高考真题三角函数的综合应用

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三角函数高考题及练习题(含答案)

三角函数高考题及练习题（含答案）之司秆蘸矗创作1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx＋φ)的图象及性质．2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．1. 函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π 奇解析：y ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________．答案：3解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________．答案：π4解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝kπ＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π4.4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．答案：34解析：由0≤x≤π3，得0≤ωx≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.题型二三角函数定义及应用问题例1设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x≤1，y≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，∴f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π3，从而求出 f(θ)＝2)．(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6，∴当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π3，f (θ)max ＝2.(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求：(1) tan (α＋β)的值； (2) α＋2β的值．解：由题意得cos α＝210，cos β＝255，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos2α＝7210，sin β＝1－cos2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1) tan (α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，3π2，所以α＋2β＝3π4.题型二三角函数的图象与解析式问题例2函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．(1) 求f(0)的值；(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的取值范围．解：(1)由题图可知A ＝2，∵T 4＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2， ∴φ＝2k π＋π3(k∈Z )，∴ f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2kπ＋π3＝62.(2) φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.因为0≤x≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，而且当x ＝13时，f(x)max ＝2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1) 因为f(x)＝A2＋B2sin (ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.又当x ＝13时，f(x)max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k∈Z )，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx＋2kπ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫πx＋π6(k∈Z )．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫πx＋π6. (2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k∈Z )，解得x ＝k ＋13(k∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512.又k∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x ＝163.题型三三角函数的性质与图象的移动问题例3把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x 的图象沿x轴向左平移m 个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x ＝17π8对称．(1) 求m 的最小值；(2) 证明：当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8，－15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3) 设x 1，x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，求x 1＋x 2的值．(1) 解：f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＋3·1＋cos2x 2＝cos2x －sin2x ＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋2. 因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，得到g(x)＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2（x ＋m ）＋π4＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x ＝17π8对称，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫17π8＋m ＋π4＝k π，即m ＝（2k －9）4π(k∈Z )．因为m>0，所以m 的最小值为π4.(2) 证明：因为x∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8，－15π8，所以－4π<2x ＋π4<－7π2，所以f(x)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－17π8，－15π8上是减函数．所以当x 1、x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8，－15π8，且x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，从而经过任意两点(x 1，f(x 1))和(x 2，f(x 2))的直线的斜率k ＝f （x1）－f （x2）x1－x2<0.(3) 解：令f(x)＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＝－22.因为x∈(0，π)，所以2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，9π4.所以2x ＋π4＝3π4或2x ＋π4＝5π4，即x ＝π4或x ＝π2.因为x 1、x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，所以x 1＋x 2＝π4＋π2＝3π4已知函数f(x)＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1) 若y ＝f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2) 令ω＝2，将函数y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，区间[a ，b](a ，b ∈R 且a<b)满足：y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b －a 的最小值．解：(1) 因为ω>0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π20<ω≤34.(2) f(x)＝2sin2x ，g(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1，g(x)＝0sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝－12x ＝k π－π3或x ＝k π－712π，k ∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g(x)在[a ，b]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1) f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32sin （ωx＋φ）－12cos （ωx＋φ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－ωx＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx＋φ－π6，即－sin ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＝sin ωxcos (φ－π6)＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6，整理得sin ωxcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＝0.因为ω＞0，且x∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＝0.又0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x ，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8＝2cos π4＝2.(2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的图象，所以g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k∈Z )时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z )．题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0对称，且t∈(0，π)，求t 的值；(3) 当x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，故f(x)的最小正周期为π. (2) h(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k∈Z )，又t∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3) 当x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3，∴ f (x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3，∴ 2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f(x)取得最大值3；当x ＝712π时，f(x)取得最小值－3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π6时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1) 由题意，A ＝3，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又－π<φ<π，∴φ＝π3，∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (2) 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . ∴函数f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12＋kπ，7π12＋kπ，k ∈Z. (3) 由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π6上有两个根．∵ x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π6，∴ 2x ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3. ∴m －16∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1，∴ m ∈[1－33，7)． 1. (2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a，则实数a 的取值范围是________．答案：a≥2解析：f(x)＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π6，|f(x)|≤2，所以a≥2.2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值是________．答案：－223. (2013·全国卷)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则|φ|＝________．答案：5π64. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f(x)的最小正周期为________．答案：π解析：由f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6知，函数f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，0，函数f(x)的对称轴为直线x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2π3＝7π12，设函数f(x)的最小正周期为T ，所以12T ≥π2－π6，即T≥2π3，所以7π12－π3＝T 4，解得T ＝π.5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12.(1) 若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(解法1)(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋22－12＝12. (2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k ∈Z .(解法2)f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4. (1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4.从而f(α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k ∈Z . 6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；(2) 若α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2xsin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2) 因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.(本题模拟高考评分尺度，满分14分)设a>0，函数f(x)＝asinxcosx －sinx －cosx ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2的最大值为G(A)．(1) 设t ＝sinx ＋cosx ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，求t 的取值范围，并把f(x)暗示为t 的函数m(t)；(2) 求G(A)．解：(1) t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4. ∵ x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴ x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4， ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≤1， ∴ 1≤t ≤2，即t 的取值范围为[1，2]．(3分)(另解：∵ x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴ t ＝sinx ＋cosx ＝1＋sin2x.由2x∈[0，π]得0≤sin2x ≤1，∴ 1≤t ≤2)∵ t ＝sinx ＋cosx ，∴ sinxcosx ＝t2－12，(5分)∴ m(t)＝a·t2－12－t ＝12at 2－t －12a ，t ∈[1，2]，a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：①当1a <1＋22，即a>2(2－1)时，G(A)＝m(2)＝12a －2； (10分)②当1a ≥1＋22，即0<a≤2(2－1)时，G(A)＝m(1)＝－2.(13分)∴ G(A)＝⎩⎪⎨⎪⎧12a －2，a>2（2－1），－2，0<a≤2（2－1）.(14分)1. 若π4＜x ＜π2，则函数y ＝tan2xtan 3x 的最大值为________．答案：－8解析：令tanx ＝t∈(1，＋∞)，y ＝2t41－t2，y ′(t)＝－4t3（t ＋2）（t －2）（1－t2）2，得t ＝2时y 取最大值－8.2. 已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x ，求：(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3的值；(2) f(x)的最大值和最小值．解：(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cosx ∈[－1，1]，所以当cosx ＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx ＝0时，f(x)取最小值－1.3. 已知A 为△ABC 的内角，求y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋A 的取值范围．解： y ＝cos 2A ＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋A ＝1＋cos2A2＋1＋cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋A 2＝1＋cos2A 2＋12⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 4π3cos2A －sin 4π3sin2A ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A －π3. ∵ A 为三角形内角，∴ 0＜A ＜π，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A －π3≤1， ∴ y ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋A 的取值范围是[12，32]． 4. 设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x 2＋4t 3＋t 2－3t ＋4，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1) 求g(t)的表达式；(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．解：(1) f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x 2＋4t 3＋t 2－3t ＋4＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3＝(sinx －t)2＋4t 3－3t ＋3.由于(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t 3－3t ＋3.(2) g′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)，－1＜t ＜1.由此可见，g(t)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－2和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，1上单调增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调减，极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝2，极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝4.。

