2018届人教B版高考考点一点一练 考点3 函数的性质及其应用
全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3导数与函数的综合应用课件文北师大版
当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－2) －2 －2，－23 －23 －23，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c
c－3227
所以，当 c>0 且 c－3227<0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－23， x3∈－23，0，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由 f(x)的单调性知，当且仅 当 c∈0，3227时， 函数 f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c 有三个不同零点．
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
(2)因 V(r)＝5π(300r－4r3)(0<r<5 3)， 故 V′(r)＝π5(300－12r2)， 故 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 所以当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大.
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x) ＋
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：第一单元 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
函数的性质和有界性求最值.
跟踪训练 2
求实数a的值.
已知函数
π π 2 x ＋ 0 ， y＝acos ＋3，x∈ 的最大值为 3 2
4，
解
当
π π 4π π π 1 ∵x∈0，2，∴2x＋3∈3， 3 ，∴－1≤cos2x＋ ≤ . 3 2
最小值－1？余弦函数的周期性如何？
答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.
答案
思考3
观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些
区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
π π [－ ＋2kπ， ＋2kπ](k∈Z) 2 2 在_______________________ π 单调性 [ ＋2kπ， 2 上单调递增；在___________ 3π ＋2kπ] (k∈Z)上单调递减 2
最值
π 在 x＝2＋2kπ (k∈Z) 时，ymax 在 x＝2kπ (k∈Z) 时，ymax＝1； π 在 x＝π＋2kπ (k∈Z) 时，ymin ＝1； 在 x＝－2＋2kπ (k∈Z) 时， ＝－1 ymin＝－1
类型二 余弦函数的值域或最值
例2 求函数 y＝3cos2x－4cos
π 2π x＋1，x∈3， 3 的值域.
解
y＝3cos x－4cos
2
x＋1＝3 cos
1 1 x∈－2，2.
2018年高考数学考点一遍过专题05函数的基本性质理
考点05 函数的基本性质（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、函数的单调性 1．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．学.科 3．函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y 的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性：①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；②b y ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．4．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数()1log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．三、函数的周期性 1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .考向一 判断函数的单调性1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．典例1 函数()()212log f x x x=-的单调递增区间是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C典例2 已知函数()()xx a x af x =≠-． （1）若2a =-，试证：()f x 在(),2-∞-上单调递增； （2）若0a >且()f x 在(1,)+∞上单调递减，求a 的取值范围． 【解析】任设122x x <<-， 则()()12121221212()22(2)(2)f x x x x x x x x x f x --=-=++++. 因为12()22(0)x x >＋＋，120x x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递增．【名师点睛】函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的．1．“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．典例3 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，则A ．()()()324f f f <<B ．()()()123f f f <<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()310f f f << 【答案】D典例4 已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(32)f x f x -+≥--.则31022x x x <⎧--⋅≤⎪⎨⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．解法二：由()()()1()21221f f f f =⇒+=-，∴()()()4222f f f =+=-， ∴()()()34f x f x f -≥-+，即()3]4[()f x x f -≥-，则030(3)4x x x x -->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．2．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++在区间(),1-∞上是单调递减函数，则实数的取值范围是 ．考向三 函数最值的求解1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[]a b ，上是减函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f b ，最大值为()f a .2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.典例6 已知函数()223f x x x =--，若x ∈，求函数f (x )的最值．设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3．对于任意实数,a b ，定义,{},min ,a a bb a b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数()()(){n }mi h x f x g x =，的最大值是________．考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例7 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C ．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C典例8 下列判断正确的是ABCD ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B对于D ，1)(=x f 的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122xxy =+D ．sin 2y x x =+ 考向五 函数奇偶性的应用1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()()f x f x -=，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解.（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称．典例9 已知定义在R 上的奇函数满足()()220f x x x x +≥=，若2()(32)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－3,1)典例10 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】()()5,05,-+∞当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，()14)1(f g +-=，则g (1)等于 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1考向六 函数周期性的判断及应用（1）判断函数的周期，只需证明()()()0f x T f x T =+≠，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例11 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数． 其中正确的序号是 ． 【答案】①②③6．已知函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f ->，()1732a f a+=-，则实数的取值范围是 A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()2,1-C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例12 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，则 A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D7．设()f x 是(－∞，＋∞)上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x ＝. （1）求()πf 的值；（2）当44x ≤≤－时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积； （3）写出(－∞，＋∞)内函数()f x 的单调区间．1．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是A C ．cos y x = D ．22x y x =+ 2．已知函数()212x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是 A ．(),-∞+∞ B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-和()2,-+∞3．已知()f x 满足对x ∀∈R ，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()e xf x m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为A ．4B ．-4C ．6D ．-64．若()f x 为奇函数，且0x 是()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是A ．()e1xy f x -=-⋅- B ．()e 1x y f x =⋅+C ．()e 1xy f x =⋅- D ．()e 1xy f x =-⋅+5．已知()()f x g x ,是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x ,均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x =-+，且当,0[]2x ∈-时，()1()12x f x =-.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 21)0(a f x x a =+>-恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1D ．2)7．