高三数学综合训练试题二文含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学综合训练试题〔二〕文〔含解析〕
〔时间是120分钟，总分值是150分〕
本卷须知： 1
2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答复非选择题时，将答案写在答题卡上．写在套本套试卷上无效． 3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回．
一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，那么A B =〔〕
A.
{}14x x -<<
B.
{}04x x <<
C.
{}0,1,2,3
D.
{}1,2,3
【答案】D 【解析】 【分析】 先求解集合B 再求A B 即可.
【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A
B =,
应选：D.
【点睛】此题主要考察了对数的不等式求解以及交集的运算,属于根底题. 2.设(1)2i z i +=，那么z 的一共轭复数z 的虚部为〔〕
A.-1
B.i -
C.1
D.i
【答案】A 【解析】 【分析】
化简求出复数z ，再求出一共轭复数z ，然后直接判断出z 的虚部即可.
【详解】
(1)2i z i +=,
∴()212221122
i i i i z i i -+=
===++, 1z i ∴=-,∴所以z 的虚部为-1
应选：A
【点睛】此题考察一共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，属于根底题.复数z a bi =+的实部为a ，
虚部为b .
3.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，以下描绘正确的选项是〔〕
A.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】B 【解析】 【分析】
由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．
【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46； 其中位数是
1
(2530)27.52
⨯+=，且数据分布比较分散； 乙组数据从小到大排列为：
17，20，21，23，24，26，31，31，32，35； 其中位数是
1
(2426)252
⨯+=，且数据分布比较集中； 所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐． 应选：B.
【点睛】此题考察利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是根底题． 4.{|A a =关于x 的不等式2
220ax ax +-<的解集为}R ，{|20}B a a =-<<，那么x A ∈是
x B ∈的()
A.既不充分也不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.充分而不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，可知当0a
=时满足条件，当0a ≠时，由不等式2220ax ax +-<的解集为R ，根
据一元二次不等式的性质求出a 的取值范围，进而得出集合A ，最后结合充分条件和必要条件的定义进展
判断即可． 【详解】解：当0a
=时，不等式2220ax ax +-<等价为20-<，
此时不等式的解集为R ，满足条件， 当0a
≠时，要使不等式2220ax ax +-<的解集为R ，
那么2
0480a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得020a a <⎧⎨-<<⎩
，得：20a -<<， 综上，{|A a =关于x 的不等式2
220ax ax +-<的解集为}{|20}R a a =-<≤，
{|20}B a a =-<<，
B A ∴，
即x A ∈是x B ∈的必要不充分条件， 应选：B ．
【点睛】此题考察充分条件和必要条件的判断，涉及一元二次不等式的性质的应用和集合间的关系，考察运算才能. 5.()1,4P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上－点，抛物线C 的焦点为F ，那么PF
=〔〕
A.3
B.5
C.7
D.8
【答案】B 【解析】 【分析】
求出抛物线方程，得到焦点坐标，然后求解即可． 【详解】解：(1,4)P 为抛物线2:
2(0)C y px p =>上一点，
即242p = 可得
8p =，所以(4,0)F ，
那么||5PF
=．
应选：B ．
【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，是根本知识的考察，属于根底题．
6.假设cos (1)1α+︒=，那么α
的一个可能值为〔〕
A.70︒
B.50︒
C.40︒
D.10︒
【答案】C 【解析】 【分析】
利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简等式，可得cos cos40α=︒，即可得出答案．
【详解】解：
cos (1)1α+︒=，
2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒
=
=︒︒
，
α的一个可能值为40︒.
应选：C ．
【点睛】此题考察利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进展化简，考察计算才能，属于根底题． 7.
ABC 的三个角A ，B ，C 成等差数列，三条边a ，b ，c 成等差数列，且2b =，那么ABC 的面积
的为〔〕
B.2 D.3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可得角B ，a c +，然后使用余弦定理，可得ac ，最后利用三角形面积公式，可得结果. 【详解】由题可知：A ，B ，C 成等差数列，三条边a ，b ，c 成等差数列 所以
2,2+=+=A C B a c b
由
,2π++==A B C b ，所以,43
π
=
+=B a c
又()2
2
222cos 3b
a c ac B a c ac =+-=+-，
所以4ac =
那么1
sin 2
ABC
S
ac B =
=应选：A
【点睛】此题考察等差数列与解三角形的综合应用，此题难点在于求得4ac =，熟悉公式，审清题意，属根底题.