数学一轮复习专练23大题专练二三角函数的综合运用含解析文

专练23 高考大题专练(二）三角函数的综合运用1．［2020·全国卷Ⅱ］△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c,已知cos2错误!＋cos A＝错误!.（1）求A；(2）若b－c＝错误!a,证明：△ABC是直角三角形．2．［2019·全国卷Ⅲ］△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin错误!＝b sin A。

(1）求B；（2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1,求△ABC面积的取值范围．3．[2019·天津卷]在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c。

已知b＋c＝2a,3c sin B＝4a sin C。

（1）求cos B的值；(2)求sin错误!的值．4．[2020·山东青岛一中高三测试]已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2错误!sin x cos x(x∈R）．(1）求f错误!的值;(2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．5．［2020·全国卷Ⅰ］△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝错误!c，b＝2错误!，求△ABC的面积；（2)若sin A＋错误!sin C＝错误!，求C。

专练23高考大题专练(二)三角函数的综合运用1。

解析：（1)由已知得sin2A＋cos A＝错误!，即cos2A－cos A ＋错误!＝0.所以错误!2＝0，cos A＝错误!.由于0<A<π，故A＝错误!。

(2）由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝错误!sin A。

由（1)知B＋C＝错误!,所以sin B－sin错误!＝错误!sin错误!。

即错误!sin B－错误!cos B＝错误!，sin错误!＝错误!.由于0<B<错误!，故B＝错误!.从而△ABC是直角三角形．2．解析：本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况；考查学生逻辑推理能力和运算求解能力；考查了逻辑推理和数学运算的核心素养．（1）由题设及正弦定理得sin A sin错误!＝sin B sin A.因为sin A≠0,所以sin错误!＝sin B。

高考数学中的三角函数的全面应用

高考数学中的三角函数的全面应用高考数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

作为初中数学的一个重要知识点，在高中数学中得到了更深的发展和应用。

三角函数的应用不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以帮助我们理解数学中的抽象概念和思维方式。

下面，我们就从三个方面来探讨高考数学中三角函数的全面应用。

一、平面直角坐标系中的三角函数应用在平面直角坐标系中，三角函数有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以运用三角函数来解决问题，比如两个物体之间的相对运动问题。

