苏教版高中数学选修2-21.1 导数的概念
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 1.1.4 导数的概念 教案
1.1.4《导数的概念》教案一、教学目标(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想二、教学重点难点导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力.三、教学过程【复习引入】1.什么叫做平均变化率；函数y =f (x )的定义域为D ，x 1.x 2∈D ，f (x )从x 1到x 2平均变化率为:2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 2.曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f (x )在区间[x A ，x B ]上的平均变化率2121()()f x f x y k x x x -∆==∆- 3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？曲线的割线和切线【数学建构】1.导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ,则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0x x y ='.0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x=+∆-∆'===∆→∆∆当. 2.求导数的步骤：①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限.3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.函数在一区间上的导数：如果函数 f (x )在开区间 (a ,b ) 内每一点都可导，就说f (x )在开区间 (a,b )内可导．这时，对于开区间 (a,b )内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 f '(x 0)，这样就在开区间(a,b )内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f (x ) 在开区间(a,b )内的导函数，简称为导数，记作''()()(),0y f x x f x f x y x x x∆+∆-===∆→∆∆当时的值 【数学应用】例1 求y =x 2+2在点x =1处的导数.解：222[(1)2](12)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆ 22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆ '12,0|2x y x x xy =∆∴=+∆∆→∆=当时 变式:求y =x 2+2在点x =a 处的导数.例2 若2()(1)f x x =-，求(2)((2))f f ''和.例3已知y ='y ，并求出函数在2x =处的切线方程.解：y y x x∆=∆=∆∆'0y y x x x ∆∴==∆∆==∆→当时的值。
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念及其几何意义 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 导数的概念及其几何意义 教案[例1] 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；计算Δy Δx ；求lim Δx →0 ΔyΔx . [精解详析] ∵f (x )＝4x2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝42＋Δx2－1＝－4Δx －Δx 22＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－4－Δx 2＋Δx2， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －4－Δx 2＋Δx2＝－1，∴f ′(2)＝－1. [一点通] 由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；③取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D ．1解析：选C y ＝x 2在x ＝1处的导数为：f ′(1)＝lim Δx →01＋Δx2－1Δx＝2.2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________. 解析：函数f (x )＝ax ＋b 在x ＝1处的导数为f ′(1)＝li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0[a1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，有a ＋b ＝2，于是b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.答案：43．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 从而f ′(1)＝2.求曲线的切线方程[例2] 已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上的点A (1,2)处的切线斜率及切线方程． [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程． [精解详析] 因为 Δy Δx＝31＋Δx 2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.[一点通] 过曲线上一点求切线方程的三个步骤4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选A f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2－1Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.5．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x在x ＝－2处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝lim Δx →0f －2＋Δx －f －2Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.导数几何意义的综合应用[例3] (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [精解详析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．已知曲线y ＝x 3＋3x 在点P 处的切线与直线y ＝15x ＋3平行，则P 点坐标为( ) A ．(2,14) B ．(－2，－14) C ．(2,14)或(－2，－14) D ．以上都不对解析：选C 由题意可得 y ′＝li mΔx →0 x ＋Δx3＋3x ＋Δx －x 3－3x Δx＝3x 2＋3，又由题意得3x 2＋3＝15，所以x ＝±2. 当x ＝2时，y ＝23＋6＝14， 当x ＝－2时，y ＝(－2)3－6＝－14. 所以点P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝li mΔ x →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx＝lim Δx →0 －ΔxΔx ·x 0＋Δx ·x 0 ＝lim Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线y＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．1．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选A 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A f ′(2)＝lim Δx →0 142＋Δx 2－14×4Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A.3.已知y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →02Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程． 解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x .∴f ′(2)＝lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx＝lim Δx →011－2＋Δx －11－2Δx ＝lim Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝li mΔx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
高二数学导数的概念苏教版知识精讲
高二数学导数的概念苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数的概念二. 教学目的：1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2. 掌握导数的几何意义。
理解导数与瞬时变化率的关系。
