工程力学第五章
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工程力学最新版教学课件第5章
整个T形截面对形心轴xc的惯性矩为：
I xc
II xc
I
II xc
204.2106(mm4)
截面的几何性质
5.1 截面静矩与形心
5.1.1 静矩
dSx dAy dS y dAx
Sx dSx ydA
A
A
S y dS y xdA
A
A
y
x
dA
y
x
5.1 截面静矩与形心
5.1.2 形心
y
形心坐标
x Sy A
y Sx A
截面对通过其形心的坐标轴的静矩恒为零；
反之，截面对于某一轴的静矩若等于零，则该轴必 通过截面形心。
简单截面图形对形心轴的惯性矩
矩形：
Ix
bh3 12
圆形：
Ix
πd 4 பைடு நூலகம்4
圆环形：
Ix
πD4 64
1 4
式中， = d / D，为内外径比
型钢截面： 查型钢表
y y
y
C C
d 工字钢 dD
x xx
x
5.3 平行移轴定理
y
yC
Iz IzC b2 A
z dA
a
C
zC
I y I yC a2 A
Ix Aix2
I y Aiy2
ix
Ix A
——图形对 x 轴的惯性半径
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
y
x dA
y
r
x
【例5-3】计算图示矩形截面对其形心轴xC和坐标轴x、y的惯性矩。
Ⅱ.3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
组合截面的惯性矩
组合截面对某坐标轴的惯性矩等于各组成部分对于同一坐标轴 的惯性矩之和。
工程力学第五章
第5章 轴向拉伸与压缩
工程力学第五章
5.1 材料力学基础
5.1.1 材料力学的任务
机械及工程结构中的基本组成部分，统称为 构件。
为了保证构件正常工作，每一构件都要有足 够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。
工程力学第五章
构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡 量：
(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。
分布的密集程度(简称集度)较大造成的。由此
可见，内力的集度是判断构件强度的一个重
要物理量。通常将截面上内力的集度称为应
力。
工程力学第五章
工程力学第五章
应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位)， 简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这 一单位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕 ( GΡa)作为应力单位。 1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。
5.3.3 斜截面上的应力分析
由截面法求得斜截面上的轴力，
工程力学第五章
依照横截面上正应力分布的推理方法，可得 斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为
工程力学第五章
式中 ——斜截面面积。 若横截面面积为A，则
工程力学第五章
5.2 轴向拉伸和压缩
5.2.1 拉伸和压缩的概念
拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用 的拉力或压力而产生的变形。
杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合 力作用线与杆件轴线重合
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短
工程力学第五章
5.2.2 拉压杆的内力
5.2.2.1 内力的概念
材料力学中所说的内力，则是指构件受到外 力作用时所引起的构件内部各质点之间相互 作用力的改变量，称为“附加内力”。材料 力学所研究的这种附加内力，以后均简称为 内力。
工程力学第五章
5.1 材料力学基础
5.1.1 材料力学的任务
机械及工程结构中的基本组成部分，统称为 构件。
为了保证构件正常工作，每一构件都要有足 够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。
工程力学第五章
构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡 量：
(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。
分布的密集程度(简称集度)较大造成的。由此
可见，内力的集度是判断构件强度的一个重
要物理量。通常将截面上内力的集度称为应
力。
工程力学第五章
工程力学第五章
应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位)， 简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这 一单位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕 ( GΡa)作为应力单位。 1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。
5.3.3 斜截面上的应力分析
