武汉二中2019-2020学年高二下学期4月第二次线上测试数学试题含解析

由f′(x)=0，得x=−1,当x∈(−∞，−1)时,f′（x)=−ex(x+1）〉0，f（x） 增函数,
当x∈（−1，0)时，f′（x)=−ex（x+1)〈0,f(x）为减函数，
所以函数f(x)=|xex|在(−∞,0）上有一个最大值为 ，
则函数 的大致图象如图所示:
令f（x）=m,要使方程f2（x）−tf（x）+1=0（t∈R)有四个实数根,
12.已知 ,又 有四个零点，则实数 的取值范围是( ）
A。 B. C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数 的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数 的性质即可确定实数 的取值范围。
【详解】 ，
当x⩾0时, 恒成立，所以f(x)在［0，+∞)上为增函数；
当x〈0时, ，
即有 个不同的符合题意的放法；
故选B．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将 个球放入 个盒子的问题，属于基础题．
4.当 时，函数 的图象大致是（ ）
A。 B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据f(x)〈0⇔x2－2ax〈0⇔0〈x〈2a，可排除选项A，C，f′(x）＝［x2＋(2－2a）x－2a]ex，由f′（x）＝0，即x2＋（2－2a）x－2a＝0，Δ＝（2－2a）2＋8a＝4a2＋4〉0可知方程必存在两个根．设小的根为x0，则f（x）在(－∞，x0）上必定是单调递增的，故选B。
A。 B. C。 D.
【答案】D
【解析】
分析：构造函数 ，可得 为 上的减函数，结合 的单调性,利用排除法即可的结果。
详解： ，
, ，
即 ，设 ，
则 为 上 减函数，
， ，
, ，
为 上的减函数，
，即 ，故 错误;
,即 ,故 错误；
，即 , 错；
，即 ， 正确，故选D.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数。
令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；
又a0＝(﹣3）5＝﹣243，
∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣233．
故选A．
【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．
【答案】D
【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可。
详解:透镜落地 次,恰在第一次落地打破的概率为 ，
恰在第二次落地打破的概率为 ，
恰在第三次落地打破的概率为 ，
∴落地 次以内被打破的概率 ．故选 ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题。 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
故选C．
【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差,考查了基本不等式,属于中档题．
8.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为 ;第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为 ;前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为 ．则透镜落地 次以内（含 次）被打破的概率是( ）．
A. B。 C。 D。
5。某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生,现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ )
A。 36 B. 72 C. 108 D。 144
【答案】D
【解析】
【分析】
按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为 ，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为 、 ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案．
则f（x)=lnx+1，f′（x）= ，
∴f（x)﹣f′（x）=lnx+1﹣ =1，即lnx﹣ =0，
则方程f（x）﹣f′（x）=1的解可转化成方程lnx﹣ =0的解，
令h(x）=lnx﹣ ，而h（2）=ln2﹣ ＞0,h(1）=ln1﹣1＜0，
∴方程lnx﹣ =0的解所在区间为（1，2),
∴方程f（x）﹣f′（x)=e的解所在区间为(1,2),
【详解】设检测的机器的台数为 ，则 的所有可能取值为2，3,4。
故答案为D．
点睛：本题考查函数的单调性和方程的根的综合应用，这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用;对于函数的零点问题，它和方程的根的问题,和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些．
11.定义在 上的可导函数 的导数为 ，且 ，则( ）
可得 , 时 ，符合题意,故选A。
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错，造成不必要的失分。
15.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止。若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________
【答案】3500
【解析】
【分析】
设检测机器所需检测费为 ，则 的可能取值为2000,3000，4000，分别求出相应的概率,由此能求出所需检测费的均值.
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题，属于中等题型.