教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，三. 内容梳理： 1. 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点。
作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线。
2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即0x ∆→时，0()()f x x f x x +∆-∆＝A yx∆→∆一个常数＝tan α 3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度。
瞬时速度00()()0s t t s t t v t+∆-∆→→∆时，。
5. 导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即/000()()0()f x x f x x f x x+∆-∆→→∆当时，注意：（1）函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
高中数学导数概念课件苏教版选修
导数在解决实际问题中的作用
导数在优化问题中的应用：导数可以用来解决最优化问题，例如求函数的 最大值或最小值。
导数在物理中的应用：导数可以用来描述物理量的变化率，例如速度、加 速度、电流等。
导数在经济学中的应用：导数可以用来分析经济变量的变化趋势和拐点， 例如需求函数、供给函数等。
导数在计算机科学中的应用：导数可以用来描述图像的边缘、纹理等特征， 例如在图像处理和计算机视觉中的应用。
导数与函数图 像：通过导数 可以绘制函数 图像的切线， 从而更直观地 理解函数的变
化规律。
导数与极值： 导数为零的点 可能是函数的 极值点，通过 导数可以判断 函数在某一点 处是否取得极
值。
导数的物理意义
速度的变化率
函数的斜率
单位时间内函数的变 化量
瞬时速度
导数的运算规则
函数和、差的导数
导数的和差运算规则：$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
导数作为微积分的基础概念，在高等数学中具有重要地位 导数在解决微分方程、积分方程等问题中具有关键作用 导数在研究函数的性质、图像等方面具有广泛应用 导数在解决实际问题中，如最优化问题、经济问题等，具有实际意义
如何学好导数
理解导数的定义
• 导数的定义：导数定义为函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。 • 导数的几何意义：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 理解导数的几何意义 • 导数与函数图像的关系：导数可以描述函数图像的形状和变化趋势，例如函数的增减性、极值点和拐点等。 • 导数与切线斜率的关系：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 如何学好导数 • 理解导数的定义和几何意义：掌握导数的定义和几何意义是学好导数的基础，需要认真理解并掌握。 • 掌握导数的计算方法：学会计算导数是学好导数的关键，需要掌握各种导数的计算方法，例如基本初等函数的导数、复合函数的导
苏教版数学导数知识点总结
苏教版数学导数知识点总结一、导数的定义导数的定义是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化率。
苏教版数学中，导数的定义如下：若函数y = f(x)在点x_0处可导，则函数在该点的导数为：f'(x_0) = lim_(Δx→0) [f(x_0 + Δx) - f(x_0)]/Δx其中Δx表示自变量x的增量，即x的变化量。
上式表示当Δx趋近于0时，函数在点x_0处的变化率。
二、导数的性质1. 导数存在的条件苏教版数学规定，函数在某一点可导的条件是函数在该点处存在左、右导数且左、右导数相等。
也就是说，函数在某一点可导的条件是函数在该点处存在唯一的切线。
2. 导数的唯一性苏教版数学中，规定函数在某一点处的导数是唯一的，即使函数有多个表达式或定义域，其在该点的导数仍然相同。
3. 导数与函数的关系苏教版数学中，规定函数在某一点可导，那么函数在该点具有连续性。
也就是说，导数与函数的连续性是相关的，导数在某一点存在则函数在该点连续。
三、导数的运算在苏教版数学中，导数的运算主要包括如下内容：1. 基本函数的导数：- 常数函数：常数函数y = C 的导数为0。
- 幂函数：幂函数y = x^n 的导数为n*x^(n-1)。
- 指数函数：指数函数y = a^x 的导数为a^x*ln(a)。
- 对数函数：对数函数y = ln(x) 的导数为1/x。
- 三角函数：三角函数的导数规则为：- sin(x) 的导数为cos(x)。
- cos(x) 的导数为-sin(x)。
- tan(x) 的导数为sec^2(x)。
- 反三角函数：反三角函数的导数规则为：- arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)。
- arccos(x) 的导数为-1/√(1-x^2)。
- arctan(x) 的导数为1/(1+x^2)。
2. 复合函数的导数：苏教版数学中复合函数的导数使用链式法则，即若函数y = g(u) 可导且函数u = f(x) 可导，则复合函数y = g(f(x)) 的导数为：(g(f(x)))' = g'(f(x)) * f'(x)3. 参数方程的导数：苏教版数学中，设参数方程x = φ(t)，y = ψ(t) 的参数方程曲线存在导数，则曲线的切线斜率为y/x 的导数：(dy/dt)/(dx/dt)四、导数在几何与物理问题中的应用在苏教版数学教材中，导数在几何和物理问题中的应用是微积分的重要部分，主要包括下述内容：1. 切线与法线问题：导数可以用来求解曲线的切线、法线方程以及切点坐标等几何问题。
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念与应用 教案
要求层次 重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数y c =，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y x =的导数 C能根据导数定义，求函数23y c y x y x y x ====，，，，1y y x x==，（c 为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数． 导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数） B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B板块一：导数的概念与几何意义知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．高考要求例题精讲导数的概念与应用2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．典例分析： 极限与导数【题1】 设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=．【答案】D【题2】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【考点】极限与导数 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 【答案】B【题3】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，湖北，高考7【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【题4】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--． 【答案】22-，【题5】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-． 【答案】D【题6】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=． 【答案】12567,1632．【题7】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8． 【答案】D导数的几何意义【题8】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x=+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭， 00(1)lim lim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦；⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭， 再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【题9】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<． 【答案】B【题10】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=． 【答案】C【题11】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =． 【答案】A【题12】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2008，辽宁，高考【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，， 故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【题13】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【考点】导数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 【答案】D【题14】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【题15】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =． 