§8.4 阅读理解型

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3.(2020内蒙古呼和浩特,22,7分)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题
的基本思维方式.例如:解方程x- x =0,就可以利用该思维方式,设 x =y,将原方程转化为:y2-y=0这个熟悉 的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下 面的问题.
∵∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,∴OD= 1 AD= 1 ,OA= 3OD= 3,∴OB= 3OA= 3.
2
2
2
2
∵∠ABD=30°,∴∠EBF=60°,∴
︵
EF
的长=
60π
3 2
=
π
.
180 2
解题关键 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质和弧长计算公式,熟练掌握等腰三角形的性质 和弧长公式是解题的关键.
(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为
cm.
解析 (1)R-d. (1分) (2)BD=ID. (2分) 理由如下:∵点I是△ABC的内心, ∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI. (3分) ∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI, ∴∠BID=∠DBI. (4分) ∴BD=ID. (5分) (3)证明:由(2)知BD=ID, ∴IA·ID=DE·IF. 又∵IA·ID=IM·IN, ∴DE·IF=IM·IN. (6分) ∴2R·r=(R+d)(R-d). ∴R2-d2=2Rr. ∴d2=R2-2Rr. (7分)
∴BA1=2,CB1=3,DC1=4,ED1=5,FE1=6,
∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度为
1
6×2×π×1+
1
6×2×π×2+
1
6×2×π×3+
1
6×2×π×4+
1
6×2×π×5+
1
6×2×π×6=7π.
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2.(2020吉林,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫
做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,
︵
F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则 EF 的长为
(结果保留π).
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答案
π 2
解析 ∵AB=CB,AD=CD,BD=BD,∴∠CAD=∠ACD,△ABD≌△CBD,∴∠ABD=∠CBD,∴AC⊥BD.
170±2
175±2
180±2
脚长[bn]
160
165
170
175
180
表2 定义:对于任意正整数m、n,其中m>2.若[bn]=m,则m-2≤bn≤m+2. 如:[b4]=175表示175-2≤b4≤175+2,即173≤b4≤177. (1)通过观察表2,猜想出an与序号n之间的关系式,[bn]与序号n之间的关系式; (2)用含an的代数式表示[bn],计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围; (3)若脚长为271毫米,那么应购鞋的鞋号为多大?
∴方程组的解为 a 5, 或 a -5, x2+y2=(x+y)2-2xy=bb2-2a4, b 4, 当a=5时,x2+y2=6, 当a=-5时,x2+y2=26,因此x2+y2的值为6或26.
思路分析 本题是一道阅读理解题,须先理解并掌握材料所给的方法,结合所学知识推导,求解.
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4.(2020宁夏,25,10分)在综合与实践活动中,活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号(为正整数)与脚长(毫 米)的对应关系如表1:
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中考数学
§8.4 阅读理解型
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1.(2020︵四川︵成都︵,23,4︵分)如︵图,六︵ 边形ABCDEF是正六边形,曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开 线”, FA1 , A1B1 , B1C1 ,C1D1 , D1E1 , E1F1 ,…的圆心依次按A,B,C,D,E,F循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边
鞋号(正整数)
22
23
24
25
26
27
……
脚长(毫米)
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
……
表1
为了方便对问题的研究,活动小组将表1中的数据进行了编号,并对脚长的数据 bn定义为[bn],如表2:
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序号n
1
2
3
4
5
鞋号an
22
23
24
25
26
脚长bn
160±2
165±2
形的一个外角.当AB=1时,曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是
.
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答案 7π
解析 ∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=∠ABC=∠BCD=120°,
∴∠FAA1=∠A1BB1=∠B1CC1=∠C1DD1=∠D1EE1=∠E1FF1=60°. ∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=1,
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5.(2019山西,21,8分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
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任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN=
(用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
6 27 185±2 185
…… …… …… ……
解析 (1)an=21+n. (1分) [bn]=160+5(n-1)=5n+155. (3分) (2)由an=21+n与[bn]=5n+155解得[bn]=5an+50. (5分) 把an=42代入an=21+n,得n=21, 所以[b21]=5×42+50=260. 则260-2≤b21≤260+2,即258≤b21≤262. 答:鞋号为42的鞋适合的脚长范围为258~262毫米. (7分) (3)根据[bn]=5n+155可知[bn]能被5整除, 又270-2≤271≤270+2. 所以[bn]=270. (9分) 把[bn]=270代入[bn]=5an+50中,得270=5an+50,所以an=44. 故应购买44号的鞋. (10分)
已知实数x,y满足
5x2 x 4
y2 y
2x 2x2 y
2y 2
133, 51,
求x2+y2的值.
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解析 令xy=a,x+y=b,则原方程组可化为
5a2 2b 133,
bHale Waihona Puke Baidu 4
2a2
51,
整理得
5a2 16a
2b 133①, 2 2b 408②,
②-①得11a2=275,解得a2=25,代入②可得b=4,