2013年中考数学专题45梯形

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）
专题45：梯形
一、选择题
1.（2012XXXX3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB
交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】
A．26B．25C．21D．20
【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。

∴BE=AD=5。

∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。

故选C。

2.（2012XXXX3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂
直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】
A．17B．18C．19D．
20
【答案】A。

【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。

【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：
AB+BC+AD=5+9+3=17。

故选A。

o
，则∠D3.（2012XXXX4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80
的度数是【】
o A．120
o
B．110
o
C．100
o
D．80
【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。

【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。

故选
C。

4.（2012XXXX3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，
若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为【】
A．22B．24C．26D．28
【答案】B。

【考点】梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB。

∴∠AMB=∠DMC。

在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，∠AMB=∠DMC，MB=MC，
∴△AMB≌△DMC（SAS）。

∴AB=DC。

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24。

故选
B。

5.（2012XXXX3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 1
2 AB，
点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【】
A．1
7 B．1
6
C．
1
5
D．
1
4
【答案】C。

【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。

【分析】如图，连接BD，过点F作FG∥AB交BD于点G，连接EG，CG。

∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 1
2
AB，点E、F
分别为AB．AD的中点，
∴根据三角形中位线定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。

∴图中的六个三角形面积相等。

∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为1
5。

故选C。

6.（2012XX达州3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：①EF∥AD；②S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF。

△ABO=S
其中正确的个数是【】
A、1个
B、2个
C、3个
D、4
【答案】D。

【考点】梯形中位线定理，等腰三角形的判定，三角形中位线定理。

【分析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF∥AD∥BC，∴①正确。

∵在梯形ABCD中，△ABC和△DBC是同底等高的三角形，
∴S△DBC。

∴S△ABC－S
△ABC=S△OBC=S△ABO=S△DCO。

∴②正确。

△DBC－S△OBC，即S
∵EF∥BC，∴∠OGH=∠OBC，∠OHG=∠OCB。

已知四边形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，即∠OBC和∠OCB不一定相等，
即∠OGH和∠OHG不一定相等，∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等。

-3-
∵EF ∥BC ，AE=BE （E 为A B 中点），∴BG=DG ，∴④正确。

∵EF ∥BC ，AE=BE （E 为A B 中点），∴AH=CH 。

∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴EH= 1 2 BC ，FG=
1 2
BC 。

∴EH=FG 。

∴EG=FH ，∴⑤正确。

∴正确的个数是4个。

故选D 。

7.（2012XXX X 3分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线A C ．BD 相交于 点O ，下列结论不一定正确的是【】
A ．AC=BD
B ．OB=OC
C ．∠BCD=∠BDC
D ．∠ABD=∠ACD
【答案】C 。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系， 三角形内角和定理。

【分析】A ．∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD ，故本选项正确。

B ．∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB=D
C ，∠ABC=∠DCB ，
∵在△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，∠ABC=∠DCB ，BC=CB ，
∴△ABC ≌△DCB （SAS ）。

∴∠ACB=∠DBC 。

∴OB=OC 。

故本选项正确。

C ．∵BC 和BD 不一定相等，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误。

D ．∵∠ABC=∠DCB ，∠ACB=∠DBC ，∴∠ABD=∠ACD 。

故本选项正确。

故选C 。

8.（2012XXXX 3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD 的下底在x 轴上，且 B 点坐标为
（4，0），D 点坐标为（0，3），则A C 长为【】
A ．4
B ．5
C ．6
D ．不能确定
【答案】B。

【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。

B D，
【分析】如图，连接
由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。

B。

又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。

故选
A C、BD相交于点O，若
9.（2012XXXX3分）如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线
AO∶CO＝2：
3，AD＝4，则BC等于：【】
A．12B．8C．7D．6
【答案】D。

【考点】梯形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵梯形ABCD中AD∥BC，∴∠ADO=∠OBC，∠AOD=∠BOC。

∴△AOD∽△COB。

∵AO：CO=2：3，AD=4，∴AD：BC=AO：CO=23，4：即BC=2：3。

解得BC=6。

故选D。

10.（2012XX贵港3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC
＝9，以A为
针旋转90°至AE，连接D E，则△ADE的面积等于【】
中心将腰AB顺时
A．10B．11C．12D．13
【答案】A。

