西安同仁学校九年级数学上册第三单元《旋转》检测(答案解析)

一、选择题
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，
E ，
F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△AB
G 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④ 3．如图，将△ABC 绕点A 旋转，得到△AEF ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABC ≌△AEF ；②AC=A
E ；③∠FAB=∠EAB ；④∠EAB=∠FAC ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）
A ．AE CF =
B ．EPF 为等腰直角三角形
C ．EP AP =
D ．2ABC AEPF S S =四边形
5．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若
90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）
A ．35︒
B ．65︒
C ．55︒
D ．45︒
6．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）
A ．46°
B ．48°
C ．50°
D ．52°
7．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8．如图，将△ABC 绕顶点C 旋转得到△A B C ''， 且点B 刚好落在A B ''上，若∠A =35°，∠BCA '=40°，则∠A BA '等于( )
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
9．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，1），()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点
A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点
B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点
C 成中心对称：第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点6P 与点4P 关于点B 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点2013P 的坐标为（ ）
A ．（2，2）
B ．()2,2-
C ．()0,2-
D ．()2,0- 10．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）
A ．内部
B ．外部
C ．边上
D ．以上都有可能 11．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（ ）
A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种 12．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．-1
D ．1 二、填空题
13．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 14．如图，把ABC ∆绕点A 旋转，点B 旋转至BC 边的点D 位置，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为_____．
15．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D 在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF⊥AB，那么n的值是_______．
16．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
17．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，则α=______．
18．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是_____°．
19．直角坐标系中，已知A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，A3关于y轴对称点A4，……，按此规律，则点A2019的坐标为_____．
20．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6．以点A 为中心，逆时针旋转矩形ABCD ，得到矩形AEFG ，点B ，C ，D 的对应点分别为点E ，F ，G ．
（1）如图1，当点E 落在边CD 上时，求线段CE 的长；
（2）如图2，当点E 落在线段CF 上时，求证：∠EAC ＝∠BAC ；
（3）在（2）的条件下，CD 与AE 交于点H ，求线段DH 的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(5,1)A -，(2,2)B -，(1,4)C -，请按下列要求画图：
（1）画出ABC 关于x 轴对称得到的111A B C △，并写出1B 的坐标；
（2）画出与ABC 关于原点O 成中心对称的222A B C △，并写出点2A 的坐标； （3）若x 轴上有一点P ，到1B 、2A 的距离和最短，在平面直角坐标系内确定点P 的位置，并求点P 的坐标．
23．如图：在ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，45PCQ ︒∠=，把PCQ ∠绕点C 旋转，在整个旋转过程中，过点A 作AD CP ⊥，垂足为D ，直线AD 交CQ 于E （1）如图①，当PCQ ∠在ACB ∠内部时，求证：AD BE DE +=；
（2）如图②，当 CQ 在ACB ∠外部时，则线段AD BE 、与DE 的关系为________； （3）在（1）的条件下，若12CD =，2BCE ACD S S =△△，求AE 的长．
24．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，以点A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°，设点E 的对应点为F ．
（1）画出旋转后的三角形和点E 经过的路径；
（2）若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的长．
25．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝110°，∠BOC ＝α．将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ．
（1）求证：△DOC 是等边三角形；
（2）当AO ＝5，BO ＝4，α＝150°时，求CO 的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形．
26．解下列方程：
（1）x 2-2x-24=0 （2）用配方法解方程：x 2+6x ﹣1=0．
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一、选择题
1．A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．2．D
解析：D
【分析】
利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，从而求得GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．
【详解】
∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，
∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵DE＝BG，
∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，
∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，
∴DE＝3，
设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，
在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，
解得x＝4
7
，
∴BF＝4
7
，AF
7
，故②正确，③错误，
∴GF＝3+4
7
＝
25
7
，
∴S△AEF＝S△AGF＝1
2AB×GF＝
50
7
，
故④正确，
【点睛】
本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．B
解析：B
【分析】
由旋转的性质得到△ABC ≌△AEF ，再由全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】
∵△ABC 绕点A 旋转得到△AEF ，
∴△ABC ≌△AEF ，
∴AC=AF ，不能确定AC=AE ，故①正确，②错误；
∵∠EAF=∠BAC ，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF ，
∴即∠EAB=∠FAC ，
但不能确定∠EAB 等于∠FAB ，故③错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①④，共2个．
故选：B.
