《证明三》练习题2
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（）A．①②③④B．③④C．①②③D．①②④2．已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC中，当APB APC BPC时，P就是ABC的费马点．若点P是腰长为6的等120++=（）腰直角三角形DEF的费马点，则PD PE PFA．6 B．33+C．63D．93．如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，AC＝AE，则∠B的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°4．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足3a-+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或115．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（）A．5 B．4 C．3 D．26．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB 1上取点B 2，B 3，…，分别以B 1B 2，B 2B 3，…为边作等边三角形△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…使得A 1，A 2，A 3，…在同一直线上，该直线交y 轴于点C ．若OA 1＝1，∠OA 1C ＝30°，则点B 9的横坐标是（ ）A ．2552B ．5112C ．256D ．51327．下列说法错误的是（ ） A ．有两边相等的三角形是等腰三角形 B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形8．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径 画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（ ）A ．3B ．5C 5D 7 9．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD AE =，则CDE∠的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 10．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB∠的度数为（ ）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒ 11．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，以线段OA 为边在第四象限内作等边ABO ，点C 为x 轴正半轴上一动点（1OC >），设点C 的坐标为(),0x ，连结BC ，以线段BC 为边的第四象限内作等边CBD ，直线DA 交y 轴于点E ，点E 的坐标是（ ）A ．(3B ．0,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．30,2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12．若以Rt ABC △的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在Rt ABC △的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个二、填空题13．如图，OA OB OC ==且30ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小是______度．14．如图，在等边ABC中，点D在AC边上，点E在ABC外部，若∠=∠，CE BDACE ABD=，连接AE，DE，则ADE的形状是______．15．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝_____°．16．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于_____．17．如图，∠MON=33°，点P在∠MON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，角OM于点A，连接AP，则∠APN=____．18．如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6cm，点E、F分别为OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值为________cm．19．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．20．如图，AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．则下列结论中：①AD 是ABC ∆的高；②ABC ∆是等边三角形；③ED FD =；④AB AE BF =+．其中正确的是______________（填写序号）三、解答题21．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）连结DF ，求证：AB 垂直平分DF ；（3）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．22．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝62°，∠B ＝78°，AC 的垂直平分线交BC 于点D ． （1）求∠BAD 的度数；（2）若AB ＝8，BC ＝11，求△ABD 的周长．23．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB 平分∠ABC ．（3）求证：AE =EF ．24．在△DEF 中，DE ＝DF ，点B 在EF 边上，且∠EBD ＝60°，C 是射线BD 上的一个动点（不与点B 重合，且BC≠BE ），在射线BE 上截取BA ＝BC ，连接AC ．（1）当点C 在线段BD 上时，①若点C 与点D 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE 与BF 的数量关系为 ； ②如图2，若点C 不与点D 重合，请证明AE ＝BF ＋CD ；（2）当点C 在线段BD 的延长线上时，用等式表示线段AE ，BF ，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．25．如图，已知等腰ABC 的底边13BC cm =，D 是腰BA 延长线上一点，连接CD ，且12BD cm =，5CD cm =．（1）判断BDC 的形状，并说明理由；（2）求ABC 的周长．26．已知：如图，,,C D Rt AC BD AD ∠=∠=∠=与BC 相交于点P ．≌．求证：（1）Rt ABC Rt BAD△是等腰三角形．（2）PAB【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先由SAS判定△ACD≌△BCE，证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①正确；∠CAD＝∠CBE，∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形，故②正确；过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM（AAS），∴CM＝CN，∵CM⊥BE，CN⊥AD，∴OC平分∠AOE，故④正确；当AC ＝CE 时，AP 平分∠BAC ，则∠PAC ＝30°，此时∠APC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD ⊥BC ，故③不正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】根据题意首先画出图形，过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，求出PE ，PF ，DP 的长即可解决问题．【详解】解：如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，在等腰Rt DEF △中，6DE DF ==DM EF ⊥，223EF DE ∴==3EM DM ∴=∵∠PEM =30°，∠PME =90°，∴EP =2PM ，则()2222PM EM PM +=，解得：1PM =，则2PE =， 故31DP ，同法可得2PF =， 则312233PD PE PF ++++=故选：B ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键．3．B解析：B【分析】先ASA证明△BAC≌△EDC，再利用全等三角形的性质，等腰三角形的两底角相等即可求解．【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD，又∵∠BCE＝∠BCA＋∠ACE，∠ACD＝∠DCE＋∠ACE，∴∠BCA＝∠DCE，∵∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，∴△BAC≌△EDC（ASA），∴AC＝CD，∴∠CAE＝∠D＝40°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝1（180°﹣∠CAE）＝70°，2∵∠AEC＝∠D＋∠DCE，∴∠DCE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝110°．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明△BAC≌△EDC．4．D解析：D【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，解得a=3，b=4，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，∵4+4＞3，∴能组成三角形，4+4+3=11，②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，所以，三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a 、b 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．5．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ＝5，再根据角平分线的性质求出CE ＝DE ＝5即可．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠ADE ＝90°，在Rt △ADE 中，∠A ＝30°，AE ＝10，∴DE ＝12AE ＝5， ∵BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，∴CE ＝DE ＝5，故选：A ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．B解析：B【分析】利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．【详解】解：∵OA 1=1，∠OA 1C=30︒，∴OC=3，∴点C 的坐标为(0，-，∵A 1、A 2、A 3所在直线过点A 1(1，0)，C (0，，设直线A 1A 2的解析式为y kx =-∴03k =-，∴3k =∴直线A 1A 2的解析式为33y x =-， ∵△OA 1B 1为等边三角形，∴点B 1的坐标为(12，∵B 1、B 2、B 3所在直线过点O(0，0)，B 1 (12，2)，同理可求得直线O B 1的解析式为y =，∵△OA 1B 1和△B 1A 2B 2为等边三角形，∴∠B 1OA 1=∠B 2 B 1A 2=60︒，∴B 1A 2∥OA 1，∵B 1 (12，∴A 2的纵坐标为2，则233x =-， 解得：52x =，∴点A 2的坐标为(52，2)， ∴B 1A 2=2，同理点B 2的坐标为(32，点B 3的坐标为(72，点B 4的坐标为(152， ，总结规律： B 1的横坐标为12， B 2的横坐标为13122+=， B 3的横坐标为171222++=， B 4的横坐标为11512422+++=，，∴B 9的横坐标为1511124816326422+++++++=， 故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律． 7．B解析：B【分析】利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．【详解】A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 8．A解析：A【分析】利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；【详解】由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，145AC AB BE AE ==+=+=,在Rt △ACE 中，3CE ===； 故答案选A ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．9．C解析：C【分析】 根据已知可求得∠DAC 及∠ADE 的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE 即可得到答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，BD=DC∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）∴∠ADC=90°，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD＝AE，∴∠ADE＝（ 180°−40°）÷2=70°，∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案为：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.10．B解析：B【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BOA=90°，由△ADO是等腰三角形求出∠ADO=∠AOD=30°，即可求出∠BOD的度数．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BO为中线，∴∠BOA＝90°，∠BAC＝60°∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∵AD＝AO，∴∠ADO=∠AOD=30°，∴∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+30°＝120°，故选：B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．11．A解析：A【分析】由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE点E坐标．【详解】解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，∴△OBC≌△ABD（SAS），∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠EAO＝180°−∠OAB−∠BAD＝60°，在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°，∠OEA=30°，∴AE=2 AO=2，∴OE=22＝3，21∴点E坐标(0，3)，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．12．D解析：D【分析】先以Rt△ABC三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点，也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点．【详解】解：如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则△BCD是等腰三角形；如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则△ACD是等腰三角形；如图3，作AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，则△BCD是等腰三角形；如图4，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点F，连接BD，CF 则△BCD、△BCF是等腰三角形；如图5，作BC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，则△BCD是等腰三角形；如图6，作AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，△ACD是等腰三角形，∴符合题意的等腰三角形最多能画7个，故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．二、填空题13．【分析】设∠OAC=x ∠CAB=y 根据等腰三角形的性质则∠OCA=x ∠OBA=x+y ∠OBC=x+30°利用三角形内角和定理计算即可【详解】解：设∠OAC=x ∠CAB=y ∵OA=OC ∴∠OCA=x ∵解析：60．【分析】设∠OAC=x ，∠CAB=y ，根据等腰三角形的性质，则∠OCA=x ，∠OBA=x+y ，∠OBC=x+30°，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：设∠OAC=x ，∠CAB=y ，∵OA=OC ，∴∠OCA=x ，∵OA=OB ，∴∠OBA=x+y ，∵OC=OB ，∴∠OBC=x+30°，∵30ACB ∠=︒，∴∠CAB+∠OBA+∠OBC=150°，∴y+x+y+ x+30°=150°，∴2(x+y)=120°，∵∠AOB=180°-2∠OBA=180°-2(x+y)，∴∠AOB=180°-120°=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质，合理引进未知数，采用设而不求的思想计算是解题的关键．14．等边三角形【分析】由等边三角形的性质可以得出AB=AC ∠BAD=60°由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得出∠CAE=∠BAD=60°AD=AE 就可以得出△ADE 为等边三角形【详解】解：的形状是等边解析：等边三角形【分析】由等边三角形的性质可以得出AB=AC ， ∠BAD=60°，由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得出∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE ，就可以得出△ADE 为等边三角形．【详解】解：ADE 的形状是等边三角形，理由：∵ABC 为等边三角形，∴AB=AC ， ∠BAD=60°，在∆ABD 和∆CAE 中 AB AC ACE ABD CE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴∆ABD ≌∆ACE ，∴∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE ，∴∆ADE 为等边三角形，故答案为：等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质．15．125【分析】先证明得到再根据三角形内角和得到所求角中两角的和最后与等边三角形内角相加就得到结果【详解】解：是等边三角形在与中故答案为125【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质全等三角形的判定和性 解析：125【分析】先证明ABC DEA ≌，得到BAC ADE ∠∠＝，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和BAC DAE ∠+∠，最后与等边三角形内角CAD ∠相加就得到结果．【详解】解：ACD 是等边三角形，AC AD ∴＝，60CAD ∠︒＝在ABC 与DEA 中， =⎧⎪=⎨⎪=⎩AB DE BC AE AC AD ABC DEA SSS ∴≌（）BAC ADE ∴∠∠＝18011565BAC DAE ADE DAE ∴∠+∠∠+∠︒-︒︒＝＝＝6560125BAE BAC DAE CAD ∴∠∠+∠+∠︒+︒︒＝＝＝故答案为125．【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．解题的关键在于熟练掌握这些相关知识点．16．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴FD=DE ，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 17．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO 再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知PO=PA ∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】解析：66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO ，再用外角的性质求解即可．【详解】解：由作图可知，PO=PA ，∴∠MON=∠PAO=33°，∠APN =∠MON+∠PAO=66°，故答案为：66°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．18．6【分析】作点P 关于OA 对称的点作点P 关于OB 对称的点连接与OA 交于点E 与OB 交于点F 此时△PEF 的周长最小然后根据∠AOB=30°结合轴对称的性质证明△是等边三角形从而可得答案【详解】解：如图作点解析：6【分析】作点P 关于OA 对称的点1P ，作点P 关于OB 对称的点2P ，连接1122,,,OP PP OP 12PP 与OA 交于点E ，与OB 交于点F ，此时△PEF 的周长最小，然后根据∠AOB=30°，结合轴对称的性质证明△12OPP 是等边三角形，从而可得答案．