由截面法求得斜截面上的轴力，
工程力学第五章
依照横截面上正应力分布的推理方法，可得 斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为
工程力学第五章
式中 ——斜截面面积。 若横截面面积为A，则
工程力学第五章
5.2 轴向拉伸和压缩
5.2.1 拉伸和压缩的概念
拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用 的拉力或压力而产生的变形。
杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合 力作用线与杆件轴线重合
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短
工程力学第五章
5.2.2 拉压杆的内力
5.2.2.1 内力的概念
材料力学中所说的内力，则是指构件受到外 力作用时所引起的构件内部各质点之间相互 作用力的改变量，称为“附加内力”。材料 力学所研究的这种附加内力，以后均简称为 内力。
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
工程力学第五章 空间任意力系
F B x33N ,4 F B8 z 17N ,99
例5
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36F,R50mm, r30mm
各尺寸如图
求：(1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Fy 0
M x 1 . 7 k m , N M y 0 . 5 k 1 m , N M z 0 . 2 k 2 m N
例6
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
M AB F0
a
F6
a P0 2
F6
P 2
M AE F0
Fz 0
F 1 c 4 o s 3 5 i s F 2 n 0 c 4 o s 3 5 i s F A n 0 c 3 o P 0 0 s 结果： F1F23.5k 4NFA8.66kN
例2
已知： 两圆盘半径均为200mm， AB =800mm,
圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，
例3
已知：P=8kN, P110kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
受力：P,P1,FA,FB,FD,
列平衡方程
Fz 0 P P 1 F A F B F D 0
MxF0 0 .2 P 1 .2 P 1 2 F D 0 MyF0 0 .8 P 1 0 .6 P 1 .2 F B 0 .6 F D 0
F5 0
M AC F0
F4 0
M EF F0F6aa 2PF1
ab 0 a2b2
例5
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36F,R50mm, r30mm
各尺寸如图
求：(1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Fy 0
M x 1 . 7 k m , N M y 0 . 5 k 1 m , N M z 0 . 2 k 2 m N
例6
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
M AB F0
a
F6
a P0 2
F6
P 2
M AE F0
Fz 0
F 1 c 4 o s 3 5 i s F 2 n 0 c 4 o s 3 5 i s F A n 0 c 3 o P 0 0 s 结果： F1F23.5k 4NFA8.66kN
例2
已知： 两圆盘半径均为200mm， AB =800mm,
圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，
例3
已知：P=8kN, P110kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
受力：P,P1,FA,FB,FD,
列平衡方程
Fz 0 P P 1 F A F B F D 0
MxF0 0 .2 P 1 .2 P 1 2 F D 0 MyF0 0 .8 P 1 0 .6 P 1 .2 F B 0 .6 F D 0
F5 0
M AC F0
F4 0
M EF F0F6aa 2PF1
ab 0 a2b2
考研复习—工程力学——第5章 剪切和挤压
第5章
5.1 剪切和挤压的概念
5.1.1 剪切
2、结论
在发生剪切变形的连接构件中，发生相对错动的截面称作剪切面。剪切 与轴向拉伸与压缩变形不同，轴向拉压发生在整个构件或一段构件的内部， 而剪切变形只发生在剪切面上，因此，要分析连接件的剪切变形，就必须 弄清剪切面的位置。按照受力与变形的机理，剪切面通常平行于产生剪切 的外力方向，介于反向的外力之间。因此，要正确分析剪切面的位置，首 先必须正确分析连接件的受力，找出产生剪切变形的反向外力，据此分析 剪切面的位置。
第5章
5.2 剪切和挤压的实用强度计算
5.2.1 剪切实用强度计算
1.剪切面上的内力——剪力Q
如图5-5，用平面将铆钉从m-m假想截面处截开，分为上下两部分，任取上 部分或下部分为研究对象。为了与整体一致保持平衡，剪切面m-m上必有与外 力F大小相等、方向相反的内力存在，这个内力沿截面作用，叫做剪力。为了 与拉压时垂直于截面的轴力N相对应，剪力用符号Q表示。由截面法，根据截取 部分的平衡方程，可以求出剪力Q的大小，得出
