河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学(文)
2019年衡水金高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2019年全国普通高等学校高考数学一模试卷（文科）（衡水金卷）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x∈N|x（2﹣x）≥0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{0，1，2}D．{0，1}2．已知复数z=（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．03．已知=2，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣54．A，B，C三位抗战老兵应邀参加了在北京举行的“纪念抗战胜利70周年”大阅兵的老兵方队，现安排这三位老兵分别坐在某辆检阅车的前三排（每两人均不坐同一排），则事件“A 或B坐第一排”的概率为（）A．B．C．D．5．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x﹣1）+3，则“k=“是”直线l与圆O相切”的．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，若△PF1F2的内切圆半径r=，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A ． +B ． +C ． +D ． +8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ）A ．55B ．52C ．39D ．269．将函数f （x ）=2sin （2x +）的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，则下面对函数y=g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．函数g （x ）=2sin （x +） B ．函数g （x ）的周期为πC ．函数g （x ）的一个对称中心为点（﹣，0）D ．函数g （x ）在区间[，]上单调递增10．执行如图所示的程序框图，其中输入的a i （i=1，2，…10）依次是：﹣3，﹣4，5，3，4，﹣5，6，8，0，2，则输出的V 值为（ ）A ．16B ．C ．D ．11．设关于x ，y 的不等式组，表示的平面区域内存在点M （x 0，y 0），满足x 0+2y 0=5，则实数t 的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．以上都不正确12．定义在R上的函数f（x）满足：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（x+2）=f（x）；③x∈[0，1]时，f（x）=log（x2﹣x+1），则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项数列{a n}满足=4，且a3a5=64，则数列{a n}的前6项和S6=______．14．已知向量=（m，n﹣1），=（1，1），且⊥，则mn的最大值为______．15．已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，若直线AB 的斜率为3，则线段AB的中点P的坐标为______．16．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减，则a的取值范围是______．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，sinA﹣sinB=（﹣1）sinC．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为4，求a，b，c的值．18．到2019年，北京市高考英语总分将由150分降低到100分，语文分值将相应增加．某校高三学生率先尝试100分制英语考试，从中随机抽出50人的英语成绩作为样本并进行统计，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60]，第二组[60，70]，…第五组[90，100]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这次参加英语考试的高三学生的英语平均成绩；（2）从这五组中抽取14人进行座谈，若抽取的这14人中，恰好有2人成绩为50分，7人成绩为70分，2人成绩为75分，3人成绩为80分，求这14人英语成绩的方差；（3）从50人的样本中，随机抽取测试成绩在[50，60]∪[90，100]内的两名学生，设其测试成绩分别为m，n（i）求事件“|m﹣n|＞30”的概率；（ii）求事件“mn≤3600”的概率．19．如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BD；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为？20．已知圆C的圆心与双曲线M：y2﹣x2=的上焦点重合，直线3x+4y+1=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4．（1）求圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，D（﹣2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使得|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求•的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+（a＞1）．（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为﹣1，求该切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是2，求a的值．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PB与⊙O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是⊙O的切线，切点为C．（1）求证：PC2+AD2=PD2（2）若BC是⊙O的直径，BC=3BD=3，试求线段BP的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A是曲线C：，（θ为参数）上的动点，点B是直线l：，（t为参数）上的动点（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）求A，B两点的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＜0的解集；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．2019年全国普通高等学校高考数学一模试卷（文科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x∈N|x（2﹣x）≥0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】交集及其运算．【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x∈N|x（2﹣x）≥0}═{x∈N|0≤x≤2}={0，1，2}，B={x|﹣1≤x≤1}，则集合A∩B={0，1}．故选：D．2．已知复数z=（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数的除法运算化复数为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于0列方程求出实数a的值．【解答】解：根据复数z===+i是纯虚数，得，解得a=2；所以使复数是纯虚数的实数a的值为2．故选：B．3．已知=2，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣5【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解．【解答】解：∵===2，∴解得：tanα=﹣5．故选：D．4．A，B，C三位抗战老兵应邀参加了在北京举行的“纪念抗战胜利70周年”大阅兵的老兵方队，现安排这三位老兵分别坐在某辆检阅车的前三排（每两人均不坐同一排），则事件“A 或B坐第一排”的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】安排这3位老兵分别坐在某辆检阅车的前3排（每两人均不坐同一排），先求出基本事件总数，再求出A或B坐第一排的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：安排这3位老兵分别坐在某辆检阅车的前3排（每两人均不坐同一排），基本事件总数A33=6，A或B坐第一排有C21A22=4种，故“A或B坐第一排”的概率为=，故选：A．5．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x﹣1）+3，则“k=“是”直线l与圆O相切”的．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，求出k的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：O的方程为x2+y2=1，表示以（0，0）为圆心、半径r=1的圆．求出圆心到直线l的方程为y=k（x﹣1）+3的距离为d==1，解得k=，故“k=“是”直线l与圆O相切”充要条件，故选：C．6．