【详解】解：如图，作点P 关于OA 对称的点1P ，作点P 关于OB 对称的点2P ，连接1122,,,OP PP OP 12PP 与OA 交于点E ，与OB 交于点F ，此时△PEF 的周长最小．此时△PEF 的周长就是12PP 的长，由轴对称的性质可得：12,,POE POE P OF POF ∠=∠∠=∠12OP OP OP ==()122222,POP POE POF POE POF AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠∵∠AOB=30°，∴1260POP ∠=︒，∴△12OPP 是等边三角形．6OP =，∴121 6.PP OP OP ===∴△PEF 周长的最小值是6．故答案为：6．【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，关键是确定E ，F 的位置，本题的突破点是证明△12OPP 是等边三角形．19．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD 利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A ∴ 解析：1.【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD ，利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解.【详解】∵AB BC =，30C ∠=︒，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BD BC ⊥，2CD =，∴∠CBD=90°，BD=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A ，∴BD=AD ，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.20．①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD 则可证明∠C=∠ABC 于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB 如图利用角平分线的性质得到DE=DHDH=DF 则可对③进行判断；证明△A解析：①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD ，则可证明∠C=∠ABC ，于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB ，如图，利用角平分线的性质得到DE=DH ，DH=DF ，则可对③进行判断；证明△ADE ≌△ADH 得到AH=AE ，同理可得BH=BF ，则可对④进行判断．【详解】解：∵BC 恰好平分∠ABF ，∴∠ABC=∠FBD ，∵AC ∥BF ，∴∠C=∠FBD ，∴∠C=∠ABC ，∴△ABC 为等腰三角形，∵AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，CD=BD ，∴AD 是ABC ∆的高；ABC ∆是等腰三角形；所以①正确；②错误；过D 点作DH ⊥AB 于H ，如图，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DE=DH ，∵AC ∥BF ，DE ⊥AC ，∴DF ⊥BF ，∵BD 平分∠ABF ，DH ⊥AB ，∴DH=DF ，∴DE=DF ，所以③正确；在△ADE 和△ADH 中，AD AD DE DH =⎧⎨=⎩， ∴△ADE ≌△ADH （HL ），∴AH=AE ，同理可得BH=BF ，∴AB=AH+BH=AE+BF ，所以④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF 是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）由AAS 证明△ACD ≌△CBF 即可；（2）由全等三角形的性质得CD ＝BF ，由CD ＝BD ，得BF ＝BD ，证出∠ABC ＝∠ABF ，由等腰三角形的性质即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得AD ＝CF ，由垂直平分线的性质得AD ＝AF ，得出AF ＝CF 即可．【详解】（1）证明：∵CE ⊥AD ，∠BCF +∠ADC ＝90°，∵∠BCA ＝90°，BF ∥AC ，∴∠CBF ＝180°﹣∠BCA ＝90°，∴∠BCF +∠CFB ＝90°，∴∠CFB ＝∠ADC ，在△ACD 和△CBF 中，ACD CBF ADC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBF （AAS ）；（2）证明：由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴CD ＝BF ，∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴BF ＝BD ，∵∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABF ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABF ，∵BF ＝BD ，∴AB 垂直平分DF ；（3）解：△ACF 是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴AD ＝CF ，由（2）得：AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．22．（1）22°；（2）19．【分析】（1）利用三角形内角和求得∠C＝40°，利用垂直平分线的性质，求得∠DAC＝40°，最后计算∠BAD的度数即可；（2）利用周长的定义，垂直平分线的性质计算即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝40°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练运用定理和性质是解题的关键．23．见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．24．（1）①AE＝BF；②见解析；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠EAD＝∠FBD＝120°，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，E FEAD FBDAD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，E FEGD FBDDG BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF＋CD；（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF，故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．25．（1）直角三角形，理由见解析；（2）325 12cm【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）根据勾股定理求出AC，再求出ABC的周长即可．【详解】解：（1）BDC是直角三角形，理由是：∵BC=13cm，BD=12cm，CD=5cm，∴BD2+CD2=BC2，∴∠D=90°，即BDC是直角三角形；（2）设AB=AC=x cm，在Rt ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2=AC2，即（12-x）2+52=x2，解得：x=169 24，∴AB=AC=16924（cm），∵BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=16924+16924+13=32512（cm）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得∠ABP=∠BAP，从而得到PA=PB，即可得证．【详解】解：（1）∵∠C=∠D=Rt∠，AC=BD，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABP=∠BAP，∴PA=PB，∴△PAB是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．。
《证明三》练习题1
D CB A 图3-3E F *《证明三》练习题1**1.平行四边形ABCD 中，∠A ︰∠B = 5︰4, 则∠C = °,∠D = °； 分析：平方法*2.四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D , 则四边形ABCD 是 ；分析：特殊四边形的判定定理**3.顺次连接矩形四边中点所构成的四边形是 ；**4、已知A B C ∆三边分别为5、6、7，则顺次连接A B C ∆各边中点所得到的三角形的周长是 。
分析：中点四边形；矩形的性质***5.如图3-1，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中全等的三角形共有 对.分析：平行四边形的性质，全等三角形的判定，观察能力***6.平行四边形ABCD 的周长为60cm ，两对角线相交于点O ，若△AOB 的周长比△BOC 的周长多8cm ，则BC = cm ，CD = cm ；***7.若平行四边形的一边长为10cm ，则它的两条对角线的长度可以是（ ）；A. 5cm 和7cmB. 18cm 和28cmC. 6cm 和8cmD. 8cm 和12cm分析：对角线分割出来的三角形的性质**8、解答题：如图3-3，平行四边形ABCD 中，延长AB 到E , 使BE = AB . 过点E 作AD 的平行线交DB 的延长线于点F .求证：EF = BC .分析：全等三角形的应用***9.以下条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）；A. 一组对边相等，另一组对边平行B. 一组对边平行，一组对角相等C. 一组对边相等，一组邻角相等D. 一组对边平行，一组邻角相等***10.不能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是（ ).A. AB = CD , AD = BCB. AB ∥＝DC C. AB = CD , AD ∥BC D. AB ∥DC , AD ∥BC***11、下列四个命题中，正确的是（ ）A.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D.一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形分析：平行四边形的判定**12.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是 四边形；DC BA O 图3-1**13.△ABC 三条中位线构成的三角形的周长为18，则△ABC 的周长是 .分析：中位线的运用**14.已知:△ABC 的周长等于16，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么，△ADE 的周长等于（ ）；A. 4B. 6C. 8D. 10***15.下列命题是真命题的是（ ）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形分析：矩形的判定**16.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm 2, 则其周长为（ ）.A. 15cmB. 30cmC. 45cmD. 90cm分析：辅助量的灵活运用，循序渐进***17.下列判断中，正确的是（ ).A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. .对角线相等的平行四边形是菱形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线交点到各边距离相等的四边形是菱形分析：菱形的判定***18.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm ，则该矩形的对角线长为 cm ；**19.直角三角形两直角边长分别为6cm 和8cm, 则斜边上的中线长为 cm ，斜边上的高为 cm.分析：勾股定理的灵活运用，面积法***20、如图，在A B C D 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点且BE ＝DF ，要证明四边形AECF 是平行四边形，只需证明 ，此时用的判定定理是 。
北师大版九年级上册第三章《证明(三)》练习题(北师大版九年级上)
北师大版九年级上册第三章证明（三）练习题一、填空题1、如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，请你写出图中三对一定相等的线段 。
2、在上题图中，若平行四边形ABCD 的周长为30cm ，且A O B ∆的周长比BOC ∆的周长小1cm ，那么AB= cm ，BC ＝ cm 。
第1-2题图 第3题图第4题图 3、如图，将两块完全相同的含有30角的三角板一边重合拼在一起，可以得到一个四边形ABCD ，则四边形ABCD 是 （回答是什么四边形）；若BC=10 cm ，则对角线BD ＝ cm 。
4、如图平行四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC 和CD 边上的高，若65EAF ∠=，则B ∠= 度，C ∠= 度。
5、如图，将两根等宽的纸条叠放在一起，重叠的部分（图中阴影部分）是一个四边形，对这个四边形的形状你认为最准确的一个描述是：这个四边形是 四边形。
第7题图 96、菱形ABCD 的面积是503cm 2,其中一条对角线的长是103 cm ，则菱形ABCD 的较小的内角为 ，菱形ABCD 的边长为 。
7、如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。
8、对角线 的四边形是正方形。
二、择题9、如图，平行四边形ABCD 中，AE=CF ，则图中的平行四边形的个数是（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.510、若第1题的条件中，除原有条件外，再增加FA ＝FD ，则图中的等腰梯形个数是（ ）个A.2B.3C.4D.511、下列关于平行四边形的判定中正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形OC AD BC AD BE FC A DB FECADBCA DBE FD.一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形12、顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，得到一个四边形，对这个四边形的形状描述最准确的是（ ）A. 平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形13、已知菱形ABCD 的面积为96cm 2，对角线AC 的长为16 cm ，则此菱形的边长为（ ）cm A.32 B.10 C.14 D.2014、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角 15、只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ） A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 B. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角 C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等16、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B C ∠+∠=,E 、F分别是AD 、BC 的中点，若AD=5cm ，BC=13cm ，那么EF=（ ）cmA.4B.5C.6.5D.9三、解答题17、按要求填图下面图中，表达了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。
《证明三》典型例题分析
《证明三》典型例题分析例1.已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． (1) 求证：△ADE ≌△CBF ； (2) 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例题2.已知：P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，求证：AP =EF.例题3.如图：已知在正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O,点E 是BO 的中点，DG CE 于点G ，交OC 于点F . 如果正方形ABCD 边长为10㎝.求EF 的长.例4.如图，菱形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF 的度数．E F O DAC BG例5. 如图所示，在 A B C D 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BE 平分ABC ∠的外角，且BE AE ⊥；求证：()BC AB OE +=21例6.如图所示,P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线上一点,且CP BP A PBC ,,21∠=∠的延长线分别交AC 、AB 于点D 、E ,CE BD >；求证：CD BE =例7. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在CD 上，︒=∠45EBF ，EF BG ⊥于点G ；求证：BG AB =例8.如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ， ∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB>AD ） BD=10， BD =DC ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE+CF = 4.(1) 求BC 的长；(2) 设EC 的长为x ，四边形AEFD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD 的面积等于40，试求EC 的长 .A B C E P GDAFEBDCA B CDE F G ABCDEO。
练习题
练习题（概念）一、填空题1.“中国位于亚洲”这一句话中，“中国”与“亚洲”这两个概念外延之间的关系（）2.“概念”与“命题”这两个概念之间的关系是（）和（）。
3.“今天我们班同学用了2度电”这一命题中的“我们班同学”这一概念是（）概念或（）概念。
二、单项选择题：1.“集合概念”这个概念属于（）A．单独概念B．普遍概念C．集合概念D．负概念2.“单独概念”和“普遍概念”这两个概念属于（）A．二者都是单独概念B．二者都是普遍概念C．前者是单独概念，后者是普遍概念D．前者是普遍概念，后者是单独概念3.下列各组概念中，具有种属关系的是（）A．日本——亚洲B．太阳——地球C．《狂人日记》——《鲁迅全集》D．支命题——变项4、在①“中国人是勤劳的”和②“小王是中国人”中，“中国人”（）A、都是集合概念B、都是非集合概念C、在①中是集合概念，在②中是非集合概念D、在①中是非集合概念，在②中是集合概念5、“学生的考试成绩分为优、良、中、及格、不及格”和“学生的补考成绩分为及格和不及格”这一对陈述中，“及格”和“不及格”两个概念之间（）A、都是矛盾关系B、都是反对关系C、前者是矛盾关系，后者是反对关系D、前者是反对关系，后者是矛盾关系三、双项选择题1.“美国位于美洲”这一命题中，“美国”与“美洲”这两个概念之间的关系是（）A．真包含于关系B．真包含关系C．全异关系D．反对关系2. “美国是美洲的国家”这一命题中，概念“美国”与“美洲的国家”的外延之间的关系是（）A．相容关系B．真包含关系C．真包含于关系D．不相容关系3.“中国人是勤劳的”中的“中国人”是（）A．集合概念B．非集合概念C．单独概念D．普遍概念4、“万里长城”这个概念属于（）A、单独概念B、普遍概念C、集合概念D、非集合概念四、多项选择题1.“我们班同学通过了逻辑考试”这一命题中“我们班同学”是（）A．单独概念B．普遍概念C．集合概念D．非集合概念E．正概念F．负概念2.如果A与B全异，B与C全异，那么A与C可能具有的关系是（）A．全同关系B．真包含于关系C．真包含关系D．交叉关系E．矛盾关系F．反对关系第二次作业一、填空1、“商品用来交换的劳动产品”这一定义中，从定义的结果看，“商品”是（），“用来交换的是（），“劳动产品”是（）。
第3章《证明(三)》易错题集(2)