第5章 剪切和挤压
训教 重点
剪切和挤压的实用强度计算 胡克定律
第5章
剪切和挤压
能力 目标
能够计算工程实例中剪切面和挤压面的面积。 解决机构连接件剪切和挤压强度问题。
第5章
5.1 剪切和挤压的概念
5.1.1 剪切
1、剪切变形： 作用在构件上的外力垂直于轴线，两侧外力的合力大小相等、方向 相反、作用线错开但相距很近。这样的受力所产生的剪切变形的变形特 点是：反向外力之间的截面有发生相对错动的趋势。工程中，把上述形 式的外力作用下所发生的变形称为剪切变形。
Fx 0
F Q 0
Q=F
第5章
工程力学(第五章)
面积是CD段横截面面积的2 面积是CD段横截面面积的2倍。求杆内轴力及最大轴 CD段横截面面积的 力，绘轴力图，绝对值最大正应力及位置，绝对值最 绘轴力图，绝对值最大正应力及位置， 大剪应力及位置？ 大剪应力及位置？
O 3F
B 4F
C 3F
D 2F
1 取截面1 解： 、取截面1-1、2-2、3-3 O 3F 1 1 B 4F 2 2 C 3F 3 3 D 2F
FN
F + -F + x
F N —图 图
5.1.2
F F F
横截面上的内力和应力
F FN=F
σ
1、当外力沿杆件轴线作用时，横截面上只有轴力，也只有正应力。 、当外力沿杆件轴线作用时，横截面上只有轴力，也只有正应力。 2、大多情况下，杆件在轴力作用下均匀伸缩变形，因此，根据材料均匀性 、大多情况下，杆件在轴力作用下均匀伸缩变形，因此， 假定，横截面上的应力均匀分布。 假定，横截面上的应力均匀分布。
FN -图 图
∴FN max = 3F
（在OB段） 段
4、分段求σ max 、
FN 1 3 F = σ1 = 2A 2A F F σ2 = N2 = 2A 2A F 2F σ 3 = N3 = A A
∴σ
max
5、求 τ max 、
由斜截面剪应力公式： 由斜截面剪应力公式：
1 τ α = σ cos α sin α = σ sin 2α 2 1 1 F τ max = σ max sin 90 = σ max = 2 2 A
o o 1、当 α = 0 , cos 0 = 1, sin 0 = 0 , 、
∴σα = σ =σmax, τα = 0
∴σα = ,τα = = τ max 2 2
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk
工程力学第五章摩擦
(1) 取研究对象时，一般总是从摩擦面将物体分开；
(2) 分析受力时必须考虑摩擦力；
(3) 在临界状态下，摩擦力达到最大值； (4) 物体未达到临界状态，摩擦力未知，如物体具有两种可能滑动
趋势时，要分别讨论；
(5) 解题的最后结果常常为不等式或用最大值和最小值表示。
11
【例】将重量为P的物块放置在斜面上，斜面倾角α 大于接触面的静
这样摩擦角可表示为 m arctanfs ，也就是说，摩擦角 m 与 材料及其表面状况有关，当物块处于平衡时，全约束反力与法向反 力的夹角
也总是小于或等于摩擦角，即
0 m
6
当F改变方向时，全约束反力的方位也随着改变，全约束反力的作
用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，如图所示，该锥面称为摩擦
P FN 临界状态时，最大静滑动摩擦力为Fsmax N。 P =fsF
F Fsmax P N
联立求解，可得物体不至于上滑所充许Q的最大值为
Qmax
sin fs cos P Ptan( m ) cos f ssin
sin fs cos P cos fs sin
Fd fFN
式中 ，f 为动滑动摩擦系数。一般情况下，动滑动摩擦系数略小 于静滑动摩擦系数，并与两个相接触物体的材料以及接触表面的情况
有关；同时也和两物体相对滑动速度有关。在实际应用中，动摩擦系
数要通过实验测定。
4
5.3 摩擦角和自锁现象
5.3.1 摩擦角 1．全约束反力 法向约束反力FN和切向约束反力Fs的合力称为全约束反力。全约
Ff21
v12
m 时,恒有： 当 ≤
m
Ft ≤ Ffmax
工程力学第五章轴向拉伸压缩
在轴向拉伸和压缩过程中，物体内部 的应力分布是不均匀的，主要集中在 物体的横截面上。
轴向拉伸与压缩的应变分析
应变分析是研究物体在各种外力和内力作用下 产生的应变分布规律的过程。
在轴向拉伸和压缩过程中，物体内部的应变分 布也是不均匀的，主要集中在物体的横截面上。
应变分析的主要任务是确定物体在轴向拉伸和 压缩过程中横截面上的正应变和剪切应变的大 小和方向，以及它们的变化规律。
03
数值模拟与优化设计
数值模拟技术可以更加准确地模拟和分析结构的受力情况，优化设计参
数，提高结构的性能和可靠性。未来将更多地应用数值模拟与优化设计
技术，以降低工程成本和提高工程质量。
谢谢
THANKS
03 轴向拉伸与压缩的变形与强度
CHAPTER
轴向拉伸与压缩的变形规律
轴向拉伸与压缩时，杆件会产 生伸长或缩短变形，其变形量 可用伸长量或缩短量来表示。
杆件在轴向力作用下，杆件横 截面保持为平面，但会发生绕 中性轴的转动。
杆件在轴向拉伸或压缩时，中 性轴是应力为零的截面，中性 轴以上部分受拉，中性轴以下 部分受压。
工程力学第五章轴向拉伸压缩ຫໍສະໝຸດ 目录CONTENTS
• 轴向拉伸与压缩的概念 • 轴向拉伸与压缩的力学分析 • 轴向拉伸与压缩的变形与强度 • 轴向拉伸与压缩的实验研究 • 轴向拉伸与压缩的实际应用
01 轴向拉伸与压缩的概念
CHAPTER
定义与特性
定义