定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}|0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21,01,()1,1,x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩2()log (0)g x x x =>，若存在实数，使得()()f a g b =成立，则实数的取值范围是A ．[2,2]-B ．11[2,][,2]22--C ．11[,0)(0,]22-D ．(,2][2,)-∞-+∞ 8．函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 .9．函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a = .10．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )=4x ，则f (52-)+ f (1)= .11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足||1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若a ，b ∈，a ＋b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+成立．（1）试判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明； （2）解不等式11()()21f x f x +<-； （3）若()221f x m am ≤-+对所有的,1[]1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．1．（2017浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2．（2017新课标全国Ⅰ理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．（2017北京理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．（2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<5．（2016山东理科）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则f (6)= A ．−2 B ．−1 C ．0D ．26．（2015湖北理科）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7．（2017浙江）已知a R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________．1．【答案】C【解析】充分性：当0a <时，0x >，则()2|()|1f x ax x ax x ==-+-为开口向上的二次函数，且对称轴为102x a=<，故在区间(0,)+∞上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 在区间(0,)+∞上为增函数． 必要性：当0a ≠时，1()0f a =，f (0)＝0，由f (x )在(0,)+∞上为增函数知，10a<，即0a <；当a＝0时，f (x )＝x 在区间(0,)+∞上为增函数，故0a ≤.综上可知，“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的充分必要条件.故选C. 2．【答案】[]3,2--3．【答案】1【解析】依题意，()2log ,023,2x x h x x x <≤⎧=⎨-+>⎩.当02x <≤时，()2log h x x =是增函数；当2x >时，()3h x x =-是减函数，则()h x 在2x =时，取得最大值，且()21h =.4．【答案】A【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122xx f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x xx xf x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．5．【答案】B【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()2(11)f g -+=，即()()112f g -+= ①.()14)1(f g +-=，即()()114f g += ②.由①＋②得g (1)＝3，故选B ．6．【答案】C【名师点睛】利用周期性（对称性）求参数的取值范围，一般是将含有参数的函数值利用周期性（对称性）转化为已知的函数值，再利用已知条件得出参数的不等式，解出参数的取值范围． 7．【解析】（1）由()()2f x f x +=-，得()422()[2()]()f x f x f x f x =++=-=++，∴()f x 是以4为周期的周期函数，∴()()(π14ππ)44π4ππ4()()f f f f =-=-=--=--=+-⨯. （2）由()f x 是奇函数与()()2f x f x +=-，得12[()]()[(1]1)f x f x f x --=--+=-，即()1()1f x f x =+-．从而可知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，则()f x 的图象如图所示：设当44x ≤≤－时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则144(21)42OAB S S ==⨯⨯⨯=△.（3）函数()f x 的单调递增区间为41,4[1]()k k k -+∈Z ，单调递减区间为41,4[3]()k k k ++∈Z ．1．【答案】B【解析】对于A B 是偶函数，当0>x 时，x y lg =是增函数；对于C ，x y cos =是偶函数，但在()∞+，0不是单调递增函数；对于D ，x x y 22+=是非奇非偶函数，故选B. 2．【答案】D【解析】由20x +≠得2x ≠-，所以函数()f x 的定义域是()(),22,-∞-+∞，因为()213222x f x x x +==-++，所以函数()f x 在(),2-∞-和()2,-+∞上是增函数，所以函数()y f x =的单调增区间是(),2-∞-和()2,-+∞，故选D ． 3．【答案】B4．【答案】B【解析】由题意可得()00e 0xf x -=，所以()e0xf x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10xf x +=有一个零点为0x -.选B. 5．【答案】B【解析】一方面，若()()f x g x ,均为偶函数，则()()(),()f x f x g x g x -=-=，因此()h x -=()()()()()f x g x f x g x h x --==，∴()h x 是偶函数；另一方面，若()h x 是偶函数，但()()f x g x ,不一定均为偶函数，事实上，若()()f x g x ,均为奇函数，()h x 也是偶函数，因此，“()()f x g x ,均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的充分不必要条件，故选B. 6．【答案】D∴在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 21)0(a f x x a =+>-恰有3个不同的实数根可转化为函数()f x 的图象与()log 2a y x =+的图象有且只有三个不同的交点，则log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得a ∈2). 7．【答案】B【解析】∵21,01,()1,1,x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩∴当01x ≤<时，21[0,1)x -∈，当1x ≥时，1(0,1]x ∈，即0x ≥时，()f x 的值域为[0,1].∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴0x ≤时()f x 的值域为[1,0]-.∴在R 上的函数()f x 的值域为[1,1]-．∵定义在{}|0x x ≠上的偶函数()g x ，0x >时2()log g x x =，∴2()log (0)g x x x =≠. ∵存在实数，使得()()f a g b =成立，∴令1()1g b -≤≤，即21log 1b -≤≤，即122b ≤≤， ∴122b ≤≤或122b -≤≤-．故选B ． 8．【答案】2 【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 9．【答案】4 【解析】函数()f x 为偶函数, ()()11f f ∴=-,即()()()()114114a a +-=-+--,解得4a =.10．【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)f f -=，即(1)f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.11．【答案】13(,)22学’12．【解析】（1）任取12[,1]1,x x -∈，且12x x <，则21,[]1x --∈．∵()f x 为奇函数，∴()()()1212121212)()()(()()x f x f x f x f x f x x x x x f -=+-++---=⋅.由已知得1212)()(()x f x x f x +-+->0，12x x -<0，∴()()12f x f x -<0，即()()12f x f x <，∴()f x 在[]1,1-上单调递增．（2）∵()f x 在[]1,1-上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤≤⎪-⎩，解得312x -≤<-.∴不等式11()()21f x f x +<-的解集为3{|1}2x x -≤<-. （3）∵()11f =，()f x 在[]1,1-上单调递增，∴在[]1,1-上，()1f x ≤.则问题转化为2211m am -+≥，即220m am -≥对,1[]1a ∈-恒成立．下面来求m 的取值范围． 设()220g a ma m +-≥=.①若m ＝0，则()00g a =≥，对,1[]1a ∈-恒成立．②若m ≠0，则()g a 为关于a 的一次函数，若()0g a ≥对,1[]1a ∈-恒成立，必须()10g -≥，且()10g ≥，∴2m ≤-或2m ≥.∴m 的取值范围是m ＝0或2m ≥或2m ≤-.1．【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 2．【答案】D【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 3．【答案】A【解析】()()113333x xxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性. 4．【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 5．【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.6．【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.7．【答案】9(,]2-∞4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得92a =或92a <． 综上可得，实数的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．。
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
7
[预习导引] 函数y＝tan x的性质与图象见下表(表中k∈Z)
y＝tan x
图象
定义域
π {x|x∈R，且 x≠kπ＋2}
8
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
值域 周期
R 最小正周期为 π 奇函数
奇偶性 单调性 对称性 在开区间
π π kπ－ ，kπ＋ 2 2 kπ 对称中心： ，0 2
k∈Z.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
15
(2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
解
∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0，
π π 显然－2<2－π<3－π<1<2，
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
14
要点二
例
正切函数的单调性及应用
解
1 π 2 (1)求函数 y＝tan－2x＋4的单调区间； 1 1 π π y＝tan－2x＋4＝－tan2x－4，
π 1 π π 由 kπ－2<2x－4<kπ＋2，k∈Z， π 3 得 2kπ－2<x<2kπ＋2π，k∈Z， 1 π π 3 ∴ 函数 y ＝ tan －2x＋4 的单调递减区间是 2kπ－2，2kπ＋2π ，
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预习导学
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[知识链接]