在数学学科中，三角函数的应用也十分普遍，比如正弦函数，它是通过一个锐角直角三角形中的对边和斜边的比值来定义的。

这个定义可以用来解决各种实际问题，比如在设计工程中测量一根电杆的高度等问题。

另一个比较经典的问题是，如何计算三角形的面积。

我们知道，正弦或余弦可以用于计算三角形的面积，而正切则可以用于计算角度的大小。

这些知识点不仅可以帮助我们解决具体的问题，还可以加深我们对于数学的理解和抽象思维能力。

二、空间直角坐标系中的三角函数应用在空间直角坐标系中，三角函数同样有着广泛的应用。

比如，正切函数可以用于计算两个向量之间的夹角，就像平面直角坐标系中的相似问题一样。

我们还可以通过角度大小来计算三角形在空间中的投影面积，这些都是比较高级的知识点。

另外，我们可以利用三角函数在空间中描述三维物体的位置和运动。

比如，在计算机图形学中，我们需要用到三维物体的位置和运动，而这些都可以由三角函数计算得出。

这些知识点对于有志于从事计算机图形学和游戏制作等领域的学生来说，尤为重要。

三、三角函数的微积分应用在微积分中，三角函数也有着广泛的应用。

比如，我们可以利用三角函数进行极限计算，计算曲线的切线和弧长等等。

在微积分中，极限是一个非常重要的概念，我们可以通过三角函数的性质来更好地理解和应用极限。

除此之外，三角函数的导数和积分也有着重要的应用。

比如，我们可以利用三角函数的导数来计算极限，通过积分来求解曲线下面的面积，求解速度和加速度等等。

三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习

(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2，则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中，由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13，可得 a＝ 13，又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C

高考数学专题讲座第7讲三角函数的综合应用

高考数学专题讲座第7讲三角函数的综合应用一、考纲要求1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角；4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．二、基础过关 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是（）．A ．21 B ．2- C ．34 D ．21或2- 5．给出四个命题：（1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形．以上正确命题的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．8．下列命题正确的有．（1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）；（2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限；（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；（4）2sin θ=53，2cos θ=54-，则θ在第三、四象限．三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2．（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．四、热身演练 1．已知，那么下列命题成立的是（）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（）．3．函数的反函数是（）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号）． ①函数ｙ＝-sin(kπ+x)(k∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点(π/12，0)对称；③函数y =sin(2x+π/3)+sin(2x -π/3)的最小正周期是π；④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．9．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β．（1）求α的取值范围；（2）求tan(α+β)的值．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．三角函数的综合应用一、考纲要求：1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 3．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角．4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．二、基础过关： 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ A ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ B ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ D ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是（ B ）．A ．21B ．2-C ．34D ．21或2- 5．给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是（ B ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ C ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．28．下列命题正确的有．(2)（1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）；（2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限；（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；βφαDCBA1.2 m2 m 1 m （4）2sinθ=53，2cosθ=54-，则θ在第三、四象限．三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-xm x x m m sin 443sin sin 212恒成立对R x ∈，又 21)21(sin 43sin 2sin 2---=-+-x x x ，∴3sin 4≥+x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m m m ， ∴21-=m ，或323≤<m例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）解：如图，8.02.12=-=CD ，设x AD =，则x x AD BD 8.18.01tan =+==α， xAD CD 8.1tan ==β， βαβαβαφtan tan 1tan tan )tan(tan +-=-= ，∴4.2144.12144.118.08.118.08.1tan =⋅≤+=⋅+-=xx x x x x x x φ当xx 44.1=，即2.1=x 时， φtan 达到最大值4.21，φ是锐角，φtan 最大时，φ也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为2.1=AD 米．例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2，（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．解：（1）设b →=（x,y ），则2x+2y=－2，且a →·b →=|b →||c →|cos 43π=22y x +×22×(－22)=－2，解得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==1y x , ∴b →=(－1,0) 或b →=(0,－1)．（2）∵三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴b=3π，∵b →⊥t →，∴b →=(0,－1)，∴b →+c →=( cosA,22cos 2C －1)=(cosA,cosC)，∴|b →+c →|2=C A 22cos cos +=1+21(cos2A+cos2C)=1+cos(A+C)cos(A －C)=1－21cos(A －C)，∴－32π<A －C<32π ,∴－21<cos(A －C)≤1,22≤|b →+c →|<25．例4 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2CA -， f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+)．（1）试求函数f (x )的解析式及其定义域；（2）判断其单调性，并加以证明；（3）求这个函数的值域．解：（1）∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(C A C A CA C A C A C A x f -++-+=⋅+⋅= 342122122-=-+-=x xx x ， ∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]．又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1)．（2）设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0． 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0．即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数．（3）由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2．故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)．四、热身演练： 1．已知，那么下列命题成立的是（ B ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ D ）．AB C D3．函数的反函数是（ A ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ C ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ D ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ A ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号）．①②③④ ①函数ｙ＝-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点 (π/12，0)对称；③函数y=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)的最小正周期是π； ④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．4389．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， RR h R k I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β．（1）求α的取值范围；（2）求tan(α+β)的值．解：（1）∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π),∴方程化为sin(x+3π)=-2a ．∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解，∴sin(x+3π)≠sin 3π=23．又sin(x+3π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解)，∴|-2a |<1，且-2a≠23，即|a|<2，且a ≠-3.，∴a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2)．（2） ∵α、 β是方程的相异解,∴sin α+3cos α+a=0 ① sin β+3cos β+a=0 ②①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0， ∴ 2sin 2βα-cos2βα+-23sin 2βα+，sin2βα-=0，又sin2βα+≠0，∴tan2βα+=33， ∴tan(α+β)=2tan 22tan22βαβα+-+=3．11．求20sin 6420cos 120sin 3222+-的值．解：原式=20cos 20sin 20sin 20cos 32222-+64sin 220°=40sin 41)20sin 20cos 3)(20sin 20cos 3(2+-+64sin 220°=40sin 41)2030cos()2030cos(42-++64sin 220°=40sin 80sin 40sin 162+64sin 220°=32cos40°+64(240cos 1-)=32．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．解：要证α、β、γ成等差数列，∵α、β、γ是锐角，只要证：tan β=tan 2γα+．∵tan 2γα+=2tan2tan12tan2tanγαγα-+=2tan2tan12tan 2tan 33γγγγ-+=)2tan 1)(2tan 1()2tan 1(2tan222γγγγ+-+=212tan 12tan22γγ-=21tan γ= tan β．∴α、β、γ成等差数列．。

