《应用计算方法教程》matlab作业一

作业一1-1实验目的：寻求高效算法

实验内容：设

1

x1

n

n n

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

，给出两个算法，求

1023

x，写出MATLAB程序，并统计计算法

计算量。若要计算量不超过20flop，应如何设计算法？算法一

算法：

令

1

1

t

n

=+，依次计算2481024

,,,,

t t t t

⋅⋅⋅，最后用1024/

t t。

界面：

计算量：12flop

算法二

算法：

直接计算t的1023次方。

程序：

界面：

计算量：1024flop

若要计算量不超过20flop，采用第一种算法较合适。

作业二3-5 实验目的：应用不同迭代法求解代数方程

实验内容：分别采用二分法、Newton法、Newton下山法、割线法求解方程

432

6005502002010

x x x x

-+--=

在[0.1，1]中的根；精确到4

10-。

二分法

算法：

432()600550200201f x x x x x =-+--为连续函数，且由题意可知[0.1，1]为含根区间，

令a=0.1，b=1，取p=(a+b)/2。若f(p)=0则p 是方程f(x)=0的解；若f(a)f(p)<0则根在(a,p)内，取a 1=a,b 1=p ；否则根在区间(p,b)内，取a 1=p,b 1=b 。重复上述过程直到达到精度要求为止。 程序：

Newton 法 算法：

建立牛顿迭代格式

432132

()600550200201

()600*4*550*3*40020

n n n n n n n n n n n n f p p p p p p p p f p p p p +-+-

-=-=-'-+- 直到1||n n p p +

-

小于精度要求时迭代结束，将1n p +作为结果输出。

Newton 下山法 算法：

建立迭代格式

432132

()600550200201

()600*4*550*3*40020

n n n n n n n n n n n n f p p p p p p p p f p p p p λλ+-+--=-=-'-+- 其中λ是下山因子，在每步迭代中依次取1，1/2，1/4，…直到满足精度要求。

割线法 算法：

建立迭代格式

1

11()()()

n n n n n n n p p p p f p f p f p -+--=-

-

直到1||n n p p +-小于精度要求时迭代结束，将1n p +作为结果输出。

界面：

作业三 4-2 实验目的：熟悉LU 分解法求解方程。

实验内容：用MATLAB 编程做Doolittle 分解，求解方程组。

12345123451234512345

123451.3 2.4 3.4 4.22.4 1.4 3.7 6.3

22 3.6 6.8 5.52.543 6.6 3.6

1.5 5.3

2.8 6.2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-=⎧⎪--++=⎪⎪

+-++=⎨⎪-+++=⎪⎪--++=⎩ 算法：

对 1.311 2.4 3.42.411 1.4 3.72

12 3.6 6.82.5143 6.61.511 5.3 2.8A ---⎛⎫

⎪

-- ⎪

⎪=- ⎪

- ⎪ ⎪--⎝

⎭

进行Doolittle 分解使得A LU =，则线性方程组

Ax b =的求解问题就转化为对三角形方程组Ly b

Ux y =⎧⎨=⎩

的求解。Doolittle 分解过程为： 1,1,2,,j ij u a j n ==⋅⋅⋅

1111/,2,3,,i i l a u i n ==⋅⋅⋅

1

1

,i ij ij ik kj k u a l u i j -==-≤∑

1

1

()/,j ij ij ik kj jj k l a l u u i j -==->∑

然后依次求解Ly b =和Ux y =：

11

1

1,2,3,,i i

i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨

=-=⋅⋅⋅⎪⎩

∑

1/()/,1,2,,1n n nn

n

i

i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨

=-=--⋅⋅⋅⎪⎩

∑

界面：

作业四 编写高斯顺序消元法求解下面方程组的程序及计算结果。

12312312310 6.2+1028.52+5 3.2

x x x x x x x x x --=⎧⎪

--=⎨⎪--=⎩

算法：

对1,2,,1k n =⋅⋅⋅-

(k 1)(k 1)

(k)

(k 1)(k 1)

(k)(k 1)

(k 1)/,,1,2,,ik ik kk ij ij ik kj i i

ik k m a a a a m a i j k k n b b m b ------⎧=-⎪=+=++⋅⋅⋅⎨⎪=+⎩ 公式中(0)(0)

,,,1,2,,ij ij i

i a a b b i j n ===⋅⋅⋅。

利用回代法求解得方程组的解为

(1)(1)

(1)(1)(1)1/()/,1,2,,1n n n n nn n k k k k

k kj j kk j k x b a x b a x a k n n -----=+⎧=⎪⎨=-=--⋅⋅⋅⎪⎩

∑

界面：