当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=．注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题16】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，安徽，高考 【解析】 由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【题17】 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】 ⑴21()()f x a x b '=-+，由题设知(2)0(2)3f f '=⎧⎨=⎩， 于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-． ⑵证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图象按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．（可以直接验证：若(,)x y 在()y f x =的图象上，则(2,2)x y --也在函数()y f x =的图象上）⑶证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2【题18】 已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 分别对两条曲线的方程求导得：2y x '=与2(2)y x '=--，设直线l 与曲线1C 相切于点200()x x ，，则直线l 的方程为20002()y x x x x -=-，令02(2)2x x --=解得02x x =-，代入直线l 的方程得20043y x x =-，故直线l 与曲线2C 交于点2000(243)x x x --，，由此点在曲线2C 上得2200043(22)x x x -=---， 解得00x =或02x =，于是直线l 的方程为0y =或44y x =-．【答案】0y =或44y x =-．板块二：导数的运算知识内容1注：ln e a =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．典例分析：【题1】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】 1()f x x '=，()1eef e e'==．【答案】A【题2】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)x x -+-B ．22(1)x -C ．2(1)x -D ．1x -【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】 【解析】 【答案】A【题3】 已知函数2()f x ax c =+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．1-D ．0【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】 ()2f x ax '=，于是221a a =⇒=．【答案】A【题4】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【考点】导数的运算 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设()(2)(3)(4)(100)g x x x x x =----，则()(1)()f x x g x =-，且()g x 可导，有()()(1)()f x g x x g x ''=+-，令1x =得，99(1)(1)0(0)(1)(1)99!99!f g g g ''=+⨯==-=-．【题5】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】 【解析】 2()32f x x x '=-，从而20032x x x -=⇒00x =或01x =． 【答案】0或1【题6】 已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】解答【关键词】【解析】 由于x e y x =，所以000()x e f x x =，又2(1)x e x y x ⋅-'=，00020(1)()x e x f x x -'∴=依题意得00()()0f x f x '+=，即000200(1)0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =． 【答案】12【题7】 设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e ''=-=，求实数,a b 的值． 【考点】导数的运算 【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 ()x b f x ae x '=+，(1)f ae b e '=+=，1(1)a f b e e'-=-=，解得1,0a b ==． 【答案】1,0a b ==．板块三：导数的应用知识内容1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．典例分析：原函数与导函数的图象【题1】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 函数()f x 的顶点为2424b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故有204b b c <<，，()2f x x b '=+，斜率为正，排除B ，D ；纵截距为负，排除C ．（即图象不过第四象限）【答案】A【题2】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 由导函数的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减． 【答案】B【题3】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2005，江西，高考【解析】由图象知，(1)(1)0f f''=-=，结合图象知1x=±是函数()f x的极值点，又因为在(10)-，上，()0f x'<，在(01)，上，()0f x'<，因此在(11)-，上，()f x单调递减，故选C．要注意，若00()P x y，是函数()y f x=的极值点，则有()0f x'=，但是若()0f x'=，则是00()P x y，不一定是函数()y f x=极值点，所以要判断一个点是否为极值点，还要检验点P的两侧的单调性是否不同．【答案】C【题4】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，浙江，高考【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象，都没有矛盾．D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都为单调的函数，故不可能．【答案】D函数的单调性【题5】函数214y xx=+的单调增区间为（）A．(0)+∞，B．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，C．(1)-∞-，D．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】令2221(21)(421)80x x xy xx x-++'=-=>，得12x>．【答案】B【题6】三次函数3()1y f x ax==-在()-∞+∞，内是减函数，则（）A．1a=B．2a=C．0a≤D．0a<【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 23y ax '=，要()f x 在R 上为减函数，当且仅当0a <． 【答案】D【题7】 若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，湖北，高考，题7【解析】 22()22b x x bf x x x x --+'=-+=++，当1x >-时，有()0f x ≤，又此时20x +>， 故220x x b --+≤，故222(1)1b x x x +=+-≤对一切(1)x ∈-+∞，成立，故1b -≤．【答案】C【题8】 若函数()221xf x x =-+，则()f x （ ） A ．在()-∞+∞，单调增加 B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 222222(1)222(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-⋅+-'=-=++． 【答案】C【题9】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，分类讨论：①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；②当011130(1)0a a f ∆>⎧<⎧⎪-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．