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，若△PF1F2的内切圆半径r=，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的焦点坐标，令x=c，求得|PF2|=，由椭圆的定义可得，|PF1|=2a﹣，在直角△PF1F2中，运用面积相等，可得内切圆的半径r，由条件化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为椭圆C上一点，且PF2⊥x轴，可得|F1F2|=2c，由x=c，可得y=±b=±，即有|PF2|=，由椭圆的定义可得，|PF1|=2a﹣，在直角△PF1F2中， |PF2|•|F1F2|=r（|F1F2|+|PF1|+|PF2|），可得△PF1F2的内切圆半径r==c，即有2b2=2（a2﹣c2）=a（a+c），整理，得a=2c，椭圆C的离心率为e==．故选：B．7．已知某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（）A． + B． +C． +D． +【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：上面是三棱锥、下面是半球，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体的体积公式求出该几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是三棱锥、下面是半球，且三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边为1，高为1，由圆的直径所对的圆周角是直角得球的半径是，∴几何体的体积V==，故选D．8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．26【考点】等差数列的前n项和．【分析】设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前n项和公式求出d=，由此利用等差数列通项公式能求出a14+a15+a16+a17．【解答】解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则=390，解得d=，∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52．故选：B．9．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x）的叙述正确的是（）A．函数g（x）=2sin（x+）B．函数g（x）的周期为πC．函数g（x）的一个对称中心为点（﹣，0）D．函数g（x）在区间[，]上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（4x+）的图象，故g（x）的周期为=，排除A、B．令x=﹣，求得f（x）=0，可得g（x）的一个对称中心为点（﹣，0），故C满足条件．在区间[，]上，4x+∈[π，]，函数g（x）没有单调性，故排除D，故选：C．10．执行如图所示的程序框图，其中输入的a i（i=1，2，…10）依次是：﹣3，﹣4，5，3，4，﹣5，6，8，0，2，则输出的V值为（）A．16 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出V=的值，由题意计算S，T的值即可得解．【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型”循环结构，模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出V=的值．由题意可得：S=3+4+5+6+8+2，T=（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+0，所以：V===．故选：B．11．设关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+2y0=5，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．以上都不正确【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域满足的条件判断可行域边界x﹣2y=t的位置，列出不等式解出．【解答】解：作出可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+2y0=5，∴直线x+2y=5与可行域有交点，解方程组得A（2，）．∴点A在直线x﹣2y=t上或在直线x﹣2y=t下方．由x﹣2y=t得y=．∴，解得t≤﹣1．故选：A．12．定义在R上的函数f（x）满足：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（x+2）=f（x）；③x∈[0，1]时，f（x）=log（x2﹣x+1），则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知画出两个函数f（x）=log（x2﹣x+1）与y=log3|x|的简图，数形结合得答案．【解答】解：由①②可知，f（x）是周期为2的奇函数，又x∈[0，1]时，f（x）=log（x2﹣x+1），可得函数f（x）在R上的图象如图，由图可知，函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数为6个，故选：B．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项数列{a n}满足=4，且a3a5=64，则数列{a n}的前6项和S6=63．【考点】数列的求和．【分析】由正项数列{a n}满足=4，两边开方可得：a n+1=2a n，可得公比q=2．又a3a5=64，利用等比数列的通项公式可得a1．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵正项数列{a n}满足=4，∴a n+1=2a n，∴公比q=2．∵a3a5=64，∴=64，解得a1=1．则数列{a n}的前6项和S6==63．故答案为：63．14．已知向量=（m，n﹣1），=（1，1），且⊥，则mn的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由向量的垂直得到关于m，n的等式，然后利用基本不等式求mn的最值．【解答】解：因为向量=（m，n﹣1），=（1，1），且⊥，所以=m+n﹣1=0，即m+n=1，所以mn，当且仅当m=n时取等号，所以mn的最大值为．故答案为：15．已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，若直线AB的斜率为3，则线段AB的中点P的坐标为（1，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线的方程，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，以及中点坐标公式，结合直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求中点P的坐标．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y12=2x1，y22=2x2，抛物线y2=2x的焦点为F（，0），准线为x=﹣，由抛物线的定义，可得|AF|=x1+，|BF|=x2+，由AF|+|BF|=3，可得x1+x2+1=3，即x1+x2=2，即=1，AB的中点的横坐标为1，又k AB====3，即为y1+y2=，则=．则AB的中点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．16．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减，则a的取值范围是（0，]．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意利用函数的单调性与导数的关系可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）在区间[，+∞）内单调递减，当≤x≤1时，f′（x）=﹣3x2+a≤0，且﹣1+a+≥2a﹣1，∴，求得0＜a≤，故答案为：（0，]．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，sinA﹣sinB=（﹣1）sinC．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为4，求a，b，c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知可得a﹣b=（）c，结合b=c，可得a=，由余弦定理可求cosB，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．（2）利用已知及三角形面积公式可求c的值，结合（1）即可求得b，a的值．【解答】解：（1）∵sinA﹣sinB=（﹣1）sinC．∴由正弦定理可得：a﹣b=（）c，又∵b=c，可得a=．∴cosB===，又∵B∈（0，π），∴B=（2）∵△ABC的面积为4，∴=4，解得：c=4，∴由（1）可得：b=4，a=418．到2019年，北京市高考英语总分将由150分降低到100分，语文分值将相应增加．某校高三学生率先尝试100分制英语考试，从中随机抽出50人的英语成绩作为样本并进行统计，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60]，第二组[60，70]，…第五组[90，100]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这次参加英语考试的高三学生的英语平均成绩；（2）从这五组中抽取14人进行座谈，若抽取的这14人中，恰好有2人成绩为50分，7人成绩为70分，2人成绩为75分，3人成绩为80分，求这14人英语成绩的方差；（3）从50人的样本中，随机抽取测试成绩在[50，60]∪[90，100]内的两名学生，设其测试成绩分别为m，n（i）求事件“|m﹣n|＞30”的概率；（ii）求事件“mn≤3600”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能估计高三学生的英语平均成绩．（2）先求出这14人英语成绩的平均分，由此能求出这14人英语成绩的方差．