【考点】全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质。

【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，
∵AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠C＝∠ADC＝∠ANC＝90°。

∴四边形ANCD是矩形。

∴∠DAN＝90°＝∠ANB＝∠MAN，AD＝NC＝5，AN＝CD。

∴BN＝9－5＝4。

∵∠M＝∠EAB＝∠MAN＝∠ANB=90°，
∴∠EAM＋∠BAM＝90°，∠MAB＋∠NAB＝90°。

∴∠EAM＝∠NAB，∵在△EAM和△BNA中，∠M＝∠ANB；∠EAM＝∠BAN；AE＝AB，∴△EAM≌△BNA（AAS）。

∴EM＝BN＝4。

∴△ADE的面积是1
2
×AD×EM＝
1
2
×5×4＝10。

故选A。

11.（2012XX呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【】
A．25B．50C．252D．302 4
【答案】A。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的
判定和性质。

【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F。

∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形。

∴AD=CE=3，AC=DE。

在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE。

∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。

∴△BDE是等腰直角三角形。

∴DF=
1
2
BE=5。

S 梯形ABCD= 1
2
（AD+BC）?DF=
1
2
（3+7）×5=25。

故选A。

12.（2012XX龙东地区3分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，
AB=BC=2AD，
点E、F分别是AB、BC边的中点，连接
A F、CE交于点M，连接
B M并延长交CD于点N，
连接
D E交
AF于点P，则结论：①
∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；
④EM：BE=5：3；
1
⑤EPMABCD
SS梯形，正确的个数有【】
8
-6-
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【答案】B。

【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，相似全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，连接DF，AC，EF，
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC。

在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）。

∴∠BAF=∠BCE，AF=CE。

在△AME和△CMF中，
∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF，AE=CF，
∴△AME≌△CMF（AAS）。

∴EM=FM。

在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM，EM=FM，
∴△BEM≌△BFM（SSS）。

∴∠ABN=∠CBN。

结论①正确
∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形。

∴∠AED=45°。

∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°。

∴∠AED=∠ABN=45°。

∴ED∥BN。

结论②正确。

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC。

又∵AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形。

∴AF=DC。

又AF=CE，∴DC=EC。

则△CED为等腰三角形。

结论③正确
1
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=
AC。

2
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC。

∴△EFM∽△CAM。

∴EM：MC=EF：AC=1：
2。

设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：22
ECEBBC5y，
∴3x=5y，即x：y=5：3。

∴EM：BE=5：3。

结论④正确。

∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点。

1
∴AEPEPMAEM
SSS
2。

1 又∵S AEM S BEM，S BEM S BFM，∴S AEM S BEM S BFM S ABF
3 ∵四边形ABFD为矩形，∴S ABF S ADF。

1
又∵S ADF S DFC，∴S ABF S ADF S DFC SABCD
梯形S。

3
1
∴EPM梯形ABCD。

结论⑤错误。

SS
18
因此正确的个数有4个。

故选B。

二、填空题
1.（2012XX市4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果AD=a，AB=b那
么AC=
▲（用a，b表示）．
【答案】2a+b。

【考点】平面向量。

【分析】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，AD=a，∴BC=2AD=2a。

又∵AB=b，∴AC=AB+BCb+2a=2a+b。

BC＝3cm，
-8-
AD＝4cm，则CD＝▲cm．
【答案】2。

【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾
股
定理。

【分析】作DE∥BC交AB于E点，则∠DEA=∠B。

∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。

∴∠ADE=90°。

又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。

∴DE=CB，CD=BE。

∵BC=3，AD=4，∴EA= 2222
DE+AD3+45。

∴CD=BE=AB×AE=7－5=2。

3.（2012XXX X3分）已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是▲
cm．
【答案】3。

【考点】梯形中位线定理。

【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一
半”直接求解：
设梯形的上底长为x，则梯形的中位线＝
1
2 (x＋5)＝4，解得x＝3。

4.（2012XXXX4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB＝3，则OC＝▲．
【答案】3。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，
在△ABC与△DCB中，∵AB=CD，∠ABC=∠BCD，BC=BC∴△ABC≌△DCB （SAS）。

∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3。

-9-
5.（2012XXXX3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，C90，BE平分∠ABC
且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD2，BC12 时，四边形BGEF的周长为▲．
【答案】28。

