名师指导：圆和旋转压轴题解题技巧详细解析

如何短时间突破期中数学压轴题

还有不到一个月的时间就要进行期中考试了， 试的范围相信学生们都已经非常清楚。 个人觉得现在大

部分学生的困难在于旋转、 学习方法，希望能够帮到大家。 一、旋转：

纵观08年一一13年各区的期中数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转 中最常见的几何模型和一些解题技巧。

旋转模型：

从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图:

期中考试的重要性不必多说。各区期中考 圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和 1三垂直全等模型 三

垂直全等构造方法: B

C

A

E

D

C

(1) BE +DF = EF ; (2) S AABE +S A ADF =S A AEF ； (3) AH=AB ; ⑷ C A ECF = 2AB ;

2 2 2

⑸ BM +DN =MN ；

⑹△ DNFsA ANM A EFBEM ;相似比为 1:

(由△ AMN 与^ AEF 的高之比 AO :

3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180 °

(2)等腰直角三角形(旋转90 °)

(4)正方形旋转(旋转90 °

H I

4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形

/ EAF=45°, AE 、AF 分别与对角线 BD 交于点 M 、 ABCD 中, 已知

E 、

F 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足 N.求证：

B

A

60

等边三角形旋转(旋转 E

A

B

B

C

F D

F

F

AH=AO: AB=1: 72 而得到);

(7)SA AMN = S 四边形MNFE ;

(8)△AOM s\ AD F , △ AON s\ ABE;

(9) / AEN 为等腰直角三角形，/ AEN=45 °.(1. / EAF =45 2.AE: AN=1 : 72 )

解题技巧：

1.遇中点，旋180°，构造中心对称

例：如图，在等腰△ ABC中，AB =AC，Z ABC =ot，在四边形，M为CE 的中点，连接AM，DM .

在图中画出△ DEM关于点M成中心对称的图形；求证：

AM丄DM ;

当a = __________ 时，AM =DM . BDEC 中，DB = DE ,

Z BDE =2a

⑴

⑵

⑶

［解析］(1)

⑵如图所示；

在⑴的基础上，连接AD , AF

由⑴中的中心对称可知，△ DEM FCM , DE =FC =BD , DM =FM，乙DEM =N FCM ,

••• ZABD=N ABC +N CBD =a +360 ° _N BDE -Z DEM -N BCE =360 j—N DEM -N BCE , N ACF =360。—Z ACE-/FCM =360—N BCE-N FCM , A ••• N ABD =N ACF ,

△ A BD◎△ ACF AD =AF ,

•/ DM =FM , • AM 丄DM .

a =45°.

C E

B

E

2.遇90°。旋90°,造垂直;

例：请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt 从BC 中，Z BAC =90。，AB =AC ，点D 、E 分别为线段 BC 上 两动点，若 N DAE =45。.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把 M EC 绕点A 顺时针旋转90®，得到 M BE -，连结ED , 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式， 并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2,其它条件 不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

⑴ DE 2

=BD 2

+EC 2

证明：根据 M EC 绕点A 顺时针旋转90。得到 M BE -

•••M EC 也 M BE ’

••• BE' = EC , AE 丄 AE ，厶C =N ABE ‘，厶EAC =N EAB 在RMABC 中 ••• AB =AC

••• N ABC =N ACB =45 ° ••• N ABC +N ABE '=90 4 即 N EBD =90。

••• EB 2 +BD 2

-ED 2

又••• N DAE =45°

••• N BAD +N EAC =45 ° :.乙 EAB +N BAD =45。 即 N EAD =45°

• A AED 也从ED

••• DE =DE'

2 2 2

•- DE =BD +EC

⑵ 关系式DE 2 =BD 2 +EC 2

仍然成立

证明：将 M DB 沿直线AD 对折，得 M FD ，连FE

••• A AFD 也 MBD

••• AF =AB , FD =DB N FAD =N BAD , N AFD =N ABD 又••• AB =AC ,••• AF =AC

••• N FAE =N FAD +N DAE =N FAD +45°

［解析］

图

C