【点睛】
此题考查了旋转的性质.掌握旋转前后的图形全等是解答此题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【详解】
∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，
∴AP=CP ，AP ⊥BC ，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，
∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，
∴∠APE=∠CPF ，
在△APE 和△CPF 中，
45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），
∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ，
∴△EPF 是等腰直角三角形，
S 四边形AEPF =
12
S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ， A 、B 、D 均正确， ∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
5．C
解析：C
【分析】
先根据旋转的性质可得,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得A '∠的度数，由此即可得．
【详解】
由旋转的性质得：,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，
90A DC '∠=︒，
18055A A DC ACA '''∴∠=︒-∠-∠=︒，
55A A '∴∠=∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 6．C
解析：C
【分析】
根据旋转的性质和∠C ＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C 的度数，从而可以求得∠B′C′B 的度数．
【详解】
∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC 上，
∴AC ＝AC′，∠C ＝∠AC′B′，
∴∠C ＝∠AC′C ，
∵∠C ＝65°，
∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C ＝65°，
∴∠B′C′B ＝180°−∠AC′B′−∠AC′C ＝50°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．B
解析：B
【分析】
连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．
【详解】
解：如图连接PC ．
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，
∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，
∴CM=BM=1，PC=12
A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，
∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
8．D
解析：D
【分析】
由旋转的性质可得出35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，由已知条件结合三角形外角的性质求出B BC '∠的度数，即可得出ABC ∠的度数，即可得出A BA '∠的度数．
【详解】
由旋转的性质可得：35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，
∴B BC B ''∠=∠，
40BCA '∠=︒，
∴75B A C BCA B '''∠=∠+∠=︒，
∴75B '∠=︒，
∴75ABC B '∠=∠=︒，
∴180757530A BA '∠=︒-︒-︒=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质以及旋转的性质，根据三角形外角的性质以及旋转的性质
求出对应角的度数是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
计算出前几次跳跃后，点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7的坐标，可得出规律，继而可求出点P 2013的坐标．
【详解】
解：∵点1P 与点O 关于点A 成中心对称，
∴P 1(2，0)，
过P 2作P 2D ⊥OB 于点D ，
∵2P 与点1P 关于点B 成中心对称，
∴P 1B=P 2B ，
在△P 1BO 和△P 2BD 中
12121
2PBO P BD POB P DB PB P B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P 1BO ≌△P 2BD ，
∴P 2D=P 1O=2，BD=BO=1，
∴OD=2，
∴P 2(-2，2)，
同理可求：P 3(0，-2)，P 4(2，2)，P 5(-2，0)，P 6(0，0)，P 7(2，0)，
从而可得出6次一个循环，
∵20136
=335…3， ∴点P 2013的坐标为(0，-2)．
故选C ．
【点睛】
本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
10．C
解析：C
先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，
∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是52，与AB的值相等，从而可以得出点A在△D′E′B的边上．
【详解】
∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，AB=BC=52，
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，
可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴BG=52，
∴BG=AB，
∴点A在△D′E′B的边上，
故选C.
11．B
解析：B
【解析】
分析：根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：
得到的不同图案有：
共5个．故选B．
12．B
解析：B
【分析】
由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.
【详解】
∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a=﹣2，b=﹣1，
∴a+b=﹣3.