第3章《证明（三）》易错题集（2）第3章《证明（三）》易错题集（2）选择题361．（2006•杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）362．（2006•滨州）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四等于（）边形ANME363．（2006•青海）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）364．（2003•内蒙古）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位．C D．365．（2009•同安区质检）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）366．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则367．（2009•临沂一模）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形．C D．369．如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE．有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠B=∠C；④∠B=∠3．其中一定正确的结论有（）个．370．如图，在△ABC中，DE为中位线，则S△ADE：S梯形BCED等于（）．C D．371．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）372．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为（）373．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．374．（2006•柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的375．（2005•武汉）小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的376．为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形可以是（）377．一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第378．（2010•泰安）如图，E 是▱ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F ，若∠FCD=∠D ，则下列结论不成立的是（）379．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF=∠EAF ；③△ECF 是等边△；④CG ⊥AE ．380．（2011•达州）如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确的是（ ）DF． ． ． D ．382．（2008•贵阳）根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）383．（2008•达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）384．（2007•雅安）如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）385．（2007•威海）△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）386．（2007•金华）国家级历史文化名城﹣﹣金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）387．（2006•双柏县）如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（）389．（2005•襄阳）如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（）第3章《证明（三）》易错题集（2）参考答案与试题解析选择题361．（2006•杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）AC=×EF=GF=AG=×362．（2006•滨州）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四等于（）边形ANMEBCDM=BD AD S SBC=S=DM=BCBNBD=ADS，：=1363．（2006•青海）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）CE=364．（2003•内蒙古）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位．C D．，推导出第二个三角形的周长×××…×）365．（2009•同安区质检）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）366．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则的周长为（367．（2009•临沂一模）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形．C D．，，第二个中点三角形的周长是（；第二个中点三角形的周长是第一个中点三角形的第三个中点三角形的周长是第二个中点三角形的中点三角形的周长为（××××）．369．如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE．有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠B=∠C；④∠B=∠3．其中一定正确的结论有（）个．370．如图，在△ABC中，DE为中位线，则S△ADE：S梯形BCED等于（）．C D．=h=DE（h=371．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）372．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为（）AC=8cm373．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．374．（2006•柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的375．（2005•武汉）小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的376．为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形可以是（）377．一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第378．（2010•泰安）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）379．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE．380．（2011•达州）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）DF==DF．．．D．382．（2008•贵阳）根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）383．（2008•达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）384．（2007•雅安）如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）385．（2007•威海）△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）386．（2007•金华）国家级历史文化名城﹣﹣金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）387．（2006•双柏县）如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（）AC=6BD=5389．（2005•襄阳）如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（）参与本试卷答题和审题的老师有：ln_86；117173；lhf3-3；王岑；438011；py168；心若在；hnaylzhyk；lanchong；mmll852；开心；399462；bjy；星期八；haoyujun；zhehe；CJX；Linaliu；zxw；127078；张超。
证明二证明三提纲及答案
云霄将军山学校九（上）数学《证明二》、《证明三》练习一、选择题1．（2013•娄底）下列图形中，由AB CD ∥，能使12∠=∠成立的是（ ）A. B. C. D.2．（2013•三明）如图，直线a ∥b ，三角板的直角顶点在直线a 上，已知∠1=25°，则∠2的度数是（ ）A ．25°B ．55°C ．65°D ．155°3．（2013•潜江）如图，已知直线AB ∥CD ，∠GEB 的平分线EF 交CD 于点F ，︒=∠401，则∠2等于（ ）A .130°B .140°C .150°D .160°4．（2013•莆田）如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA =2，则PQ 的最小值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4第2题 第3题 第4题5．（2013•龙岩）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连 B6．如图，l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ).A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点第5题 第6题 第7题8．（2013•大庆）已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，则下列结论正确的10．（2013•钦州）定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距11．（2013•柳州）在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（ ）A ．715B ．512C ．720D ．521 12．（2013•齐齐哈尔）在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ②BG ⊥CE ③AM 是△AEG 的中线 ④∠EAM =∠ABC ，其中正确结论的个弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上；第11题 第12题 第13题二、填空题14．（2013•雅安）若()0212=-+-b a ，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 . 15．（2013•莆田）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DF ，BE = CF ，请添加一个条件_______________________________，使△ABC ≌△DEF(写出一个即可) .16．（2013•泰州）如图，△ABC 中，AB +AC =6cm ，BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，则△ABD 的周长为 cm ．.17．（2013•南通）如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿EF 折叠后，D 、C 两点分别落在D ′、C ′的位置，并利用量角器量得∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 度．第15题 第16题 第17题18．（2013•厦门）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC +BD =24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF = 厘米．19．（2013•三明）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =60°，按以下步骤作图： ①分别以A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径做弧，两弧相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若CE =4，则AE = ．20．（2013•莆田）如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 在DC 边上且DP =1，点Q 是 AC 上一动点，则DQ +PQ 的最小值为_____________．第18题 第19题 第20题21．（2013•鞍山）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 ．22．（2013•资阳）如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =60°，点D 是BC 边上的点，CD =1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________.23．（2013•浙江）如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形ABCD 各边中点可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 .第21题 第22题 第23题三、解答题24．（2013•青岛）已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B、D两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）结论：25．（2013•宿迁）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．26．（2013•营口）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．27．（2013•漳州）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且BE=DF．（1）图中共有_________对全等三角形；（2）请写出其中一对全等三角形：_________≌_________，并加以证明．28．（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．29．（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．30．（2013•台州）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．求证：（1）∠1=∠2；（2）DG=B′G．30．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN（2）求△ABC的周长.31．（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．32．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG =DE +HG ，连接BH ． 求证：∠ABH =∠CDE ．33．（2013•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE =PB ．（1）求证：△BCP ≌△DCP ；（2）求证：∠DPE =∠ABC ；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC =58°，则∠DPE = 度．34．（2013•厦门）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点E ．若AE =4，CE =8，DE =3，梯形ABCD 的高是536，面积是54．求证：AC ⊥BD ．35．(2013•莆田)在Rt△ABC中，∠C= 900，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC 边上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．（1）特殊验证：如图1，若AC= BC，且D为AB中点，求证：OM= DN，AE= DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD= kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．《证明二》、《证明三》练习答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．B8．C 9．C 10．C 11．A 12．A 13．D二、填空题14．5 15．∠A=∠D或AB=DE或∠ACB=∠DFE或AC∥DF 16．6 17．50三、解答题24．如图所示：点E即为所求，BE=DE25．（1）如图所示：（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBF，∵∠EBF=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵AO⊥BE，∴BO=EO，∵在△ABO和△FBO中，，∴△ABO≌△FBO（ASA），∴AO=FO，∵AF⊥BE，BO=EO，AO=FO，∴四边形ABFE为菱形．26．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，∵在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA；（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．27．解：（1）图中的全等三角形有：△ABE≌△CDF、△ABD≌△CDB、△ADE≌△CBF，共有3对．故填：3；（2）①△ABE≌△CDF．理由如下：∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∴在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；②△ABD≌△CDB．理由如下：∵在▱ABCD中，AD=CB，AB=CD，∴在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS）；③△ADE≌△CBF．理由如下：∵在▱ABCD中，AD∥BC，AD=CB，∴∠ADE=∠CBF，∵BE=DF，∴DE=BF，∴在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．故答案可以是：△ABE，△CDF．28．(1)证明：（法一）如图：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4∵∠1=∠3+∠5, ∠2=∠4+∠6∠1=∠2∴∠5=∠6∴△ADE≌△CBF∴AE=CF（法二）如图：连接BD交AC于点O在平行四边形ABCD中OA=OC，OB=OD∵∠1=∠2,∠7=∠8∴△BOF≌△DOE∴OE=OF∴OA－OE=OC－OF即AE=CF.(2) )证明：（法一）∵∠1=∠2,∴DE∥BF∵△ADE≌△CBF∴DE=BF∴四边形EBFD是平行四边形.（法二）∵OE=OF，OB=OD∴四边形EBFD是平行四边形.29．证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点∴∠BAE=∠EAC在∆ABE和∆ACE中，∵AB=AC, ∠BAE=∠EAC,AE=AE∴∆ABE≌∆ACE∴BE=CE(2) ∵∠BAC=45°,BF⊥AF∴∆ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF,由（1）知AD⊥BC∴∠EAF=∠CBF在∆AEF和∆BCF中,AF=BF,∠AFE＝∠BFC=90°∠EAF=∠CBF∴∆AEF≌∆BCF30．证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2=∠FEC，由折叠得：∠1=∠FEC，∴∠1=∠2；（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF，∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF，∵DE=BF=B′F，∴DE=B′F，∴△DEG≌△B′FG，∴DG=B′G．30．解：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．31．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE⊥AG，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG和△DAF中，，∴△ABG≌△DAF（ASA），∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA，∵AG=DE+HG，AG=DE+EF，在△AEF和△BHG中，，∴△AEF≌△BHG（SAS），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE．33．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．34．证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴AE：CE=DE：BE，∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6，S梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD，∴BF=AD+BC=15，在△BDF中，BD2+DF2=92+122=225，BF2=225，∴BD2+DF2=BF2，∴BD⊥DF，∵AC∥DF，∴AC⊥BD．35．（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．在△AND与△CDM中，∴△AND≌△CDM（ASA），∴DM=DN．∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，在△NED与△DFM中，∴△NED≌△DFM（ASA），∴NE=DF．∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．（2）①答：AE=DF．证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，∴，即MF•EN=DE•DF．同理△AEN∽△MFB，∴，即MF•EN=AE•BF．∴DE•DF=AE•BF，∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．∵D为AB中点，∴DQ=PC=PB．易证△DMF∽△NDE，∴，易证△DMP∽△DNQ，∴，∴；易证△AEN∽△DPB，∴，∴，∴AE=DF．②答：DF=k AE．证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）∴AD•DF=AE•BD∵BD=k AD∴DF=k AE．证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．易证△AQD∽△DPB，得，即PB=k DQ．由①同理可得：，∴；又∵，∴，∴DF=k AE．。