三角函数部分高考题(带答案)

22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．〔Ⅰ〕求tan cot A B 的值；〔Ⅱ〕求tan()A B -的最大值．解析：〔Ⅰ〕在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，那么tan cot 4A B =；〔Ⅱ〕由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．〔Ⅰ〕求sin A 的值；〔Ⅱ〕设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．解：〔Ⅰ〕由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··········· 5分〔Ⅱ〕由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由〔Ⅰ〕知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ···························· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ························ 10分24.函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔0ω>〕的最小正周期为π．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：〔Ⅰ〕1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

高考三角函数题型归纳总结

高考三角函数题型归纳总结
高考解三角函数题型归纳总结
一、函数值的计算
1.由某个函数的定义求指定的函数值
2.由表达式求某个函数的值
3.由一切三角函数的基本等式求某个函数的值
二、函数的延长
1.函数的延长：对某个函数的符号或值作一定重新定义，以推广原函数的定义域，使原值可以成为新函数的值
2.求函数值时把原函数的值替换新定义的函数的值
三、函数的平移
1.对某个函数作一定的平移变换，使其实轴、值轴都做出一定的平移
2.函数按照平移变换规则，将原函数的值按比例地经过初始点再离开
四、函数的综合运用
1.记住一些常见的组合等式，如：sinα±cosα=sincosα、sin α-cosα=-2sinsinα/2
2.按延长或平移变换，用组合等式解决具体问题
3.用其他三角函数的关系转换，把一种函数转换成另一种，如tanα=sinα/cosα。

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高考数学三角函数的应用及实例解析

高考数学三角函数的应用及实例解析在高考数学中，三角函数是一个重要的知识点，也是一个比较难掌握的部分，而其在实际生活中的应用却是相对较多的。

本文将结合具体实例，从数学角度来分析三角函数的应用。

一、三角函数的定义和基本性质三角函数是某一角度下与该角度的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数联系在一起的一组函数。

其中，最常用的是正弦函数和余弦函数，其定义如下：正弦函数：在单位圆上，从原点出发，以逆时针方向转角为θ的终边与x轴的交点的纵坐标。

余弦函数：在单位圆上，从原点出发，以逆时针方向转角为θ的终边与x轴的交点的横坐标。

对于其他的函数，它们与正弦、余弦函数的关系可以表示为：正切函数：tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)余切函数：cot(θ)=cos(θ)/sin(θ)正割函数：sec(θ)=1/cos(θ)余割函数：csc(θ)=1/sin(θ)三角函数具有以下基本性质：（1）正弦函数和余弦函数的周期都为2π，即sin(θ+2π)=sin(θ)、cos(θ+2π)=cos(θ)。

（2）正弦函数和余弦函数在θ=0处取到最大值1和最小值-1，且两函数之间存在π/2的相位差，即sin(π/2+θ)=cos(θ)、cos(π/2+θ)=-sin(θ)。