1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
(完整word版)2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳
2018高考一轮复习函数知识点及题型归纳一、函数的及其表示题型一：函数的概念映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集．．．．．，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象的集合A 叫做定义域，象的集合C 叫做函数()y f x =的值域． 映射的基本条件：1. 可以多个x 对应一个y ，但不可一个x 对应多个y 。
2. 每个x 必定有y 与之对应，但反过来，有的y 没有x 与之对应。
函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。
例1：已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. f ∶x →y=21x B. f ∶x →y=x 31 C. f ∶x →y=x 32 D. f ∶x →y=x例2：设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ）例3：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（1）)(x f ＝x ，)(x g ＝xx 2； （2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1；（3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1； （4）)(x f ＝2x ，)(x g ＝2)(x ；题型二：函数的表达式1. 解析式法例4：已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .真题：【2017年山东卷第9题】设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【2015高考新课标1文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 2. 图象法例5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是_______________ 例6：向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（ ）例7：如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，l //1l ，l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点.设弧FG 的长为x(0＜x ＜π),y=EB+BC+CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y=f(x)的图像大致是( )真题：【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是st OA ．st Ost OstOB ．C ．D ．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3.表格法例8：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出x 123x 123f(x)131g(x)321则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．题型三：求函数的解析式.1. 换元法例9：已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f =变式1：已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =变式2：已知f （x 6）＝log 2x ，那么f （8）等于2.待定系数法例10：已知二次函数f (x)满足条件f (0)=1及f (x+1)-f (x)=2x 。
2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破专题05三角函数图象与性质-Word版含解析.doc
1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π32．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B .32 C.22D ．1 解析：由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.答案：B3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π12 C.π3 D.5π6解析：∵y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴将函数图象向左平移m 个单位长度后得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m 的图象，∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z)，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z)，又m >0，∴m 的最小值为π6.答案：A4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15解析：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件． 答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．±346．设a ＝tan 130°，b ＝cos(c os 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >c >a解析 a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B. 答案 B7．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.答案 A8．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数9．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32.答案 A10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的图象如下，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)等于( )A ．0B ．503C ．1 006D ．2 01211．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4递减，故选C.答案 C12．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象解析 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，故选C.答案 C13．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 008π3的值为( )A ．－2B ．2C ．－ 3D. 314．函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π315．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.答案：π216．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z，所以ω＝3k ，k ∈Z，因为ω>0，k ∈Z，所以ω的最小值为3. 答案：317．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．18．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有19．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
函数的应用 2018届高考数学高频考点解析
函数的应用考点1 函数的零点题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断 调研1 在下列区间中,A B CD 【答案】C【解析】因为1411()e 40,e 20,1042xf x f f ⎛⎫⎛⎫'=+>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选C ． ☆技巧点拨☆确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定. 题组二 函数零点个数的判断 调研2A B C D【答案】C(如图所示)，它们有2个交点，所以函数 2.故选C．☆技巧点拨☆函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.题组三函数零点的应用问题调研3 已知函数12log,02,0xx xx>⎧⎪⎨⎪≤⎩，若关于,ABCD【答案】D12log,02,0xx xx>⎧⎪⎨⎪≤⎩时，由图知，故选D．☆技巧点拨☆高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.考点2 函数模型及其应用题组一二次函数模型的应用调研1 近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:单位:万元)单位:万元)设单位:万元),单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【解析】(1),此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,万元).(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资,,解得,,则,,即万元时,的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 题组二 指数函数、对数函数模型的应用调研 2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,经过,.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据【解析】依题意,=代入式子得==0.47711010.3010⎛⎫+≈⎪⎝⎭故降温到95F 约需要25.9分钟.调研3 声强级单位,(单位(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为求人听觉的声强级范围;(2)在一演唱会中,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?【解析】(1)由题知∴人听觉的声强级范围是(2)由题知.题组三分段函数模型的应用调研4 经市场调查,某商品在过去的100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间单位:天)的函数,() 60,1601150,611002t ttt t+≤≤⎧⎪∈⎨-≤≤⎪⎩N,(1);(2)若销售额超过16610元,商家认为该商品的收益达到理想程度,请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?【解析】(1)由题意知,()()2214012000160,12503000061100,2t t t tt t t t⎧-++≤≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩NN.(2)所以,,元),所以,,元).若销售额超过16610元,,函数单调递减,故只有第61天满足条件.,,,所以第53,54,…,60天,满足条件.即满足条件的天数为第53,54,…,60,61天,共9天.☆技巧点拨☆解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.强化训练1．（百校联盟2018届TOP20一月联考）命题7:12p a-<<，命题:q函数()12xf x ax=-+在()1,2上有零点，则p是q的A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C2．（绵阳市高中2018届第一次诊断性考试）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A．13 B．14C ．15D ．16【答案】C3．（河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测（模拟））已知函数()()2,021,0x a x f x a x x ⎧-≤=∈⎨->⎩R ，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(],1-∞ C ．[1,0)- D ．(]0,1【答案】D 【解析】显然12x =是()f x 的一个零点，故方程20xa -=在(],0-∞上有解.再根据当(,0]x ∈-∞时，021x <≤，可得01a <≤.4．