【答案】[3)-+∞，【题10】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 (())()()0xf x xf x f x ''=+≤，故函数()xf x 在区间(,)a b 上是非增函数，有()()af a bf b ≥【答案】B【题11】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【考点】函数的单调性【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】 由()0f x '=，得1x a =，223a x +=-． 函数()f x 在区间(11)-，不单调，等价于()0f x '=在区间(11)-，上有实数解，且无重根．即1123a a a -<<⎧⎪+⎨-⎪⎩≠或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩≠，解得1112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠或5112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠．所以a 的取值范围是115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题12】 已知函数()ln xf x x=． ⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【考点】函数的单调性 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，宣武，二模，理，题19【解析】 ⑴可得21ln ()xf x x-'=． 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵依题意，转化为不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是()1.+∞上的增函数，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 是()0,1上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(),1-∞．⑶转化为212ln 63x x x m =+-，ln y x =与21263y x x m =+-在公共点()00,x y 处的切线相同由题意知20000012ln 6311233x x x m x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代入第一式，即有56m =．【答案】⑴()f x 的单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞；⑵(),1a ∈-∞；⑶56m =．【题13】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为()1-+∞，，()22221a f x x x -'=-+++2221x ax -+=+．因为()04f '=，所以2a =． ⑵当0a <时，因为10x +>，2220x a -+<，所以()0f x '<，故()f x 在()1-+∞，上是减函数；当0a =时，当()10x ∈-，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()10-，上是减函数，当()0x ∈+∞，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()0+∞，上是减函数，因为函数()f x 在()1-+∞，上连续，所以()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，由()22201x af x x -+'==+，得x =x =x 变化时，()f x '，()f x 的变化如情况下表：所以()f x 在1-，上为减函数、在+∞上为减函数；()f x 在上为增函数．综上，当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．函数的极值【题14】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】填空【关键词】2005，全国，高考【解析】 2()323f x x ax '=++，又()f x 在3x =-取得极值，∴(3)0f '-=，即23(3)6305a a ⨯--+=⇒=．【答案】D【题15】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008，广东，高考，题9【解析】 x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．【答案】A【题16】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 2()3f x ax b '=+，(2)(2)120f f a b ''-==+=，又28(2)8243f a b -=--+=，4(2)8243f a b =++=-．解得13a =，4b =-． 【答案】13a =，4b =-．【题17】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 2222222222(1)()(1)(1)a b b x a x f x x x x x --'=-+=--22()[()](1)a a b x b a x a a b x x ⎛⎫+--+ ⎪+⎝⎭=-． 当0x =时，()0b a x a a -+=>；当1x =时，()0b a x a b -+=>，∴01x <<时，恒有()0b a x a -+>，令()0f x '=，解得ax a b=+(01)∈，．当0a x a b <<+时，()0f x '<，当1ax a b<<+时，()0f x '>．∴函数()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增，故()f x 在a x a b =+处取得极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【答案】()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增； 极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【题18】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当0a =时，()2x f x x e =，()()22x f x x x e '=+，故()13f e '=．所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为3e ．⑵ ()()22224xf x x a x a a e '⎡⎤=++-+⋅⎣⎦．令()0f x '=，解得2x a =-，或2x a =-．由23a ≠知，22a a -≠-． 以下分两种情况讨论．① 若23a >，则22a a -<-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()223a f a ae --=．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()()2243a f a a a --=-． ② 若2a >，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()()2243a f a a e --=-． 函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()223a f a ae --=．【答案】⑴3e ；⑵见解析．【题19】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 6()f x x'=，()28g x ax '=+，根据题意，得(3)(3)f g ''=，解得1a =-．⑵ 2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-，令6()280F x x x'=+-=，得13x =，∵01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；13x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；3x >时，()0F x '>，()F x 单调递增．∴()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【答案】⑴1a =-；⑵()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【题20】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题18【解析】 ()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--⑴∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．⑵∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =．即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=． ∴2(3)0a a -=，解得0a =或3． 当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值， 这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()3f 为极小值， 所以3a =满足．故3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题21】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【考点】函数的极值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008，辽宁，高考，题22【解析】 22()323f x ax bx a '=+-．