复变函数与积分变换试题A
复变函数与积分变换期末考试题
哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （ ）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。
《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A及答案
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ ）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ ） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ ）A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ ） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（ ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ ） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（ ） A 、zzsin B 、2)1(1-z zC 、ze 1D 、11-z e 10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、=-i33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。
2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A答案
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷答案考试形式：闭卷 试卷类型：A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、C4、D5、B6、D7、B8、A9、C10、A二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、)]5sin(ln )5[cos(ln 5ln i e +2、k ek (22ππ--为整数)3、3,2,1,0)]216sin()216[cos(28=+++k k i k ，ππππ4、2ln5、e i 2-和e i26、07、28、i π29、i π2 10、sin 2三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、先把括号中的两个复数化成三角式：)3sin 3(cos231ππi i +=+（1分） ))3sin()3(cos(231ππ-+-=-i i （1分） 再由复数的除法和求乘幂的方法，得1010))3sin()3(cos(2)3sin 3(cos 23131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ππi i i i （2分）10)33sin()33cos(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=ππππi （2分）ππ320sin 320cos i +=i 2321+-=（2分） 2、22221211)1)(1()1(11n nin n ni ni ni ni ni z n +++-=+-+=-+=（2分）22212,11nn y n n x n n +=+-=（2分） 而0lim ,1lim =-=∞→∞→n n n n y x （2分）因此1lim -=∞→n n z ，即复数列niniz n -+=11收敛于-1（2分） 3、因zz z1sin 1cos1cot =，在πk z =1处，即0),,2,1(1=±±==z k k z kπ处z 1cot 不解析（4分），且 0lim =∞→k k z ，故0不为z1cot 的孤立奇点。
《复变函数与积分变换》试题A卷答案
《复变函数与积分变换》试题答案及评分标准 A 卷一、填空题.（每题3分，共21分）1、21-，23-，i 2321-+2、0,3、2，2<z4、()4122++iw 5、4322++）（s 6、任何 7、()12913+e 二、选择题（每题3分，共18分）1、B2、A3、B4、C5、D6、B三、计算题。
解：()()[]()()()i i i y i x 35353531-+--++=()()()()2292533351315i i y i y i x x ----++-+………2分 =341()()[)())(()]i x y y x 13353315+--+-++ =341()[()]i x y y x 1835435--+-+ i +=1…………………………………………………4分 ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴11134183534435118353411435341y x x y y x x y y x ………………10分 2、解：()()()2323lxy x i y nx my z f +++=()y nx my y x u 23.+=∴ 23).(lxy x y x v +=…………………2分 )(z f 为解析函数，满足R C -条件y v x u ∂∂=∂∂ ， u v y x ∂∂=-∂∂………………………………….4分nxy x u 2=∂∂ 223nx my y u +=∂∂ 323ly x x v +=∂∂ lxy yv 2=∂∂……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧--===∴3313333222222l n m n l m n l ly x nx my lxy nxy 时，当3,3,1-=-==∴l n m 解析)(x f …………………………10分3、解 z z f sin )(=在整个复平面上处处解析 ∴曲线积分dz z c⎰sin 与路径无关…………………………4分⎰⎰⎰∠==∴c xdx zdz zdz 20sin sin sin ……………………………7分 20cos cos 2cos 01cos 2x =-=-+=-……………………10分4、解：令ξ1-=z 原幂级数改写为1n n n ξ∞=∑。
复变函数与积分变换考试试卷
复变函数与积分变换考试试卷一. 填空题(每空 5 分，共 25 分)1．设100i)(1z +=，则Imz ＝ 。
2.方程lnz=i 3π的解为 。
3.)21(421lim z zi x +++→=_______________________________________。
4.导函数xv i x u x f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为_________。
5.函数)Re()Im()(z z z x f -=仅在点z=____________________处可导。
二．选择题(每题 5 分，共 25 分)1．复数i 218-2116z =的辐角为 （ ） A.arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 2. 方程|z+2-3i|=2所代表的曲线（ ）A.中心为2-3i ，半径为2的圆周B. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周C. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周D. 中心为2-3i ，半径为2的圆周3. 复数)2(tan πθπθ i z -=的三角表示式是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i C.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i D.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i 4. 若函数在复平面内处处解析，那么实常数a=（ ）A.0B.1C.2D. -25.设f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的是（ ）A. f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以 π2为周期C.2e f(z)iz ize --= D.|f(z)|是无界的 三．计算题(每题10 分，共 50 分)1.设)22(2)(22xy x i y y x z f ++--=，写出f(z)关于z 的表达式。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分) 1．以下复数中，位于第三象限的复数是〔 〕A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．以下等式中，不成立的等式是〔 〕4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔 〕 A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+以下命题正确的选项是〔 〕 A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=5．以下函数中，在整个复平面上解析的函数是〔 〕.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔 〕A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在以下复数中，使得ze i =成立的是〔 〕.