(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(含答案解析)
一、选择题1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品2．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4003．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．0x y =，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为07．已知平面直角坐标系内曲线()1:,0C F x y =，曲线()200:(,),0C F x y F x y -=，若点()00,P x y 不在曲线1C 上，则下列说法正确的是（ ）A ．曲线1C 与2C 无公共点B ．曲线1C 与2C 至少有一个公共点C ．曲线1C 与2C 至多有一个公共点D ．曲线1C 与2C 的公共点的个数无法确定8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．9．===⋅⋅⋅=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4310．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 11．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A 1B 1CD12．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20二、填空题13．本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14．已知等差数列{}()*n a n N∈中，若10100a=，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b=，则与此相应的等式_________________恒成立.15．观察下列等式：11=，3211=123+=，332123+=1236++=，33321236++=……可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）．16．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一 图二17．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.18．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c __________.19．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =__________．20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >．22．23523．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由. （2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0f f x x =，求证：()00f x x =.24．已知i 为虚数单位，观察下列各等式：()()cos1sin1cos2sin 2cos3sin3i i i ++=+； ()()cos3sin3cos4sin 4cos7sin7i i i ++=+； ()()cos5sin5cos6sin6cos11sin11i i i ++=+； ()()cos7sin7cos8sin8cos15sin15i i i ++=+． 记()cos sin ,f i R αααα=+∈．（1）根据以上规律，试猜想()()(),,f f f αβαβ+成立的等式，并加以证明；（2）计算612i ⎫+⎪⎪⎝⎭．25．已知函数3()3xf x x =+，数列{}n a 对于*n ∈N ，总有1()n n a f a +=，112a =. (1)求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 26．已知()f x =,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字． 【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.5．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.7．A解析：A 【分析】利用反证法，假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，则()11,0F x y =和()1100(,),0F x y F x y -=同时成立，()00,0F x y ∴=，∴点()00,P x y 在曲线1C 上，这与已知条件点()00,P x y 不在曲线1C 上矛盾. ∴假设不成立，所以曲线1C 与2C 无公共点. 故选：A . 【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义.8．C解析：C 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．B解析：B 【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值. 【详解】==，====)2,k k N *=≥∈，当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=，故选B. 【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】根据反证法的知识判断A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C 选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D 选线说法正确. 【详解】对于A 选项，反证法假设时，假设“1x ≠或1y ≠”，说法正确.对于B 选项，假设,a b 两个都不大于1，即1,1a b ≤≤，则2a b +≤与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为()0q q ≠，则()210y q =-⋅<，所以C 选项说法错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D 选项说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.11．B【解析】 【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为： 棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.二、填空题13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面解析：4π【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为 22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其中21k =，...，2n ， 原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=. 故答案为：4π. 14．【分析】根据等差数列的性质有等比数列的性质有类比即可得到结论【详解】已知等差数列中由等差数列的性质得等比数列且有等比数列的性质得所以类比等式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质结合 解析：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【分析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论. 【详解】已知等差数列{}()*n a n N∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N∈，且1001b=，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得【详解】由观察找到规律可得：故可得解【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和属于中档题解析：()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦或()2214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】由观察找到规律可得：()223333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦故可得解. 【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.16．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力解析：73【分析】先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案. 【详解】[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A1322101217(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰77263A V S h ==⨯=故答案为73【点睛】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.17．【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律右边为平方数得到答案【详解】等式左边：第排首字母为数字个数为等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律意在考查学生的应用能力 解析：567891011121381++++++++=【解析】 【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.18．【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定abc 的值进一步可得的值【详解】若甲自己的预测正确则：据此可知丙的说法也正确矛盾；若乙自己的预测正确则：矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确即：；故：则故答案解析：【解析】 【分析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100a b c 的值.【详解】若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾； 若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠；故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为213． 【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.19．【解析】【分析】根据递推关系利用叠加法求结果【详解】因为所以【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)比较(比较已知数列)归纳转化(转化为特殊数列)联想(联想常见的数列)等方法 解析：271【解析】 【分析】根据递推关系16(1)n n a a n +-=-，利用叠加法求结果 【详解】因为16(1)n n a a n +-=-， 所以1010998211=()()()6[981]1271.a a a a a a a a -+-++-+=++++=【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【分析】关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a bc x x++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来， 则可得，114x<< 解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）利用分析法，0,0a b >>，要证22a b aba b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，只需证明()20a b -≥即可，该式显然成立，从而可得结论；(2)本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法,假设,,a b c ,不全是正数,这时需要逐个讨论,,a b c 不是正数的情形,但注意到条件的特点(任意交换,,a b c 的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数〔例如a ，其他两个数〔例如,b c 〕与这种情形类似. 试题 （1）证明：0,0a b >>，要证22a b ab a b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，即证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立，故22a b aba b+≥+成立. （2）假设,,a b c 不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设0a ≤，下面分0a =和0a <两种情况讨论，如果0a =，则0abc =与0abc >矛盾，0a ∴=不可能，如果0a <，那么由0abc >可得，0bc <，又0,0a b c b c a ++>∴+>->，于是()0ab bc ca a b c bc ++=++<，这和已知0ab bc ca ++>相矛盾，因此，0a <也不可能，综上所述，0a >，同理可证0,0b c >>，所以原命题成立.【方法点睛】本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 22．详见解析 【分析】，=边平方整理，推出矛盾即可. 【详解】则由等差数列的性质可得=∴1225=++∴5=∴25＝40（矛盾），故假设不成立， ∴【点睛】本题主要考查反证法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值． （3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0． 【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-， ∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭， 即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立， ∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+， 即3442x a x -<<-恒成立， ∵()341,2x -∈-∴2a ≥； ∵()422,6x -∈∴2a ≤. 综上，满足条件的2a =. （3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x >，即()00x f x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =. 【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题. 24．(1) 猜想()()()f f f αβαβ=+，证明见解析；(2)-1【分析】 （1）将()(),f f αβ和()f αβ+之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）猜想()()()ff f αβαβ=+，证明：()()()()cos sin cos sin f f i i αβααββ=++ ()()cos cos sin sin sin cos cos sin i αβαβαβαβ=-++()()()cos sin i f αβαβαβ=+++=+；（2）因为()()()f f f αβαβ=+，所以()()()()()cosn isinn nff f f f n ααααααα===+，∴661cos sin 266i i ππ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1i ππ=+=-． 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 25．（1）237a =，338a =，439a =，*3()5n a n n =∈+N （2）见证明 【解析】 【分析】(1) 计算得到237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)利用数学归纳法验证，假设，推导的顺序证明猜想. 【详解】(1)解：由3()3xf x x =+，得13()3n n n na a f a a +==+，因为11326a ==，所以237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)证明：用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，131152a ==+，猜想成立；②假设当*()n k k =∈N 时猜想成立，即35k a k =+， 则当1n k =+时，133335331535k k k a k a a k k +⋅+===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立.由①②知，对*n ∈N ，35n a n =+都成立. 【点睛】本题考查了数列的计算，归纳猜想，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.26．详见解析. 【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()f x =()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为3，根据结论的形式将()f x =可完成证明. 试题 由()f x =，得()()01f f +==,()()12f f -+== ()()23f f -+==. 归纳猜想一般性结论为 ()()1f x f x -++= 证明如下：()()1f x f x -++==x ===【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.。
《证明三》练习题3
***《证明三》练习题3***1、如图，梯形ABCD 中AD//BC ，AB ＝CD=AD ，AC=BC 。
⑴图中有多少个等腰三角形？请你找出来。
⑵求梯形各个角的度数。
O ADB C分析：等边对等角的灵活运用，等量代换***2、已知，如图在A B C 中，点D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边上的中点。
求证：⑴四边形AFDE 是平行四边形；⑵A F D E 周长等于AB+AC 。
D EF ABC分析：数形结合****3.如图3-16，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠A 的平分线AE 交CD 于G ，∠BCD 的平分线交BD 于F ，求证：四边形CEFG 是菱形.分析：角平分线提供全等，全等提供菱形判定的条件***4.如图3-17，将矩形ABCD 折叠，使顶点B 与D 重合，折痕为EF ，连接BE 、DF . （1）四边形BEDF 是什么四边形？为什么？（2）若AB = 6cm ，BC = 8cm ，求折痕EF 的长.图3-16G F E B A CD 图3-17F E B A CD****5.如图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 和AD 的中点，BE 和CF 交于点P . 求证：AP ＝AB. P F EC A DB****6.如图，已知点F 是正方形ABCD 的边BC 的中点，CG 平分∠DCE ，GF ⊥AF. 求证：AF=FG . GF C ADB E分析：辅助线的应用；旋转****7.如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 和 . G F E CA DB分析：等量代换；勾股定理；构造直角三角形****8.如图3-21，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.分析：转化思想，方程观念D C 111B DC B A 1A 图3-21。
2011年10月21日周末练习证明三测试题