（3）（i）由直方图知成绩在[50，60]内的人数为2，设其成绩分别为a，b，c，利用列举法能求出事件“|m﹣n|＞30”的概率．（ii）由事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）这一种，能求出事件“mn≤3600”的概率．【解答】解：（1）估计高三学生的英语平均成绩为：55×0.004×10+65×0.018×10+75×0.040×10+85×0.032×10+95×0.006×10=76.8．（2）这14人英语成绩的平均分为：==70，∴这14人英语成绩的方差：S2= [2（50﹣70）2+7（70﹣70）2+2（75﹣70）2+3（80﹣70）2]=．（3）（i）由直方图知成绩在[50，60]内的人数为：50×10×0.004=2，设其成绩分别为a，b，c，若m，n∈[50，60）时，只有（x，y）一种情况，若m，n∈[90，100]时，有（a，b），（b，c），（a，c）三种情况，∴基本事件总数为10种，事件“|m ﹣n |＞30”所包含的基本事件有6种，∴P （|m ﹣n |＞30）=．（ii ）事件mn ≤3600的基本事件只有（x ，y ）这一种，∴P （mn ≤3600）=．19．如图，△ADM 是等腰直角三角形，AD ⊥DM ，四边形ABCM 是直角梯形，AB ⊥BC ，MC ⊥BC ，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD ⊥BD ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥M ﹣ADE 的体积为？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）根据平面几何知识可证明AM ⊥BM ，故而BM ⊥平面ADM ，于是BM ⊥AD ，结合AD ⊥DM 可得AD ⊥平面BDM ，于是AD ⊥BD ；（2）令，则E 到平面ADM 的距离d=λ•BM=，代入棱锥的体积公式即可得出λ，从而确定E 的位置．【解答】证明：（1）∵四边形ABCM 是直角梯形，AB ⊥BC ，MC ⊥BC ，AB=2BC=2MC=2，∴BM=AM=，∴BM 2+AM 2=AB 2，即AM ⊥BM ．∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面DAM ，又DA ⊂平面DAM ，∴BM ⊥AD ，又AD ⊥DM ，DM ⊂平面BDM ，BM ⊂平面BDM ，DM ∩BM=M ， ∴AD ⊥平面BDM ，∵BD ⊂平面BDM ， ∴AD ⊥BD ．（2）由（1）可知BM ⊥平面ADM ，BM=，设，则E 到平面ADM 的距离d=．∵△ADM 是等腰直角三角形，AD ⊥DM ，AM=，∴AD=DM=1，∴V M ﹣ADE =V E ﹣ADM ==．即=．∴．∴E 为BD 的中点．20．已知圆C 的圆心与双曲线M ：y 2﹣x 2=的上焦点重合，直线3x +4y +1=0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=4． （1）求圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，D （﹣2，0），E （2，0）为x 轴上的两点，若圆C 内的动点P 使得|PD |，|PO |，|PE |成等比数列，求•的取值范围． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】（1）求出双曲线的标准方程求出焦点坐标，利用直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．（2）根据|PD |，|PO |，|PE |成等比数列，建立方程关系，结合向量数量积的坐标进行化简求解即可．【解答】解：（1）双曲线的标准方程为=1，则c==1，即双曲线的焦点C （0，1），圆心C 到直线3x +4y +1=0的距离d=，则半径r=．故圆C 的标准方程为x 2+（y ﹣1）2=5．（2）设P （x ，y ），∵|PD |，|PO |，|PE |成等比数列，∴•=x 2+y 2，整理得x 2﹣y 2=2，故•=（﹣2﹣x ，﹣y ）•（2﹣x ，﹣y ）=x 2﹣4+y 2=2（y 2﹣1），由于P 在圆C 内，则，得y 2﹣y ﹣1＜0，得＜y ＜，则0≤y 2＜（）2=，∴2（y 2﹣1）∈[﹣2，1+），则•的取值范围是[﹣2，1+）．21．已知函数f （x ）=lnx +（a ＞1）．（1）若函数f （x ）的图象在x=1处的切线斜率为﹣1，求该切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数f （x ）在区间[1，e ]上的最小值是2，求a 的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，根据f ′（1）=﹣1，求出a 的值，从而求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，单调函数的单调区间，求出函数的最小值，从而求出a 的值即可．【解答】解：（1）由f（x）=lnx+，得：f′（x）=，则f′（1）=1﹣a，由切线斜率为﹣1，得1﹣a=﹣1，解得：a=2，则f（1）=2，∴函数f（x）在x=1处的切线方程是y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0，故与两坐标轴围成的三角形的面积为：×3×3=；（2）由（1）知，f′（x）=，x∈[1，e]，①1＜a＜e时，在区间[1，a]上有f′（x）＜0，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，在区间（a，e]上有f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，∴f（x）的最小值是f（a）=lna+1，由lna+1=2得：a=e与1＜a＜e矛盾，②a=e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）的最小值是f（e）=2，符合题意；③a＞e时，显然f（x）在区间[1，e]上递减，最小值是f（e）=1+＞2，与最小值是2矛盾；综上，a=e．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PB与⊙O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是⊙O的切线，切点为C．（1）求证：PC2+AD2=PD2（2）若BC是⊙O的直径，BC=3BD=3，试求线段BP的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由垂径定理和切割线定理得AD=BD，PC2=PA•PB=（PD﹣AD）（PD+AD），由此能证明PC2+AD2=PD2．（2）求出AB=2BD=2，在Rt△BCP中，由射影定理得BC2=BA•BP，即可求出线段BP的长．【解答】证明：（1）∵直线PB与圆O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是圆O的切线，切点为C．∴AD=BD，PC2=PA•PB=（PD﹣AD）（PD+AD）=PD2﹣AD2，∴PC2+AD2=PD2．解：（2）∵BC是⊙O的直径，∴AC⊥AB，∵D是AB的中点，∴AB=2BD=2，在Rt△BCP中，由射影定理得BC2=BA•BP，∴BP==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A是曲线C：，（θ为参数）上的动点，点B是直线l：，（t为参数）上的动点（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）求A，B两点的最小距离．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C：，（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得普通方程．由直线l：，（t为参数），消去参数t化为普通方程．（2）设A（2cosθ，sinθ），点A到直线l的距离d=（其中tanφ=4），利用三角函数的单调性与值域即可得出最值．【解答】解：（1）由曲线C：，（θ为参数），可得普通方程：=1．由直线l：，（t为参数）化为普通方程：2x﹣y﹣5=0．（2）设A（2cosθ，sinθ），点A到直线l的距离d==（其中tanφ=4），当sin（θ﹣φ）=﹣1时，d取得最小值=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＜0的解集；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于m=f（x）在R 无解，求出f（x）的范围，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）原不等式即为|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0，若x≤2，则2﹣x+x﹣4＜0，符合题意，∴x≤2，若2＜x＜4，则x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，若x≥4，则x﹣2﹣x+4＜0，不合题意，综上，原不等式的解集是{x|x＜3}；（2）若函数g（x）=的定义域为R，则m﹣f（x）=0恒不成立，即m=f（x）在R无解，|f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2，当且仅当（x﹣2）（x﹣4）≤0时取“=”，∴﹣2≤f（x）≤2，故m的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．2019年9月18日第21页（共21页）。
河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学文试卷