（3）正切函数和余切函数的周期都为π，即tan(θ+π)=tan(θ)、cot(θ+π)=cot(θ)。

（4）正切函数在θ=kπ(k为整数)处不存在，而余切函数在θ=kπ/2(k为奇数)处不存在。

二、三角函数在实际问题中的应用1. 电路分析在电路分析中，三角函数广泛应用于求解交流电路的电压、电流等参数。

例如，当我们需要求解具有电感和电容的电路的电流时，可以将电源电压表示为正弦函数，然后利用欧姆定律和基尔霍夫定律来求解电路中的各个参数。

2. 动力学问题三角函数也可以用于物理学中的动力学问题，如平抛运动、圆周运动等。

以平抛运动为例，当物体作平抛运动时，其轨迹呈抛物线，其高度和水平位置的变化都可以用三角函数来表达。

高考数学最新真题专题解析—三角函数(全国通用)

高考数学最新真题专题解析—三角函数（全国通用）考向一三角函数的图像【母题来源】2022年高考全国I 卷【母题题文】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B. 519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【试题解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题. 常见题型：平移变换、辅助角公式、诱导公式. 【得分要点】（1）利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简；（2）利用三角函数的一些性质解题. 考向二三角函数的性质【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】已知函数22()cos sin f x x x =-，则（） A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C. ()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C【试题解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等；【得分要点】（3）利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简；（4）利用三角函数的一些性质解题. 真题汇总及解析一、单选题1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（） A ．4 B ．2 C ．1D ．12【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=，∴2242Tππωπ===.故选：A. 2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x yxy（）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】【分析】结合余弦函数，可分别得到2cos x ，2cos y ，()cos xy 的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断. 【详解】由[]22cos ,cos 0,1x y ∈，()[]cos 1,1xy ∈-，易知22cos cos cos 1,3x yxy.同时，由于π是无理数，因此当cos cos 0xy时，cos 1xy ；当22cos cos 1xy时，cos 0xy，故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式22cos cos cos x yxy（,x y R ）可以取到任意接近1-和3的值，从而该式无最值.①取x π=，y n （*n ∈N ），则222cos cos cos 2cos x y xy n .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得22N N .再考虑*k ∈N ，使得1k k（由π的无理性，两头都不取等）.则nkN 时，212122NN kkN k，从而2cos 1,coskN，22cos cos cos 2cos ,3x y xy ，即证.②取2x π=，2yn（*n ∈N ），则22221cos cos cos cos4n x y xy .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得224N N .再考虑k ∈Z ，使得4k k（不取等的理由同上）.则nkN 时，2244244N kN N kk，从而221cos cos ,14kN ，22cos cos cos 1,cosxy xy，即证.故选：D 【点睛】易错点点睛：2cos x ，2cos y ，()cos xy 均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数()sin cos f x a x b x c ωω=++（a ，b ，0>ω）的部分图象如图所示，则=a （）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】【分析】整理()()22f x a b x c ωϕ=+++，且tan b aϕ=222a b +，利用相邻对称轴的距离求得ω，根据对称轴求得ϕ，进而可得tan 1ϕ=，即a b =，即可求解. 【详解】由题，()()22sin cos f x a x b x c a b x c ωωωϕ=+++++，tan b aϕ=，223a b c +=，221a b c -+=-，所以1c =222a b +，又51882T ππ-=，所以T π=，则22T πω==，因为对称轴为8x π=，所以2282k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，则24k ϕπ=+π，k ∈Z 所以tan 1ϕ=，即a b =，所以2a = 故选：B4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若()4sin π5α-=，则cos2α＝（） A ．－2425B ．725C ．－725D ．2425【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答. 【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2cos 34cos f x x x 的最小正周期为（） A ．23πB ．43π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期. 【详解】222cos 22cos 2cos 1cos 2sin cos2sin sin 2cos2cos f xx x x x x xx x x xcos3x =-，所以，函数()f x 的最小正周期为23T π=. 故选：A.6．（2022·上海闵行·二模）“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+="的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条许 D ．既不充分也不必要各件【答案】B 【解析】【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案. 【详解】由角,αβ的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，可知cos cos αβ=-，即cos cos 0αβ+=成立，充分性成立；当cos cos 0αβ+=时，角,αβ的终边关于y 轴对称或(21),k k Z αβπ=++∈，所以“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+=”的充分不必要条件，故选：B.7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（） A ．6π=ϕB ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈. 【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可. 【详解】函数()()()2313sin cos cos 0sin 21cos222f x x x x x x ωωωωωω=+>=++311sin 2cos2222x x ωω=++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，得26232262k k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .又因为ω>0，12222πππω⨯≥-，所以k ＝0，所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B9．