【考点】梯形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质。

【分析】∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，∴四边形BGEF是平行四边形。

∵BE平分∠ABC且交CD于E，∴∠FBE=∠EBC。

∵EF∥BC，∴∠EBC=∠FEB。

∴∠FBE=FEB。

∴EF=BF。

∴四边形BGEF是菱形。

∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，∴EF= 1
2
（AD+BC）=
1
2
×（2+12）
=7。

∴四边形BGEF的周长=4×7=28。

6.（2012XX黄冈3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为▲.
【答案】9。

【考点】等腰梯形的性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的判定。

【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB=5，∠B=60°，∴∠BAE=30°。

∴BE=2.5。

同理可得CF=2.5。

又∵AD=4，∴EF=AD=4（矩形的性质）。

∴BC=BE+EF+FC=5+4=9。

7.（2012XXXX3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则
BC的长为
▲．
-10-
【答案】4。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。

∴AE=CD=2，AD=EC=2。

∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形。

∴BE=AB=AE=2。

∴BC=BE+CE=2+2=4。

8.（2012XXXX3分）若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长
为▲厘米。

【答案】20。

【考点】梯形的中位线定理。

【分析】根据梯形的中位线的长度等于上下两底和的一半的性质直接求得：（10＋30）÷2=20。

9.（2012XX内江5分）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC，且BD⊥AC若AB=2，CD=4
则S
ABCD
梯
形
▲
【答案】9。

【考点】梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6。

又∵BD=AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形。

1
∴BF=
DE=3。

2
1
（AB+CD）×BF=9。

∴梯形ABCD的面积为
2
-11-
的中点，且DE∥AB，
则∠BCD的度数是▲
【答案】60°。

【考点】等腰梯形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定和性质，等边三角形
的判定和性质。

1
【分析】∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是Rt△BDC的中线，∴DE=BE=EC=
BC.
2 ∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形。

∴AB=DE。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD。

∴DE=EC=CD。

∴△DEC是等边三角形。

∴∠BCD=60°。

11.（2012XXX X3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接A E并
延长交B C的
延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为▲．
【答案】13。

【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D。

∵E是CD的中点，∴DE=CE。

在△ADE和△FCE中，∵∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，DE=CE，∴△ADE≌△FCE （AAS）。

∴CF=AD，EF=AE=6。

∴AF=AE+EF=12。

∵AB⊥AE，∴∠BAF=90°。

∵AB=5，∴2222
BFABAF51213。

-12-
AD=2，
BC=4，DF=2，则DC的长
为▲．
【答案】5。

【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。

【分析】由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DF⊥BC，AD=2，BC=4可得FC=（4－2）÷2=1.
在Rｔ△CDF中，DF=2，FC=1，根据勾股定理,得DC＝
2222
DFFC215。

13.（2012XX黔西南3分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线A C、BD相交于点
O，若AD＝1，BC＝3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为
▲。

【答案】27。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】先判定出△AOD∽△BOC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计
算即可得解：
∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC。

∴S AD
AOD2
（）。

SBC
BOC
∵AD=1，BC=3，S AOD3，∴
31
2
（）。

S3
BOC
∴S BOC27。

14.（2012XXXX3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为▲．
-13-
【答案】40。

【考点】等腰梯形的性质，锐角克角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，
∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°。

∴AD=DC=BC=8。

在Rｔ△ABC中，
BC8
AB16
1
2
cosB。

∴等腰梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=40。

三、解答题
1.（2012XXXX10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以A B，CD
为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接A F，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。

∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。

∴△AED≌△DFA（SAS）。

∴AF=DE。

（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有
B C=HK。

∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。

∴AB=2BH=2AH。

-14-
同理：CD=2CK=2KD 。

∵S 梯形
ABCD=
A D+BCH
B 2
，AB=a ，
∴S 梯形ABCD=
2a2a 2+2BC 2 22a+2aBC
=
22。

又∵S
△ABE =S △DCF = 3 4
2 a ，
∴ 2 a+2aBC3 2
=a 24
，解得： 62 BC=a 。

2
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。

【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS 的判定证明 △AED ≌△DFA 即可。

（2）如图作B H ⊥AD ，CK ⊥AD ，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC
的长。

2.（2012XXXX 8分）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，对角线A C 、BD 交于 点O ，ACBD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点 （1）求证：四边形EFGH 为正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH 的面积。

