2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数z=-1+i（i是虚数单位），则z的模为（）A. 0B. 1C.D. 22.已知全集U=R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A. {-1，0，1}B. {-1，0，1，2}C. {x|x＜2}D. {x|-1≤x＜2}3.命题“∃α∈R，sinα=0”的否定是（）A. ∃α∈R，sinα≠0B. ∀α∈R，sinα≠0C. ∀α∈R，sinα＜0D. ∀α∈R，sinα＞04.下列函数中，既是奇函数又在（-∞，+∞）上单调递增的是（）A. y=sin xB. y=|x|C. y=-x3D. y=ln（+x）5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，则数列{a n}的公比q=（）A. -1B. 1C. 士1D. 26.过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是（）A. 14B. 16C. 18D. 207.一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为（）A. B. C. D.8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等f（2x-1）＞f（x-2）的解集为（）A. （-1，1）B. （-∞，-1）∪（1，+∞）C. （1，+∞）D. （0，1）11.已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC 的斜率为（）A. -B.C. -3D. 312.函数f（x）=e x-e-x-a sin x（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，2]B. （0，1]C. （0，e]D. （0，π）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sin B•sin C，则∠A=______．14.若4m=9n=6，则+=______．15.已知各项都为正数的数列,其前n项和为,若,则______．16.A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，C为此圆上一动点，若（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知函数f（x）=+（ω＞0），x1，x2是函数f（x）的零点，且|x2-x1|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）=，f（）=-，求cos（α-β）的值．18.在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示．（Ⅰ）估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1；（Ⅱ）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有合格优秀合计男生16女生4合计40P（x2≥k0）0.05000100.001k0 3.841 6.63510.828x2=19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB=2，D为BB1的中点．（Ⅰ）若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45°，求点C到平面EDC1的距离．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．21.已知x=1是函数f（x）=ax的极值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0．（参考数据：ln2≈0.69）22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x+1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞2x的解集；（Ⅱ）当不等式f（x）＞1的解集为R时，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=-1+i，∴|z|=．故选：C．由已知直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：∁U B={x|x＜2}；∴A∩（∁U B）={-1，0，1}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：特称命题的否定是全称命题，∴∃α∈R，sinα=0的否定为：∀α∈R，sinα≠0，故选：B．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sin x，为正弦函数，在（-∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于B，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于C，y=-x3，是奇函数但在（-∞，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y=ln x（+x），既是奇函数又在（-∞，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列{a n}中，S4=2S2，则（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进而可得：q2=1，解可得q=±1，故选：C．根据题意，分析可得（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进而可得q2=1，解可得q的值，即可得答案．本题考查等比数列的前n项的性质以及应用，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．由题意画出图形，然后利用椭圆的对称性把△PFQ的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．【解答】解：如图，由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=2a由椭圆的对称性知|QF|=|PF1|，∴有|PF|+|QF|=2a，而|PQ|的最小值是2b，∵+=1，∴a=5，b=4，∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b=2（a+b）=18故选：C．7.答案：A解析：解：一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出2个球，基本事件总数n=，至少有一个红球包含的基本事件个数m==9，∴至少有一个红球的概率为p=．故选：A．一次从中摸出2个球，基本事件总数n=，至少有一个红球包含的基本事件个数m==9，由此能求出至少有一个红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为3，高为．圆锥的体积为：π×9×3=9π．故选：B．9.答案：C解析：解：根据题意，该框图的含义是当x≤2时，得到函数y=x2-1；当x＞2时，得到函数y=log2x．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2-1=3，解之得x=±2②当x＞2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，-2或8，共3个数．故选：C．根据题中程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解关于x的方程f（x）=3，即可得到可输入的实数x值的个数．