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则以下正确的选项是〔 〕12.iA z e π=34.i B z eπ=712.i C z eπ=3.iD z e π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为〔 〕A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于〔 〕 A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的选项是〔 〕A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的〔 〕A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为〔 〕A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于〔 〕A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则以下命题正确的选项是〔 〕 A. 2[(2)]()j f t e F ωω-=⋅F B. 21()[(2)]j e f t F ωω-⋅=+F C. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jt e f t F ω⋅=-F二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题〔本大题共4小题，每题7分，共28分〕 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，〔2〕求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题〔共4小题，每题8分，共32分〕 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
信息学院复变函数与积分变换试题A卷答案(2009年12月)
复变函数与积分变换（A卷）参考答案及评分标准………………………………………………………………………………………………一、单项选择题。
（每小题3分，共15分）1、C2、D3、B4、A5、B二、填空题。
（每小题3分，共15分）6、 7、1 8、0 9、 10、.三、计算题。
（本题6分）11、··················································································（2分）(1) ,·································································································分）(2)························································································（5分）(3) z是第二象限点·············································································································分）四、求下列积分。
复变函数与积分变换试题(A卷)(3)
2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为 ．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？ ， 何处解析？ ．3．)43(Ln i +-的值为 ． 4．级数∑∞+=1n nni 是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ． 5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为 ．6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射z w e =下的像为． 7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为 ． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为 ．解答内容不得超过装订线二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=++3||342215d )1()1(z z z z z2．⎰=3||d 1cosz z zz3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ4．x x xd cos 0⎰∞++52三、(14分)已知y x y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解答内容不得超过装订线四、(14分)将函数211)(z z f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D 映射到上半平面的共形映射．解答内容不得超过装订线七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn z a 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明： )(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．。
复变函数与积分变换期末考试-11-12-1-A-试题&答案
京
交
通
大
学
2011-2012 学年第二学期《复变函数与积分变换》期末考试卷（A 卷）
（参考答案）
学院
专业
班级
学号
题 得 号 分 一 二
姓名
三 四 总分
阅卷人
一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
1. 复数 i 的指数形式为____ e 2.
i
2 k 2
______。
ln(3i)
2
π ln 3 i 2
。
3. 级数 1 z z
zn
的和函数的解析域是
| z |1
。
4.
1 e2 z 1 e2 z 4 z 0 是 4 的 3 阶极点， Re s[ 4 , 0] 。 z 3 z
2
5. 在映射 w z i z 下， z i 处的旋转角为__
（8 分）
由于 f (i) 2i ，得 c 1 （9 分） ， f ( z ) (4 xy y 1) i(2 x 2 y x) （10 分）
2.
2
z
z z 1 e dz z 1
2 1 1 2 ( ) z 1 2! z 1
2
e z 1 1
v y 4 y u x , u 4 xy c( y) ， v x (4 x 1) u y , (4 x 1) 4 x c( y)
c( y) 1, c( y) y c
u( x, y) 4 xy y c
2 2
我们有，
1 1 1 z 3 z 1 z1 3! 5! 7!
z =0为f ( z )的三阶极点, 1 Re s[ f ( z ),0] . 5!
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
数学物理方法综合试题及答案 ()
复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =，则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+，则(,)uxy=（ ）A.(cos sin )ye y y x y -)B.(cos sin )xe x y x y -C.(cos sin )xe y y y y - D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
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5． 和 分别是函数 的（）
（A）3阶极点和本性奇点；（B）可去奇点和非孤立奇点；
（C）3阶极点和非孤立奇点；（D）本性奇点和非孤立奇点。
二、填空题（每小题4分，共20分）
1. =。
2.在映射 下，圆周 的像为。
3.方程 的解为。
4. 。
5.卷积 。
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三．综合题（共60分）
1.（8分）求 。
2.（6分）沿曲线 ，计算积分 。
3.（8分）计算积分 ，其中 。
4.（8分）证明 是调和函数，并求一满足条件 的解析函数 。
山东建筑大学试卷共 3 页第3页
5.（10分）求函数 在
（1） ；（2）
内的洛朗级数展开式.
6.（6分）计算积分
7.（6分）求脉冲函数 的 变换。
8.（8分）求 的 变换。
山东建筑大学试卷共 4 页第4页
山东建筑大学试卷共 页第5页
山东建筑大学试卷共 页第6页
山东建筑大学试卷共 页第7页
山东建筑大学试பைடு நூலகம்共 页第8页
（C） ；（D 。
2. （）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） 。
3.函数 在 处（ ）
（A）极限不存在；（B）不连续；
（C）可导；（D）满足柯西—黎曼条件。
4.函数 的可导性与解析性为( )
（A）在 平面上处处可导，处处解析；
（B）在 平面上处处不可导，处处不解析；
（C）只在 处可导，在 平面上处处不解析；
山东建筑大学试卷共 3页第1页
2013至2014学年第一学期 考试时间：120分钟
课程名称：复变函数与积分变换（ A ）卷 考试形式：（ 闭卷 ）
年级：2012专业：电气工程与自动化等； 层次：（ 本 ）
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(每小题4分，共20分)
1.复数 的模与辐角分别是（）
（A） ；（B） ；