①⑴当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以12x x -=．由122x x -=，得0b =．从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当()11x ∈-，时，()0f x '<；当()()11x ∈-∞-+∞，，时，()0f x '>．故()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增．⑵由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-， 由上式及题设知01a <≤．考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【答案】⑴0b =，()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增． ⑵b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【题22】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【考点】函数的极值 【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．22222()2b a x b ax b a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==． 当0ab >时，02b a>，202bx a +>，()0f x '=无解， 所以当0ab >时，函数()f x 没有极值点．⑵2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=， 又函数()f x 的定义域为(0)+∞，，故()f x '在(01)，上为负，在(1)+∞，上为正，故()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当0ab <时，2()a x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=， 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x +∞，，当00a b ><，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当00a b <>，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab <时，当00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】⑴见解析；⑵()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当00a b ><，时，()f x 有极小值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当00a b <>，时，()f x 有极大值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．函数的最值【题23】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 2()6126(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；当02x <<时，()0f x '<；于是()f x 在(20)-，上单调增，在(02)，上单调减；于是()f x 在[22]-，上的最大值为(0)3f a ==．故32(2)2(2)6(2)337f -=⨯--⨯-+=-；32(2)226235f =⨯-⨯+=-，故()f x 在[22]-，的最小值为37-．【答案】D【题24】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题21 【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤．反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶∵(0)01g =<，故()g x 不在0x =时取到最大值，故65a >． 此时，2()36(1)60g x ax a x '=+--=有两个相异的实根，记为12x x ，（120x x <<）， ∵0a >，故()g x 在2(0)x ，（12()x x ⊆，）上单调递减，在2()x +∞，上单调递增． 又()g x 在[02]，上的最大值不在0x =时取到，故必有22x <，且()g x 在最大值在2x =时取到，即5(2)1812(1)124g a a a ==+--⇒=．【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题25】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当1a =时，2()|ln 1|f x x x =+-．令1x =，易得(1)2f =，(1)1f '=，所以切点为(12)，，切线的斜率为1，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：10x y -+=．⑵ 当3a =时，223ln 3(0)()3ln 3()x x x e f x x x x e ⎧-+<⎪=⎨+-⎪⎩≤≥．当0x e <≤时，2323()2x f x x x x-'=-=，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，]e ⎝内单调递增； 当x e ≥时，3()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[)e +∞，内单调递增；综上，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增． ⑶ ①当x e ≥时，2()4ln 4f x x x =+-，4()2f x x x'=+∴()0f x '>恒成立，()f x 在[)e +∞，上为增函数．故当x e =时，2min y e =．②当1x e <≤时，2()4ln 1f x x x =-+，42()2(f x x x x x x'=-=()f x 在[1上为减函数，在]e 上为增函数，因此当x min 242ln 22y =+=-．【答案】⑴10x y -+=；⑵()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增．⑶min 2ln 22y =-．【题26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【考点】函数的最值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2010，山东，高考22【解析】 ⑴ 因为()1ln 1af x x ax x-=-+-，所以()()222111'0a ax x af x a x x x x --+-=-+=-∈+∞，，令()21h x ax x a =-+-，()0x ∈+∞，，（ⅰ）当0a =时，()1h x x =-+，()0x ∈+∞，，所以当()01x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递； 当()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增． （ⅱ）当0a ≠时，()0f x '=， 即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-． ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>，()01x ∈，时，()0h x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<，()01x ∈，时，()0h x >，此时()'0f x <，函数()f x 单调递减； ()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵因为102a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，由⑴知，11x =，()2302x =∉，，当()01x ∈，时，()0f x '<．函数()f x 单调递减；当()12x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在单调递增，所以()f x 在()02，上的最小值为()112f =-．由于“对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]12，上的最小值不大于()f x 在()02，上的最小值12-”．又()()224g x x b b =-+-，[]12x ∈，，所以①当1b <时，因为()()min 1520g x g b ==->⎡⎤⎣⎦，此时与()*矛盾；②当[]12b ∈，时，因为()2min 40g x b =-⎡⎤⎣⎦≥，同样与()*矛盾；③当()2b ∈+∞，时，()()min 284g x g b ==-⎡⎤⎣⎦．解不等式1842b --≤，可得178b ≥．综上，b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【题27】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，西城，一模，题19 【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==， 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以()f x 在区间,⎛-∞ ⎝⎭上是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且02a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。