本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f（2x-1）＞f（x-2）⇒f（|2x-1|）＞f（|x-2|）⇒|2x-1|＞|x-2|，变形可得（2x-1）2＞（x-2）2，即x2＞1，解可得：x＜-1或x＞1，即不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）故选：B．根据题意，分析可得f（2x-1）＞f（x-2）⇒f（|2x-1|）＞f（|x-2|）⇒|2x-1|＞|x-2|，变形解可得不等式的解集，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．11.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．设B（x0，），表示出A点坐标，代入渐近线方程得出x0=，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得出OC的斜率．【解答】解：F（-c，0），设B（x0，），则A（，），把A点坐标代入方程y=-x可得=-•，整理可得x0=，∴A（-，），B（，），∴C（，），故k OC=，又直线BF的斜率为=tan30°=，∴=，∴k OC=3．故选D．12.答案：A解析：解：由题意知：f（0）=0，∵函数f（x）=e x-e-x-a sin x（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，∴函数f（x）只有一个零点0．f（-x）=e-x-e x+a sin x=-f（x），∴函数f（x）为奇函数．∴只考虑x＞0时，函数f（x）在x∈（0，+∞）上无零点即可．x＞0时，有x＞sin x．f（x）=e x-e-x-a sin x＞e x-e-x-ax=g（x）．x∈（0，+∞），g（0）=0．g′（x）=e x-e-x+a，在x∈（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＞g′（0）=a＞0，∴g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∴g（x）＞g（0）=0．∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上无零点，函数f（x）在x∈（0，+∞）上无零点．f′（x）=e x+e-x-a cos x=g（x），f′（0）=2-a．g′（x）=e x-e-x+a sin x，在x∈（0，π）上单调递增，∴g′（x）＞g′（0）=0，∴g（x）在x∈（0，π）上单调递增，∴当2-a≥0，即0＜a≤2时，f（x）单调递增，故选：A．根据函数的奇偶性，判断出函数f（x）只有一个零点f（0），利用导数函数f（x）只有一个零点0即可．本题考查导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题．13.答案：解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cos A，将化简后的式子整理后代入求出cos A 的值值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由正弦定理化简sin2A=sin2B+sin2C-sin B•sin C，得：a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cos A===，又∠A为三角形的内角，则∠A=．故答案为.14.答案：2解析：解：由4m=9n=6，得m=log46，n=log96，即4，=log69，所以+=log64+log69=log636=2，故答案为：2．由指数、对数的运算得：m=log46，n=log96，即4，=log69，所以+=log64+log69=log636=2，得解．本题考查了指数、对数的运算，属中档题．15.答案：2n-1解析：【分析】本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列{a n}为单调递增的等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．n=1时，4a1=（a1+1）2，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，推导出（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，从而a n-a n-1=2，进而数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．【解答】解：∵各项都为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，4S n=（a n+1）2=，①∴n=1时，4a1=（a1+1）2=a12+2a1+1=0，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，②①-②，得：4a n=+2（a n-a n-1），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列各项都为正数，∴a n-a n-1=2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1，且验证n=1时也成立，故答案为：2n-1．16.答案：[-，]解析：解：根据题意，A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，则|AB|=2×=1，则∠AOB=60°，则有•=1×1×cos60°=，若且C为该圆上一动点，则2=（λ+μ）2=λ22+μ22+2λμ•=λ2+μ2+λμ=1，变形可得：（λ+μ）2-2λμ+λμ=1，即（λ+μ）2-λμ=1，又由λμ≤，变形可得（λ+μ）2≤，解可得-≤λ+μ≤，即λ+μ的取值范围为[-，]；故答案为：[-，]．根据题意，由直线与圆的位置关系求出|AB|的长，进而可得∠AOB=60°，则有•=1×1×cos60°=，又由数量积的计算公式可得2=（λ+μ）2=λ22+μ22+2λμ•=λ2+μ2+λμ=1，变形可得（λ+μ）2-λμ=1，又由基本不等式的性质可得λμ≤，变形可得（λ+μ）2≤，解可得λ+μ的取值范围，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系以及基本不等式的性质，属于综合题．17.答案：解：（Ⅰ）f（x）=+=sin2ωx-cos2ωx=2in（2ωx-），∵|x2-x1|的最小值为．∴=，即T==π，得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x-），∴f（）=sin（α+-）=sin（α+）=cosα=，f（）=sin（β--）=sin（β-π）=-sinβ=-，则sinβ=，又α，β∈（0，），∴sinα=，cosβ=，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．解析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式整理出f（x）=sin（2ωx-），根据周期求得ω；（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利用同角三角函数关系求出sinα，cosβ；代入两角和差余弦公式求得结果．本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型．18.答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图易知：0.01×10+0.015×10+0.02×10=0.45；即分数在[40，70）的频率为：0.45，所以0.03×（x0-70）=0.5-0.45，解得：x0=≈71.7；∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7；合格优秀合计男生16 6 22女生14 4 18合计 30 10 40X2==≈0.135＜3.841；所以没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关．