（湖南省衡阳县2018届高三12月联考）某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.10.041,lg20.301==） A ．2022年 B ．2023年 C ．2024年 D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n≥，两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C.5．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当03x ≤≤时，()2f x x =-；当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()|ln |||y f x x =-的零点个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6【答案】C6．（广西南宁市2018届高三（上）9月摸底）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当x ∈[﹣2，0]时，()12xf x ⎛=- ⎝⎭，若在区间（﹣2，6）内关于x 的方程()log 2)(0a f x x -+=（a＞0且a ≠1）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是 A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．（1，4）C ．（1，8）D ．（8，+∞）【答案】D 【解析】∵对于任意的x ∈R，都有()()22f x f x -=+，∴()()()4[22][2f x f x f x +=++=+()2]f x -=，∴函数()f x 是一个周期函数，且4T =，又∵当[]20x ∈-，时，()1xf x =-⎝⎭，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有4个不同的实数解，则函数()y f x =与()()log 21a y x a =+>的图象在区间()2,6-上有4个不同的交点，如下图所示：又()()()2261f f f -===，则对于函数()log 2a y x =+，由题意可得，当6x =时的函数值小于1，即log 81a <，由此解得8a >，∴a 的取值范围是()8+∞，，故选D ． 7．（2017-2018,且【答案】998．（北京东城27中学2018届高三上学期期中考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】5 8 【解析】2518y x x x =-+-2518x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭8≤．当且仅当5x =时，等号成立，max8y x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年．9．（2017-2018学年天津市南开中学2018三个不同的零点,__________. 【答案】10．（北京市海淀区2018届高三上学期期中考试）设在海拔x （单位：m ）处的大气压强为y （单位：kPa ），y 与x 的函数关系可近似表示为100e ax y =，已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa ，则根据函数关系式，在海拔2000 m 处的大气压强为__________kPA ． 【答案】81【解析】将()1000,90代入100e ax y =，可得ln 0.91000a =，则y 与x 的函数关系可近似表示为2000x =时，()2ln0.9100e 81y ==，故填81.11．（北京市昌平区2018届高三上学期期末考试）若函数()4,3log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)1,1- (]1,3 【解析】①a =13时，画出函数()f x 的图象，如图所示：若函数()g x 无零点，则y =k 和()y f x =无交点， 结合图象，可知﹣1≤k ＜1；②若0＜a ＜1，显然()f x 无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得a =3， 故a ∈（1，3].12．（2017-2018学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12l y =.∴当且仅当6lx =时，2max 12l y =.综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l时，最大面积为212l .13．（2017-2018学年山东省德州市2018届高三上学期期中考试）水培植物需要一种植物专用营养液,已知个单位的营养液,(克/升)随着时间 (天)变化的函其中()()30235(25)xx f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩,若多次投放,则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和,根据经验,当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时,它才能有效.(1)若只投放一次2个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天?(2)若先投放2个单位的营养液,3,要使接下来的2天中,营养液能够持续有效,. 【答案】(1) 3；14．（2017-2018学年湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考）省环保研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污与时刻时)的关系为,且的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作(1)令[]0,24t x=∈.;(2)(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是否超标.【答案】(2)()71,0642113,342a aM aa a⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩；(3)当49a≤≤时不超标,当4192a<≤时超标.真题链接1．（2016四川理科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2018年B．2019年C ．2020年D ．2021年【答案】B2．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D ．【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C4．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e kx by +=（e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C的保鲜时间是_________小时.【答案】24。
2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用重点强化课1函数的图像与性质教师用书文北师大版
重点强化课(一) 函数的图像与性质[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图像的应用已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34A [画出函数f (x )的图像，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cosπx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图像(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1. 12分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k |x |的图像恰有两个交点，借助函数图像(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2. 12分[规律方法] 1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y＝f (x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x)>f (－x)－2x的解集是________．图1(－1,0)∪(1，2] [由图像可知，函数f (x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f (x)与y＝－x的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·南昌二模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)＜f (log 25) B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 25)＜f (log 53) C ．f (log 53)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 25) D ．f (log 25)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)(2)(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)D (2)C [(1)因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)，而log 53＜log 35＜log 25，则根据f (x )在[0，＋∞)上是递减函数，得f (log 53)＞f (log 35)＞f (log 25)，即f (log 25)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＜f (log 53)，故选D.(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f (x )＝a sin2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.－3 [令g (x )＝a sin2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图像与性质的综合应用(1)(2017·郑州二检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482084】A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)(1)D (2)C [(1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0的图像如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图像与函数f (x )＝x ＋a 的图像有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] (2017·云南二次统一检测)已知f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (3＋2x )＝f (7－2x )，若f (x )＝0恰有n 个不同实数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n＝________.15 [由f (3＋2x)＝f (7－2x)得函数f (x)的图像关于直线x＝5对称，则f (x)＝0的n个实根的和为5n＝75，解得n＝15.]。
全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1导数与函数的单调性课件文北师大版
设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反 或导数值 异号 ，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的 极值．
(2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为 极大值 点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为 极小值 点．
(3)求可导函数极值的步骤：
【训练1】 设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调 性．
解 f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1) ＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2] ＝ex(ax＋1)(x＋2) ＝aexx＋1a(x＋2) ①当 a＝12时，f′(x)＝12ex(x＋2)2≥0 恒成立， ∴函数 f(x)在 R 上单调递增；
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)
上一定有f′(x)>0.