8.α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是空间两条不同的直线，那么给出的以下说法中正确的选项是〔〕
①//m α，//n β，且//m n ，那么//α
β
②//m α，//n β，且m n ⊥，那么αβ⊥
③m α⊥，n β⊥，且//m n ，那么//αβ
④m α⊥，n β
⊥、且m n ⊥，那么α
β⊥
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.③④
【答案】D 【解析】 【分析】 .
【详解】①//m α，//n β，且//m n ，那么,αβ可能相交，故①错误； ②//m α，//n β，且m n ⊥，那么,αβ可能相交，也可能平行，故②错误； ③m α⊥，n β⊥，且//m n ，那么//αβ，根据线面垂直的性质可知③正确；
④m α⊥，n β
⊥、且m n ⊥，那么α
β
⊥，根据线面垂直的性质可知④正确.
应选：D.
【点睛】此题考察了空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；纯熟掌握定理是关键.
9.函数
321,0()2,0
x x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，那么2
(2)(3)f x f x +>的解集为〔〕
A.(2,)+∞
B.(,1)(2,)-∞⋃+∞
C.(,1)-∞-
D.(1,2)
【答案】B 【解析】 【分析】 通过求导判断函数在
(),0-∞的单调性，进而得出()f x 的单调性，利用单调性求得不等式的解集即可.
【详解】当0x <时，()321f x x x =-+，那么()232f x x x '=-，所以当0x <时，()0
f x '>恒成立，所以()f x 在(),0-∞为增函数，且()1f x <，
当0x ≥时，
()2x f x =为增函数，且()()01f x f =≥，所以()f x 在R 上为增函数，所以
2(2)(3)f x f x +>等价于223x x +>，解得2x >或者1x <.
应选：B.
【点睛】此题考察利用导数判断函数的单调性，考察利用单调性解不等式，考察推理才能，属于中档题.
10.x ，y 满足243130x x y ax y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
，且目的函数2z x y =+的最大值为9，那么a =〔〕
A.1
B.1-
C.2
D.2-
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据条件画出可行域，再根据目的函数2z x y =+的最大值为9，分析出何时2z x y =+最大，把点
的坐标代入即可求出实数a 的值.
【详解】解：不等式组243130x x y ax y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
表示的可行域如下列图，
因为目的函数2z
x y =+的最大值为9， 所以由图可知，2z
x y =+在过点A 时取最大值，
由43130
x y ax y +=⎧⎨
--=⎩，解得25413,33a A a a -⎛⎫
⎪++⎝⎭，
所以25413
2933
a a a -⨯
+=++，解得2a = 应选：C
【点睛】此题考察线性规划的简单应用，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目的函数赋予几何意义，数形结合求出何时取最值，属于根底题.
11.三棱锥S-ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，那么三棱锥S-ABC 的体积最大时，点S 到平面
ABC 的间隔为〔〕
A.2
B.2
C.3
D.2
【答案】C 【解析】 【分析】
采用数形结合，根据题意，点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，简单计算，
可得结果.
【详解】设点S 到底面的间隔为h ，那么1
3
△=-S ABC ABC V S h 当三棱锥S-ABC 的体积最大时，即h 最大 由题可知：
ABC 为边长为3的等边三角形，
那么点S 在底面的投影为ABC 的中心M ，且OS ⊥底面ABC
如下列图 又3AB =，所以2
sin 6033
=⋅⋅=AM AB
又2==OA OS ，所以1OM ==
所以3=+=SM
OM OS
应选：C
【点睛】此题考察立体几何的应用，此题关键在于知道点S 在底面的投影为
ABC 的中心时，三棱锥
S-ABC 的体积最大，考验分析问题的才能，审清题意，细心计算，属中档题.
12.设圆O 的半径为1，P ，A ，B 是圆O 上不重合的点，那么PA PB ⋅的最小值是〔〕 A.12
-
B.1-
C.14
-
D.18
-
【答案】A 【解析】 【分析】
通过取中点对向量的数量积转化，由圆的几何性质分析P 与劣弧AB 的关系，通过垂径定理建立PC 与CB
的关系，转化成函数求最值.
【详解】
取AB 的中点C ，劣弧AB 的中点D ，显然，P 在劣弧AB 上，
显然，P 为劣弧AB 的中点时，2
PC
最小
记
=PC a ，=BC b
由垂径定理可得，2
2(1)
1-+=a b ，可得222=-b a a
222211222()22⋅=-=-=--PA PB a b a a a ，当1
2a =时，取最小值12
-.