【点睛】
关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
二、填空题
13．【分析】先由点在直线上求出m 的值然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可【详解】解：∵点在直线上
∴2m=m+3∴m=3∴点A 坐标是（36）∴点（36）关于原点对称的点的坐标为 解析：(3,6)--
【分析】
先由点(,2)A m m 在直线3y x 上求出m 的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可． 【详解】
解：∵点(,2)A m m 在直线3y x 上，
∴2m =m +3，
∴m =3，
∴点A 坐标是（3，6），
∴点A （3，6）关于原点对称的点B 的坐标为（﹣3，﹣6）．
故答案为：（﹣3，﹣6）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 14．【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC 再根据三角形内角和定理即可求得结论【详解】解：由旋转的性质得
AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC ∴∠AB 解析：1902
α︒︒- 【分析】
根据旋转的性质可得AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，再根据三角形内角和定理即可求得结论．
【详解】
解：由旋转的性质得，
AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=
18019022
BAD α︒-∠=︒-︒ ∴∠ADE=1902α︒-︒．
故答案为：
1
90
2
α
︒-︒．
【点睛】
此题主要考查了运用旋转的性质求解，熟练掌握旋转的性质是解答此题的关键．15．135【分析】画出旋转后的图象满足EF⊥AB然后根据旋转的性质和三角板的角度去求出旋转角的度数【详解】解：①如图延长EF交AB于
H∵EF⊥AB∠A＝45°∴∠ACH＝45°∴∠ACE＝135°∴n＝
解析：135
【分析】
画出旋转后的图象满足EF⊥AB，然后根据旋转的性质和三角板的角度去求出旋转角的度数．
【详解】
解：①如图，延长EF交AB于H，
∵EF⊥AB，∠A＝45°，
∴∠ACH＝45°，
∴∠ACE＝135°，
∴n＝135；
②如图，
∵EF⊥AB，∠A＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴n＝360﹣45＝315，
∵0＜n＜180，
∴n＝315不合题意舍去，
故答案为：135．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是利用旋转的性质和三角板的角度去求解，需要考虑多种情况．
16．（1﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（xy）关于原点的对称点是（﹣x﹣y）可得答案【详解】解：在直角坐标系中点（﹣12）关于原点对称点的坐标是（1﹣2）故答案为（1﹣2）【点睛】本题考查
解析：（1，﹣2）
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】
解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．17．150°【分析】根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=30°求出∠BAB′即可【详解】解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）使得点BAC′在同一直线上∴
解析：150°
【分析】
根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=30°，求出∠BAB′即可．
【详解】
解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，
∴∠BAC=∠B′AC′=30°，
∴∠BAB′=180°-∠B′AC′=180°-30°=150°，
即α=150°，
故答案为150°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和邻补角的定义，能根据旋转的性质求出∠B′AC′的度数是解此题的关键．
18．40【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC∠DAE＝∠BAC＝20°求出∠DAE＝∠CAE＝20°再求出∠DAC的度数即可【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED∠BAC＝20°∴AD＝AC∠
解析：40
【分析】
根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°，
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，
∵AE 垂直平分CD 于点F ，
∴∠DAE ＝∠CAE ＝20°，
∴∠DAC ＝20°+20°＝40°，
即旋转角度数是40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件．
19．（32）【分析】根据题目已知条件写出A1A2A3的坐标找出规律即可解决问题【详解】解：作点A 关于y 轴的对称点为A1是（﹣32）；作点A1关于原点的对称点为A2是（3﹣2）；作点A2关于x 轴的对称点为
解析：（3，2）．
【分析】
根据题目已知条件，写出A 1、A 2、A 3的坐标，找出规律，即可解决问题．
【详解】
解：作点A 关于y 轴的对称点为A 1，是（﹣3，2）；
作点A 1关于原点的对称点为A 2，是（3，﹣2）；