轴向拉伸与压缩是指物体在力的作用 下沿轴线方向产生的拉伸或压缩变形 。
实验设备与方法
实验设备
万能材料试验机、游标卡尺、夹具、 试样等。
实验方法
选取适当规格的试样，安装夹具，将 试样一端固定在试验机上，另一端施 加拉伸或压缩载荷，记录试样的变形 量，并测量相应的应力、应变值。
工程力学 第五章 弯曲内力(FS)
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
(Internal Forces in Beams) 二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P M
q
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 RA 三、平面弯曲的概念：
NB
(Internal Forces in Beams) F1 q
A
a m l m x
F
B
F
x
0,
XA 0
Fa M A 0 , RB l F (l a ) Fy 0 , YA l
XA A
YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams) 求内力——截面法 F (l a ) Fy 0 , FS YA l m XA=0A F (l a ) M C 0 , M YA x l x m YA 1、 剪力(Shear force) FS x 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FS 2、弯矩(Bending moment )M M C 构件受弯时，横截面上其作用面垂直 YA 于截面的内力偶矩. M 剪力 C 弯曲构件内力 Fs 弯矩
m （受拉）
m
按变形：当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下 半部受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负 注：横截面上的弯矩：
-
m
“左顺右逆”为正；反之为负 按受力：“上压下拉”为正，反之为负
（受压）
(Internal Forces in Beams) 例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩. RA F2 RB F1 a 解: (1)求支反力 R 和 R
工程力学—第五章材料力学的一般概念
§5-1 材料力学理论的建立
第一部《材料力学》出现17世纪以后，技术革命
法国科学家 库仑 （1736－1806）
通过实验修正了伽利略的错误，提出了最大切 应力强度理论。
法国科学家 纳维 1826年著《材料力学》
材料力学 —— 研究构件在外力作用下的变形、
受力与破坏或失效的规律，为合理设计构件提供有 关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。
教师：李炎
第 5 章 材料力学的一般概念
§5-1 材料力学简史 §5-2 材料力学的任务 §5-3 材料力学的研究对象 §5-4 荷载的分类 §5-5 变形固体及其基本假定 §5-6 内力与应力 §5-7 变形与位移 §5-8 杆件变形的基本形式
§5-1 材料力学简史
材料力学的发展是工程实际的迫切需要。
§5-5 变形固体的基本假设
任何固体在外力作用下都会发生形状和尺寸的改变，即变形。
对于变形固体，当外力在一定范围时，卸去外力后其变形会
完全消失，这种随外力卸去而消失的变形为“弹性变形”。
当作用于固体的外力大小超过一定范围，在外力卸去后固体 变形只能部分消失，还残留下一部分不能消失的变形，这种不能
消失的残余变形为“塑性变形”。
反之为负。
③ 全应力分解为：
a.垂直于截面的应力（法向分量）称为“正应力”；
F1
ΔN
lim
Δ A0
Δ
A
dN dA
p
M
F2
b.位于截面内的应力（切向分量）称为“切应力”。（剪应力）
ΔT
lim
Δ A0
Δ
A
dT dA
F1
工程力学-第5章
l
A
B
F1
C
F2
l
l
FA
A
B" B F1 B'
C
F2
解：2. 确定控制面
处在的集A、中C载截荷面F2，、以约及束集力中FA载作用荷
F1作用点B处的上、下两侧横截 面都是控制面。
3. 应用截面法求控制面上的轴 力
用假想截面分别从控制面A、 B"、B' 、C处将杆截开，假设
横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡。
基本概念与基本方法
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA＝0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
D B
解： 3. 应用截面法确定D 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
l
FQD
D
MD l
F y ＝ 0 ， F Q D － F P ＝ 0
M D ＝ 0
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
F
P
D B
l
MA＝0
FQC
A
C
MC
FP
l
解： 2. 应用截面法确定C 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
F y ＝ 0 ， F P － F Q C ＝ 0
M C ＝ 0 ， M C ＋ M A － F P l＝ 0
轴力图与扭矩图
扭矩图