()
(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．
()
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． ()
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一
定是极小值．
()
解 析 (1) 函 数 f(x) 在 (a ， b) 上 单 调 递 增 ， 则 在 (a ， b) 上 有 f′(x)≥0，故(1)错． (2)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，(2)错． (3)如f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，而函数f(x)在R上为增函 数，所以x＝0不是极值点，故(3)错． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
＝
()
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，当
近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 重点强化训练1 函数的图像与性质教师用书 文 北师大
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重点强化训练(一）函数的图像与性质A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．设函数f (x）为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x）＝log2x，则f (－错误!）＝（）【导学号:66482085】A．－错误!B．错误!C．2 D．－2B［因为函数f （x）是偶函数，所以f （－2)＝f （错误!)＝log2错误!＝错误!。
］2．已知f （x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1）＋g(1)＝（)A．－3 B．－1C．1 D．3C[用“－x”代替“x”，得f (－x)－g（－x）＝(－x)3＋(－x）2＋1，化简得f （x）＋g（x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1,得f (1)＋g（1）＝1，故选C。
]3．函数f （x）＝3x＋错误!x－2的零点所在的一个区间是( )A．（－2，－1) B．（－1，0)C．(0，1) D．（1，2)C［因为函数f （x）在定义域上递增，又f (－2)＝3－2－1－2＝－错误!＜0，f （－1）＝3－1－错误!－2＝－错误!＜0，f (0）＝30＋0－2＝－1＜0，f (1）＝3＋错误!－2＝错误!＞0,所以f (0)f (1）＜0，所以函数f (x)的零点所在区间是（0,1)．］4．已知函数f （x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,＋∞)上递增．若实数a满足f (log2a）＋f (log错误!a）≤2f （1）,则a的取值范围是( ）A．［1,2］B．错误!C.错误!D．(0,2]C[∵f (log错误!a)＝f （－log2a)＝f (log2a），∴原不等式可化为f (log2a）≤f （1)．又∵f (x)在区间［0,＋∞)上递增，∴0≤log2a≤1,即1≤a≤2.∵f （x)是偶函数,∴f （log2a)≤f （－1）．又f （x)在区间（－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴错误!≤a≤1。
人教版高中数学必修一函数及其性质知识点归纳总结(精华版)
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质知识点归纳总结(精华版) 单选题1、已知函数f(x)，x≠0，且f(x)满足f(1x )+1xf(−x)=2x，则f(2)的值是（）A．4.5B．3.5C．2.5D．1.5答案：A解析：由已知条件得出关于f(2)和f(−12)的方程组，进而可求得f(2)的值.由于函数f(x)满足f(1x )+1xf(−x)=2x，则{f(2)+2f(−12)=1f(−12)−12f(2)=−4，解得{f(2)=92f(−12)=−74.故选：A.小提示：本题考查函数值的计算，建立关于f(2)和f(−12)的方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2、已知函数f(x)=x(|x|+1)，若f(a−2)+f(a2−2a)<0，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−1,2)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−∞,−1)∪(2,+∞)答案：B解析：首先根据题意得到f(x)为奇函数，且在R上单调递增，根据f(a−2)+f(a2−2a)<0得到a2−2a<2−a，再解不等式即可.因为函数f (x )的定义域为R ，f (−x )=−f (x )，所以f (x )为奇函数，又因为当x ≥0时，f(x)=x 2+x 单调递增，所以f (x )在R 上单调递增.因为f(a −2)+f (a 2−2a )<0，所以f (a 2−2a )<−f(a −2)，则f (a 2−2a )<f(2−a)，即a 2−2a <2−a ，解得−1<a <2.所以a 的取值范围为(−1,2).故选：B3、已知函数f(x)={x 2,x ≥0x +1,x <0，则f(−1)的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：根据分段函数的概念，求得f (−1)的值.依题意f (−1)=−1+1=0.故选A.小提示：本小题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题.填空题4、设函数f (x )={x 3,x ≤a x 2,x >a，若f (2)>4，则a 的取值范围为______． 答案：[2,+∞)解析：分a ≤2、a >2两种情况讨论，结合f (2)>4可求得实数a 的取值范围.当a ≥2时，则f (2)=23>4，合乎题意；当a<2时，f(2)=22=4，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是[2,+∞).所以答案是：[2,+∞).5、已知定义在R上的奇函数f(x)=x3−x+1−a，则函数f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为___________．答案：2x−y−2=0解析：由奇函数性质可求得a，利用导数的几何意义可求得所求的切线方程.∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=1−a=0，解得：a=1，∴f(x)=x3−x，∴f′(x)=3x2−1，∴f′(1)=3−1=2，又f(1)=1−1=0，∴f(x)在(a,f(a))，即在(1,0)处的切线方程为：y−0=2(x−1)，即2x−y−2=0.所以答案是：2x−y−2=0.小提示：本题考查求解曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到导数几何意义和函数奇偶性的应用，属于基础题.。
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
10
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一
余弦函数的单调性
π x y＝3cos3－2的单调递增区间．
3－2＝3cos2－3.
x π 由 2kπ－π≤2－3≤2kπ(k∈Z)， 4 2 解得 4kπ－3π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)， π x 4 2 － ∴函数 y＝3cos 3 2 的单调递增区间为[ 4kπ－3π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5
2．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？ 答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的
图象关于y轴对称．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
6
[预习导引]
正弦函数和余弦函数的图象、性质对比(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
12
跟踪演练 1
解
求函数 y＝log
π x cos3－2的单调递增区间．
x π y＝cos2－3的
根据复合函数“同增异减”的规律， 即求函数
单调递减区间，
同时 x 应使
x π cos2－3>0.
π x π ∴2kπ≤2－3<2kπ＋2(k∈Z)．
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破
当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1．如何快速做出余弦函数的图象？ π 答 (1)依据诱导公式 cos x＝sinx＋2，要得到 y＝cos x 的图象， π 只须把 y＝sin x 的图象向左平移2个单位长度即可．余弦函数的图
2018届人教B版高考考点一点一练 考点4 函数的图象及其应用
1.(2015·浙江)函数f (x )＝⎝ ⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )2．(2015·安徽)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0 3．(2015·北京)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 4．(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b （x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <05．(2015·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )6．(2014·湖北)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数． (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)1.(2015·贵州七校联盟)已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x2．(2015·山东日照模拟)函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为( )3．(2015·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )4．(2015·福建福州模拟)定义运算“*”为：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ，a <0，2a ＋b ，a ≥0.若函数f (x )＝(x ＋1)*x ，则该函数的图象大致是( )5．(2015·豫南豫北十校模拟)函数f (x )＝x 3－3e x 的大致图象是( )6．(2015·山东日照模拟)函数f (x )＝x 2－2|x |的大致图象为( )7．(2015·辽宁沈阳模拟)下列四个图中，函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象可能是( )8．(2015·安徽马鞍山模拟)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A 且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如：函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若f(x)为单函数，则函数f(x)在定义域上具有单调性．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．【两年高考真题演练】1．D [∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D.]2．A [由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝ca ＞0，所以a ＞0，故选A.]3．C [如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．]4．C [由里面图可知－c >0，∴c <0，又当x <－c 时，由图象形状可知，a <0且b >0，故选C.]5．B [当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△P AO与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.]6．(1)x (2)x [过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b (x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2aba ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0)．]【一年模拟试题精练】1．A [由图形可知f (x )为奇函数，故排除B ，C ；而D 中的函数在(0，＋∞)和(－∞，0)上均为增函数，故选A.]2．A [首先由f (x )为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D ，又当0<x <π时，f (x )>0知，选A.]3．A [f (x )的定义域为x >0且x ≠1，当x ∈(0，1)时，f (x )>0且为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )<0且为减函数，故选A.]4．D [f (x )＝(x ＋1)*x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1）（x <－1），22x ＋1（x ≥－1）.故选D.]5．C [由解析式可以得到当x ∈(－∞，33)时，f (x )<0，x ∈(33，＋∞)时，f (x )>0，故选C.]6．C [由函数f (x )＝x 2－2|x |为偶函数，排除答案B 与D ；又由f (0)＝－1<0，知选C.]7．C [y ＝10ln|x ＋1|x ＋1由函数y ＝10ln|x |x 向左平移一个单位，而y＝10ln|x |x 为奇函数，所以y ＝10ln|x ＋1|x ＋1关于(－1，0)对称，故排除A ，D ，当x >0时，y ＝10ln （x ＋1）x ＋1>0恒成立，故选C.]8．②③④ [根据题意可以得到函数为单调函数，或为常数函数，所以②③④正确．]。