河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学〔文科〕试卷本试卷分为第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分.总分值150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷〔选择题 共60分〕 一、选择题：〔此题共12个小题，每题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的〕 1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤ D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i +-为纯虚数”的〔 〕3．假设{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是〔 〕 A ．2019 B ．2019 C ．4022 D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可 以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续 7天的新增病例数计算，以下各选项中，一定符合上述指标的是〔 〕 ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤—A1B1C1D1中，对角线B1D 与平面A1BC1相交于点E ，则点E 为△A1BC1的〔 〕 A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 假设目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是〔 〕A ．613B ． 365C ．65D ．36137.已知三棱锥的三视图如下图，则它的外接球外表积为〔 〕 A ．16π B ．4π C ．8π D ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分〔如下图〕，则ω与ϕ的值分别为〔 〕A ．115,106π-B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π- 9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设 双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,假设12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心 率为〔 〕 A ．2 B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，假设对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( )A. )0,(-∞B. ()+∞,0C. )1,(-∞D. ()+∞,111.已知圆的方程422=+y x ，假设抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x23＋y24＝1(y≠0) B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 已知函数4()f x x =与3()g x x t =+，假设()f x 与()g x 的交点在直线y x =的两侧，则实数t 的取值范围是 〔 〕A ．(6,0]-B ．(6,6)-C ．(4,)+∞D ．(4,4)-第Ⅱ卷 非选择题 〔共90分〕二、填空题〔此题共4个小题，每题5分，共20分. 把每题的答案填在答题纸的相应位置〕13.将一枚骰子抛掷两次，假设先后出现的点数分别为c b ,，则方程02=++c bx x 有实根的概率为14．某程序框图如下图，该程序运行后输出的S 的值是 15. 边长为22 的正△ABC 内接于体积为π34的球，则球面上的点到△ABC 最大距离为 。
2019 年河北省衡水中学高考数学一模试卷及答案(文科)
（）
A．
B．
C．
D．
第 2 页（共 25 页）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．（5 分）已知向量 与 的夹角为 ，| |＝| |＝1，则|3 + |＝
．
14．（5 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3a11＝2a ，且 S4+S12＝λS8，则 λ＝
第 3 页（共 25 页）
（1）以年龄 45 岁为分界点，请根据 100 个样本数据完成下面 2×2 列联表，并判断是否 有 99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；
小于 45 岁
不小于 45 岁
合计
“有习惯”的人数
“无习惯”的人数
合计
100
（2）已知甲地从 15 岁到 75 岁的市民大约有 11 万人，以频率估计概率，若每张电影票
＝2x+1，记 a＝f（log0.56），b＝f（log27），c＝f（8），则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
10．（5 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn（n∈N*），若 是一个与 n 无关的常数，
则该常数构成的集合为（ ）
A．{2}
．
15．（5 分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯
视图是边长为 的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36π，则该几何体的体积
为
．
16．（5 分）若函数 f（x）＝ax2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是
．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(文)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】化简集合，直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】复数分子分母同乘以化简可得，求出对应坐标即可得结果.【详解】复数，则对应的点为，位于第三象限.故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A．一本达线人数减少B．二本达线人数增加了0.5倍C．艺体达线人数相同D．不上线的人数有所增加【答案】D【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.分别根据扇形图算出2015和2018年一本、二本、艺术生上线人数以及落榜生人数，再进行比较即可.【详解】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，所以艺体达线人数不相同，故选项错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，选项正确. 故选D.【点睛】本题主要考查了对扇形图的理解与应用，意在考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，属于简单题.4．如图，在等腰梯形中，，于点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.【详解】因为，所以是的中点，可得，故选.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）5．将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，根据正方体的棱长可求得圆柱的底面半径与高，利用圆柱的体积公式可得结果.【详解】由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即，圆柱的高为正方体的棱长，即为4，故圆柱形钢锭的体积为. 故选B.【点睛】本题主要考查正方体与圆柱的几何性质，以及圆柱的体积公式，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的图像在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶性求出当时，的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，，，，则.因为，所以函数的图象在点处的切线方程是化为. 故选C.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.7．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为，所以，即，由可得，，故所求椭圆的方程为. 故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点为下底面半圆弧上一点（异于点），则关于该几何体的说法正确的是（）A．B．C．平面D．平面【答案】C【解析】用反证法可判断选项错误；根据圆直径所对圆周角为直角、圆柱母线与底面垂直，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可判断选项正确.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若，因为，，所以平面，又因为平面，所以，不成立，所以不正确；因为，因此，即与不垂直，所以不正确；因为为半圆的直径，所以，又因为，，所以平面，所以正确；假设平面，则，又，，所以平面，所以，与矛盾，所以不正确. 故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查圆柱的性质以及空间想象能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．若将函数的图象向左平移个单位长度后的图象关于轴对称，则当取最小整数时，函数的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式将化为，向左平移个单位长度后的图象解析式为，根据函数图象关于轴对称，可求得，令即可得结果.