10.定义在（0,+∞)上的单调函数f（x)，∀x∈(0，+∞）,f［f(x）﹣lnx］=1，则方程f（x)﹣f′（x）=1的解所在区间是 （ ）
A。 （2，3） B。 C. D。 （1，2)
【答案】D
【解析】
令f（x）﹣lnx=t，由函数f(x）单调可知t为正常数，
【详解】根据题意，分3步进行分析：
①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有 种情况，
②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有 种情况,
③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘,有 种情况，
则有 种不同的录取方案；
故选 ．
【点睛】本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键,着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
9.某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）
A. B。 C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.
【详解】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场的概率 ，其中学生丙第一个出场的概率 ,所以所求概率为 。
武汉二中2019-2020学年度下学期高二年级线上测试(二）
数学试题
一、单选题
1。若复数 ，且 ,则实数 的值等于（ ）
A.1B。—1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 可判定 为实数,利用复数代数形式的乘除运算化简复数 ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.
【详解】 ，
所以 ,
因为 ，所以 为实数，
则方程m2—tm+1=0应有两个不等根，且一个根在 内,一个根在 内。
再令h(m)=m2−m+1,因为h(0）=1>0,则只需 ，即 ，解得 .
故选A.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13。若直线 与曲线 （ 是自然对数的底数）相切，则实数 ________.
7.已知离散型随机变量 服从二项分布 ,且 , ，则 的最小值为（ )
A. 2 B。 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布 的性质可得 ， ,化简即 ，结合基本不等式即可得到 的最小值.
【详解】离散型随机变量X服从二项分布 ，
所以有 ，
，
所以 ,即 ，（ , ）
所以 ,
当且仅当 时取得等号．
【答案】
【解析】
【分析】
从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法,每一岔口走法的概率都是 ,二项分布的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，
可得从顶点到3总共有 种走法，
其中每一岔口走法的概率都是 ,
所以珠子从出口3出来的概率为 .
【点睛】本题主要考查了二项分布的一个模型,其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题。
【详解】根据题意, 个相同的小球放到三个编号为 的盒子中,且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在 号盒子里放 个球，在 号盒子里放 个球,在 号盒子里放 个球，
则原问题可以转化为将剩下的 个小球,放入 个盒子，每个盒子至少放 个的问题，
将剩下的 个球排成一排，有 个空位，在 个空位中任选 个,插入挡板，有 种不同的放法，
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设切点为(m,em），求y＝ex的导数,由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．
【详解】根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲线y＝ex相切，设切点为（m,em)
曲线y＝ex，其导数y′＝ex，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝em，
则f（x）=t+lnx,且f(t）=1，即t+lnt=1,
解：根据题意，对任意)是定义在（0，+∞）上 单调函数,
则f(x）﹣lnx为定值,
设t=f（x）﹣lnx,则f（x）=lnx+t,
又由f（t）=1，即lnt+t=1,解得：t=1,
6。若 ，则 为（）
A. －233 B. 10 C。 20 D. 233
【答案】A
【解析】
【分析】
对等式两边进行求导，当x＝1时，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值,再求出a0的值,即可得出答案．
【详解】对等式两边进行求导，得：
2×5(2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，
2.若随机变量 的分布列为（ ）
且 ，则随机变量 的方差 等于（ ）
A。 B. C。 D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量 的方差 。
详解：由题得
所以
故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2） 对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是 ， ，…, ，…，且取这些值的概率分别是 ， ，…， ，那么 ＝ ＋ ＋…＋ ，称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量 的期望．
则切线的方程为y﹣em＝em（x﹣m),
又由k＝em，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m)，即kx﹣y﹣mk+k＝0，
又由切线为kx﹣y﹣k＝0,则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，
则k＝em＝e2，
故答案为e2．
【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义,属于基础题．
14。某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下,从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜,如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．
3。把 个相同的小球放到三个编号为 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法( ）
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先在 号盒子里放 个球，在 号盒子里放 个球，在 号盒子里放 . 个球，则原问题可以转化为将剩下的 个小球，放入 个盒子，每个盒子至少放 个的问题，由挡板法分析可得答案．