应选：A
【点睛】此题考察了平面向量的数量积，圆的几何性质，垂径定理，二次函数求最值问题，考察了数学运算才能和逻辑推理，数形结合才能和转化的数学思想，属于难题. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分． 13.等差数列{}n a 中，3
5a
=，815a =，那么6a =__________.
【答案】11 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，即可求出6a .
【详解】解：
等差数列{}n a 中，35a =，8
15a =，
∴1125
715
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得11a =，2d =，
612511a ∴=+⨯=．
故答案为：11．
【点睛】此题考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．
14.现有A 、B 、C 、D 、E ，5种在线教学软件，假设某要从中随机选取3种作为老师“停课不停学〞的教学工具，那么其中A ，B ，C 至少有2种被选取的概率为___________． 【答案】
710
【解析】 【分析】
先列出从5种在教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出其中A ，B ，C 至少有2种的情况，再利用古典概型公式计算即可.
【详解】解：从A 、B 、C 、D 、E ，5种在线教学软件随机选取3种的有： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 一共有10种等可能情况，
其中A ，B ，C 至少有2种被选取的有:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE 一共有7种， 所以所求概率为710
， 故答案为：
710
【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型，属于根底题.
15.双曲线2212
2:1(0,0)y x C a b a b -=>>与2
22:14
-=x C y 的渐近线一样，那么双曲线1C 的离心率为___________．
【解析】
【分析】
首先写出两条双曲线的渐近线方程，因为渐近线一样，得到
1
2
a b =，进而求得其离心率的值. 【详解】双曲线2
22:14
-=x C y 的渐近线方程为12y x =±，
而双曲线22
122
:1(0,0)
y x C a b a b -=>>的渐近线方程为a y x b =±， 所以
1
2
a b =， 所以双曲线1C
的离心率为c e a ====，
【点睛】该题考察的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，双曲线的离心率，属于简单题目. 16.函数
()1x f x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，假设
0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，那么实数a 的取值范围是___________．
【答案】2
1
(0,)e 【解析】 【分析】 根据常用不等式1x
e x >+，可转化为()00g x >，然后使用别离参数ln 1
<
-x a x x
，并构造函数
()ln 1
=
-x h x x x
，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--x M x e x ，()0,x ∈+∞
那么()1'=-x M x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x
所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >=
所以1x
e x >+
由01a <<，所以当()0,x ∈
+∞时，()10=-->x f x e ax
故假设0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >
转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00g
x >
那么()000ln 10=-->g x x ax ，即000
ln 1
<
-x a x x
令()ln 1=-x h x x x ，()2
2ln -'=x h x x 假设()20,x e ∈时，()0h x '>，假设()2,x e ∈+∞时，()0h x '<
所以函数()h x 在()20,e 递增，在()2,e +∞递减
所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e
所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为：21
0,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】此题考察导数的应用，此题难点在于对
()10=-->x f x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比方1x e x >+，属中档题.
三、解答题：一共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．
〔一〕必考题：一共60分
17.数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a . 〔Ⅰ〕求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列； 〔Ⅱ〕设2121n n n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12
n T <. 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕证明见解析.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕两边同时除以1n n a a -⋅得：1
111n n a a --=，即可得证; 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1n a n =，112121
n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证； 【详解】解:〔Ⅰ〕证明：当2n ≥时，由11---=⋅n n
n n a a a a ， 两边同时除以1n n a a -⋅得：1
111n n a a --=，
由11a =，得111a ， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1为公差的等差数列. 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知1n
a n =， 所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121n n n
b n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭
， 所以111111123352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
. 因为1021
n >+，故12n T <. 【点睛】此题考察构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于根底题.
18.在三棱柱11ABC
A B C -中，底面ABC 是正三角形，2AB =，侧棱1A A ⊥平面ABC ，D 、E 分别是AB 、1AA 的中点，且11A D B E ⊥．
〔I 〕求证：1B E
⊥平面1A CD ； 〔Ⅱ〕求1A 到平面1B CD 的间隔．
【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；
〔Ⅱ〕
5. 【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕推导出CD ⊥平面
11AA B B ，可得出1B E CD ⊥，再由11A D B E ⊥结合线面垂直的断定定理可证得1B E ⊥平面1A CD ；
〔Ⅱ〕根据题意得出111A EB A DA ∠=∠，进而可计算出1AA ，由〔I 〕知CD ⊥平面11AA B B ，设点1A 到平面1B CD 的间隔为h ，利用等体积法可得出有关h 的等式，解出即可.