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度后的图象解析式为，因为图象关于轴对称，所以，即.因为，所以，此时，令，得，时，对称中心为. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由可求得函数的对称轴方程；由可求得对称中心横坐标. 10．如图所示，在长方体中，，，为底面两条对角线的交点，与平面所成的角为，则该长方体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】与平面所成的角等于与平面所成的角，均为. 过底面的对角线交点作交于点，则，求得，从而可得，进而可得结果.【详解】因为平面平面，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，均为.如图，过底面的对角线交点作交于点，则，又因为平面，平面平面，所以平面.连结，则.在中，，，所以.在中，，所以，故长方体的表面积为. 故选A.【点睛】本题主要考查长方体的性质，直线与平面所成的角，长方体的表面积，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，在的始边上有点，终边上有点，满足，若，则（）A．B．2 C．4 D．1【答案】D【解析】由三角函数的定义可得，由三角形内角和定理得，可得，利用二倍角的正切公式化简得，利用二倍角的正弦、余弦公式结合同角三角函数的关系，化简可得结果.【详解】因为的终边上有点，所以，由三角形内角和定理得所以，即.整理得，所以. 故选D.【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.12．已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用指数函数递增、一次函数递增，以及数列的增减性列不等式组求解即可.【详解】因为且是单调递增数列，所以根据指数函数的单调性可得，根据一次函数的单调性可得，由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，，综合三种情况解得. 故选C.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及数列的增减性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.二、填空题13．________.【答案】0【解析】直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】化简.故答案为0.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质、以及换底公式的应用，意在考查对基本运算与公式掌握的熟练程度，属于中档题.14．已知实数满足约束条件，则的最大值为________.【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，所以的最大值为. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知直线被圆截得的弦长为2，则________.【答案】-3【解析】将圆的一般方程化为标准方程可求得圆心，利用点到直线距离公式、结合弦长为2，利用勾股定理列方程可求得的值.【详解】圆化为标准方程为，圆心坐标为，，圆心到直线的距离.所以，即，解得. 故答案为-3.【点睛】本题主要考查圆的方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.16．在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.【答案】【解析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，又，所以，又为锐角，可得.因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为. 故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题17．已知数列满足，，设.（1）求；（2）证明：数列为等比数列；（3）求的通项公式.【答案】（1），，；（2）见解析；（3）.【解析】（1）根据递推公式求出的值，利用可得结果；（2）由即可得结论；（3）由（2），利用等比数列的通项公式可得，结合，即可得结果.【详解】（1）由，得.因为，所以.所以，，.（2）因为，所以是首项为2，公比为3的等比数列.（3）由（2）得，而，所以.【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.18．在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）先求得，，可得，结合，可得，，，可证明平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由面面垂直的性质可得平面，取的中点为，连结，则，可证明平面，由此利用棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.【详解】（1）如题图1，在中，，，所以.在中，，所以.所以.如题图2，，.又因为，所以，，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解法一：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.取的中点为，连结，则，所以平面.即为三棱锥的高.且.因为，三棱锥的体积为.解法二：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为为的中点.所以三棱锥的高等于.因为为的中点，所以的面积是四边形的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的.面，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明平面和平面垂直，本质上是证明线面垂直.19．某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.（1）求的值；（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率.【答案】（1）；（2）直方图见解析，；（3）.【解析】（1）的取值为10,11,12,13,14，把的取值分别代入，根据频率的和为1，列方程求解即可；（2）利用频率除以组距可得纵坐标，从而可得直方图，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标及组距相乘后求和可得平均值；（3）利用列举法，列举出从这4名学生中随机抽取2名的事件，以及其中这2名学生的高考成绩均为优秀的事件，由古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）由题意知，的取值为10,11,12,13,14.把的取值分别代入，可得.解得.（2）频率分布直方图如图，这40名新生的高考数学分数的平均数为.（3）这40名新生的高考数学分数在的频率为，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比.按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记为4名学生，其中为3名高考数学成绩优秀的学生.从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为，共6个，2名学生高考数学成绩均优秀的事件为，共3个，故所求的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标及组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．已知直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，若两条切线互相垂直且交于点.（1）证明：直线恒过定点；（2）若直线的斜率为1，求点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由得，利用导数可得直线的斜率为，直线的斜率为，结合，可得，即，从而利用韦达定理可得，则直线恒过定点；（2）求出直线的方程为，直线的方程为，解得点的坐标为，结合（1）利用韦达定理可得结果.【详解】（1）证明：易知直线的斜率存在，设直线，，.由得，所以，.由，得，所以，所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即，所以，得，所以直线，故直线恒过定点.（2）由（1）得直线的斜率为1时，，.直线的方程为，即，同理直线的方程为，即，上面两式联立得，，所以点的坐标为，即.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数的几何意义以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：.【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.【解析】(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.若，，则在区间内为增函数；若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即..下面证明当时，恒成立.设，则，故在区间内为增函数，，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，直线的普通方程为.（2）【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得. 因为直线与曲线交于，两点。
河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学(文)试卷(含答案)