江苏高三导数知识点总结
江苏高三导数知识点总结导数是高等数学中的重要概念之一，它是微积分的基础，也是解决数学和物理问题的有力工具。
江苏高三学生在学习导数时，需要掌握以下知识点：一、导数的定义及其计算方法1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，表示函数在该点处的变化率。
用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的计算方法：可以利用导数的定义计算导函数，也可以运用基本导数公式计算导数。
二、导数的基本性质1. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x处可导，则f(x)在该点处连续。
2. 导数的四则运算：导数具有线性性质，即导数的和与差等于函数的和与差，导数的常数倍等于函数的常数倍。
3. 乘法法则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数。
4. 除法法则：函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
三、常见函数的导数1. 幂函数的导数：导数公式为f'(x)=n*x^(n-1)，其中n为常数。
2. 指数函数和对数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln(a)*a^x；对数函数f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(a))。
3. 三角函数和反三角函数的导数：sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)；反三角函数的导数可以通过公式推导得到。
四、高级函数的导数1. 复合函数的导数：对复合函数进行求导需要运用链式法则，即将复合函数分解为多个简单函数，然后求导并进行组合。
2. 反函数的导数：如果函数f(x)与其反函数f^(-1)(x)在某一点x处可导，则f^(-1)(x)在该点处的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
五、导数在函数图像上的应用1. 导数的几何意义：导数可以表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
数学选修2导数知识点总结
数学选修2导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它是函数在某一点上的变化率，反映了函数在这一点的斜率。
在数学选修2课程中，学生需要掌握导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等知识点。
本文将对这些知识点进行详细的总结和讲解。
一、导数的定义1.1 导数的基本概念导数在数学上的定义是函数在某一点处的变化率。
一个函数在某一点的导数可以理解为该函数在这一点附近的线性近似。
具体地，对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f在x处的导数为f'(x)。
导数的几何意义可以理解为函数在这一点处的切线斜率，也可以理解为对应点的瞬时速度。
1.2 导数的定义公式对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以通过极限的定义来求得。
导数的定义公式如下：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h表示自变量的微小变化，当h趋近于0时，就可以计算得到函数在点x处的导数f'(x)。
1.3 导数的几何解释对于函数y=f(x)，它在点x处的导数f'(x)表示了函数图像在这一点处的切线斜率。
也就是说，如果我们在点(x, f(x))处画一条切线，那么这条切线的斜率就是函数在这一点的导数。
1.4 导数的物理意义对于描述物体运动的函数，它导数的物理意义可以理解为对应点的瞬时速度。
例如，对于位置函数s(t)，它的导数s'(t)就表示了物体在时刻t的瞬时速度。
二、求导法则2.1 导数的基本运算法则对于一些基本的函数，我们可以通过一些简单的法则来求导。
这些基本运算法则包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
2.2 基本导数法则的总结常数函数f(x)=c（c为常数）的导数为f'(x)=0幂函数f(x)=x^n（n为常数）的导数为f'(x)=nx^(n-1)指数函数f(x)=a^x（a为常数且不等于1）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x三角函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)反三角函数f(x)=arcsin(x)的导数为f'(x)=1 / sqrt(1 - x^2)2.3 复合函数的求导对于复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
苏教版高二数学导数的概念
取极限， 从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
如果自变量 x在 x0处有增量 x， 那么函数y相应地有 y 增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 比 值 就 叫 做 函 数 x y f ( x)在x0到x0 x之间的平均变化率 , 即
即
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) . x x
y 我们就说函数 y f ( x)在点x0 处 可导， 并把A( 的极限) x 叫做函数 y f ( x )在点 x0 处的 导数 , 记为y x x0
y y A( 的 极 限), 如果当 x 0 时， x x
从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
回顾
2、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
a
t t0
v lim t t o
lim
t 0
f (t 0 t ) f (t 0 ) 。 t
以平均加速度代替瞬时加速度，然x , 求y
x x x , x x x x
'
y x
'
苏教版高二数学选修221.1导数概念教案
《导数的观点》教课设计教课内容解析1．导数的地位、作用导数是微积分的中心观点之一，它是一种特别的极限，反应了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单一性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起侧重要作用．导数观点是我们此后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有宽泛的应用，是展开科学研究必不行少的工具.2．本课内容解析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限观点的．教材这样办理的原由，一方面是由于极限观点高度抽象，不合适在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生经过学习导数这个特别的极限去领会极限的思想，这为此后学习极限供给了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学观点，而导数是研究函数的有力工具，所以，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．鉴于学生已经在高一年级的物理课程中学习了刹时速度，所以，先经过求物体在某一时辰的均匀速度的极限去得出刹时速度，再由此抽象出函数在某点的均匀变化率的极限就是刹时变化率的的模型，并将刹时变化率定义为导数，这是切合学生认知规律的．进行导数观点教课时还应当看到，经过若干个特别时辰的刹时速度过渡到随意时辰的刹时速度；从物体运动的均匀速度的极限是刹时速度过渡到函数的均匀变化率的极限是刹时变化率，我们能够向学生浸透从特别到一般的研究问题基本思想．教课目标1．使学生认识到：当时间间隔愈来愈小时，运动物体在某一时辰邻近的均匀速度趋势于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时辰的刹时速度；2．使学生经过运动物体刹时速度的探究，领会函数在某点邻近的均匀变化率的极限就是函数在该点的刹时变化率，并由此建构导数的观点；3．掌握利用求函数在某点的均匀变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．经过导数观点的建立，使学生领会极限思想，为未来学习极限观点累积学习经验；5．经过导数观点的教课教程，使学生领会到从特别到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教课要点经过运动物体在某一时辰的刹时速度的探究，抽象归纳出函数导数的观点．教课难点使学生领会运动物体在某一时辰的均匀速度的极限意义，由此得出函数在某点均匀变化率的极限就是函数在该点的刹时变化率，并由此得出导数的观点．教课准备1．查找实质测速中丈量刹时速度的方法；2．为学生每人准备一台Ti－nspireCAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教课流程框图教课流程设计充足尊敬学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数观点的表象，再经过表象抽象出导数观点，并经过运用导数观点解决实质问题使学生进一步领会导数的本质．