简要版PPT3组合数论4-8(剩余类之元素分解)

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但在放映模式下，这些现象都不会出现。

另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。

组合数论4-8（剩余类之元素分解）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第3板块（组合数论）第4专题（剩余类）的第8小节
（元素分解），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。

这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。

按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。

提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、流畅、简练。

所谓研究特例，就是先考察特殊情况，由此
发现规律。

研究特例不是解决特例，重在研究——发掘解决一般问题的途径。

它有三种表现形式：
回到一般（1）特征迁移
所谓“特征”，不是具体数值或元素，
而是元素具有的功能与属性，即在所有
元素中充当的“角色”。

（2）归纳通式找到适合所有对象的“统一”表达。

【研究特例】
（3）建立递归
由初值之间的联系，建立n与n之前一些对象之间的递归关系
■。

【剩余类中三种常用策略】
1、“撒网”策略：补充一些对象或范围，构成一个新系统，称之为“网”。

在新系统下研究原问题，找到所需对象，称之为“撒网”策略。

如有必要，再去掉补充的对象证明其结论也成立。

撒网策略有如下2种主要方式：
（1）扩充研究对象
在原有对象中补充一些对象，使之构成一个更规则的整体
（2）扩充存在域
将研究对象放在一个更广泛的空间范围中研究
■
“撒网”策略；减元策略；分解策略
2、减元策略：对于含有变化因素k的项，如果该项带有因子a，则通过模a，便可消去该含有变化因素k的项，使问题简化。

有两种常见的“模运算”方式：
（1）模系数
（2）模底数的方幂
3、分解策略：
如果需要在A中找到具有某种性质f（a）=0的元素a，
有时候可以将a分解为a=b
1-b2，其中b1、b2∈B。

其中要求b
1、b
2
∈B时，保证b
1
-b2∈A。

功能：如果f具有可加性：f（b
1-b2）= f（b1）-f（b2），
则条件可转化为f（b
1）= f（b
2
），
进而转化为2个元素属于同一抽屉
■。

【数论4-8】给定正整数n ，试证：对任意不超过3n 2+4n 的正整数a 、b 、c ，均存在绝对值不超过2n 且不全为0的整数x 、y 、z ，使得ax+by+cz=0。

（2015年中国国家集训队测试第一轮第5题）
【题感】从目标看【1】，属于构造问题【1】：只需在区域A={x ∈Z | |x|≤2n }中构造方程ax+by+cz=0 的一组非零解（x ，y ，z ）。

这看似容易，其实不然。

a 、b 、c 虽给定【1】，但不知具体值，如何判断其“线性组合【1】”为0？由方程的结构，想到将x 、y 、z “捆绑”，构成复合元素（x ，y ，z ）【1】，定义f （x ，y ，z ）=ax+by+cz ，称为（x ，y ，z ）的特征值。

那么，目标变为寻找（x ，y ，z ），使其特征值ax+by+cz=0。

它有“抽屉”的影子，但有差异：需要将“特征值为0【1】”转化为“两元素特征值相等【1】”，进而转化为2元素同抽屉，由此想到元素分解：x=x 1-x 2等。

转化为：ax 1+by 1+cz 1=ax 2+by 2+cz 2
【注】此为简要版，省略了第2部分：发掘解题方法
【新写】如果a、b、c不互异，不妨设a=b，则
a×1+b×（-1）+c×0=a-b=0，结论成立。

如果a、b、c互异，不妨设1≤a<b<c≤3n2+4n。

令S={（x，y）||x|，|y|≤n，-n≤x+y≤n+1，x、y∈Z}。

对（x，y）∈S，令f（x，y）=ax+by（modc）。

当x=i（1≤i≤n）时，y有2n+2-i种取值；当x=-j（0≤j≤n）时，y有2n-j+1种取值。

所以，|S|=Σ
i=1n（2n+2-i）+Σ
j=0
n（2n-j+1）=3n2+4n+1。

注意到c≤3n2+4n，由抽屉原理，存在（x1，y1），（x2，y2）∈S，使ax1+by1≡ax2+by2，即a（x2-x1）+b（y2-y1）≡0（modc）。

令a（x
2-x1）+b（y2-y1）=kc，则a（x1-x2）+b（y1-y2）+kc=0。

令x=x
1-x2，y=y1-y2，z=k，则ax+by+cz=0。

显然，|x|=|x1-x2|≤|x1|+|x2|≤2n，同理|y|≤2n。

此外，若a（x
2-x1）/c、b（y2-y1）/c异号，则由“异号两数相加，较大绝对值不增”，
及|a（x
2-x1）/c|<|x1-x2|≤2n等，可知|z|=|k|=|a（x2-x1）/c+b（y2-y1）/c|≤2n。

若a（x
2-x1）/c、b（y2-y1）/c同号，则由a/c<1，b/c<1，有
|z|=|a（x2-x1）/c+b（y2-y1）/c|<|（x2-x1）+（y2-y1）|
=|（x2+y2）-（x1+y1）|≤（n+1）-（-n）=2n+1，所以|z|≤2n。

综上所述，命题获证。

【充分条件分类】【改进区域限定】
【元素分解】【改进特征函数】
【充分条件分类
■■。