河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为,又，所以.故选A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，所以，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以所以．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在（元）段的频率为，所以月收入在（元）段应抽出的人数是.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得：即：A=B又解得：a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】②④【解析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．②平面，∴不可能存在点，使得，∴②错误．③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．④四棱锥B1-BED1F的体积等于设正方体的棱长为1，∵无论在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．∴三棱锥和三棱锥体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为．求的值；中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．【答案】(1)(2)3【解析】【分析】（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（1）故函数的最小正周期，解得.（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出a n=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{b n}是等比数列，，，由此求出．（2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n【详解】（1）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差∴又当时，有1－当∴数列是等比数列，∴（2）由（1）知∴T n＝，①，②①-②，得即【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证平面,可得，再由四边形为正方形可得，从而可得平面，进而可得；(2)由平面可得是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出. 【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面，平面，.，四边形为正方形，，又，平面，又平面，.（2）设，连接.由（1）得平面，是直线与平面所成的角.设，则，，，在中，，直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；；；；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，则，属于几何概型问题作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．【答案】（1）；（2）的值为或．【解析】【分析】（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．【详解】（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．（2）由得①∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数，其中．(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1) ，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，若，则，若，则所以函数在上单调递减，在上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。
2019年河北省衡水中学上学期高三数学(文)第一次调研考试试卷参考答案
高考数学精品复习资料2019.5高三年级数学试卷(文科)答案一、选择：DABAC BDDBC AC 二、填空：32x y =21；]12,5[+ ①② －8046 三、解答： 17．解：A ＝{1,4},()1,1012-==⇒=-+-a x x a ax x ，由A ∪B ＝A ⇒B ⊆A∅≠B ,∴B ＝{1}，或B ＝{1,4}，从而a －1＝1,或a －1＝4,故a ＝2，或a ＝5．又A ∩C ＝C ⇒C ⊆A ．考虑042=+-mx x ．当440162＜＜＜m m -⇒-=∆时， C ＝∅⊆A ；当440162≥-≤⇒≥-=∆m m m 或时,∅≠C ，此时由C ⊆A 只能有C ＝{1,4}．此时m ＝5．综上可得：a ＝2，或a ＝5．－4＜m ＜4，或m ＝5． 18．解：(1)因为函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，所以当0=x 时，()f x ＝0； 当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ；所以()⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1020001,2＜＜，，＜＜x x x x f x x(2)当0＜x ＜1时，1＜f (x )＜2；当－1＜x ＜0时，－2＜f (x )＜－1；当x ＝0时，f (x )＝0；所以f (x )＜2；因为f (x )≤2a 恒成立，所以2a ≥2即a ≥119．解：函数定义域为(0，＋∞)，……1分()xax x a x f 1222'++-= ………………3分因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0 解得121=-=a a 或经检验，121=-=a a 或时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 又因为a ＞0所以a ＝1……6分20．解：设AN 的长为x 米(82≤<x )∵||||||||DN DC AN AM =，∴|AM |＝32xx -所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；……8分 若a ≠0，令()()()0112=---='xax ax x f ，解得ax a x1,2121=-=……9分 当a ＞0时，()()x f x f ,'的变化情况如下表∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛a 10，，单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ……11分 ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - 4分(1)由S AMPN ＞32得32232＞-x x ， ∴3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0 ∴382＜＜x 或x ＞8 又2＜x ≤8，∴382＜＜x 即AN 长的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛382，……8分(2)令232-=x x y ，则()()()()2222432326--=---='x x x x x x x y ……10分∵当[)43，∈x ，y '＜0，∴函数232-=x x y 在[)43，上为单调递减函数， ∴当x ＝3时，232-=x x y 取得最大值，即(S AMPN )max ＝27(平方米)此时|AN |＝3米，|AM |＝92333=-⨯米……13分 21．(1)2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．……………………………3分 (2)∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，Δ＝b 2－4a (b －1)＝b 2－4ab ＋4a ＞0对b ∈R 恒成立，∴(4a )2－16a ＜0，得a 的取值范围为(0，1)．……7分 (3)由ax 2＋bx ＋(b －1)＝0得a bx x 2221-=+，由题知12112++-=-=a x y k ，， 设A ，B 中点为E ，则E 的横坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-121222a a ba b ，，∴121222++=-a a b a b∴42121122-≥+-=+-=aa a ab ，当且仅当()1012＜＜a aa =， 即22=a 时等号成立，∴b 的最小值为42-．……12分 22．解：(Ⅰ)当1,0a b ==时，32()3f x x x =- 所以(1)2f =- 即切点为(1,2)P -因为2()36f x x x '=-所以(1)363f '=-=-． 所以切线方程为23(1)y x +=-- 即31y x =-+ (Ⅱ)22()363,f x x ax b '=-+由于0＜a ＜b ，所以()()036363622＜b a b a b a -+=-=∆所以函数f (x )在R 上递增 所以不等式()k x x x x k x x x k f x x f ＞＞＞1ln 11ln 11ln 1-+⇔-+⇔⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+ 对()+∞∈,1x 恒成立 构造()()()()()()()()2212ln 1ln 1ln 21ln 1---=-+--+='-+=x x x x x x x x x x h x x x x h构造()2ln --=x x x g ()xx x x g 111-=-=' 对()+∞∈,1x ，()01'＞xx x g -=所以()2ln --=x x x g 在()+∞∈,1x 递增 ()()()()04ln 2403ln 13,2ln 2,11＞，＜-=-=-=-=g g g g所以0(3,4)x ∃∈，000()ln 20g x x x =--= 所以0(1,),()0,()0x x g x h x ∈<<，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(1,)x 递减0(,),()0,()0x x g x h x '∈+∞>>，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(,)x +∞递增所以，00min 00(1ln )()()1x x h x h x x +==-结合000()ln 20g x x x =--=得到()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h所以()1ln 1-+x x x k ＜对()+∞∈,1x 恒成立()min x h k ＜⇔，所以3≤k ，整数k 的最大值为3。