(全国通用)2018年高考数学考点一遍过专题15三角函数的图象与性质(含解析)理
考点15 三角函数的图象与性质（1）能画出y=s i n x，y=c o s x，y=t a n x的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在上的性质（如单调性、最大值和最小值、以及与x轴的交点等），理解正切函数在内的单调性.（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质二、函数的图象与性质1．函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；②令,令X分别取0，,, ,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2．函数（A>0,ω>0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .（3）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.3．函数（A>0,ω>0）的物理意义当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．（5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后求解．【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.考向一三角函数的图象及其性质1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=a sin x＋b cos x＋k的三角函数化为y=A sin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=a sin2x＋b sin x＋k的三角函数，可先设sin x=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t=sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=A sin（ωx＋φ）或y=A cos （ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=A sin（ωx＋φ）＋b或可化为y=A sin （ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=A sin(ωx＋φ)，y=A cos(ωx＋φ)，y=A tan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．（2）对于函数y=A sin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．（3）若f（x）=A sin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（k Z），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=A sin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.典例1 函数的最大值为_________.【答案】11．函数f(x)=cos2x＋2sin x的最大值与最小值的和是A．−2 B．0C．D．典例2 已知函数f（x）=sin （ω>0）的最小正周期为4π，则A．函数f（x）的图象关于点对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）内单调递增【答案】C故选C.2．已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，试求的最值，并写出取得最值时自变量的值．考向二三角函数的图象变换函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sin x，y=A sin(ωx＋φ)或y=A cos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.典例3 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】B【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正数），则的最小值是A．B．C．D．考向三函数的图象与性质的综合应用1．结合图象及性质求解析式y=A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求ω，已知函数的周期T，则.（3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π. 2．图象变换的综合问题（1）图象变换与解析式的综合问题，要特别注意两种变换的区别．（2）图象变换与性质的综合问题，可根据两种图象变换的规则，也可根据图象的变换求出变换后的函数解析式，再研究函数的性质．3．函数图象与性质的综合问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式为y=A sin(ωx＋φ)＋B的形式，再结合正弦函数y=sin x的性质研究其相关性质．4．三角函数模型的应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.典例4 函数f（x）=sin（ωx＋φ）（其中|φ|<的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A4．已知把函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位得到函数的图象．（1）求的最小值及取最小值时的集合；（2）求在时的值域；（3）若，求的单调增区间．典例5 已知向量，，且函数.（1）当函数在上的最大值为3时，求的值；（2）在（1）的条件下，若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值，并求函数在上的单调递减区间.【答案】（1）;（2）.综上：函数在上的最大值为3时，.（2）当时，，由的最小正周期为可知，的值为.又由可得，，∵，∴函数在上的单调递减区间为.5．已知向量，函数的最大值为.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，内角的对边分别为，若恒成立，求实数的取值范围.1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是A．y=sin(2x＋) B．y=cos(2x＋)C．y=sin 2x＋cos 2x D．y=sin x＋cos x2．函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．3．将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A．B．C．D．4．关于函数（），下列命题正确是A．由可得是的整数倍B．的表达式可改写成C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称5．若函数（，）的图象与直线无交点，则A．B．C．D．6．若函数在区间上是减函数，学.则的取值范围是A．B．C．D．7．函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间 ()上的值域为，则等于A．B．C．D．8．已知函数．给出下列命题：①为奇函数；②，对恒成立；③，若，则的最小值为；④，若，则．其中的真命题有A．①②B．③④C．②③D．①④9．已知函数，，直线与、的图象分别交于、两点，则的最大值是________．10．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是________．11．已知函数=4tan x sin()cos().（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间]上的单调性.12．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围．13．已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．1．（2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C22．（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数，则下列结论错误的是A．的一个周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在(,)单调递减3．（2017年高考天津卷）设函数，其中．若且的最小正周期大于，则A．B．C．D．4．（2017年高考新课标Ⅱ卷）函数 ()的最大值是 .5．（2017年高考浙江卷）已知函数．（1）求的值．（2）求的最小正周期及单调递增区间．6．（2017年高考江苏卷）已知向量（1）若a∥b，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．1．【答案】C【解析】f(x)=1−2sin2x＋2sin x=，所以当时，，当sin x=−1时，f(x)min=−3，故选C. 2．【答案】（1），（）；（2）时，取得最大值；时，取得最小值．（2）因为，所以，当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值．3．【答案】B【解析】依题意可知，所以当时，的最小值是，故选B．4．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1）由已知得．当时，取得最小值，此时，即，故取最小值时的集合为．（2）当时，，所以，从而，即的值域为．（3）即求函数的单调递减区间．令，解得，故的单调增区间为．5．【答案】（1）；（2）.所以解得.则，由，可得：，，所得函数的单调减区间为.（2）由，可得，即.解得，即.因为，所以，，因为恒成立，所以恒成立，即.所以实数的取值范围是.1．【答案】A2．【答案】D【解析】由图象可知，，解得，，所以，令，解得<<, ,故函数的单调减区间为（，）, ,故选D.3．【答案】C【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得．故选C ．【解析】令，，，因此，所以选项A错误；，但时，，所以选项B错误，事实上；，，时，，因此是其对称中心，所以选项C正确；，，不含，所以选项D错误．故选C．【名师点睛】图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．5．【答案】C6．【答案】B【解析】∵，令，由得，且在上是增函数.依题意有在上是减函数，∴，即，故选.7．【答案】B【名师点睛】本题学生容易经验性的认为,但此时在内无解，所以.已知函数的图象求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.【解析】因为函数变形为，不可能通过左右平移变为奇函数，所以①错.因为时，成立，所以②对.因为，即分别为最大值1与最小值−1，所以成立，所以③对.因为，即，，所以④错.故选C.9．【答案】【解析】，的最大值是.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．10．【答案】【解析】若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，根据正（余）弦函数的奇偶性可知：则，或，则，或，则，即：，当时，取得最小值为.11．【答案】（1），；（2）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减. 12．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由图象知，∴，∴，∵图象过，将点代入解析式得,∵，∴，故函数．故．13．【答案】（1）；（2）.【解析】向量，，,（1）∵函数的图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．（2）由（1）知，∵，∴，∴，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减．又，∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．1．【答案】D【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.2．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.3．【答案】A【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值； ②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．4．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=-+-=-++=--+ ⎝⎭， 由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1.【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.5．【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．，解得，所以，的单调递增区间是．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．6．【答案】（1）；（2）时，取得最大值3；时，取得最小值．【解析】（1）因为，，a∥b，所以．若，则，与矛盾，故．。
