双塔区二中学校2018-2019学年高二上学期二次月考试卷数学

双塔区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆ ）
C. 1
D. 1
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
2． 过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．
﹣
=1
B ．
﹣
=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1
3． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
4． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
5． 将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣
＜θ＜
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）
的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（ ）
A ．
B ．π
C ．
D ．
6． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1
7． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4
B ．﹣4
C ．0
D ．2
8． 10y -+=的倾斜角为（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
9． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ） A ．e x+1 B ．e x ﹣1 C ．e ﹣x+1 D ．e ﹣x ﹣1
10．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．15
B ．
C ．15
D ．15
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 11．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
12．四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
二、填空题
13．当时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围 ．
14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．
15．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当
四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________． 16．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
17．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
18．= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知函数2
1()cos cos 2
f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,
]2
π
上的最大值和最小值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]
20．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷合计
男 女 总计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=
P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024
6.635
7.879 10.83
21．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．
22．已知函数f（x）=．
（1）求f（f（﹣2））；
（2）画出函数f（x）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域．
23．已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别
交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求B、C两点间的距离．
24．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．
双塔区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF
PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴2222
12124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，
2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径
12122PF PF F F r c +-=
=，外接圆半径R c =.1
2
c c =，整理，得
2()4c
a
=+1e =，故选D. 2． 【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y 2
=λ，
把（2，﹣2）代入方程
﹣y 2
=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A ．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
3． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2
=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故
=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
4． 【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1+1，a 3+2，a 5+3构成等比数列，
得：（a 3+2）2
=（a 1+1）（a 5+3），
整理得：a 32
+4a 3+4=a 1a 5+3a 1+a 5+3
即（a 1+2d ）2
+4（a 1+2d ）+4=a 1（a 1+4d ）+4a 1+4d+3．
化简得：（2d+1）2
=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
5． 【答案】C
【解析】函数f （x ）=sin （2x+θ）（﹣＜θ＜
）向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P （0，），
所以sin θ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=
，
所以g （x ）=sin （2x+﹣2φ），
sin （﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2k π+，k ∈Z ，此时φ=k π，k ∈Z ，
或
﹣2φ=2k π+
，k ∈Z ，此时φ=k π﹣
，k ∈Z ，
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
6． 【答案】C 【解析】
考点：指数函数的概念． 7． 【答案】A
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A （6，2），
化目标函数z=x ﹣y 为y=x ﹣z ，
由图可知，当直线y=x ﹣z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 故选：A ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8． 【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 9． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x
，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x
的图象关于y 轴对称，
所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）
=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．
故选D ．
10．【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
1010
1
1
32
6
E V
D C
B
A
11．【答案】C
12．【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面
PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD
所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1
考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：当
时，函数y=4x
的图象如下图所示
若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y=log a x 的图象恒在y=4x
的图象的上方（如图中虚线所示） ∵y=log
a x 的图象与y=4x
的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的
y=log a x 的图象对应的底数a 应满足
＜a ＜1
故答案为：（，1）
14．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
15．【答案】
【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.
圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，
∴四边形P ACB的周长为2（P A＋AC）
＝2PC2－AC2＋2AC＝2PC2－9＋6.
当PC最小时，四边形P ACB的周长最小．
此时PC⊥l.
∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0
，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行， 即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝9
2
.
即△ABC 的面积为9
2
.
答案：92
16．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.
17．【答案】 ．
【解析】解：ρ==，tan θ=
=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=
．
∴点P 的极坐标为．
故答案为：
．
18．【答案】 2 ．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）最大值为，最小值为32-；（2）14
. 【解析】
试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(2)16
f x x π
=--
再利用()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><
的性质可求在[0,]2
π
上的最值；（2）利用()0f B =,可得B ,再由余弦定理可得AC ,再据正弦定理可得sin A .1
试题解析：
（2）因为()0f B =，即sin(2)16
B π
-
=
∵(0,)B π∈，∴112(,
)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3
B π
= 又在ABC ∆中，由余弦定理得，
2221
2cos 49223732b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC .
由正弦定理得：sin sin b a B A =3sin sin 3
A =，所以sin 14A =.
考点：1.辅助角公式；2.()sin()(0,||)2
f x A x b π
ωϕωϕ=++><
性质；3.正余弦定理.
【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 20．【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：
非体育迷体育迷合计
男30 15 45
女45 10 55
总计75 25 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．
∵3.030＜3.841，
∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j（j=1，2）表示女性．
设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．
∴P（A）=．
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1；
从而有；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f（x）==﹣+；
由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…
（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），
即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…
又因f（x）是R上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x，…
解得x∈R．…
22．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=．
f（﹣2）=﹣2+2=0，
f（f（﹣2））=f（0）=0.3分
（2）函数的图象如图：…
单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）…
由图可知：
f（﹣4）=﹣2，f（﹣1）=1，
函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t得，y2=4x．
（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），
代入抛物线方程得可得，
∴，t1t2=14．
∴|BC|=|t1﹣t2|===8．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．24．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．
（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．。