教课的主要过程设计以下：复习准理解均匀速度与刹时速度备的差别与联系．领会模感觉当△t→0时，均匀速型度迫近于某个常数．提炼模从形式上达成从均匀速度型向刹时速度的过渡．教课过程设计估计时教课内容教师活动学生活动教课评论间（分）（1）发问：请说出函数从 x 1到 x 2的均匀变化率公式．（2）发问：假如用x 1与增量△x（ 表示均匀变化率的公式是如何的？（ 3）高台跳水的例子中，在时间段[0,65]里的均匀速度是零，而实质49上运动员其实不是静止的．这说明均匀1．复习准备 速度不可以正确反应他在这段时间里运动状态.设计企图： （4）发问：用一个什么样的量来让学生理解 反应物体在某一时辰的运动状态？ 均匀速度与 （5）发问：我们如何获取物体在刹时速度的 某一时辰的刹时速度？比如，要求物 5分钟 差别与联 体在2S 的刹时速度，应当怎么解决？系，感觉到 （6）我们一同来看物理中测即时均匀速度在 速度（刹时速度）的视频：时间间隔很小时能够近 似地表示瞬时速度．（ 7）发问：这里所测得的真的是刹时速度吗？（ 8）发问：如何使均匀速度更好的表示刹时速度？9）在学生回答的基础上叙述：真实的刹时速度根本没法经过仪回答以下问题后理解： （1）f(x 2)f(x 1)．x 2 x 1（2）f(x 1x)f(x 1)．x（ 3）学生在教师的叙述中思虑用什么量来反应运动员的运动状态．（（ （ （（ 4）让学生领会并明确刹时速度的作用．（ 5）学生思虑． （ （ （ （（ 6）学生观看视频并思虑． （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （（ 7）希望或指引答出“是均匀速度”．8）学生回答，得出“时间间隔越小越1）复习过程应使学生明确函数的均匀变化率表示．（2）应使学生明确均匀速度与刹时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．器测定，我们将均匀速度作为刹时速好！”度的近似值；（9）学生领会教师所为了使均匀速度更好的表示刹时讲结论．速度，应当让时间间隔尽量小．2．领会模型设计意图：让学生在信息技术平台上，经过定分量解析钟感觉平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度迫近的过程．1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t2+6.5t+10，请你用计算器达成以下表格中t0=2秒邻近的均匀速度的计算并填补好表格，察看均匀速度的变化趋势．数学实验记录单（1）x＞0时，在内，x＜0时，在内，vh(2x)h(2)vh(2)h(2x)x xXvxv0.1－0.10.01－0.010.001－0.0010.0001－0.00010.00001－0.000010.000001－0.000001你以为运动员在t0=2秒处的刹时速度为m/s．（2）发问：x、g(x)的含义各是什么？（3）发问：察看你自己的实验记录单，你能发现均匀速度有什么变化趋势吗？先展现一个同学的实验结果，并让他谈谈他的发现，再将计算器的结果投影，指引同学们一起察看．（4）将学生疏四个组，让他们分别达成1）学生在TI－nspireCAS上达成以下操作：（1）应使学生在技术平台上（2）学生操作得出以下经过多结果，达成数学实验记次实验录单（1）的填写：感觉到均匀速度在t→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．（3）让学生讲他所发现（2）应的规律．使学生从感性上获取求刹时（4）学生疏4个组再次速度的实验，分别达成本组的方法．数学实验记录单（2）的填写，并察看均匀速度的变化趋势，回答教师的发问．t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）的填写，说出他们察看的结果，并将4个结果写列在黑板上．t0=1.6 t0=1.7 t0=1.8 t0=1.9 t0=2v→－9.18 v→－10.16 v→－11.14 v→－12.12 v→－13.1在学生实验与察看的基础上指出：当t趋近于0时，均匀速度都趋近于一个确立的常数，这个常数就是刹时速度．（1）发问：你以为经过实验所得结果（常数）就（1）学生思是刹时速度吗？这个数据究竟是精准值仍是近似值？考，也能够讨应使学论．生经过（2）让学生动笔化简t0=2对应的平（2）学生化简着手计均速度的表达式．（化简结果为4.9t13.1）t0=2处对应的算，得均匀速度的表到均匀（3）指引学生从化简的表达式中发现当△t0时，达式，察看当速度在4.9t13.1－13.1．△t0时均匀t→0 3．提炼模型（4）让学生着手化简t0=1.6对应的均匀速度的表设计企图：使4.9t9.18达式．（化简结果为）学生认识到均匀速度当t0启迪学生归纳出结论：△时，均匀速度所趋时间间隔趋近的这个常数是能够获取的，它不是近似值，是一个精10向于零时的t没关，只与时辰t0相关．确值，它与变量△极限就是瞬t0=1.6、1.7、1.8、1.9（5）发问：我们获取了时速度，为给时的刹时速度，但这还不足以代表全部时辰的刹时速出导数观点t0时的刹时速度？度，能不可以用相同的方法，获取提炼出一个启迪学生化简均匀速度的表达式，并与学生一同详细的极限总结出：模型．fh(t0t)h(t0)t t9.8t04.9t 6.59.8t0 6.5(t0)．（6）教师解说：用lim ht0t ht0表示v所t0tht0tht09.8t06.5．今趋近的常数，即limtt0后把这个常数叫做在t t0处，当t趋近于0时，均匀速度表达式的时趋近变化趋势．于一个（3）学生化简常数，t0=1.6处对应而且这的均匀速度的个常数表达式，察看就是瞬当△t 0时平时速均速度表达式度．使的变化趋势．学生理解极限3）学生化简符号表随意时辰t0处示的意对应的均匀速义．度的表达式，察看当△t0时均匀速度表达式的变化趋势．4）学生依据教师的解说理速度v的极限．比方，－13.1是在t2处，当△t趋解均匀速度的h2t h2的极限．极限的意义．近于0时t（1）给出以下图示：4．形成观点（2）针对上述图示，教师在启迪后发问：设计意经过前方的学习，我们知道均匀速度就是函数h(t)的均匀变图：完化率．刹时速度就是函数h(t)的刹时变化率．同时，我们已经知成从运道：均匀速度在△t→0时的极限就是刹时速度．那么，你可否说动物体说，一般状况下，函数的均匀变化率与刹时变化率是一个什么关的刹时系？速度到5函数瞬（3）在学生理解了函数的均匀变化率与刹时变化率的关系时变化后发问：函数f(x)在x=x0处的刹时变化率如何表示？率的过教师介绍以下的的表示方法：渡，形函数f(x)在x=x0处的刹时变化率可表示为成导数lim f lim f(x0x)f(x0)．的观点x0x x0x并给出（4）教师给出导数的定义：定义．函数f(x)在x x0处的刹时变化率lim f(x0x)f(x0)lim fx0x x0x称为y f(x)在x x0处的导数，记作f(x0)或lim y f(x x)f(x) xx，即x0x f(x0)lim f(x0x)f(x0)．x0x （1）在应使学教师的生从“平启迪下均速度思虑函的极限数的平是刹时均变化速度”这率与瞬个详细时变化的模型率之间中抽象的关系．出导数的观点，（2）回并能理答教师解导数的发问．是一个极限，明（3）理确导数解函数的表示．导数的5．应用观点设计企图：让学生进一步5理解导数观点，领会导数的应用价值，熟习求导数的步骤．（1）发问：你能谈谈求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤．（2）解说例1：将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各样不一样产品，需要对原油进行冷却和加热．假如第x(h)时，原油的温度（单位:C）为:f(x)=x2-7x+15(0x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温度的刹时变化率，并说明它们的意义．重申：第2小时的刹时变化率为－3，说明在第2小时邻近，原油大概以3C/h的速度降落．．．．．（3）提出练习：计算3h时原油温度的刹时变化率，表述你所得结果的意义．观点与1）学生思导考数（的1）检查学并沟通求函数表示生方能否清楚在x0处的法导．求导数的步数的步骤．骤．（2）检查学（2）在教师讲生可否正确解完后达成教地求出函数师提出的练在某点的导习．数．（3）应使学（3）求出生能利用计f(3)后，回算结果解说导数（即刹时答f(3)的意变化率）的意义．义．（1）让学生小结并沟通．思虑本节课所（2）教师总结：学内容，能够本节课学习了导数的观点，在这个过程中我相互之间沟通6．小结作业们看到：数学使不行能的事情变为现实；自己的小结，设计企图：让导数的观点表示：当自变量的增量趋势于零回答教师提学生经过总时，函数在某点的均匀变化率的无穷地趋势于函问.结，进一步体数在该点的刹时变化率，这是特别重要的极限思1）使学生不单能从知识的角度看所学过的内容，还可以领会到寓于知识中的数学思会导数的意想．56义及极限的思想，训练学生的归纳能力．经过部署作业，稳固所学内容．求导数的步骤大概分为以下三步：第一步，求函数增量；第二步，求均匀变化率并化简；第三步，求均匀变化率的极限，即导数．A作业：B层：P10/2，3，4．C层：A层+增补．想与方法．2）分层次供给作业，是为了知足不一样层次学生的需求．（增补）已知y=x3．求：（1）y x0；（2）y x1．。
高中数学苏教版选修2-2 1.1导数的概念及几何意义 课件(12张)
课堂探究
探究二：
（1） 曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为________．
导数的概念及几何意义
学习目标
1.理解导数的概念，能利用导 数公式及导数的四则运算法则 求简单函数的导数，能求简单 的复合函数的导数。 2.理解导数的几何意义。
知识点梳理
1.导数与导函数的概念 (1)设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数(derivative)，记作__f′__(_x0_).