【详解】〔Ⅰ〕在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，
CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．
在ABC 中，AC BC =，AD BD =，所以CD AB ⊥． 又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B ．
因为1B E
⊂平面11AA B B ，所以1CD B E ⊥． 又11B E A D ⊥，1A D CD D =，所以1B E ⊥平面1A CD ；
〔Ⅱ〕在矩形11AA B B 中，因11B E A D ⊥，所以111A EB A DA ∠=∠，
那么11
1tan tan A EB A DA ∠=∠，即1111A B AA A E AD =， 即112
112AA AA =，得12AA =．
在Rt BCD
中，CD ==
由〔Ⅰ〕知CD ⊥平面11AA B B
，所以CD =C 到平面11AA B B 的间隔，
在1Rt B BD △
中，1B D
==， 设点1A 到平面1B CD 的间隔为h ，那么1111A B CD C A B D V V --=三棱锥三棱锥，即
111113
3B CD A B D S h S CD ⋅=⋅， 即111111113232
CD B D h A B AA CD ⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅，
所以1111223232
⨯
=⨯⨯⨯ 解得h
=． 所以点1A 到平面1B CD 的间隔为5
. 【点睛】此题考察线面垂直的证明，同时也考察了利用等体积法计算点到平面的间隔，考察推理才能与计
算才能，属于中等题.
19.以下列图是某地5月1日至15日日平均温度变化的折线图，日平均温度高于20度低于27度时适宜户外活动，某人随机选择5月1日至5月14日中的某一天到达该地停留两天〔包括到达当日〕． 〔1〕求这15天日平均温度的极差和均值；
〔2〕求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率；
〔3〕由折线图判断从哪天开场连续三天日平均温度的方差最大〔写出结论，不要求证明〕
【答案】〔1〕19度，度；〔2〕
514
；〔3〕从5月7日开场连续三天的日平均温度方差最大. 【解析】
【分析】
〔1〕由折线图读出所有数据，最高温度40度，最低温度为21度，即可求出极差，利用求平均数的公式直接求平均数；
〔2〕由折线图可以得到只有一天的日平均温度适宜户外活动一共有3-4日，7-8日，8-9日，11-12日，14-15日这5种情况，然后利用求古典概型的概率的公式求解
〔3〕连续3天数据波动最大的，那么方差最大
【详解】解：〔1〕由折线图最高日平均温度40度，最低温度21度，故日平均温度的极差为402119-=度， 设日平均温度的均值为x ，那么 21232633363239254038302622252829.615
x ++++++++++++++==度 〔2〕由题意此人停留的可能时间是有14种情况，
只有一天的日平均温度适宜户外活动一共有3-4日，7-8日，8-9日，11-12日，14-15日这5种情况， 故概率514
P =． 〔3〕从5月7日开场连续三天的日平均温度方差最大．
【点睛】此题考察极差、平均数、方差，考察求古典概型的概率，属于根底题.
20.椭圆()22122
:10x y C a b a b +=>>和圆()2222:0C x y r r +=>，1F 、2F 为椭圆1C 的左、右
焦点，点(B 在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，2
r =．
〔I 〕求1C 的方程；
〔Ⅱ〕直线():0,0l y kx m k m =+>>与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M 、N ，求OMN 面积的最大值．
【答案】〔Ⅰ〕22
143
x y +=；〔Ⅱ〕14. 【解析】
【分析】
〔I 〕根据条件求得b 和a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；
〔Ⅱ〕将直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立，由0∆=可得出2243m k =+，并求出点M 的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线ON 的方程为1=-y x k ，与直线l 的方程联立可求得点N 的坐标，求得直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，利用三角形的面积公式以及根本不等式可求得OMN 面积的最大值． 【详解】
〔Ⅰ〕由题可知b =
设()1,0F c -，那么由1BF
与圆相切时r =
bc a =，即2a c =．② 将①②代入222
a b c =+，解得2a =，所以椭圆1C 的方程为22
143x y +=； 〔Ⅱ〕设点()11,M x y 、()22,N x y ，
将y kx m =+代入22143
x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=． 由直线l 与椭圆1C 相切得()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即2243m k =+，且
1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， 由直线l 与圆2C 相切，设1:ON y x k =-，与y kx m =+联立得222211km x k m
y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，
设直线():0,0l y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，那么,0m Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 所以OMN 的面积为
21221322143OMN m m m S OQ y y k k k =
⋅-=⋅-++△()()(
)222211124143212m k m k k k k k k k ===≤=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立， 所以OMN 的面积的最大值为
14． 【点睛】此题考察椭圆方程的求解，同时也考察了椭圆中三角形面积最值的求解，考察计算才能，属于难题.