轴力图与扭矩图
作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化 而得，但是对于传递功率的轴轴，通常都不是直接给出力或力 偶矩，而是给定功率率和和转转速速。
工程力学第5章 1静力学基本
z
F
α
Bβ O
Ac
r
ay
x
b
解：(1)
Fx = −F cosα sin β Fy = −F cosα cos β
Fz = F sinα
（2） r = a i + b j + c k
z
F
α
Bβ O
Ac
r
ay
x
b
i
j
k
MO (F ) =
a
b
c
−F cosα sin β −F cosα cos β F sinα
例题
解：
方法1 应用合力矩定理求解。 力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fxx = F sin α
Fyy = 0
Fzz = −F cos α
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
MMxx(FF) == ( MMxx FFZZ ) == −−FFzz(AABB ++CCDD) == −−FF(ll ++ bb)ccoossαα MMyy(FF) == MMyy(FFZZ ) == −−FFzzBBCC == −−FFllccooss αα MMzz(FF) == MMzz(FFxx) == −−FFxx(AABB ++CCDD) == −−FF(ll ++ bb)ssiinnαα
z
v F
=
v Fxi
+
Fy
v j
+
v Fz k
O x
Fx
=
v F
⋅ iv,
Fy
=
v F
⋅
vj ,
Fz
=
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
工程力学 第五章
截面法求内力的三步曲
沿横截面截开，留下一部分作为研究对象， 弃去另一部分——截开 弃去另一部分——截开 用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下 部分的作用——替代 部分的作用——替代 对留下部分建立平衡方程并解之——平衡 对留下部分建立平衡方程并解之——平衡
F1 F1 F3 F3
F2
假想 截面
Fn
1 R B = ql 8
0 < x <
0 ≤ x ≤
(2) 建立剪力方程和弯矩方程
l 2
l 2
3 1 M 1 ( x ) = ql ⋅ x − qx 2 8 2
1 FS 2 ( x ) = − ql 8 1 M2 (x) = ql⋅ (l − x) 8
l < x < l 2
l ≤ x ≤ l 2
（3）作剪力图和弯矩图
FQ +dFQ FQ
平 衡 微 分 方 程
略去高阶项，得到: 略去高阶项，得到:
dFQ y
ΣFy=0: FQy+q dx- FQy - d FQy =0 ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- FQy dxq dx .dx /2 =0 .d
dx =q
平 衡 微 分 方 程
类似地在xz平面内 类似地在xz平面内，也可以得到 平面内， 类似的表达式，只是下标有所不同。 类似的表达式，只是下标有所不同。
M(x1 )＝Mx1 / l
3.
依方程画出剪力图和弯矩图。 依方程画出剪力图和弯矩图。
平 衡 微 分 方 程
内 力 与 外 力 关 系
内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡； 面一侧局部杆件上的外力相平衡； 在载荷无突变的一段杆的各截面 上内力按相同的规律变化； 上内力按相同的规律变化；
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梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡 状态。截面 m―m 上将产生内力,这些内力将与外力FA和 F1； 或FB和F2；在梁的左半段或右半段构成平衡力系。
? Fy ? 0 FAy ? F1 ? FS ? 0
FS ? FAy ? F1
FS 称为横截面 m―m
上的剪力，它是与横截面 FAy
相切的分布内力系的合力。
作用在弹性体上 的外力相互平衡
F1
F3
F2
分布内力
Fn
内力主矢与内力主矩
(Resultant Force and Resultant Moment)
F1
F2
F1
F
R
F3
Fn
F
M
使用静力平衡方程求出内3 力FR和M
S Fi=FR S mo(Fi)=M
引 言(Introduction)
内力分量(Components of the Internal Forces )
轴力图举例
一、拉、压杆的内力(Internal Forces)
轴力图
例-2： F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
解：1)截面法求AC段轴力，沿截
面1-1处截开，取左段如图14-1-2 所示
∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN
2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
M ?x?
x
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面 x ，写出
剪力和弯矩 方程
FS
FS ?x?
ql
FS ?x?＝qx
?0 ? x ? l?
?? ?