2018-2019学年高中数学人教B版必修一练习：2.3 函数的应用(Ⅰ) Word版含解析
2.3 函数的应用(Ⅰ)【选题明细表】知识点、方法题号一次函数模型1,2,7二次函数模型3,4,5,8,9,11分段函数模型6,101.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+ 40 000,而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套( D )(A)2 000双(B)4 000双(C)6 000双(D)8 000双解析:由5x+40 000≤10x,得x≥8 000,所以日产手套至少8 000双才能不亏本,故选D.2.一根弹簧提重100 N的重物时,伸长20 cm,当挂重150 N的重物时,弹簧伸长( D )(A)3 cm (B)15 cm (C)25 cm (D)30 cm解析:设弹簧伸长L时所挂物体重N.则L=aN+b(a,b为常数),把(0,0)及(100,20)代入得a=,b=0,所以L=N,当N=150时,L=×150=30 cm.3.用长度为24 m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( A )(A)3 m (B)4 m(C)6 m (D)12 m解析:设隔墙的长为x m,矩形面积为S m2,则S=x·=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,S有最大值为18.4.某厂今年1月,2月,3月生产的某种产品的产量分别为9.5万件,18万件,25.5万件.如果该厂每月生产此种产品的产量y与月份x之间满足二次函数关系:y=ax2+bx+c(a≠0),则产量最大的月份是( D ) (A)7月(B)8月(C)9月(D)10月解析:由题意有解得所以y=-0.5x2+10x=-0.5(x-10)2+50,所以当x=10时,y max=50.故选D.5.大海中的两艘船如图所示,甲船在A处,乙船在A处正东50 km的B处,现在甲船从A处以20 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B处以10 km/h的速度向正西方向航行,则经过 小时后,两船相距最近.解析:设t小时后,甲船到达M处,乙船到达N处,则AM=20t,AN=50-NB= 50-10t,这时两船相距.y=MN===.所以当t=1时,y取最小值,两船相距最近.答案:16.(2018·山西忻州摸底)A,B两地之间的路程为2 380米,甲、乙两人分别从A,B两地出发,相向而行,已知甲先出发5分钟后,乙才出发,他们两人在A,B之间的C地相遇,相遇后,甲立即返回A地,乙继续向A 地前行.甲到达A地时停止行走,乙到达A地时也停止行走,在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与A地相距的路程是 米.解析:由题设可知甲的速度为(2 380-2 080)÷5=60(米/分),乙的速度为(2 080-910)÷(14-5)-60=70(米/分),所以乙从B到A所用时间为2 380÷70=34分钟,他们相遇的时间为2 080÷(60+70)=16分钟,则甲从开始到终止所用时间是(16+5)×2=42分钟,乙到达A时,甲与A相距的路程是60×(42-34-5)=3×60=180米.答案:1807.汽车的油箱是长方体形状容器,它的长是a cm,宽是b cm,高是c cm.汽车开始行驶时油箱内装满汽油,已知汽车耗油量是n cm3/km,汽车行驶的路程y(km)与油箱内剩余油量的液面高度x(cm)的函数关系式为( B )(A)y=(c-x)(0≤x≤c) (B)y=(c-x)(0≤x≤c)(C)y=(c-x)(0≤x≤c) (D)y=(c-x)(0≤x≤c)解析:依题意ny=ab(c-x),所以y=(c-x)(0≤x≤c),所以答案为B.8.小明以匀速6 m/s去追停车场的汽车,当他离汽车20 m时,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开车(小明与汽车始终在同一条直线上,且运动方向相同),假如他继续以原来速度追赶汽车,那么他( D )(A)可追上汽车,用时不超过6 s(B)可追上汽车,用时超过6 s(C)追不上汽车,其间最近距离为5 m(D)追不上汽车,其间最近距离为2 m解析:其间距离f(t)=t2+20-6t=(t-6)2+2所以当t=6时,f(t)min=2.故选D.9.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对该机器的需求量为1 000台,销售收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x-x2(0≤x ≤10),其中x是产品的数量(单位:百台),则利润f(x)表示为产量的函数为 .解析:由题总成本为0.6+0.25x,从而利润为f(x)=5x-x2-(0.6+0.25x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10).答案:f(x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10)10.(2018·河南中原名校联考)《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过3 500元的部分不纳税,超过3 500元的部分为全月税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率不超过1 500元的部分3%超过1 500元至4 500元的部分10%超过4 500元至9 000元的部分20% (1)已知张先生的月工资,薪金所得为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元,当月应缴纳个人所得税为y 元,写出y与x的函数关系式;(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得为多少?解:(1)张先生应交税为1 500×3%+3 000×10%+2 000×20%=745(元).(2)y与x的函数关系式为y=(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有5 000<x≤8 000,从而303=45+(x-5 000)×10%解得x=7 580.所以,李先生当月的工资、薪金所得为7 580元.11.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,其共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的设入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?解:(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元.所以总收益f(50)=3-6+×70+2=43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,依题意得解得40≤x≤80,故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=,则t∈[2,4],所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
全国通用2018年高考数学考点一遍过专题04函数及其表示含解析理
考点04 函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A f：A→B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2．必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有mn个．二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.学，科(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tan x的定义域为π{|π,}2x x k k≠+∈Z.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac by ax bx c a xa a-=++=++.(4)y＝sin x的值域为．三、分段函数1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．必记结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．考向一求函数的定义域在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在x∈时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.典例1 函数f (x )＝()214ln 1x x +-+的定义域为 A ． B ．(－1，0)∪(0，2] C ．D ．(－1，2]【答案】B【易错点拨】容易忽视ln(x ＋1)≠0的限制条件．1．已知集合M ＝{x |y ＝1x -}，N ＝{x |y ＝ln x }，则M ∩N ＝ A ．{x |x ≤1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |0≤x ≤1}典例2 若函数f (x 2＋1)的定义域为，则f (lg x )的定义域为 A ．B ．C ．D ．【答案】C2．若函数y ＝f (x )的定义域为，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是________． 考向二 求函数的值域求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .3．分离常数法： 将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()(0)f x ax b cx d ac =++≠，可以令(0)t cx d t +≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =(0)b cx d ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．基本不等式法：利用基本不等式2a b ab +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥22ab t =，a ＋b 有最小值2t ，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”． 9．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 10．有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域. 11．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3 求下列函数的值域：（1）243,[1,1]y x x x =-+∈-； （2）12y x x =-（3）2(1)1xy xx=>-.【答案】（1）；（2）1(,]2-∞；（3）[4,)+∞.故2(1)1xy xx=>-的值域为[4,)+∞.3．函数2211xyx-=+的值域为 .考向三求函数的解析式求函数解析式常用的方法1．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).典例4 已知(1)2f x x x +=+，则()f x = A ．21(1)x x -≥B ．21x -C ．21(1)x x +≥D ．21x +【答案】A【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.4．已知2(1)f x x -=，则()f x 的表达式为 A ．