1 2 B C D A O F C DE O第4题图第5题图第三章 证明（三）试题一 选择题1、下列命题中不成立．．．的是（ ） A ．矩形的对角线相等B ．三边对应相等的两个三角形全等C ．两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 2.如图，要使□ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ） A ．AB BC = B ．AC BD ⊥ C ．90ABC ∠=°D ．12∠=∠3.如图， □ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．A ．2B ．4π-C ．πD ．π1-5.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DOAO等于（ ） A ．352 B ．31 C ．32D ．216.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm B ．220cmC ．240cmD．280cm第3题图 第2题图7.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34 C ．23D ．28. 在矩形ABCD中，1AB AD AF ==，平分DAB ∠，过C 点作CE BD ⊥于E ，延长AF EC 、交于点H ，下列结论中：AF FH =①；BO BF =②；CA CH =③；④3BE ED =，正确的是（ ）A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④9.如图是一张矩形纸片ABCD ，AD=10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE=6cm ，则CD=（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm10.如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA OB OC ==，70ABC ADC ∠=∠=°，则DAO DCO ∠+∠的大小是（ ） A ． 70° B ．110° C ．140° D ．150° 二、填空题1.如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M N ，分别是AD BC 、边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ，若M N ，分别是AD BC ，边的中点，则A N '= ；若M N ，分别是AD BC ，边上距DC 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '= （用含有n 式子表示）．2.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．3.如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．A CDA ′GD B CA D AB COE FHF ED B AC B C O A D第6题图第7题图第8题图 第9题图 第10题图1 A B C 第1题图 第2题图第3题图 第4题图 第5题图 第7题图4.如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，1OE =，则AB 的长是 ．5.如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．6、用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是____________．7.如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥．已知BC CD AC ===AB ，则BD 的长为______________． 8、如图，一活动菱形衣架中，菱形的边均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度．三、解答1.如图11所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边MA 'D E A BNA BD D C B A OO DFO D C E B A C 1 D 1 D 2 C 2D C A B A DC B形？为什么？2.在图-1至图-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况， △FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）A D F C EGB 图-1AHC (M )DEBFG (N )G图-2AHCDEBFNM AHCDE 图-3BFG MN。
三角形的证明提高练习题
《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）一.选择题1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）A． 3米B． 4米C． 5米D．6米2.（2016秋•仙游县期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。
其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C7.（2015•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A、三边中线的交点B、三条角平分线的交点C、三边上高的交点D、三边中垂线的交点二、填空题9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．10.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“”11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.3513. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是___________.14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．15.（2015•辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB.三、解答题17.（2016秋•江都区校级期中）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．18. 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，求折叠△AED的面积．19. 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交与F点.(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）20.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，∴△AEB ≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACEABE ECEB。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
证明二证明三提纲答案
《证明二》、《证明三》练习答案一、 选择题 1．B 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．C 11．A 12．A 13．D 二、填空题 14．5 15．∠A=∠D 或AB=DE 或∠ACB=∠DFE 或AC ∥DF16．6 17．50三、解答题24．如图所示：点E 即为所求，BE=DE 25．（1）如图所示：（2）证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠EAF ， ∵∠EBF=∠AEB ， ∴∠ABE=∠AEB ， ∴AB=AE ， ∵AO ⊥BE ， ∴BO=EO ，∵在△ABO 和△FBO 中，，∴△ABO ≌△FBO （ASA ），∴AO=FO ，∵AF ⊥BE ，BO=EO ，AO=FO ，∴四边形ABFE 为菱形． 26．证明：（1）∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB ， ∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB ， ∵AD 平分∠FAC ，∴∠FAC=2∠CAD ，∴∠CAD=∠ACB ， ∵在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC ≌△CDA ；（2）∵∠FAC=2∠ACB ，∠FAC=2∠DAC ，∴∠DAC=∠ACB ， ∴AD ∥BC ，∵∠BAC=∠ACD ， ∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠B=60°，AB=AC ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形．27．解：（1）图中的全等三角形有： △ABE ≌△CDF 、△ABD ≌△CDB 、 △ADE ≌△CBF ，共有3对． 故填：3；（2）①△ABE ≌△CDF ．理由如下： ∵在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB=CD ， ∴∠ABE=∠CDF ， ∴在△ABE 与△CDF 中，，∴△ABE ≌△CDF （SAS ）； ②△ABD ≌△CDB ．理由如下：∵在▱ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ， ∴在△ABD 与△CDB 中，，∴△ABD ≌△CDB （SSS ）；③△ADE ≌△CBF ．理由如下：∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CB ， ∴∠ADE=∠CBF ， ∵BE=DF ， ∴DE=BF ，∴在△ADE 与△CBF 中，，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）．故答案可以是：△ABE ，△CDF ．28．(1)证明：（法一）如图：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD =BC ，AD ∥BC ，∠3=∠4 ∵∠1=∠3+∠5, ∠2=∠4+∠6 ∠1=∠2 ∴∠5=∠6∴△ADE ≌△CBF ∴AE =CF （法二） 如图：连接BD 交AC 于点O 在平行四边形ABCD 中 OA =OC ，OB =OD ∵∠1=∠2,∠7=∠8 ∴△BOF ≌△DOE ∴OE=OF∴OA －OE =OC －OF 即AE =CF . (2) )证明：（法一）∵∠1=∠2, ∴DE ∥BF ∵△ADE ≌△CBF ∴DE =BF∴四边形EBFD 是平行四边形. （法二）∵OE =OF ，OB =OD∴四边形EBFD 是平行四边形.29．证明：（1）∵AB =AC ，D 是BC 的中点 ∴∠BAE =∠EAC在∆ABE 和∆ACE 中，∵AB =AC , ∠BAE =∠EAC ,AE =AE ∴∆ABE ≌∆ACE∴BE =CE (2) ∵∠BAC =45°,BF ⊥AF∴∆ABF 为等腰直角三角形，∴AF =BF , 由（1）知AD ⊥BC ∴∠EAF =∠CBF在∆AEF 和∆BCF 中,AF =BF , ∠AFE ＝∠BFC =90°∠EAF =∠CBF ∴∆AEF ≌∆BCF30．证明：（1）∵在平行四边形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠2=∠FEC ，由折叠得：∠1=∠FEC ， ∴∠1=∠2；（2）∵∠1=∠2， ∴EG=GF ， ∵AB ∥DC ，∴∠DEG=∠EGF ， 由折叠得：EC′∥B′F ， ∴∠B′FG=∠EGF ， ∵DE=BF=B′F ， ∴DE=B′F ，∴△DEG ≌△B′FG ，∴DG=B′G ．30．解：（1）在△ABN 和△ADN 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AND ANB AN AN 21， ∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN=DN ．（2）∵△ABN ≌△ADN ， ∴AD=AB=10，DN=NB ， 又∵点M 是BC 中点， ∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD=2MN=6，故三角形ABC 的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41． 31．（1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠2=∠5，4=∠6， ∵MN ∥BC ，∴∠1=∠5，3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO ，FO=CO ， ∴OE=OF（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5， ∴EF==13，∴OC=EF=6.5；（3）答：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．证明：当O 为AC 的中点时，AO=CO ， ∵EO=FO ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF 是矩形．32．证明：在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°， ∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°， ∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中，，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ， ∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ， ∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，，∴△AEF ≌△BHG （SAS ）， ∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°， ∠3+∠ABH=∠ABC=90°， ∴∠ABH=∠CDE ． 33．（1）证明：在正方形ABCD 中，BC=DC ，∠BCP=∠DCP=45°， ∵在△BCP 和△DCP 中，，∴△BCP ≌△DCP （SAS ）；（2）证明：由（1）知，△BCP ≌△DCP ， ∴∠CBP=∠CDP ， ∵PE=PB ，∴∠CBP=∠E ， ∴∠DPE=∠DCE ，∵∠1=∠2（对顶角相等）， ∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E ， 即∠DPE=∠DCE ， ∵AB ∥CD ，∴∠DCE=∠ABC ， ∴∠DPE=∠ABC ；（3）解：与（2）同理可得： ∠DPE=∠ABC ， ∵∠ABC=58°， ∴∠DPE=58°． 故答案为：58．34．证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴AE：CE=DE：BE，∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6，S梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD，∴BF=AD+BC=15，在△BDF中，BD2+DF2=92+122=225，BF2=225，∴BD2+DF2=BF2，∴BD⊥DF，∵AC∥DF，∴AC⊥BD．35．（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．在△AND与△CDM中，∴△AND≌△CDM（ASA），∴DM=DN．∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，在△NED与△DFM中，∴△NED≌△DFM（ASA），∴NE=DF．∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．（2）①答：AE=DF．证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，∴，即MF•EN=DE•DF．同理△AEN∽△MFB，∴，即MF•EN=AE•BF．∴DE•DF=AE•BF，∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC 于点P，DQ⊥AC于点Q．∵D为AB中点，∴DQ=PC=PB．易证△DMF∽△NDE ，∴，易证△DMP∽△DNQ，∴，∴；易证△AEN∽△DPB，∴，∴，∴AE=DF．②答：DF=k AE．证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）∴AD•DF=AE•BD∵BD=k AD∴DF=k AE．证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．易证△AQD∽△DPB，得，即PB=k DQ．由①同理可得：，∴；又∵，∴，∴DF=k AE．。
人教版七年级数学下《命题、定理、证明》基础练习
《命题、定理、证明》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列四个命题中不正确的是（）A．直径是弦B．三角形的内心到三角形三边的距离都相等C．经过三点一定可以作圆D．半径相等的两个半圆是等弧2．（5分）给出下列命题：①若a2＝b2，则a＝b；②若a+b＝0，则a3+b3＝0；③能被5整除的数，末位数字必是5；④若|x|＝|y|，则x＝±y．其中假命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个4．（5分）下列句子是命题的是（）A．画∠AOB＝45°B．小于直角的角是锐角吗？C．连结CDD．相等的角是对顶角5．（5分）下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）把“两边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果……，那么……”的形式为．7．（5分）下列说法正确的有①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2＞bc2；②在平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图的只有一个．③如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3．④抛物线y＝3x2﹣x+4与x轴无交点．⑤命题“三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题；⑥、3π、和0.101001…都是无理数．8．（5分）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝，b＝．9．（5分）命题“垂线段最短”是（填“真命题”或“假命题”）10．（5分）命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知∠ABC的两边与∠DEF的两边平行，即BA∥ED，BC∥EF．（1）如图①，若∠B＝40°，则∠E＝°；（2）如图②，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；（3）如图③，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；（4）根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．12．（10分）指出下列命题的条件和结论．（1）若a＞0，b＞0，则ab＞0．（2）同角的补角相等．13．（10分）在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，请写出一个真命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式表示），并给出证明．14．（10分）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；（2）内错角相等；（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．15．（10分）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是真命题还是假命题？请说明理由．《命题、定理、证明》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）下列四个命题中不正确的是（）A．直径是弦B．三角形的内心到三角形三边的距离都相等C．经过三点一定可以作圆D．半径相等的两个半圆是等弧【分析】利用弦的定义、三角形的内心的性质、确定圆的条件及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直径是圆内最长的弦，故正确；B、三角形的内心到三角形三边的距离都相等，正确；C、经过不在同一直线上的三点可以作圆，故错误；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的内心的性质、确定圆的条件及等圆的概念等知识，难度不大．2．（5分）给出下列命题：①若a2＝b2，则a＝b；②若a+b＝0，则a3+b3＝0；③能被5整除的数，末位数字必是5；④若|x|＝|y|，则x＝±y．其中假命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用平方的性质、绝对值的意义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①若a2＝b2，则a＝±b，故错误，是假命题；②若a+b＝0，则a3+b3＝0，正确，是真命题；③能被5整除的数，末位数字必是5或0，故错误，是假命题；④若|x|＝|y|，则x＝±y，正确，是真命题，假命题有2个，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的定义及定理，难度不大．3．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案．【解答】解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；真命题有1个，故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是了解圆的有关性质及定义．4．（5分）下列句子是命题的是（）A．画∠AOB＝45°B．小于直角的角是锐角吗？C．连结CDD．相等的角是对顶角【分析】根据命题的定义分别进行判断．【解答】解：画∠AOB＝45°、连接CD是描述性语句，不是命题，故A、D错误；小鱼直角的角是锐角吗？是疑问句，不是命题，故B错误，相等的角是对顶角对问题作出了判断，是命题，故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．5．（5分）下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．