【答案】（1）证明：在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF=
1 2
AC 。

同理FG= 1 2 BD ，GH= 1 2 AC ，HE= 1 2 BD 。

∵在梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD 。

∴EF=FG=GH=HE ，∴四边形EFGH 是菱形。

设AC 与EH 交于点M ，
在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则E H ∥BD ，同理GH ∥AC 。

又∵AC ⊥BD ，∴∠BOC=90°。

∴∠EHG=∠EMC=90°。

-15-
∴四边形EFGH是正方形。

（2）解：连接E G。

在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴EG1ADBC3
（）。

2
在Rt△EHG中，∵EH 2+GH2=EG2，EH=GH，
∴EH29
2 9
，即四边形EFGH的面积为
2。

【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。

【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形
的判断。

（2）连接E G，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合
（1）的结论求出
EH 29
2
，也即得出了正方形EHGF的面积。

3.（2012XXXX6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段C B
到E，使BE=AD，
连接A E、AC.
⑴求证：△ABE≌△CDA；
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
AD
ECB
【答案】⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA。

∴∠ABE=∠CDA。

在△ABE和△CDA中，AB=CD，∠ABE=∠CDA，BE=AD，错误！未找到引用源。

∴△ABE≌△CDA（SAS）。

⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD，AE=AC。

∴∠AEB=∠ACE。

∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°。

∴∠EAC=180°－40°－40°=100°。

【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等。

（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得
出答案。

4.（2012XXXX10分）如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,BDC90,E为BC
上一点,
BDEDBC.
(1)求证:DEEC；
（2）若
1
ADBC,试判断四边形ABED的形状,并说明理由．2
5.（2012XX永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边
AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。

∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。

∴∠GFC=∠B（等量代换）。

∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。

又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。

【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。

6.（2012XXXX10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、
DE．求证：AE=DE．
【答案】证明：∵四边
形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C。

∵E是BC的中点，∴BE=CE。

在△ABE和△DCE中，∵AB=DC，∠B=∠C，BE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）。

∴AE=DE。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等。

7.（2012XXXX6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一
点，且CE=CD，求证：∠B=∠E
【答案】证明：∵ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠BCD,∠BCD=∠EDC。

∴∠B=∠EDC。

又∵CE=CD。

∴∠EDC=∠E。

∴∠B=∠E。

【考点】等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质。

【分析】根据等腰梯形的性质获得∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性质得到∠EDC=∠E。

8.（2012XXX X12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E
在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.
（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；
（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为
“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，
AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求E B
EF
的值（用含m、n的代数式表示）。

【答案】解：（1）180°－2α。

（2）EB=EF。

证明如下：
连接
B D交EF于点O，连接
B F。

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，
∠ADC=180°－∠C=180°-α。

∵AB=AD，∴∠ADB=1
2
（180°－∠A）=α。

∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。

由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。

又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。

∴OE=OB
ODOF ，即OE=OD
O B O F。

∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。

∴∠EFB=∠EDO=α。

∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。

∴EB=EF。

（3）延长A B至G，使AG=AE，连接
B E，GE，
则∠G=∠AEG= 180A1801802
==
22。

∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。

∴∠EDF=∠G。

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。

∴△DEF∽△GBE。

∴E BBG
=
EFDE。

∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。

∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。

∴EB=n1mDE=n1m
（）
EFDE。

【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求
得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：
∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。

∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。

又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。

（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据
相似三角形的对应边成比例，可得OE=OB
ODOF ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。

（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相
似三角形的对应边成比例，即可求得EB
EF 的值。

“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角
9.（2012XX滨州9分）我们知道
形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一
半”．类似的，我们把连接梯形两腰
中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，
CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有
怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
1
【答案】解：结论为：E F∥AD∥BC，EF=（AD+BC）。

理由如下：
2
连接AF并延长交BC的延长线于点G。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠GCF。

在△ADF和△GCF中，
∠ADF=∠GCF，DF=CF，∠DFA=∠CFG，
∴△ADF≌△GCF（ASA）。

∴AF=FG，AD=CG。

1
又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=
BG。

2
1
∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
2
【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。

E F是△ABG的中位线，
△ADF≌△GCF，可以证得
B C于点G，则
【分析】连接
A F并延长交
利用三角形的中位线定理即可证得。