21.函数()ln 1f x ax x bx =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴．
〔Ⅰ〕求a ，b 的值，并讨论()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕求证1000101001101()e ()1000100
<<，其中e 为自然对数的底数． 【答案】〔Ⅰ〕11a b =⎧⎨=-⎩
；()f x 在()0,1上单调递减；()f x 在(1,)+∞上单调递增；〔Ⅱ〕证明见解析.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据题意，得到(1)0(1)0f f =⎧⎨='⎩，解方程组，求得11
a b =⎧⎨=-⎩，从而求得()ln f x x '=，从而求得函
数()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得
()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立．之后应用分析法证明即可.
【详解】〔Ⅰ〕()ln f x a x a b =++，
由题意知(1)01(1)0
1f a f b ⎧==⎧⇒=-'⎨⎨=⎩⎩；()ln f x x '=， 令()0f x '=，解得1x =，
当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减；
当(1,)x ∈+∞时，
()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()()01x f f ≥=，
即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立． 要证101101e ()100<，只需证1011101ln()100
<． 在不等式ln 10x x x -+≥中， 令101100x =，那么有101101101ln()10100100100
-+>， 即101011ln()100100100>，即101110ln()100
<成立； 要证10001001()e 1000<，只需证10011000ln()11000
<， 即证10011ln()10001000<，只需证10001ln 10011000
>-， 即证10001000ln 101001
+>． 在不等式ln 10x x x -+≥中，令10001001x
=， 那么有100010001000ln 10100110011001-+>，即10001000ln 101001
+>成立 综上，不等式10001011001101(
)e ()1000100<<成立． 【点睛】该题考察的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目.
〔二〕选考题：一共10分，请考生从第22．23题中任选一题答题，并需要用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进展评分；多涂、多答，按所涂的首题进展评分；不涂，按本选考题的首题进展评分．
22.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，将曲线1C 绕极点逆时针旋转
23π后得到曲线2C . 〔Ⅰ〕求曲线2C 的极坐标方程；
〔Ⅱ〕假设直线l ：()R θαρ=∈与1C ，2C 分别相交于异于极点的A ，B 两点，求AB 的最大值.
【答案】〔Ⅰ〕24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭；〔Ⅱ〕 【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕设2C 上任意一点的极坐标为(),ρθ，结合条件可知2,3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭
在1C 上，再代入1C 的极坐标方程4sin ρθ=，即可得出2C 的极坐标方程；
〔Ⅱ〕根据题意，设
(),A A ρα，(),B B ρα，利用极径的几何意义得出|A B AB ρρ=-∣，再根据三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质，即可求出结果．
【详解】解：〔Ⅰ〕设2C 上任意一点的极坐标为
(),ρθ， 由于曲线1C 绕极点逆时针旋转23
π后得到曲线2C ， 那么2,3πρθ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
在1C 上， 而曲线1C 的极坐标方程为4sin ρ
θ=， 所以24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 故曲线2C 的极坐标方程为24sin 3πρ
θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕根据题意，可设(),A A ρα，(),B B ρα，
6πα⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭≤ 当且仅当3πα
=时等号成立， 故AB
的最大值为
【点睛】此题考察曲线的极坐标方程以及极径的应用，还涉及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，考察转化思想和运算才能.
23.函数()122f x x x =++-，()13g x x x m m =-++-.
〔Ⅰ〕求函数
()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕对于任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求m 的取值范围.
【答案】〔Ⅰ〕2；〔Ⅱ〕31,42⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦. 【解析】
【分析】 〔Ⅰ〕分类讨论去绝对值，得出分段函数()31,13,1131,1x x f x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩
，根据一次函数的单调性，得到
()f x 的单调性，即可求出()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕根据绝对值三角不等式的性质得出1(3)m m g x +≥-，由任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得12()()f x g x ≥成立，得出()()min min f x g x ≥，即213m
m ≥+-，最后利用绝对值不等式的解法，即
可求出m 的取值范围． 【详解】解：〔Ⅰ〕()31,11223,1131,1x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩
，
(],1∴-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
()()12min f x f ∴==，
故当1x =时，()f x 获得最小值2.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得
()min 2f x =，
而()1313g x x x m m x x m m =-++-≥----13m m =+-，
当1x =时等号成立，
由题意知，对任意1x R ∈，存在2x R ∈使得()()12f x g x ≥成立，
那么()()min min f x g x ≥， 即213m m ≥
+-， 所以2220(2)(13)
m m m +≥⎧⎨+≥+⎩， 解得：3142
m -≤≤， 即m 的取值范围为31,42⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范围，考察转化思想和运算才能．。