【点评】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）把“两边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果……，那么……”的形式为如果一个三角形中有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．【分析】找到这个命题的条件即为题设，用如果引起，再找到这个命题的结论，用那么引起即可．【解答】解：命题“两边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果…，那么…”的表述形式：如果一个三角形中有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．故答案为：如果一个三角形中有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了命题和证明，在学生眼里这是难点，要熟练掌握．7．（5分）下列说法正确的有②③④⑤①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2＞bc2；②在平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图的只有一个．③如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3．④抛物线y＝3x2﹣x+4与x轴无交点．⑤命题“三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题；⑥、3π、和0.101001…都是无理数．【分析】①根据不等式的基本性质即可判断；②根据轴对称图形，中心对称图形的定义即可判断；③解不等式即可解决问题；④利用判别式即可判断；⑤利用全等三角形的性质即可判断；⑥根据无理数的定义即可判断；【解答】解：①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2＞bc2；错误，c＝0时，不成立；②在平行四边形、线段、角、等边三角形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图的只有一个．正确，线段既是轴对称图形又是中心对称图；③如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3．正确；④抛物线y＝3x2﹣x+4与x轴无交点．正确；⑤命题“三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题；正确；⑥、3π、和0.101001…都是无理数．错误，不是无理数．故答案为②③④⑤．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（5分）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝﹣1，b＝1．【分析】通过a取﹣1，b取1可说明命题“若a＜b，则”是错误的．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但＜．故答案为﹣1，1．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9．（5分）命题“垂线段最短”是真命题（填“真命题”或“假命题”）【分析】根据垂线的性质判断即可．【解答】解：垂线段最短是真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（5分）命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是绝对值等于它本身的数是正数．【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案．【解答】解：“正数的绝对值是它本身”的逆命题是：绝对值等于它本身的数是正数．故答案为：绝对值等于它本身的数是正数．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握逆命题的定义是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知∠ABC的两边与∠DEF的两边平行，即BA∥ED，BC∥EF．（1）如图①，若∠B＝40°，则∠E＝40°；（2）如图②，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；（3）如图③，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；（4）根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠DOC，∠DOC＝∠E，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠EOC，∠EOC＝∠E，即可得出答案；（3）根据平行线的性质得出∠B＝∠DOC，∠BOE+∠E＝180°，即可得出答案；（4）根据结果得出即可．【解答】解（1）：∵BA∥ED，BC∥EF，∴∠B＝∠DOC，∠DOC＝∠E，∴∠B＝∠E＝40°，故答案为：40；（2）∠B＝∠E，理由是：∵BA∥ED，BC∥EF，∴∠B＝∠EOC，∠EOC＝∠E，∴∠B＝∠E，故答案为：∠B＝∠E；（3）∠B+∠E＝180°，理由是：∵BA∥ED，BC∥EF，∴∠B＝∠DOC，∠BOE+∠E＝180°，∵∠DOC＝∠BOE，∴∠B+∠E＝180°；（4）通过上面（1）、（2）、（3），你可得到的结论是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补，【点评】本题考查了命题与定理，利用平行线的性质是解题关键．12．（10分）指出下列命题的条件和结论．（1）若a＞0，b＞0，则ab＞0．（2）同角的补角相等．【分析】一个命题由题设和结论两部分组成，以如果开始的部分是条件，以那么开始的部分是结论．【解答】解：（1）若a＞0，b＞0，则ab＞0的题设是a＞0，b＞0，结论是ab＞0，（2）同角的补角相等的题设是两个角是同角的补角，结论是它们相等．【点评】本题主要考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．13．（10分）在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，请写出一个真命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式表示），并给出证明．【分析】任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可组合得到4个命题，分别为：（1）①③④为条件，②为结论；（2）①②④为条件，③为结论；对2个命题分别证明即可解题．【解答】解：（1）①③④⇒②为结论；∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF；故本命题为真命题；（2）①②④⇒③；∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF；故本命题为真命题；【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEF是解题的关键．14．（10分）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；（2）内错角相等；（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．【点评】此题考查命题与定理，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．15．（10分）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是真命题还是假命题？请说明理由．【分析】根据互为相反数的两个数的平方相等判断．【解答】解：如果a2＝b2，那么a＝b是假命题，应为：若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．第11页（共11页）。
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒≠．点P 是直角边所在直线上一点，若PAB △为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数最多为（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+ 4．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（ ）A ．12B ．4C ．8D ．不确定 5．下列各组线段a 、b 、c 中不能组成直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝24，c ＝25B ．a ＝4，b ＝5，c ＝6C ．a ＝3，b ＝4，c ＝5D ．a ＝9，b ＝12，c ＝15 6．数学课上，探究角的平分线的作法时，小宇用直尺和圆规作∠AOB 的平分线，方法如下：如图，（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ； （2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ；（3）画射线OC ．射线OC 即为所求． 其中的道理是，作出△OMC ≌△ONC ，根据全等三角形的性质，得到∠AOC =∠BOC ，进而得到OC 是∠AOB 的平分线． 其中，△OMC ≌△ONC 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS7．如图，在Rt ABC △中，CA CB =，D 为斜边AB 的中点，Rt EDF ∠在ABC 内绕点D 转动，分别交边AC ，BC 于点E ，F （点E 不与点A ，C 重合），下列说法正确的是（ ）①45DEF ︒∠=；②222BF AE EF ；③2CD EF CD <≤A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，AB 交于点D ，E ．连接BD ．则下列结论不正确的是（ ）A ．BCD △的周长等于AB BC + B ．AD BD BC == C ．::ABD CBD S S AB BC =△△ D ．12ED AB = 10．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．611．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ）A ．65°B ．105°C ．55°或105°D ．65°或115° 二、填空题13．如图，在ABC 中，AE BC ⊥于点,E BD AC ⊥于点D ．点F 是AB 的中点，连接,DF EF ，设,DFE x ACB y ∠=∠=︒︒，求y 关于x 的函数关系式_________．14．在△ABC 中，∠ABC ＝48°，点D 在BC 边上，且满足∠BAD ＝18°，DC ＝AB ，则∠CAD ＝_____度．15．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列结论：①1902BOC A ∠=+∠︒：②点O 到ABC 各边的距离相等；③EF BE CF =+：④1()2ADAB AC BC=+-；⑤设OD m=，AE AF n+=，则AEFS mn=△；其中正确的结论是______．16．已知抛物线223y x x=--与x轴交于点A，点(1,2)B与点A位于y轴两侧，点P在点B的下方，且在对称轴上，当PAB△为等腰三角形时，BP的长为______________．17．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③BFDCEDS BFS CE∆∆=；④EF//BC；一定成立的结论是______（请将正确结论的序号填在横线上）18．如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD△和ACD△的高．若83AB AC+=，24ABCS=，120EDF∠=︒，则AD的长为______．19．在等边ABC中，点D是边BC上一点，点E在BA延长线上，ED EC=，2BD=，3CD=，则BE=____．20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．那么下列结论：①BD=DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有______．（只填序号）三、解答题21．在ABC ∆中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=__度；（2）如图2，如果60BAC ∠=︒，求BCE ∠的度数是多少？（3）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图3，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．22．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．23．如图，在ABC 中，5AB AC ==，3BC =，点D 在AC 边上且点D 到点A 的距离与到点B 的距离相等．（1）尺规作图：作出点D ，不写作法，保留作图痕迹；（2）求BDC 的周长．24．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，延长CA 至点D ，延长CB 至点E ，使AD=BE ，连接AE ，BD ，交点为O ．（1）求证：OB=OA ；（2）连接OC ，若AC=OC ，则∠D 的度数是 度．25．如图，已知AB ＝AC ，E 为AB 上一点，ED ∥AC ，BD ＝CD ，求证：ED ＝AE ．26．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若Q以（2）中的速度从C点出发，同时P以原来的速度从B点出发，在△ABC的三边上逆时针运动，问：经过多少时间P、Q两点第一次相遇？在何处相遇？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分为三种情况：①BP=AB，②AP=AB，③AP=BP，再求出答案即可．【详解】解：作BC、AC所在直线，然后分别以B、A点为圆心，以AB为半径作圆分别交BC、AC 所在直线于6点，再作AB的垂直平分线与BC所在直线交于2点，总共符合条件的点P的个数最多有8个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．2．C解析：C【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【详解】解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD =BC+BD．【详解】解：∵AB=AC，BD平分∠ABC，设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x，∴∠ABD=∠CBD=x，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC，∴AD=AF+FD=BC+BD，故选D．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．C解析：C由角平分线的定义和平行线性质易证△BME 和△CNE 是等腰三角形，即BM ＝ME ，CN ＝NE ，由此可得△AMN 的周长＝AB +AC ．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∠ACE ＝∠BCE ，∵MN //BC ，∴∠CBE ＝∠BEM ，∠BCE ＝∠CEN ，∴∠ABE ＝∠BEM ，∠ACE ＝∠CEN ，∴BM ＝ME ，CN ＝NE ，∴△AMN 的周长＝AM +ME +AN +NE ＝AB +AC ，∵AB ＝AC ＝4，∴△AMN 的周长＝4+4＝8．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 5．B解析：B【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的和的平方是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案；【详解】A 、222724=25+ ，能构成直角三角形；B 、22245=416+≠ ，不能构成直角三角形；C 、22234=5+ ，能构成直角三角形；D 、222912=225=15+，能构成直角三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形；6．A解析：A【分析】根据角平分线的作图方法解答即可；【详解】根据角平分线的作法可知，OM=ON ，CM=CN ，又∵OC 是公共边，∴△OMC ≌△ONC 的根据是“SSS”，【点睛】本题考查了作图-基本做图，全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．7．A解析：A【分析】①证明∠A=∠DCB ，AD=CD ，∠ADE=∠CDF ，根据ASA 证明△ADE CDF ≅∆得ED=FD ，从而可判断①；②运用SAS 证明△EDC FDB ≅∆，得到CE BF =，再由222CE CF EF +=即可判断②；③当DE AC ⊥时，DE最短，从而可得2CD DE CD ≤<，整理后代换即可判断③．【详解】解：①∵,90CA CB ACB =∠=︒，∴△ABC 是等腰直角三角形∴∠45A B =∠=︒∵点D 是AB 的中点，∴,DA DB DC CD AB ==⊥，∠45DCB DCA =∠=︒∵∠EDF ADC =∠∴∠EDF EDC ADC EDC -∠=∠-∠∴∠ADE CDF =∠在△ADE 和△CDF 中A DCBAD CDADE CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE CDF ≅∆∴,DE DF AE CF ==∴△DEF 是等腰直角三角形∴∠45DEF =︒，故①正确；②∵∠90EDF CDB ︒=∠=∴∠EDF CDF CDB CDF -∠=∠-∠∴∠EDC FDB =∠在△EDC 与△FDB 中DE DFEDC FDBDC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDC FDB ≅∆∴CE BF =∵222CE CF EF +=∴222BF AE EF ，故②正确； ③∵△DEF 是等腰直角三角形，∴EF =∵当DE AC ⊥时，2DE ==最短，∴DE CD ≤<∴CD ≤<即CD EF ≤<，故③错误； ∴综上，正确的是①②，故选：A ．【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．8．C解析：C【分析】由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得AD BE =，ADC BEC ∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED ∠=∠=︒．CM AE ⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEB CME ，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解． 【详解】解：ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，CA CB ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，ADC BEC ∠∠=，故①错误，DCE ∆为等腰直角三角形，CM 平分DCE ∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．9．D解析：D【分析】根据MN 是AB 的垂直平分线，等腰三角形的性质、角平分线的性质逐条判断即可．【详解】解：由作图可知，MN 是AB 的垂直平分线，∴BD=AD ，BCD △的周长等于BC+DC+BD=BC+DC+AD=BC+AC ，∵AB AC =∴BCD △的周长=AB BC +，A 正确；∵AB AC =，36A ∠=︒，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD=AD ，∴36A ABD ∠=∠=︒，∠BDC=72°=∠C ，BC=BD=AD ，B 正确；∵36ABD CBD ∠=∠=︒，∴点D 到AB 、BC 的距离相等，∴::ABD CBD S S AB BC =△△C 正确； 如果12ED AB =，则DE=AE ， ∠A=45°，与题意不符，D 错误；故答案为：D ．【点睛】 本题考查了垂直平分线的作法和等腰三角形的性质与判定以及角平分线的性质，解题关键是熟知垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，并能够灵活运用这些知识进行推理． 10．C解析：C【分析】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122EF OE ==，即可得解； 【详解】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=， 在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， ∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=，∴8BE BC CE =-=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．11．B解析：B【分析】由作法知EF 是AC 的垂直平分线，可得AP=CP ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，由点D 是底边BC 的中点，可BD=CD =6，由AB=AC ，可得AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8即可．【详解】解：连结PA ，由作法知EF 是AC 的垂直平分线，∴AP=CP ，∴PC+PD=PA+PD ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，∵点D 是底边BC 的中点，∴BD=CD=11BC=12=622⨯， ∵AB=AC ，∴AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8=，（PC+PD ）最小=（PA+PD ）最小=AD=8．