上海复旦附中2017年自招真题数学试卷(含答案)

∵ a 、 b 、 c 是一个三角形的三边， ∴a bc 0，a b c 0，a b c 0，a bc 0，
∴ (a b c)(a b c)(a b c)(a b c) 0
2. 设 m ， n 是正整数，满足 m n mn ，给出以下四个结论：① m ， n 都不等于 1 ；② m ， n 都
A .可能均为有理数
B .可能均为无理数
C .可能恰有一个为有理数
D .可能恰有两个为有理数
解：选 D
若 a, b, c 均为有理数， A 正确；
若 a 2 ， b 3 ， c 0 ， B 正确；
若 a 2 ， b 2 ， c 0 ， C 正确;
( x y)( x 2 y) 0
当 a 1 5 时， x 1 不是原方程的根，舍 2
∴a

1 2
5
4. 已知 a ， b ， c 是不完全相等的任意实数，若 x a 2b c ， y a b 2c ， z 2a b c ，
则关于 x ， y ， z 的值，下列说法正确的是（
∴ m ， n 至少有一个等于 1 。 3. 已知关于 x 的方程 2 x a x a 有一个根为1 ，则实数 a 的值为（ ）
A
.

1
2
5
解：选 A
B
.

1
2
5
将 x 1 代入，得 a 2 a 1 ，
C
.

1
2
5
D .以上答案都不正确
两边平方，得 a 2 a 1 0 ， a 1 5 ， 2
2017 年复旦附中自招题
1. 已知 a 、 b 、 c 是一个三角形的三边，则 a 4 b4 c 4 2a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 的值是（ ）
A .恒正 解：选 B
B .恒负
C .可正可负
D .非负
a 4 b4 c 4 2a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2
(a 2 b 2 c 2 )2 4b 2c 2
(a 2 b2 c 2 2bc)(a 2 b2 c 2 2bc)
[a 2 (b c)2 ][a 2 (b c)2 ]
(a b c)(a b c)(a b c)(a b c)
围是（ ）
A.0 m 1
B.m 3 4
解：选 C
设 x 2 2 x m 0 的两根为 x1 ， x2 ，
C .3 m 1 4
D.3 m 1 4
x1 x2 1
则

x1

x2
1
0
解得 3 m 1 。 4
10. 用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝
A .都大于 0
B .至少有一个大于 0
解：选 B
）
C .都小于 0
D .至多有一个大于 0
x yz 0，
若 x ， y ， z 均小于 0 ，则 x y z 0 ，矛盾； 故至少有一个大于 0 。
5. 已知 a ， b ， c 不全为无理数，则关于三个数 a b ， b c ， c a ，下列说法错误的是（ ）
8. 若关于 x 的方程 x 2 b a 有四个实数解，则化简 a b a b a b 的结果是（ ） ab ab a b
A. 2
B .0
C .2
D.4
解：选 C 画出 y x 2 b 和 y a 的函数图像， ∵有四个交点，∴ 0 a b ， ∴ ab ab a b 1111 2 ab ab a b
D .先关于 y 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向下平移 4 个单位 解：选 A
由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于 x 轴对称，得到 y 3 x 2 6 x 1 ，
即 y 3x 12 4 ，再向右平移 1 个单位，最后向上平移 4 个单位，得到 y 3 x 2 。
6.
关于
x，
y 的方程组 ( x

y

2)2

(2x

y
1)2

的实数解有（
0
A .1组 解：选 A
B .2组
C .3组
由①得 x y 0 或 x 2 y 0 ，
）
D.4组
由②得 x y 2 0 且 2 x y 1 0 ，
∴只有

x y

1 1
不等于 2 ；③ m ， n 都大于 1 ；④ m ， n 至少有一个等于1 ，其中正确的结论是（ ）
A .①
B .②
C .③
D .④
解：选 D
由 m n mn 得 m 1n 1 1
若 m ， n 均大于1 ，则 m 1 1, n 1 1, m 1n 1 1 ，矛盾，
一组解。
7. 为了得到函数 y 3 x 2 的图像，可以将函数 y 3 x 2 6 x 1 的图像（
）
A .先关于 x 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向上平移 4 个单位 B .先关Baidu Nhomakorabea x 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向下平移 4 个单位
C .先关于 y 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向上平移 4 个单位
方法二：
∵ x2 b a，
∴ x 2 b a 或 x 2 b a ，
∴ x2 ab或 x2 ba，
∵原方程有四个实数解，
∴a 0，a b 0，b a 0， ∴b 0， ∴原式 1 1 1 1 2
9. 如果方程 ( x 1)( x 2 2 x m) 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范
隙？（ ）
A. 2 种
B.3 种
C.4 种
D. 5 种
解：选 B
关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可
以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。