ⎛⎫
⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即63f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()
()cos f x g x x
=
，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑
推理能力与转化思想，属于较难题.
13．函数ln ()x
f x x
=，则下列说法正确的是（ ）
A ．(2)(3)f f >
B ．ln π>
C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则2
12x x e <
D ．若25,x y x y =、均为正
数，则25x y < 【答案】BD 【分析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设
25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k =
=，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】
由ln (),0x f x x x
=
>得：2
1ln ()x
f x x -'= 令()0f x '=得，x e =
当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：
故，()f x x
=
在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，
x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，
A ．11
32ln 2
(2)ln 2,(3)ln 32
f f ===
66
11113322
3232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，故A 错
B ．
e e π<，且()
f x 在(0,)e 单调递增
ln
f fπ
∴<<<∴>，故：B正确C．()
f x m
=有两个不相等的零点()()
1212
,x x f x f x m
∴==
不妨设12
0x e x
<<<
要证：2
12
x x e
<，即要证：
22
122
2
,()
e e
x x e e f x
x x
<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()
2
1
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
只需证：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
-<
⎪
⎝⎭
……①
令
2
()(),()
e
g x f x f x e
x
⎛⎫
=->
⎪
⎝⎭
，则
22
11
()(ln1)
g x x
e x
'
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
当x e
>时，
22
11
ln1,()0()
x g x g x
e x
'
>>∴>∴在(,)
e +∞单调递增
()
22
()0
x e g x g e
>∴>=，即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
->
⎪
⎝⎭
这与①矛盾，故C错
D．设25
x y k
==，且,x y均为正数，则25
ln ln
log,log
ln2ln5
k k
x k y k
====
25
2ln,5ln
ln2ln5
x k y k
∴==
1
1
5
2
ln2ln5
ln2,ln5
25
==且
10
10
11
11
53
22
2525
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪
>> ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
ln2ln525
025
25ln2ln5
x y
∴>>∴<∴<，故D正确．
故选：BD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()
f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两
个变量
12
,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．
14．已知函数()3
sin
f x x x ax
=+-，则下列结论正确的是（）
A．()
f x是奇函数B．当3
a=-时，函数()
f x恰有两个零点C．若()
f x为增函数，则1
a≤D．当3
a=时，函数()
f x恰有两个极值点【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
15．下列不等式正确的有（ ）
A 2ln 3<
B ．ln π<
C ．15<
D ．3ln 2e <
【答案】CD 【分析】
构造函数()ln x
f x x
=
，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、
f
f >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.
【详解】 令()ln x f x x =
，则()21ln x
f x x
-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减
所以①()2f f
>，即ln 2
2>22ln ln 3>=，故A 错误；
②f
f >
>，所以可得ln π>
B 错误；
③(4)f f >ln 4ln 2
42>=
，即ln152ln 2=>
所以ln15ln >15<，故C 正确；
④()f f e <ln
e e <3
ln 21
e
<，即3ln 22e <
所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】
关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.
16．下列说法正确的是（ ）
A ．函数()2
3sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的最大值是1
B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞-
D ．函数(
)222sin 42cos tx x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3
231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22
311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭
， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：
[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-
⋅⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴
+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥
⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪
-⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-，
()g t ∴
在区间(
上单调递减，(
)
(
)3
2
min
1
g t g ==
=-
所以，函数()f x
的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-，C 对；
D 选项，(
)2222cos tx x x x
f x x x
⎫+++⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
17．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点
C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
192221412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227
f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
， 则有()()()()()()3
3
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()2221122121222123
3a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()2124221
2113
327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
18．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得
()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中
正确的是（ ）
A ．函数()2g x =-是函数ln ,0
()1,0
x x f x x >⎧=⎨
⎩的一个承托函数
B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数
C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e
D ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】
由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】
解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；
对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；
对C ，令()x h x e ax =-，则()x h x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，
∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，
若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，
综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x
f x e =的一个承托函数，故C 正确；
对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】
方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
19．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=
+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos 2
θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
20．已知函数()sin x
f x x
=
，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1
D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]
0,π上单调递减 【答案】ACD 【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减；当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得
1212
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x
g x f x x
''=
=，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2
cos sin x x x
f x x
-'=
， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x
x x
<
，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以
12
12
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；
由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确；
对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x
g x f x x
''=
=，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]
0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]
0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x
f x x
=
的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
三、三角函数与解三角形多选题
21．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个 【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
052,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝⎭
，所以A 正确；。