故选择：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．12．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二、填空题13．y=x+90【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°根据直角三角形的性质得到AF=DFBF=EF根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF∠EFB=∠BEF于是得到结论【详解】解：∵AE⊥解析：y=12-x+90【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到AF=DF，BF=EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到结论．【详解】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；∴∠ADB=∠BEA=90°，∵点F是AB的中点，∴AF=DF，BF=EF，∴∠DAF=∠ADF，∠EBF=∠BEF，∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA）-180°=2（180°-y°）-180°=180°-2y°，∴y=12-x+90，故答案为：y=12-x+90．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，一次函数，正确的识别图形是解题的关键．14．66【分析】作辅助线构建等腰三角形ABE证明AB=BE再证明△ABD≌△ACE得∠CAE=∠BAD=18°根据角的和可得结论【详解】解：如图在线段CD上取一点E使CE＝BD连接AE∴CE+DE＝BD解析：66【分析】作辅助线，构建等腰三角形ABE，证明AB=BE，再证明△ABD≌△ACE，得∠CAE=∠BAD=18°，根据角的和可得结论．【详解】解：如图，在线段CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，∴CE+DE＝BD+DE，即CD＝BE，∵CD＝AB，∴AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∵∠B ＝48°，∴∠BAE ＝∠BEA ＝66°，∵∠B ＝48°，∠BAD ＝18°，∴∠ADE ＝66°＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∠ADB ＝∠AEC ，在△ABD 和△ACE 中，BD CE ADB AEC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠EAC ＝∠BAD ＝18°，∴∠CAD ＝∠CAE +∠DAE ＝∠BAD +∠DAE ＝66°．故答案为：66．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，正确作辅助线，构建等腰三角形是本题的关键．15．①②③④【分析】由∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 可得结合三角形的内角和定理可得再次利用内角和定理可判断①如图1过点O 作OM ⊥AB 于M 作ON ⊥BC 于N 结合利用角平分线的性质可判断②利用平行线的性 解析：①②③④【分析】由∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，可得11,,22OBC ABC OCB ACB ∠=∠∠=∠结合三角形的内角和定理可得190,2OBC OCB A ∠+∠=︒-∠再次利用内角和定理可判断①，如图1，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，结合,OD AC ⊥ 利用角平分线的性质可判断②，利用平行线的性质与角平分线的定义证明,BE OE CF OF ==可判断③，如图2，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，证明,BNO BMO ≌ 可得,BN BM = 同理可得：,,AM AD CD CN == 从而可判断④，如图2，由1122AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD =+=+，结合,,OM OD m AE AF n ==+= 从而可判断⑤．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，11,,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠180,ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ∴()()11118090,222OBC OCB ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠ ∴()111801809090,22BOC OBC OCB A A ⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭故①符合题意；如图1，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，,,OM ON ON OD ∴==,OM ON OD ∴== 故②符合题意；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=∠OBE ，∠OCB=∠OCF ，∵//EF BC ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ，∴∠EOB=∠OBE ，∠FOC=∠OCF ，∴BE=OE ，CF=OF ，∴EF=OE+OF=BE+CF ， 故③符合题意；如图2，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，90,BNO BMO ∴∠=∠=︒OB 平分,ABC ∠,MBO NBO ∴∠=∠,BO BO =(),BNO BMO AAS ∴≌,BN BM ∴=同理可得：,,AM AD CD CN ==()()1122AB AC BC AM BM AD CD BN CN ∴+-=+++-- ()112,22AM AD AD AD =+=⨯= 故④符合题意， 如图2，由②得：ON=OD=OM=m ， ∴1122AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD =+=+ ()1,2m AE AF =+ AE AF n +=，1,2AEF S mn ∴= 故⑤不符合题意． 故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．16．2或4或【分析】首先根据题意求得抛物线与x 轴交点的坐标继而由勾股定理解得的长再运用分类讨论的方法按为底或为腰两种情况逐一解题即可【详解】解:令得与点位于y 轴两侧抛物线的对称轴为当为等腰三角形时如图若解析：2或4或【分析】首先根据题意，求得抛物线与x 轴交点A 的坐标，继而由勾股定理解得AB 的长，再运用分类讨论的方法，按AB 为底或AB 为腰两种情况逐一解题即可．【详解】解:令0y =，得2230x x --=(3)(1)0x x ∴-+=123,1x x ∴==- (1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，(1,0)A ∴-AB ∴==抛物线223y x x =--的对称轴为12b x a=-= 当PAB △为等腰三角形时，如图，若AB 为腰，以点B 为圆心，BA 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点1P ，则1==22BP AB ；若AB 为腰，以点A 为圆心，AB 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点2P ，则2==22AP AB 根据等腰三角形三线合一性质得，2=2=22=4B BP y ⨯；若AB 为底，作AB 的垂直平分线，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点3P ，则33AP BP =设3(1,)P y(1,2)B ，(1,0)A -2222(11)(0)(11)(2)y y ∴++-=-+-即224+44y y y =-+ 0y ∴=3(1,0)P ∴32BP ∴=综上所述，BP 的长为2或4或22故答案为：2或4或22【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程、抛物线与x 轴的交点、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．①②③【分析】由三角形ABC 中∠BAC 的平分线交BC 于点D 过点D 作DE ⊥ACDF ⊥AB 根据角平分线的性质可得DE=DF ∠ADE=∠ADF 然后根据全等三角形的性质可得AF=AE 继而证得①∠AFE=∠A解析：①②③【分析】由三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，根据角平分线的性质，可得DE=DF ，∠ADE=∠ADF ，然后根据全等三角形的性质，可得AF=AE ，继而证得①∠AFE=∠AEF ；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD 垂直平分EF ；然后利用三角形的面积公式求解即可得③BFD CED S BF S CE∆∆=，EF 平行BC 不能判断，于是可得④ ． 【详解】解：①∵三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠ADE=∠ADF ，DF=DE ，∵AD=AD ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ），∴AF=AE ，∴∠AFE=∠AEF ，故正确；②∵DF=DE ，AF=AE ，∴点D 在EF 的垂直平分线上，点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ，故正确；③∵12BFD DF S BF ∆=•，S △CDE =12CE DE •，DF=DE ， ∴BFD CED S BF S CE∆∆=；故正确； ④∵∠EFD 不一定等于∠BDF ，∴EF 不一定平行BC ．故错误．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．【分析】先证明△ADE ≌△ADF 可得：DE ＝DF ∠ADE ＝∠ADF ＝=×120°=60°再利用面积法求出DE 的值再根据直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：∵DEDF 分别是△ABD 和△ACD 的高∴解析：【分析】先证明△ADE ≌△ADF ，可得：DE ＝DF ，∠ADE ＝∠ADF ＝12EDF ∠=12×120°=60°，再利用面积法求出DE 的值，再根据直角三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，∴S△ABC＝12•AB•DE＋12•AC•DF＝12•DE（AB＋AC）＝24，∵83AB AC+=，∴DE＝23，∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝43．故答案是：43．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．19．【分析】作EG∥AC可得等边三角形EBG利用全等三角形的性质证明BD=CG即可解决问题【详解】作EG∥AC交BC的延长线于G∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°∴∠G=∠ACB=60°又∠B=6解析：322+【分析】作EG∥AC，可得等边三角形EBG，利用全等三角形的性质证明BD=CG即可解决问题.【详解】作EG∥AC交BC的延长线于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°∴∠G=∠ACB=60°，又∠B=60°∴△EBG是等边三角形，∴EB=EG=BG∴CG=AE，∵ED=EC∴∠EDC= ∠ECD，又∠B=∠G∴∠BED= ∠GEC∴△BED≌△GEC (AAS)∴∴=3+,故答案为【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.20．②④【分析】由平行线得到角相等由角平分线得角相等根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案【详解】解：∵EF∥BC∴∠EDB=∠DBC∠FDC=∠DCB∵∠ABC与∠ACB的平分线交于解析：②④【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EDB =∠EBD，∠FCD=∠FDC，∴ED=EB，FD=FC，即△BED和△CFD都是等腰三角形；故②正确；∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AB+AC；故④正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠DBC不一定等于∠DCB，∴BD与CD不一定相等，故①错误．∵BE与CF无法判定相等，∴ED与DF无法判定相等，故③错误；综上，正确的有②④．故答案为：②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．（1）90；（2）120°；（3）①180αβ+=︒；见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）由条件可得△ABC 为等边三角形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ＝60°，则可得出结论；（3）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC ＝∠ACE ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠ACB ＝60°，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∵∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ．∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．∵∠ACE +∠ACB ＝β，∴∠B +∠ACB ＝β，∵α+∠B +∠ACB ＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，连接CE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，即：∠BCE +∠BAC ＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ABD ＝∠ACE ＝∠ACB +∠BCE ，∴∠ABD +∠ABC ＝∠ACE +∠ABC ＝∠ACB +∠BCE +∠ABC ＝180°，∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE ．∴α＝β；综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．22．254【分析】首先连接BE ，根据线段垂直平分线的性质，可得AE ＝BE ，然后设AE ＝x ，由勾股定理可得方程： ()222=6+8x x -，继而求得答案．【详解】解：连接BE ，在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10∴BC ＝6∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，∴AE ＝BE ，AD ＝BD ＝5设AE ＝x ，则BE ＝x ，EC ＝AC−AE ＝8−x ，∵Rt △BCE 中，∠C ＝90°，BE=x ，EC ＝8−x ，BC ＝6，∴()222=6+8x x -解得：25 =4 x，故答案为：254，【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．23．（1）见解析；（2）8【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；（2）根据作图得到AD=BD，把周长转化为AC+BC即可．【详解】（1）用尺规作出线段AB的垂直平分线，交AC于点D．（2）由作图可知，AD=BD，△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+3=8．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法与性质，解题关键是熟练的进行尺规作图，根据垂直平分线的性质准确计算．24．（1）见解析；（2）22.5【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出△ABD≌△BAE，进而得出OB=OA；（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答．【详解】证明：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠EBA=∠DAB=135°．在△ABD 与△BAE 中，135BE AD EBA DAB AB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BAE （SAS ），∴∠DBA=∠EAB ，∴OB=OA ；（2）由（1）得：OB=OA ，在△OBC 与△OAC 中，OB OA OC OC BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OAC （SSS ），∴∠OCB=∠OCA=12∠ACB=12×90°=45°， ∵AC=BC ，AC=OC ，∴OC=BC ， ∴∠CBO=∠COB 1801804567.522OCB ︒︒︒︒-∠-===， 在Rt △BCD 中，∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°．故答案为：22.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．25．见解析【分析】利用SSS 证△A DB ≌△ADC 可得∠D AB =∠DAC ，根据平行线性质得∠EDA =∠DAC ，再根据等量代换得到∠EAD=∠EDA ，从而得到ED=AE ．【详解】证明：在△ADB 和△ADC 中，,,,AB AC DB DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC （SSS ）．∴∠D AB =∠DAC ．∵ED ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ，∴∠EAD=∠EDA∴E D=AE ．【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等边对等角的性质．判定三角形全等是关键． 26．（1）全等，见解析；（2）Q 的运动速度为154cm /s ；（3）803s 在AB 边上，距离A 点6cm 处【分析】（1）由SAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质得出4BP PC cm ==，5CQ BD cm ==，则可得出答案； （3）由题意列出方程1532104x x =+⨯，解方程即可得解； 【详解】（1）∵1t s =，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∴313BP CQ cm ==⨯=，∵10AB cm =，点D 为AB 的中点，∴5BD cm =，又∵PC BC BP =-，8BC cm =，∴835PC cm =-=，∴PC BD =，又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BPD CQP SAS ≅；（2）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP CQ ≠，∴若BPD CPQ ≅，且B C ∠=∠，则4BP PC cm ==，5CQ BD cm ==，∴点P 、点Q 的运动时间4()33BPt s ==， ∴515443Q CQ t υ=== cm /s ；（3）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：1532104x x =+⨯， 解得：803x =， 803803⨯=cm ， △ABC 的周长为1010828cm ++=，运动三圈：28384cm ⨯=＞80cm ，84804cm -=，1046cm -=，∴经过803后点P 与点Q 第一次相遇，在AB 边上，距离A 点6cm 处． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，特别是利用方程的思想解决几何问题，培养学生综合解题的能力．。
初中数学重点知识之《三角形的性质和证明》特训