2()21f x x x =++ B ．2()21f x x x =-+ C ．2()21f x x x =+-D ．2()21f x x x =--考向四 分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5 已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()3f =A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A5．已知函数f (x )＝100xx x a x -≤⎧⎨>⎩,,，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4典例6 （2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________.【答案】1,4⎛⎫-+∞⎪⎝⎭写成分段函数的形式：()())132,021112,02221222,2xxx xg x f x f x x xx-⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且()001111,201,222142g-⎛⎫-=++>⨯>⎪⎝⎭，可知x的取值范围是1,4⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.6．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为 B ． C ．D ．8．函数41y x x=+-的值域为__________． 9．已知函数()3log 020x x x f x x ⎧⎨≤⎩,＞＝,，则1((()))3f f f =__________． 10．若函数)12(-x f 的定义域为[]3,3-，则()f x 的定义域为__________．1．（2017年高考山东卷）设函数24y x =-的定义域为A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（−2,1）D ．，故选D. 8．【答案】(,5]-∞ 【解析】令1t x =-，则21(0)x t t =-≥，故y ＝－t 2＋4t ＋1(t ≥0)，由二次函数的性质易知y ≤5. 9．【答案】31log 2【解析】311((()))log 32f f f =．故填31log 2． 10．【答案】[]7,5- 【解析】由题意可知当[]3,3x ∈-时，[]26,6x ∈-，则[]217,5x -∈-，所以函数()f x 的定义域为[]7,5-.1 直通高考1．【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}A B x x x x =-≤≤<= {|21}x x -≤<，选D.2．【答案】A又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =， 222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤． 综上，47216a -≤≤．故选A ． 【名师点睛】首先将()||2x f x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--． 4．【答案】[3,1]-【解析】要使函数有意义，则2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故填[3,1]-．。
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1.(2015·(x )是( )A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋13．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 24．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|5．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x6．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)7．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x 8．(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．(2014·重庆)下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x10．(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数11．(2014·广东)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝2x－12x B ．y ＝x 3sin x C ．y ＝2cos x ＋1 D ．y ＝x 2＋2x12．(2014·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x 2B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x13．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．14．(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．15．(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．1．(0，1)上单调递减的函数为( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg xC ．y ＝cos xD ．y ＝x 22．(2015·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln(x 2＋1－x )C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋13．(2015·山东日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 3 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－64．(2015·广东揭阳模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)、f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x ＋5)是偶函数D ．f (x ＋7)是奇函数5．(2015·辽宁沈阳模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ≤－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1<x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 0126．(2015·山东德州模拟)下列函数中，与函数y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x <0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝x 2＋2C ．y ＝x 3－3 D ．y ＝log 1e |x | 7．(2015·山东潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x （x >0），x ＋⎠⎛0a 3t 2d t （x ≤0），若f(f(1))＝1，则a ＝________．8．(2015·山东菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f （x ）；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，且x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2)，f (3)从小到大排列是________． 9．(2015·杭州七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |.(1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【两年高考真题演练】1．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]2．A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]3．A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]4．D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]5．D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.]6．A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．故选A.]7．D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．]8．D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x ＜1，所以k ≥1.故选D.]9．D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.]10．C 11.A12．A [由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数．A 选项，f ′(x )＝－2x 3在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.]13.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.] 14．(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]15．3 [因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.]【一年模拟试题精练】1．C [首先y ＝cos x 是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y ＝cos x 满足条件．故选C.]2．D [y ＝sin x 与y ＝ln(x 2＋1－x )都是奇函数，y ＝e x 为非奇非偶函数，y ＝ln x 2＋1为偶函数，故选D.]3．B [由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 3 5)＝－f (log 3 5)＝－(3log 3 5－1)＝－4，选B.]4．D5．B [f (x )为周期为6的周期函数，且f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335＝338，故选B.]6．B [因为函数y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.]7．1 [∵f (f (1))＝f (0)＝a 3＝1，∴a ＝1.]8．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2) [由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1f （x ＋1）＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.②中因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即可得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称．根据③可知函数f (x )在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1，2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1，2]上，1<32<2，所以f (1)<f (32)<f (2)，即f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)．] 9．解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1，当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1， 当x <－1时，f (x )＝1恒成立，∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a ， 若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得：a ≥13. (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞)． ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5， ∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值范围是－3≤a <1.。