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数，与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()4f π=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．10．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形,6ABCD AB =，沿PQ 对折使得点B 与AD 边上的点1B 重合，则PQ 的长度可以用含α的式子表示，那么PQ 长度的最小值为（）A ．4B ．8C ．2D 93【答案】D 【解析】【分析】设PQ y =，由三角比的定义可得sin PB y α=，sin cos2PA y αα=⋅，继而求得()262sin 1sin y αα=-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭，求导可得()g t 的最大值为：343g =⎝⎭PQ 长度的最小值. 【详解】设PQ y =，1PB PB =，11180APB B PB ∠+∠=，12180B PB α+∠=，则12APB α∠=，则有sin PB y α=和11cos cos2PA PB APB PB ∠α==，代入6AB PA PB =+=，解得：()()266sin 1cos22sin 1sin y αααα==+-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭，导函数()226g t t '=-，即可得()g t 的最大值在3t =此时343g =⎝⎭min 93y =，故选：D .二、填空题11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知tan 2α=，则222222cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2αααααα--+=++_________．【答案】16799-##68199-【解析】【分析】利用同角间的三角函数关系，把待求式化为关于tan α的式子，然后代入已知计算．【详解】2222222222222222cos 2sin 2cos 3sin cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2sin sin cos cos 2(sin cos )αααααααααααααααα----+=+++++++22222222cos 2sin 2cos 3sin 2sin cos 2sin 3cos αααααααα--++=+222212tan 23tan 2tan 12tan 3αααα--+=++ 182128183--=+++16799=-．故答案为：16799-． 12．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为π的函数()2sin(2)1(0)6f x x πωω=-+>的图像向左平移4π个单位长度，得到()g x 的图像，则函数()g x 的一个对称中心为___________【答案】,13π⎛⎫⎪⎝⎭，不唯一【解析】【分析】根据最小正周期求出ω ，再根据函数平移规则即可求出()g x 的解析式. 【详解】由题意，T π= ，2,12ππωω∴== ，即()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()f x 向左平移4π得()g x ， ()2sin 212sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令2,33x x πππ+== ，∴()g x 的一个对称中心为,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭；故答案为： ,13π⎛⎫⎪⎝⎭.13．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[2,1]- 【解析】【分析】由题意可得()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，a 的取值范围即为函数()f x 的值域.【详解】2()322cos 132cos 22sin(2)6f x x x x x x π-+=-=-，方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，即()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得2()1f x -≤≤，即a 的取值范围是[2,1]-，故答案为：[2,1]-14．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论： ①f (x )的值域是[1,1]-； ②f (x )在π[0,]2上单调递减： ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③ 【解析】【分析】先将()f x 化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可【详解】ππ()sin()sin()44f x x x =+-2222()()x x x x =+ 2211cos sin 22x x =- 1cos22x =所以()f x 的值域为11[,]22- ，故①错误；令2π2π2π,k x k k Z ≤≤+∈ ，πππ,2k x k k Z ∴≤≤+∈当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为π[0,]2，故②正确；()f x 的周期2ππT ω== ,故③正确()f x 的图像向左平移π2个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为π1π1()()cos[2()]cos 22222g x f x x x =+=+=- ，是偶函数，故④错误故答案为：②③ 三、解答题15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．【答案】(1)2；π6ϕ=；(2)71A =. 【解析】【分析】（1）利用()f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出ϕ作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出PMN ∠和PNM ∠的正切，再利用和角公式计算作答.(1)函数()sin(π)f x A xϕ=+的最小正周期2π2πT==，因1(,)3P A是函数()f x图象的最高点，则1ππ2π,Z32k kϕ+=+∈，而02πϕ≤≤，有0k=，π6ϕ=，所以函数()f x的最小正周期为2，π6ϕ=.(2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x=+，由ππ06x+=得16x=-，即点1(,0)6M-，由ππ2π6x+=得116x，即点11(,0)6N，于是得tan211()36APMN A∠==--，2tan111363APNM A∠==-，而π4PMN PNM∠+∠=，则22tan tan3tan()121tan tan123A APMN PNMPMN PNMPMN PNM A A+∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⋅，又0A>，解得712A=-，所以712A=-.16．（2022·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．20AB=km，10BC=km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．(1)设BAOθ∠=（弧度），将y表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置．【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 103km 【解析】【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+- 则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+π10sin 10320,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ=此时π101010tan 103(km)63OP =-=所以确定污水处理厂的位置是在线段AB的中垂线上且离AB103km。