一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB 于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A．∠1＜∠2B．∠1＝∠2C．∠A+∠2＜180°D．∠A+∠1＞180°3．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON 于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．5B．C．4D．4．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．65．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是（）A．3 B．4C．6D．56．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°二．解答题（共7小题）9．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．11．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．12．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．13．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF＝EF；（3）求△BDE的面积．14．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，且OA1＝l．（1）分别求出△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4的边长；（2）求△A7B7A8的周长（直接写出结果）．15．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD ＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，∵a∥b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝115°﹣75°＝40°，故选：C．2．【解答】解：∵AC＝BC＜AB，∴∠A＝∠ABC＜∠ACB，∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，∴∠2＝∠A+∠ABC，∴∠A+∠2＝∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，故选：C．3．【解答】解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵OA＝OB，OC平分∠AOB，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵，∴，解得，BE＝，故选：B．4．【解答】解：∵|m﹣2|+＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．故选：B．5．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴×6×2+×AC×2＝10，解得AC＝4．故选：B．6．【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选：A．7．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，AD＝2CD，∴BD＝2CD，根据已知不能推出CD＝DE，即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；故选：D．8．【解答】解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．二．解答题（共7小题）9．【解答】解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．10．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．11．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在RT△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝＝＝2．12．【解答】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°∴∠1＝60°．∴∠3＝∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝2，∴DB＝4．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝4．∴EC＝＝＝2．13．【解答】解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，BD平分AC，∵AB＝6，∴AD＝3，∴由勾股定理得，BD＝＝3；（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝30°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．∴∠DBE＝∠E，∴DB＝DE．∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线．∴BF＝EF；（3）∵AD＝CD，CE＝CD，∴CE＝CD＝3，∴BE＝BC+CE＝9，∵∠DBE＝30°，DB＝3，∴DF＝DB＝×3＝，∴△BDE的面积＝BE•DF＝×9×＝．14．【解答】解：（1）∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠1＝∠MON＝30°，∴A1B1＝OA1＝1，即△A1B1A2的边长为1；又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵A2B1＝1，∴A2B2＝2A2B1＝2，即△A2B2A3的边长为2；∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，即△A3B3A4的边长为4；（2）由（1）同理得：A4B4＝8B1A2＝8＝23，A5B5＝16B1A2＝16＝24，以此类推：A7B7＝26＝64；∴△A7B7A8的周长＝3×64＝198．15．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．。
第三章证明三测试题
九江县城门中学九年级数学证明三测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）1、 （2010年遵义）下列命题中，真命题是 C .两条对角线相等的四边形是矩形2、 （2008黄冈市）如图，已知梯形 ABCD点，/ BCD=60,贝U 下列说法不准确的是（A .梯形ABCD 是轴对称图形 C .梯形ABCD 是中心对称图形 3、 （2007江西）如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C 处，BC 交AD 于E ，若 DBC 22.5° ,则在不添加任何辅助线的情 况下，图中45。
的角（虚线也视为角的边）有（ ） A . 6个 B . 5个 C . 4个 4、 （2008年江西）如图，在口ABCD 中， 则下列结论不准确的是（） A . S A AFD 2S A EFB 5、 （2010江西）如图，已知矩形纸片点G 是BC 上的一点，/ BEG = 60o. 点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与/ BEG 数为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 16、 （2011江苏泰州）四边形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点件：①AB / CD , AD // BC ;②AB=CD , AD=BC ;③AO=CO , BO=DO ; ®AB / CD ,AD=BC .其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A . 1组B . 2组C . 3组7、 （2011江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A .对角线互相垂直 B .对角线相等C .对角线互相平分D .对角互补& （2011山东滨州）如图,在一张△ ABC 纸片中,/ C=90 ,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形： ①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形：④正方形 .那么以上图形一定能被拼成的个数为（） A.1 B.2 C.3 二、填空题（本大题8小题，每小题3分，满分24分） 9、 （2010山东德州）在四边形 ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果四边形EFGH 为菱形，那么四边形ABCD 是 _________ （只要写出一种即可）. 10、 （2010年怀化市）如图5,在直角梯形 ABCD 中， AB // CD , AD 丄 CD , AB=1cm , AD=6cm , CD=9cm ，贝U BC= _________ cm . 11、 （2011山东烟台）如图，三个边长均为 2的正方形重叠在一 起，01、02是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 12、 （2010山东青岛市）把一张矩形纸片（矩形 点D 重合，折痕为 EF.若AB = 3 cm , 是 ________________ . cm . 13、 （2010湖北孝感）已知正方形 ABCD 以 是 ■ 14、 （2009年江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 距离 AB BC 16cm ,则/1 ____________ 度. 15、 （2011年江西）将完全相同的平行四边形和完全相 同的菱形镶嵌成如图所示的图案.设菱形中较小角为 x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系 式是 .（ ）D .两条对角线相等的平行四边形是矩形 中, AD // BC , AB=CD=ADAC, BD 相交于 O ）B . BC=2ADD . AC 平分/ DCB D . 3个E 是BC 的中点，且/AEC=/ DCE ,C .四边形AECD 是等腰梯形 D . ABCD ，点现沿直线E0,给出下列四组条 ,/ B=60°D.4 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和 BC = 5 cm ，则重叠部分△ DEF 的面积 CD 为边作等边△ CDE 贝AED 的度数 16cm ,若墙上钉子间的 16、（2010四川宜宾3） B A122. CI VC-- D(第 3 题) D C ^DF2AEB ADC（第8题图）D C19、（2008年江西）如图：在平面直角坐标系中，有 A （0， 1），B （ 1，0），C （ 1, 0）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE 丄BC 于点E ，PF 丄CD 于点F ,连接EF 给出 下列五个结论：①AP =EF ;②AP 丄EF ;③A APD 定是等腰三角形； ④/P FE=/BAP ;⑤ PD= V 2EC .其中准确结论的序号是 ___________________ .三点坐标. （1）若点D 与A B, C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点 D 的坐标; “y 2 - （2）选择（1）中符合条件的一点D ，求直线BD 的解析式. 1 B 2 1 O 1 -A C --- ' - '~~► X 1 2 x 三、（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17、（2011四川凉山）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 勺对角线上的点，CE=AF 猜想：BE 与 DF 有怎样的位置 关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.猜想证明 D18、（2011四川南充市）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 BE=CF,连接 DE,AF. 求证：DE=AF.请你AD // BC,点 E,F 在 BC 上,四、（本大题共3小题，每小题8分，共16分） 20、（10分）已知四边形ABCD 勺对角线AC 与BD 交于点0,给出下列四个论断 ① OA = OC ② AB = CD ③/ BAB / DCB ④ AD / BC 请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD 为平行四边形”作为结论，完成下列各题： ① 构造一个真.命题.，画图并给出证明； ② 构造一个假•命•题，举反例加以说明.21、（2008年江西）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B 处, 点A 落在点A 处；（1） 求证：BE BF ；（2） 设AE a AB b, BF c ，试猜想a ，b, c 之间的一种关系，并给予证明.23、（2011山东临沂）如图1,将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交 CD 于点F ,另一边交CB 的延 长线于点G . （1） 求证：EF = EG （2） 如图2,移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 勺对角线AC 上，其他条 件不变.（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理五、（本大题共两小题、每小题 9分，共18分）22、（2006年江西）如图，在梯形纸片 ABCD 中，AD // BC , AD > CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E,连结C ' （1） 求证：四边形CDC '是菱形；（2） 若BC = CD + AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明.六、（本大题两小题，每小题10分、共20分）.AI'B24. ( 2010莱芜)在口 ABCD 中，AC 、BD 交于点0,过点0作直线EF 、GH ，分 别交平行四边形的四条边于 E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE. (1) (2)(3) (4)理由.如图①，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由; 如图②，当EF 丄GH 时，四边形EGFH 的形状是_ 如图③，在(2) 如图④，在(3) 的条件下，若 的条件下，若 AC=BD ，四边形EGFH 的形状是 ______________ ; AC 丄BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明 D B F C 图① B F C 图② (第23题图)DHCF C B T F C 图③ 图④ 25、(湖北荆洲)将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长 为3.(1)四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由。
《形式逻辑学》练习题 答案
《形式逻辑学》练习题及答案第一部分概念一、填空题1.在一个正确的划分中，“母项”与“子项”在外延上具有属种关系，而“子项”与“子项”之间具有全异关系。
2.从“属加种差”的定义的结构看，在定义“负判断是否定某一判断的判断”中，“否定某一判断的”是种差，“判断”是属。
二、单选题1.“有的犯罪不是故意的”这一判断的主项“犯罪”是（B ）。
A、单独概念B、普遍概念C、集合概念D、负概念2.“安顺位于贵州”这句话中的“安顺”与“贵州”这两个词项外延之间具有( D )A、真包含于关系B、真包含关系C、交叉关系D、全异关系3.下列各句属于逻辑划分的是（B）A、选言判断分为选言肢和选言联结项B、命题分为简单命题和复合命题C、直言命题分为主项和谓项D、论证分为的论题、论据和论证方式4.“中国人民解放军是祖国的万里长城”作为定义，则（A）A、犯了“以比喻代定义”的逻辑错误B、犯了“定义过窄”的逻辑错误C、犯了“定义过宽”的逻辑错误D、遵守了各项定义规则，没有逻辑错误。
5.下列对概念的概括中，正确的是（B ）A、把“律师”概括为“先进律师”B、把“刑法”概括为“法律”C、把“中级人民法院”概括为“高级人民法院”D、把“判断”概括为“推理”。
6.下列概念间的关系中，属于不相容关系的是（D ）A、交叉关系B、全同关系C、真包含关系D、全异关系7.在“中华民族是一个伟大、勇敢、勤劳的民族”这句话中，“中华民族”是（ C ）。
A、非集合概念、正概念B、非集合概念、正概念C、集合概念、正概念D、集合概念、负概念8.设a为“《三国演义》”，b为“《鲁迅全集》”，则a与b的外延关系为（ C ）。
A、a真包含于bB、b真包含aC、a与b全异D、a与b全同9.下列属于逻辑划分的是( B )。
A、三段论分为大前提、小前提和结论B、思维形式分为概念、判断和推理C、关系判断分为关系项、关系者项和量项D、定义分为被定义项、定义项和定义联项三、双选题1.在“新闻报导应该是实事求是的”这个判断中，“新闻”是（ B C ）。
级奥数证明题练习题
级奥数证明题练习题为大家整理的2014初三年级奥数证明题练习题的文章，供大家学习参考！更多最新信息请点击初中奥数网例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高求证：DC=AB+BD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD 相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C 辅助线是在DC上取DE=DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF=AB，连结AF，则可得∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N求证：AH=2MO，BH=2NO证明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)连结并延长CO到G使OG=CO连结AG，BG则BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO∴四边形AGBH是平行四边形，∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO证明二：(折半法――作出AH，BH的一半)分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN则FG=MN= AB，FG∥MN∥AB又∵OM∥AD，∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……例 3.已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE=AD+AE，F是AB的中点求证：∠DCE=2∠BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明(略)自己完成例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，求证：∠BIC=90 + ∠A证明一：(由左到右)∠BIC=180 -(∠1+∠2)=180 - (∠ABC+∠ACB)=180 - (∠ABC+∠ACB+∠A)+ ∠A=90 + ∠A证明二：(左边-右边=0)∠BIC-(90 + ∠A)=180 - (∠ABC+∠ACB)-90 - ∠A=90 - (∠ABC+∠ACB+∠A)=……证明三：(从已知的等式出发，进行恒等变形)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180 ∴∠A=180 -(∠ABC+∠ACB) ∠A=90 - (∠ABC+∠ACB)90 + ∠A=180 - (∠ABC+∠ACB)，即∠BIC=90 + ∠A。
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D C B A 图3-4
E
F **《证明三》练习题2
***1.如图3-2，平行四边形ABCD 中，经过两对角线交点O 的直线分别交BC 于点E ，交AD 于点F . 若BC = 7, CD = 5, OE = 2, 则四边形ABEF 的周长等于（ ）.
A. 14
B. 15
C. 16
D. 无法确定
分析：三角形全等，等量代换
****2、如图3-4，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，EF ∥BD .求证： S △ABE = S △ADF .
分析：三角形等面积变化
****3.已知：四边形ABCD 的边AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , 且满足关系式a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 2ac +2bd , 则这个四边形是 四边形.
分析：配方法；特殊四边形的判定
***4.如图3-8，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE = CF ,
AF 、DE 相交于M ，BF 、CE 相交于N . 求证：MN ∥＝ 12AB .
分析：平行四边形的性质和判定的综合运用；三角形中位线
***5、已知A B C D 的对角线相交于点O ，它的周长为10cm ， B C O ∆的周长比A B O ∆的周长多2cm ，则AB= cm 。
分析：平行四边形对角线构成的三角形性质
***6、如图，已知E 为A B C D 内任一点，A B C D 的面积为40，那么EAB EC D S S += 。
A D
E B C
三角形面积与平行四边形面积的关系；数形结合
D C B A O 图3-2
E
F N M D C
B A 图3-8E F
****7、已知：如图3-10，△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，BC = 15cm, AD = 13cm,AE = 12cm, F 、G 分别是AB 、AC 的中点. 求：四边形DEGF 的周长和面积.
分析：挖掘图形之中隐含条件
***8、如图，A B C D 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请你数一数图中共有（ ）个平行四边形。
A.2 B.3 C.4 D.5 F G
H E
C A D
B
分析：提高观察能力，提高分析能力
***9、过A B C D 对角线AC 、BD 的交点O 作一条直线，分别交AB 和DC 于E 、F 两点，交CB 和AD 的延长线于G 、H 两点。
求证：OG ＝OH 。
G E
F
O B D C
A H
分析：平行四边形提供全等证明的条件
***10、已知：如图，E 、F 分别为A B C D 中AD 、BC 的中点，分别连接AF 、BE 交于G ，连接CE 、DF 交于点H 。
求证：EF 与GH 互相平分。
H G
F E A D
B
C
分析：平行四边形性质的连续使用 D C B A 图3-10G E F。