衡水中学2019届高三上学期一调(数学文)
4 衡水中学 2018～2019 学年度高三年级上学期一调考试数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合 A = {1, 2, 4} , B = {x x 2- 4x + m = 0}，若 A ⋂ B = {1} ,则 B =A.{1, -3}B. {1, 0}C.{1, 3}D.{1, 5}2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A. y = 2- xB. y = x-3C.y =sin xxD. y = lg (2 - x ) - lg (2 + x )3.命题 p : ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) ≥ 2, 则⌝p 为A. ∀x ∈ R , f (x ) ≥ 2 C. ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) ≤ 2B. ∀x ∈ R , f (x ) < 2 D. ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) < 24. 下列函数中，其图象与函数 y = ln x 的图象关于直线 x = 1 对称的是A. y = ln (1- x )B. y = ln (2 - x )C. y = ln (1+ x )D. y = ln (2 + x )5. 函数 y = 2xsin 2x 的图象可能是右边的6. 已知实数 a > 1, 若函数 f( x ) = log a x + x - m 的零点所在区间为(0,1) ，则 m 的取值范围是 A. (-∞,1)B. (-∞, 2)C. (0,1)D. (1, 2)7. 已知 a = log 1 7 ,b = ⎛ 1 ⎫3, c = log1 ，则 a , b , c 的大小关系为32A. a > b > c⎪ ⎝ ⎭ B. b > a > c1 3C. c > b > aD. c > a > b8. 已知函数 f( x ) = ( x -1)(ax + b ) 为偶函数，且在(0, +∞) 上单调递减，则 f (3 - x ) < 0 的解集为A. (2, 4)B. (-∞, 2) ⋃ (4, +∞)C. (-1,1)D. (-∞, -1) ⋃ (1, +∞ )50 0 0 0 0 0 09. 已 知 f (x ) 是 定 义 域 为 (-∞, +∞)的 奇 函 数 ， 满 足 f (1- x ) = f (1+ x ) . 若 f (1) = 2 ， 则f (1) + f (2) + f (3) + + f (2018 ) =A. -2018B. 0C. 2D. 5010. 如右图， 可导函数 y = f ( x ) 在点 P (x 0 , f ( x 0 ))处的切线为l : y = g ( x ) ，设 h ( x ) = f (x ) - g (x ) ，则下列说法正确的是A. h '( x ) = 0, x = x 是 h ( x ) 的 极 大 值 点 B. h '( x ) = 0, x = x 是 h( x )的 极 小 值 点C. h ' ( x ) ≠ 0, x = x 不是h ( x ) 的极值点 D. h '( x ) ≠ 0, x = x 是h ( x ) 的极值点 11. 已知函数 f( x ) = ax 2 - 4ax - ln x , 则 f ( x ) 在(1, 3) 上不单调的一个充分不必要条件是A. a ∈⎛ -∞,1 ⎫B. a ∈⎛ - 1 , +∞ ⎫C. a ∈⎛ 1 , +∞ ⎫D. a ∈⎛ - 1 ,1 ⎫6 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 6 ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭12. 已 知f '( x )是 函 数f ( x ) 的 导 函 数 ， 且 对 任 意 的 实 数 x 都 有f ' ( x ) = e x (2x - 2) + f (x )(e 是自然对数的底数) ， f (0) = 1，则A. f ( x ) = ex(x +1)C. f ( x ) = e x (x +1)2B. f ( x ) = ex(x -1)D. f ( x ) = e x (x -1)2第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分。
河北省衡水市衡水中学2019届高三上学期一调数学试卷含答案解析
B. 4������ ‒ 1
C. 2������ ‒ 1
D. 2������ ‒ 1
【答案】D
【解析】
{ { 试题分析：设等比数列{������������}的公比为������，则
������1(1
+
������2)
=
5 2
������1������(1
+
������2)
=
5 4
，解得
������ = 2 1
考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前������项和公式．
7.已知函数������(������) = 2|������|，且������(������������������2������) > ������(2)，则实数������的取值范围为（ ）
A. (4, + ∞)
B. (0,14)
(1)不要混淆处理框和输入框； (2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构； (3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数； (5)要注意各个框的顺序； (6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件 即可.
又
3 3
<
2 2
<
1
<
������������������,∴������
<
������
<
������,故选
A.
4.已知函数������(������) = ������ + ������������������2(������2 ‒ 2������ + ������)的最小值为 8，则
河北省衡水市衡水中学2019届高三上学期一调数学试卷(含解析)
，
，
，则 ， ，的大小关系为
（） A. C. 【答案】 A 【解析】
∵点
在幂函数
∴
,且 在
又
,∴
B. D.
的图象上，∴ 上单调递增 , ,故选 A.
,解得
,
4.已知函数
的最小值为 8，则
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
由题意可得
时 的最小值不为 8； ，由复合函数的单调性可得
取得最小值，再由函数零点存
底面是边长为 4 的正方形，高为 2），故该几何体的体积为
，故选 D.
11.已知定义在 上的奇函数
满足 :当
则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】 A
时，
，若不等式
对任意实数恒成立，
【解析】 试题分析：当
时， 对任意实数恒成立
在 上是增函数 对任意实数恒成立
，故选 A ． 考点： 1、函数的奇偶性； 2、函数的单调性； 3、函数与不等式．
(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数； (5)要注意各个框的顺序；
(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件 即可 .
9.若函数
存在唯一的极值，且此极值不小于 1，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】
对函数求导得到
2.设复数 z 满足 (1 ＋ i)z ＝2i ，则 |z| ＝ ( )
等于
， 是解题的关键．
A.
B.
C.
D. 2
【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(文)试题
1, f 1 处的切线方程是（
A. x y 2 0 B. x y 0
） C. x y 1 0 D. x y 2 0
2 x2 y 2 7.已知椭圆 C : 2 2 1 a b 0 的离心率为 ，直线 x 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点， O 为坐标 2 a b
原点，且 OA OB ，则椭圆的方程为（ A. C. ）
x2 y2 1 2 x2 y 2 1 8 4
B. D.
x2 y 2 1 4 2 x2 y 2 1 6 3
8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点 E 为下底面半圆弧上一点（异于点 B, C ），则关 于该几何体的说法正确的是（ ）
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.
17.已知数列 an 满足 a1 1 ， an1 2 3an ，设 bn an 1 . （1）求 b1 , b2 , b3 ； （2）证明：数列 bn 为等比数列； （3）求 an 的通项公式. 18.在平行四边形 ABCD 中，AB 3 ，BC 2 ， 过 A 点作 CD 的垂线， 交 CD 的延长线于点 E ，AE 3 . 连结 EB ，交 AD 于点 F ，如图 1，将 ADE 沿 AD 折起，使得点 E 到达点 P 的位置，如图 2.