M ?x?＝qx2 / 2 ?0 ? x ? l?
ql
2
/
x
2
依方程画出剪力图和弯矩图
M
ql 2 / 8 ?? ?
FN3 ? F4 ? 25kN
x
2、绘制轴力图。
轴的扭矩
扭转内力
? 扭矩 Torque :
用T表示
? 扭矩的正负号规定：
按右手螺旋法则： 矢量离开截面为正， 矢量指向截面为负。
轴的扭矩图示例
?? ?
?? ?
扭矩图计算时扭矩用矢量表示 例 题
AB段扭矩
? Mx ? 0, T1 ? 183.6 ? 0
3
F4
出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10
?? ? ?? ?
?? ?
10
AB段 BC段
? Fx ? 0
FN1 ? F1 ? 10kN
? Fx ? 0 FN 2 ? F2 ? F1
F4
25 CD段
FN2 ? F1 ? F2 ?
10 ? 20 ? ? 10kN
? Fx ? 0
? 沿横截面截开，留下一部分作为研究对象， 弃去另一部分——截开
? 用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下 部分的作用——替代
? 对留下部分建立平衡方程并解之——平衡
F1
F3
F1
F3
F2
假想
Fn
截面
F2
分布内力 Fn
弹F2
Fn
假想截面
内力与外力平衡； 内力与内力平衡。
剪力图和弯矩图
剪力、弯矩方程法
若以横坐标 x 表示横截面在梁轴线上的位 置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函数，即：
FQ ? FQ(x) M ? M(x)
或写成：
FS ? FS(x) M ? M(x)
函数在直角坐标系下的曲线，即为剪力 图和弯矩图。举例如下：
§5.2. 剪力图和弯矩图的绘制 例题5.2-1
M FN FS
截面 m―m 上的弯矩。它是与
横截面垂直的分布内力系的合
力偶矩。
剪力和弯矩的符号规则
M FN
M FN
F Ay
FS
FS
截面上的剪力对梁上任意
一点的矩为顺时针转向时，
+
剪力为正；反之为负。
F By
_
截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
FQ
FR
Mx
FN
MB
M
在确定的坐标系中 ,轴力、剪力、扭矩、 弯矩及其可能产生的变形效应。
例1.1
确定m-m截面上的内力
N=P
M=Pa
例1 直径为 d 长为 l 圆截面直杆，铅垂放置，上端 固定，若材料单位体积质量为 ，试求因自重引起 杆的 m-m 截面的内力 。
解：
整个杆件最大的轴力发生 在固定端截面上，其值：
T1 ? 183.6 Nm
AC段扭矩
? Mx ? 0,T2 ? 91.82 ? 0
T2 ? ?91.82 Nm
§5-2 弯曲的概念和内力
?弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的 轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。 ?对称弯曲：载荷作用在梁的纵向对称平面内。— 平面弯曲
FN
M
M FN FS
FS
F By
§5-2 剪力和弯矩
根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力
对截面 m―m 的形心 O取矩，其力矩总和应为零，即
∑MC =0，则
? MC ? 0, M ? F1(x? a) ? FAyx ? 0
M ? F Ay x ? F1(x ? a )
FAy
这一内力偶矩 M 称为横
由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
Mmax＝ql2 / 2
§5.2. 剪力图和弯矩图的绘制 例题5.2-2
F
a
b
A
C
x1 x2
F AY
l
FS Fb / l
?? ?
Fa / l
?? ?
Fab / l
M
?? ?
图示简支梁C点受集中力作用。
∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN
（负号表示所画 FN2方向与实际相反）
3)图14-1-4为AB杆的轴力图
A
F1 F1 F1
FN ?kN?
轴力图举例
例题2-3
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
1 F2
2
F3
内力的概念
? 内力
? 物体因受外力作用而使其内部各部分之间 因相对位置改变而引起的相互作用力；
? 材料力学中的内力，是指外力作用下，物 体各质点之间相互作用力的变化量，所以 是物体内部各部分之间因外力而引起的附 加相互作用力，即“附加内力”；
? 内力随外力的增加而加大，随外力的撤除 而消失。
截面法求内力的三步曲
§5-2 弯曲的概念和内力
梁的类型
静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁 的基本形式有：
简支梁：一端固定铰支座，另一端可动铰支座的梁，如图5-3a
悬臂梁：一端固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。
外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c。
图5-3
§5.2 剪力图和弯矩图