(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数 也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函 数称为f(x)的导函数，记作f′(x).
答案
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__f′__(_x_0)_. 3.基本初等函数的导数公式
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，
且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是______．
3.
已知曲线
y
＝
1 ex＋1
，
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1.1导数的概念
1.2导数的运算（苏教版选修2-2）
一、填空题（每小题4分，共40分）
1.与直线042=+-y x 平行的抛物线y ＝x 2
的切线方程是 . 2.函数
4532)(23+-+=x x x x f 的导数
=')(x f ，=-')3(f .
3.已知函数f (x )=x sin x +cos x ，则f ′()的值为 .
4．曲线y =+11在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是 .
5.设f (x )=－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为 .
6.一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873
74123
4-+-=
，那么速度为零的时刻是 .
7．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2－5,则t =2时,汽车的瞬时速度是 . 8.函数的导数为 .
9.对任意的x ，有,1)1(,4)(3
-=='f x x f 则此函数
解析式为 .
10.过原点作曲线y =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 二、解答题（每小题12分，共60分） 11.求下列函数的导数. （1）sin ln x x
y x
=
； （2）3
2
)3(-=x y . .
12.利用导数的定义求函数y =的导数.
13.如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线
34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．
14.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为
076=+-y x ．求函数y=f (x )的解析式.
15.已知曲线12-=x y 与3
1x y +=在0x x =处
的切线互相垂直，求0x 的值.
1.1导数的概念
1.2导数的运算（苏教版选修2-2）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
二、解答题
11.
12.
13.
14.
15.
1.1导数的概念
1.2导数的运算（苏教版选修2-2）
参考答案
一、填空题
1.12-=x y 解析：设切点坐标为
()20
,x x ，则切线斜率为0
2x ，由0
2x ＝2得0
x ＝1，故切点坐标为（1，
1），切线斜率为2，故切线方程为y －1=2(x －1)，即12-=x y . 2.2665x x +-,31
3.0解析：∵f ′(x )=sin x +x cos x －sin x =x cos x ，∴f ′()＝0.
4.9解析：∵y =+11,∴y ′=3，∴y ′=3，
∴曲线y =+11在点P （1,12）处的切线方程为y -12=3（x -1）.令x =0，得y =9. 5.{xx >2}解析：由题意知x >0，且f ′(x )=2x －2－，
即f ′(x )=＞0，∴－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2.
6.1，2，4秒末解析：由题意，得v=+14t -8,令+14t -8=0，解得t =1或t =2或t =4.
7.4解析：汽车在t =2时的瞬时速度为s (t )在t =2处的导数,将t =2代入s ′(t )=6-10t 即可. 8.解析：
9.4
()2f x x =-解析：由34)(x x f ='，可设f (x )=+c ,又f (1)=-1,所以f (1)=1+c =-1.解得c =-2，所以
4()2f x x =-.
10.(1,e)e 解析：设切点坐标为(,). ∵y ′=，∴切线的斜率k =.
又切线过原点，∴k ==，即=，可得＝1， ∴切点的坐标为(1,e)，切线的斜率为e.
二、解答题
11.解：(1)(2)错误！未指定书签。
226(3)y x x '=-. 12.解：∵Δy =－=＝， ∴=－，
∴－=－，即y ′=－.
13.解：Θ切线与直线34+=x y 平行，∴斜率为4.
又切线在点0x 处的斜率为0
32
0(10)31x x x x y x x x =='
'
=+-=+，
∴4132
0=+x ,∴10±=x .
∴001,8,x y =⎧⎨
=-⎩或001,
12.
x y =-⎧⎨=-⎩
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）.
∴切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y ，即124-=x y 或84-=x y . 14.解：由f (x )的图象经过P （0，2），知d =2，
∴,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M (-1,f (-1))处的切线方程是076=+-y x ，知
.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即
{{
326,23,
121,0,3.
b c b c b c b c b c -+=-=-∴
-+-+=-===-即
解得 故所求的解析式是.233)(2
3
+--=x x x x f 15.解：0
22
10202,2;3,3,x x x x y x k y x y x k y x ==''
''
======.
312001,61,k k x x =-∴=-=Q。