2018 年与 2015 年比较，下列结论正确的是（ A.一本达线人数减少 B.二本达线人数增加了 0.5 倍
）
C.艺体达线人数相同 D.不上线的人数有所增加 4.如图，在等腰梯形 ABCD 中， DC
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（文）高三年级数学试卷〔文科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分。
第一卷共2页，第二卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第一卷〔选择题 共60分〕一、 选择题〔每题5分，共60分。
每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 A 假设q 那么pB 假设⌝p 那么⌝qC 假设q ⌝那么p ⌝D 假设p 那么q ⌝ 2假设集合{}0A x x =≥，且A B B =，那么集合B 可能是〔〕A 、{}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R3等差数列}a {n 中，前15项的和90S 15=，那么8a 等于〔〕、A 、245B 、 6C 、445 D 、124()f x 在R 上是奇函数，且)()2(x f x f -=+2(4)),(0,2)()2,(7)f x f x f x x f +=∈==当时，则 ()A.2-B.2C.98-D.98 5函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，那么不等式0)(>x f 的解集为〔〕A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C.}11|{<<-x x D.}1|{->x x 6以下命题错误的选项是()A 命题“假设0m >那么方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“假设方程20x x m +-=无实根那么0m ≤”B 假设p q ∧为假命题，那么,p q 均为假命题C “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D 关于命题:p “R x ∈∃使得210x x ++<”，那么:p ⌝“,R ∀∈均有210x x ++≥” 7.不等式01232<--x x成立的一个必要不充分条件是()8、函数ln x x x xe e y e e---=+的图象大致为〔〕 A.B.C.D.9设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，关于任意的x R ∈，()2f x '>，那么不等式()24f x x >+的解集为〔〕A 、(1,1)-B 、()1,-+∞C 、(,1)-∞-D 、(,)-∞+∞1010≠>a a 且,ax f x a x x f x则时，均有当,21)()1,1(,)(2<-∈-=的取值范围是〔〕 A.[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,0 B.(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C.]2,1(1,21 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D.[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛,441,011设函数=)(x f x x )41(log 4-、x x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21,x x ，那么() A.1021<<x x B.121=x xC.2121<<x xD.221≥x x12.abc x xx x f -+-=96)(23，c b a <<，且0)()()(===c f b f a f .现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④.0)3()0(<f f ；⑤4<abc ；⑥4>abc其中正确结论的序号是()A.①③⑤B.①④⑥C.②③⑤D.②④⑥卷Ⅱ〔非选择题共90分〕【二】填空题〔每题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上〕 13.假设幂函数()f x 的图象过点(8,4)-，那么该幂函数的解析式为 14某同学为研究函数()1)f x x =＃)10<<x 的性质，构造了如下图的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，那么()AP PF f x +=.EFAB C D P请你参考这些信息，推知函数的极值点是；函数()f x 的值域是. 15关于函数12sin sin 2)(2++-=x x x f ，给出以下四个命题： ①)(x f 在区间]85,8[ππ上是减函数；②直线8π=x 是函数图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移4π个单位得到；④假设]2,0[π∈x ，那么()f x 的值域是]2,0[⑤函数()f x 关于)0,4(π对称 其中正确命题的序号是______ 16函数)0()(23≠+++=a d cx bxax x f 的对称中心为M ),(00y x ，记函数)(x f 的导函数为)(/x f ，)(/x f 的导函数为)(//x f ，那么有0)(0//=x f。
假设函数()323f x x x =-，那么可求得：1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【三】解答题〔本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17(此题10分){}045|2=+-=x x x A ,{}0)1(|2=-+-=a ax x x B ,{}04|2=+-=mx x x C ，假设C C A A B A =⋂=⋃,，求实数m a ,的值.18〔此题12分〕函数()f x 是定义在)1,1(-上的奇函数，当()1,0∈x 时，()x 2=x f ， 〔1〕求函数()f x 的解析式；〔2〕()a x f 2≤恒成立，求常数a 的取值范围.19〔此题12分〕函数()()0ln 22≥-+=a xa ax xx f.(1)假设1=x 是函数()x f y =的极值点,求a 的值； (2)求函数()x f y =的单调区间.20〔此题12分〕如下图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，|AB|＝3米，|AD|＝2米，且受地理条件限制，AN长不超过8米。
设x AN =ABCD MN 〔1〕要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，那么AN 的长应在什么范围内？〔2〕假设|AN|[3,4)∈〔单位：米〕，那么当AM 、AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积、21〔此题12分〕函数关于函数()f x ，假设存在0x R ∈，使00()f x x =，那么称0x 是()f x 的一个不动点，函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，〔1〕当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；〔2〕对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；〔3〕在〔2〕的条件下，假设()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值、高三年级数学试卷〔文科〕答案一选择：DABACBDDBCAC 二填空：32xy =12；1]①②-8046 三解答：17.解：{}4,1=A ，0)1(2=-+-a ax x 1,1-==⇒a x x ，由A B A =⋃A B ⊆⇒φ≠B ，{}1=∴B ，或{}4,1=B ，从而11=-a ，或41=-a ，故2=a ，或5=a .又C C A =⋂A C ⊆⇒.考虑042=+-mx x .当440162<<-⇒<-=∆m m 时，A C ⊆=φ；当40162-≤⇒≥-=∆m m 或4≥m 时，φ≠C ，如今由A C ⊆只能有{}4,1=C .如今5=m .综上可得：2=a ，或5=a .44<<-m ，或5=m .18.解：〔1〕因为函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，因此当0=x 时，()f x =0； 当01-<<x 时，1-0<<x ，因此()()x x f x f -2---==； 因此()⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<=10,20,001,-2--x x x x f x x〔2〕当10<<x 时，()21<<x f ；当01-<<x 时，()12--<<x f ；当0=x 时，()0=x f ；因此()2<x f ；因为()a x f 2≤恒成立，因此22≥a 即1≥a 19、解：函数定义域为()+∞,0，………………1分()xax x a x f 1222'++-=………………3分 因为1=x 是函数()x f y =的极值点，因此()02112'=-+=a a f 解得21-=a 或1=a 经检验，21-=a 或1=a 时，1=x 是函数()x f y =的极值点， 又因为a>0因此1=a …………6分20、解：设AN 的长为x 米〔82≤<x 〕∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32x x - ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x --------------------------------------4分21.〔1〕2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，那么2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3、…………………………….3分〔2〕∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)、……………..7分 〔3〕由2(1)0ax bx b ++-=得1222x xb a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，设,A B 中点为E ，那么E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a=-=-≥-++，当且仅当12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立，∴b的最小值为4-、……………………………………..12分22.解：〔Ⅰ〕当时，因此 即切点为因为因此因此切线方程为 即〔2〕由于，因此因此函数在上递增因此不等式对恒成立构造构造对，因此在递增因此,因此,因此在递减,因此在递增因此,结合得到因此对恒成立，因此，整数的最大值为3。