作点A 2关于x 轴的对称点为A 3，是（3，2）．
显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673，
则点A 2019的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数． 20．【分析】由点P 是AB 的中点∠A=60°AC=3cm 可得BP 的长再由逆时针旋转90°根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值就可求出BMMP 的长在Rt △B′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的 解析：94
【分析】
由点P 是AB 的中点，∠A=60°，AC=3cm 可得BP 的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM ，MP 的长，在Rt △B ′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S 阴影部分=BNG BPM S S ∆∆-进行计算即可．
【详解】
如图，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=2AC=6，∠B=30°，
∵点P为AB的中点，∴BP=3，
∵△ABC绕点P按逆时针方向旋转90︒得到Rt△A′B′C′，
∴B'P=BP=3，
在Rt△BPM中，∠B=30°，∠BPM=90°，∴BM=2PM，∴PM3BM3∴B′M=B′P-PM3
在Rt△B′MN中，∠B′=30°，∴MN=1
2
B′M=
33
22
-，∴BN=BM+MN=
33
3
22
+
在Rt△BNG中，BG=2NG，BG2=NG2+BN2，∴NG=
33 22
+，
∴S阴影=S△BNG-S△BMP=1333319
333 2222224
⎛⎫
⎛
⨯+⨯+-=
⎪
⎪
⎝⎝⎭
，
故答案为：9
4
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．
三、解答题
21．（1）2；（2）见解析；（3）16 5
【分析】
（1）由旋转的性质知AB=AE=10，由矩形的性质得出AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，由勾股定理得出DE=8，即可得出答案；
（2）由旋转的性质知∠AEF=∠BAD=90°，AE=AB，证明Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），即可得出结论；
（3）设DH=x，由矩形的性质得出CH=CD-DH=10-x，∠DCA=∠BAC，证出∠DCA=∠EAC，得出AH=CH=10-x，在Rt△ADH中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案．
【详解】
（1）解：由旋转的性质知：AB＝AE＝10，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ＝BC ＝6，∠BAD ＝∠D ＝90°，
∴DE
＝8，
∵CD ＝AB ＝10，
∴CE ＝DC ﹣DE ＝10﹣8＝2；
（2）证明：由旋转的性质知：∠AEF ＝∠BAD ＝90°，AE ＝AB ，
∵点E 落在线段CF 上，
∴∠AEC ＝∠AEF ＝90°，
在Rt △ABC 和Rt △AEC 中，
AE AB AC AC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △AEC （HL ），
∴∠EAC ＝∠BAC ；
（3）解：设DH ＝x ，
在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ＝10，
∴CH ＝CD ﹣DH ＝10﹣x ，∠DCA ＝∠BAC ，
又∵∠EAC ＝∠BAC ，
∴∠DCA ＝∠EAC ，
∴AH ＝CH ＝10﹣x ，
在Rt △ADH 中，∵DH 2+AD 2＝AH 2，
∴x 2+62＝（10﹣x ）2，
解得：x ＝
165， ∴DH ＝165
． 【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 22．（1）见解析，1B 的坐标为（-2，-2）；（1）见解析，点2A 的坐标为（5，-1）；（3）见解析．点P 的坐标为（22
3，0）． 【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 三点关于x 轴对称的点A 1，B 1，C 1，顺次连接即可，从而可写出1B 的坐标；
（2）分别作出A ，B ，C 三点原点O 对称的点A 2，B 2，C 2，顺次连接即可，写出点2A 的坐标；
（3）作A 2点关于x 轴对称的点A 3，连接A 3B 1交x 轴于一点，这点即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示，1B 的坐标为（-2，-2）；
（2）如图所示，点2A 的坐标为（5，-1）；
（3）如图所示，点P 即为所求作．
设B 1A 3的解析式为y=kx+b ，
由对称性知A 3的坐标为（5，1），
把A 3（5，1），B 1（-2，-2）代入B 1A 3的解析式，得5122k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
， 解得，3787k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴B 1A 3的解析式为3877y x =
-， 令y=0，则x=223
， ∴点P 的坐标为（22
3，0）． 【点睛】
此题主要考查了复杂作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
23．（1）见解析；（2）AD BE DE =+；（3）16
