[2021精选]第2章2.2-2.2.3等差数列的前n项和

第2章 数列
2.2 等差数列
等差数列的前n 项和
A 级 根底稳固
一、选择题
1．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10等于( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
解析：根据等差数列的前n 项和公式S n ＝〔a 1＋a n 〕n 2
， 可得S 10＝〔a 1＋a 10〕·102
＝5(a 1＋a 10)＝120⇒a 1＋a 10＝24. 答案：B
2．在等差数列{a n }中，前15项的和S 15＝90，那么a 8等于( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
答案：C
3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 4＝20，S 2＝4，那么公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20⇒⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝3.
答案：B
4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( )
A.n 〔3n ＋8〕2
B.〔n ＋2〕〔3n ＋8〕2
C.〔n ＋3〕〔3n ＋8〕2
D.n 〔3n －1〕2
解析：根据题意，记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，那么1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋
3)－2]＝〔n ＋3〕〔3n ＋8〕2
. 答案：C
5．假设等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，那么a 2等于
( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：S 3＝3a 1＋3×22
d ＝9，且a 1＝1， 所以d ＝2，所以a 2＝a 1＋d ＝3.
答案：A
二、填空题
6．假设一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有________项．
解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.
由S n ＝390，知n 〔a 1＋a n 〕2
＝390， 所以n ·602
＝390，解得n ＝13. 答案：13
7．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所
有偶数项的和为150，那么n ＝________．
解析：(1)由S 奇S 偶＝〔n ＋1〕·〔a 1＋a 2n ＋1〕2n ·〔a 2＋a 2n 〕2
＝n ＋1n ＝165150. 解得：n ＝10.
答案：10
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n ＝________．
解析：a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3，
所以公差d ＝a 5－a 15－1
＝－3＋114＝2. 法一：由d ＝2>0可知，数列{a n }是递增数列．
a n ＝－11＋2(n －1)＝2na n ＝0，得n ＝612
. 所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<….
故数列{a n }的前6项和最小．
法二：S n ＝na 1＋n 〔n －1〕2
d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36. 所以当n ＝6时，S n 最小．
答案：6
三、解答题
9．等差数列51，48，45，….
(1)第几项开始为负？
(2)前多少项的和最大？
解：(1)易得a 1＝51，d ＝48－51＝－3，
故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.
由－3n ＋54≤0得n ≥项开始为负．
(2)由a18＝0，且a1>0，d<0，故前17项或前18项的和最大．
10．数列{b n}的前n项和S n＝9－6n2，假设b n＝2n－1a n，求数列{a n}的通项公式．
解：当n＝1时，b1＝S1＝9－6×12＝3，。