2020版高考数学一轮总复习检测：4.4 三角函数的最值与综合应用 Word版含解析

4.4三角函数的最值与综合应用挖命题【考情探究】分析解读 1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和其他领域中具有重要的作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计2020年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点三角函数的最值与综合应用1.(2018浙江镇海中学单元测试,12)函数f(x)=sin2x+e|sinx+cosx|的最大值与最小值之差等于.答案+12.(2018浙江宁波模拟(5月),18(1))已知函数f(x)=4cosx·sin--1.求函数f(x)的单调递增区间.解析f(x)=4cosx--1=sin2x-cos2x-2=2sin--2,由于-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,所以-+kπ<x<+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.炼技法【方法集训】方法1 求三角函数的值域(最值)的方法1.(2017浙江金华十校调研,17)若函数f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|(a,b∈R)的最大值为11,则a2+b2=.答案502.(2017浙江台州调研,18)在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量.(1)若x=,求点Q的坐标;(2)已知函数f(x)=·,令g(x)=f(x)·f,求函数g(x)的值域.解析(1)由已知得x Q=cos=coscos-sin·sin=-,y Q=sin=sincos+cossin=,所以点Q的坐标为-.(2)函数f(x)=·=cos+sin=cosx-sinx+cosx+sinx=cosx,于是,g(x)=cosx·cos=-sin2x=-sin-.因为-1≤sin-≤1,所以g(x)的值域为-.方法2 三角函数的综合应用问题的方法1.(2017浙江杭州质检,9)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5,+-=0,则a+c=()A.6B.7C.8D.9答案B2.(2018浙江名校协作体,18)函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1的图象过点,且相邻的两个最高点与最低点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式和单调增区间;(2)若将函数f(x)图象上所有点向左平移π个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解析(1)由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为,可得+42=,解得ω=2.∵f=2sin+1=+1,∴sin=.又∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin+1,当f(x)单调递增时,-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,∴-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调增区间为-,k∈Z.(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)=-2sin4x+1,当≤x≤时,≤4x≤,∴-≤sin4x≤1,∴g(x)∈[-1,+1].过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B2.(2017课标全国Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案3.(2017课标全国Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+cosx-∈的最大值是.答案 14.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin-+sin-,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-上的最小值.解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin-+sin-,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx=-=sin-.由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin-,所以g(x)=sin-=sin-.因为x∈-,所以x-∈-,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.方法技巧y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换:由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象有两种方法.方法一:(先平移后伸缩)y=sinx的图象y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象.方法二:(先伸缩后平移)y=sinx的图象y=sinωx的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象.教师专用题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos--2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)≥-时容易忽视x的取值范围.2.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2-,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=----=-cos2x=sin2x-cos2x=sin-.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间--上是减函数,在区间-上是增函数,f-=-,f-=-,f=.所以,f(x)在区间-上的最大值为,最小值为-.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.3.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2. 又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<得k=0,所以φ=-=-.(2)由(1)得f=sin·-=,所以sin-=.由<α<得0<α-<,所以cos-=--=-=.因此cos=sinα=sin-=sin-cos+cos-sin=×+×=.4.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f=cos cos2α,求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-,k∈Z.由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sinαcos+cosαsin=-(cos2α-sin2α).即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-.综上所述,cosα-sinα=-或-.评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.5.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.评析考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,10)已知x∈,y∈,且xtany=2(1-cosx),则()A.y<B.<y<C.<y<xD.y>x答案C2.(2018浙江镇海中学阶段测试,4)有4个关于x的函数:y1=sinx+cosx,y2=sinx-cosx,y3=sinxcosx,y4=.这4个函数中,在上单调递增的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)3.(2019届浙江高考信息卷(二),14)已知函数f(x)=sin2x-sin2-,x∈R,f(x)在区间-上的最大值是,最小值是.答案;-4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点.若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为;当ω最小时,函数g(x)=f--在区间[0,22]上的零点个数为.答案ω=1+12k,k∈Z;8三、解答题(共30分)5.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,18)已知函数f(x)=sin2x+2sin2x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)求f(x)在区间上的最大值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin2x=sin2x+1-cos2x=2sin-+1.故T==π.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)当x∈时,2x-∈-,所以sin-∈-,所以f(x)在区间上的最大值为3.6.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,18)已知函数f(x)=2sinx·-,x∈.(1)求f;(2)求f(x)的最大值与最小值.解析(1)cos-=,sin=,所以f=2××=.(2)f(x)=2sinx·-=2sinx·=sin2x+(1-cos2x)=sin-+.因为x∈,所以2x-∈-.又因为y=sinz(z∈R)在区间-上单调递增,在区间上单调递减,所以,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值;当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值0.7.(2018浙江温州二模(3月),18)如图,已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象与坐标轴交于点A,B,C-,直线BC交f(x)的图象于另一点D,O是△ABD的重心.(1)求φ;(2)求△ACD的外接圆的半径.解析(1)∵O是△ABD的重心,C-,∴A(1,0),∴=1--=,即最小正周期T=3.∵T==3,∴ω=.由f(1)=0,得sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.(2)由(1)得f(x)=sin,∴B.又C-,∴∠BCO=60°.又由已知得点C-是BD的中点,∴D--,∴|AD|==.∵∠=°=,∴△ACD的外接圆的半径为.。