【分析】
（1）延长DA 到F ，连接CF ，使DF ＝DE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得证；
（2）在AD 上截取DF ＝DE ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得到AD ＝BE ＋DE ；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD ＝DF ＝DE ，再根据等高的三角形的面积的比等于
底边的比求出AF ＝2AD ，然后求出AD 的长，再根据AE ＝AD ＋DE 代入数据进行计算即可得解．
【详解】
证明：如图，延长DA 到F ，使DF DE =，
∵CD AE ⊥，
∴CE CF =，
∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，
∴45ACD ACF DCF ︒∠+∠=∠=，
又∵90,45ACB PCQ ︒︒∠=∠=，
∴904545ACD BCE ︒︒︒∠+∠=-=，
∴ACF BCE ∠=∠，
在ACF 和BCE 中，
CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACF BCE SAS ≅，
∴AF BE =，
∴AD BE AD AF DF DE +=+==
即AD BE DE +=；
（2）解：如图，在AD 上截取DF DE =，
∵CD AE ⊥，
∴CE CF =，
∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，
∴90ECF DCE DCF ︒∠=∠+∠=，
∴90BCE BCF ECF ︒∠+∠=∠=，
又∵90ACB ︒∠=，
∴90ACF BCF ︒∠+∠=，
∴ACF BCE ∠=∠，
在ACF 和BCE 中，
CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACF BCE SAS ≅，
∴AF BE =，
∴AD AF DF BE DE =+=+，
即AD BE DE =+；
故答案为：AD BE DE =+．
(3)如图，由（1）可得AFC BEC BE AF ≅=，
∵2BCE ACD S S =△△
∴2AF AD =且12AF AD DE CD +===，
∴4AD =，
∴16AE AD DE =+=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（210
【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形以及E 的轨迹； （2）利用勾股定理求出AE ，再利用等腰直角三角形的性质求出EF 即可．
【详解】
解：（1）旋转后的△ADF 如图所示，点E 的运动路径如图所示：
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴22AB BE +2221+5
∵△EAF 是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF ，
∴210．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（1）见解析；（2）CO=3；（3）α＝125°、α＝110°或α＝140°
【分析】
（1）由△BOC ≌△ADC ，得出CO ＝CD ，再由∠OCD ＝60°，得出结论；
（2）利用等边三角形的性质以及直角三角形的定义，即可判断△AOD 为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO 的长；
（3）因为△AOD 是等腰三角形，可得①∠AOD ＝∠ADO 、②∠ODA ＝∠OAD 、③∠AOD ＝∠DAO ；若∠AOB ＝110°，∠COD ＝60°，∠BOC ＝190°−∠AOD ，∠BOC ＝∠ADC ＝∠ADO ＋∠CDO 由①∠AOD ＝∠ADO 可得α＝125°，由②∠ODA ＝∠OAD 可得α＝110°，由③∠AOD ＝∠DAO 可得α＝140°．
【详解】
（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，
∴△BOC ≌△ADC ，∠OCD ＝60°，
∴CO ＝CD ．
∴△COD 是等边三角形；
（2）∵△ADC ≌△BOC ，
∴DA ＝OB ＝4，
∵△COD 是等边三角形，
∴∠CDO ＝60°，又∠ADC ＝∠α＝150°，
∴∠ADO ＝∠ADC ﹣∠CDO ＝90°，
∴△AOD 为直角三角形．
又AO ＝5，AD ＝4，
∴OD ＝3，
∴CO＝OD＝3；
（3）若△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD＝190°﹣∠AOD，
而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD+60°，
求得α＝125°；
由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC＝150°
1
2
∠AOD
求得α＝110°；
由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝240°﹣2∠AOD，
求得α＝140°；
综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．
【点睛】
此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，掌握分类讨论的思想是解题关键．
26．（1）x=-4，x=6；（2）x=﹣．
【解析】
试题分析：（1）把左边进行因式分解即可；
（2）用配方法解方程即可．
试题
解：（1）（x+4）（x-6）=0，x=-4，x=6．
（2）x2+6x+9=10，即（x+3）2=10，
x=﹣．。