解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，找到矩形面积和为0.5时横坐标的取值即为中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图计算频数可补足列联表，根据公式计算出X2，对比临界值表求得结果．本题考查利用频率分布直方图估计中位数、独立性检验问题，属于常规题型．19.答案：证明：（Ⅰ）取AB中点M，连接CM，MD，M，D为AB，BB1中点，则有MD∥AB1，∵AC=BC，∴CM⊥AB，又∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB1A1，∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，∴CM⊥平面ABB1A1，又∵DE⊂平面ABB1A1，∴CM⊥DE，∵DE⊥CD，CD∩MD=D，CD⊂平面CMD，CM⊂平面CMD，∴DE⊥平面CMD，又∵MD⊂平面CMD，∴DE⊥MD，∵MD∥AB1，∴DE⊥AB1，连接A1B，设A1B∩AB1=O，∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，∵DE⊂平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴DE∥A1B，∵D为BB1的中点，∴E为OB1的中点，∴=．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠CDM=45°，∵AB=2，∴AB1=2，∴DM=CM=，由题意得C1D=CD=2，DE=，C1E=，由余弦定理可得：cos，∴sin，∴，连接CE，AD，在三棱锥C-C1ED及三棱锥A-CC1D中，∵===，点C到平面EDC1的距离为h，又，解得h=，即点C到平面EDC1的距离为．解析：（Ⅰ）取AB中点M，可知MD∥AB1，利用面面垂直可证得CM⊥平面ABB1A1，进而得到CM⊥DE，根据线面垂直性质得DE⊥MD，从而可证得DE∥A1B；从而利用平行线分线段成比例求得结果．（Ⅱ）利用=，根据异面直线成角和分别求解出所需线段长和，从而构造方程求解出点到面的距离．本题考查面面垂直、线面垂直的判定定理和性质定理的应用、平行关系的应用、点到面的距离的求解．立体几何问题中点到面的距离常利用体积桥的方式将所求距离变成几何体的高，构造方程，通过解方程求得结果．20.答案：解：（Ⅰ）由题意知，抛物线焦点为（0，），准线方程为y=-，焦点到准线的距离为2，即p=2；（Ⅱ）抛物线的方程为x2=4y，即y=x2，所以y′=x，设A（x1，y1），B（x2，y2），l1：y-=（x-x1），l2：y-=（x-x2），由于l1⊥l2，所以•=-1，即x1x2=-4，设直线l方程为y=kx+m，与抛物线方程联立，得x2-4kx-4m=0，△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m=-4，所以m=1，即l：y=kx+1，联立方程得，即M（2k，-1），M点到直线l的距离d==，|AB|=•=4（1+k2），所以S=•4（1+k2）•=4（1+k2）≥4．当k=0时，△MAB面积取得最小值4．解析：（Ⅰ）根据抛物线的性质即可得到结果；（Ⅱ）由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=-4，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用k表示出M，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值．本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值．21.答案：解：（Ⅰ）因为f'(x）=2ax--ln x，且x=1是极值点，所以得f'(1）=0，即得f'(1）=2a-=0，a=，此时f'(x）=--ln x，设g（x）=f'(x），则g'(x）==则当0＜x＜2时，g'(x）＜0，g（x）为减函数又g（1）=0，g（2）=-ln2＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，f（x）为增函数，当1＜x＜2时，g（x）＜0，f（x）为减函数，即当x=1时，f（x）取得极大值，符合题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜x＜2时，不存在极小值点，当x＞2时，g'(x）＞0，g（x）为增函数，且g（4）=-2ln2＞0，g（2）＜0，所以存在x0∈（2，4），g（x0）=0，结合（Ⅰ）可知当1＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以函数f（x）存在唯一的极小值点x0，又g（3）=1-ln3＜0，所以3＜x0＜4，且满足--ln x0=0．所以f（x0）=+-x0ln x0=-+，由二次函数图象可知：f（4）＜f（x0）＜f（3），又f（3）=-+3=，f（4）=-+4=-4+4=0，∴f（x0）∈（0，），即0成立．解析：本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点所处的范围，从而可将证明问题转化为在某一区间内二次函数值域问题的求解．（Ⅰ）根据f'(1）=0求得a；通过导数验证函数的单调性，可知a=时x=1是函数f(x)的极值点，满足题意；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知极小值点位于（2，+∞），此时g（x）的零点x0∈（3，4），且此时x0为极小值点，代入f（x）得到关于x0的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论．22.答案：解：（Ⅰ）由题可知，C1的直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，设曲线C2上任意一点（x，y）关于直线y=x对称点为（x0，y0），∴，又∵，即x2+y2-2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标方程为：θ=α，直线l2的极坐标方程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1=2cosα，，解得．∴==．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）=1，S△AOB取得最大值为：．解析：（Ⅰ）将C1化为直角坐标方程，根据对称关系用C2上的点表示出C1上点的坐标，代入C1方程得到C2的直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）利用l1和l2的极坐标方程与C1，C2的极坐标方程，把A，B坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值．本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题．求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解．23.答案：解：（Ⅰ）a=-1时，f（x）=当x＜-1时，f（x）=-2x＞2x，即x＜0，此时x＜-1，当-1≤x≤1时，f（x）=2＞2x，得x＜1，∴-1≤x＜1，当x＞1时，f（x）=2x＞2x，无解，综上，f（x）＞2x的解集为（-∞，1）．（Ⅱ）f（x）=|x+1|+|x+a|≥|x+a-x-1|=|a-1|，即f（x）的最小值为|a-1|，要使f（x）＞1的解集为R，∴|a-1|＞1恒成立，即a-1＞1或a-1＜-1，得a＞2或a＜0，即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．解析：（Ⅰ）根据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；（Ⅱ）由绝对值三角不等式得到f（x）的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果．本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．。