高考数学总复习教案：3.9三角函数的综合应用[ 高考]

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________．答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝acosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tan π12＝________．答案：－23解析：原式＝sinπ12cos π12－cosπ12sin π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x ∈R )，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________．答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsinαsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 备选变式（教师专享）(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x－y)＝23sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. (1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx. (2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sin αcos α＝49，即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013·浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ·5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17×12＋437×32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角． (1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．解：(1) 因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc. 又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bcbc ＋4≥2bcbc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ≤34×4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12×4×sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值．学生错解：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22，由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°，故α＋β＝45°或135°.审题引导：在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则一般选正弦函数．规范解答：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分) 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析：没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．事实上，仅由sin (α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos (α＋β)不易出错．1. (2013·常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2·sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π. 3. (2013·北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________．答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12×3×1＝32.4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________．答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝⎛⎭⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)，当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014·扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长．解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0， ∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a ＋c ＝13，∴ 三角形周长是20.2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC. (1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC中∠C ∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°.3. (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1. (1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC ＝bc 4R 2＝57.4. (2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosAsinA ＝263.故cosA ＝63. (2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。

专题01 三角函数的图象与综合应用(精讲精练)(原卷版)

专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型核心考点二：辅助角与最值问题核心考点三：整体代换与二次函数模型核心考点四：绝对值与三角函数综合模型核心考点五：ω的取值与范围问题核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．125．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换；（3）伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω（倍）（纵坐标y 不变）；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A （倍）（横坐标x 不变）．（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移． 2、三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ； cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ，单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ；tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z ．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =，sin ||y x =， |cos |y x =，cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，结合三角函数的图象和性质求解. （2）将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. （3）利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z ；若为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k ϕ=π∈Z ；若为奇函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z ． 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：αααα++sin cos sin cos a b c d （一次显型齐次化）或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c （二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以αcos （一次显型）或者α2cos （二次隐型），构造成αtan 的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．34C ．310-D ．310例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（） AB．C ．12D ．1例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若ππ2θ<<，tan 3θ=-，=（） A ．35 B ．54-C ．45-D ．45核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（） ABC ．47D ．17例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．D．[0,3+例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x=的值域为（）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎣ D．0,3⎡⎣例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则122x x -的最小值是（） A ．23πB ．4πC ．3πD ．6π例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b -+-最小值是______．例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y -+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.核心考点三：整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是sin x ，cos x 与cos2x 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系，第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12．（2022·全国·高三专题练习）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．例13．（2022·全国·高考真题（文））函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14．（2022·全国·高考真题（理））函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则()f x 的最大值为___________.例16．（2022·全国·高三专题练习）若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A．12+B．12-+C ．1 D核心考点四：绝对值与三角函数综合模型【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ，如图，=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留，x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到，故=sin y x 是最小正周期为π的函数，同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数；=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下，左边的删除，再将y 轴右边图像作对称至左边，故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示：ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，，sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ，⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f xC ．()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解例18．（2022·全国·高三专题练习）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为其中所有正确结论的编号是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①④例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-，以下结论正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()f x 的值域为[D ．函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（） A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f xC ．()f x 在[5,7]ππ上单调递减D ．()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1； ②()f x 的最小正周期是2π；③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴；④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()2,π上递增； ③()f x 在[]π,π-上有4个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五：ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-，则ω的取值范围是___________.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在()2ππ，内单调且有一个零点，则ω的最大值是______________．例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为________.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<，则ω的最大值是_____.例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______．例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T =π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______．例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，则ω的值可以是（）A ．18B ．12C ．76D ．32核心考点六：三角函数的综合性质【典型例题】例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π； ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是（） A ．ϕ的值可唯一确定B ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C ．当52()6x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 取得最小值 D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有（） A ．直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B ．()g x 在ππ(,)26-上单调递增C ．若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则23π29π(,]1212α∈ D ．()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为()f x '，()g x '．若()1y f x =+是奇函数，()()cos g x x π'=，()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0-对称B ．()f x '的图象关于直线1x =对称C ．()g x 的图象关于直线12x =对称D ．()1mi i i x y m =+=∑例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）．A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D ．将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=，且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减，则下列说法正确的有（） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =，2，⋯，)n ，则14πn i i x ==∑ D ．若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立，则n m -的最大值为π3例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图（1）所示，函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的周期为2πB ．函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C ．函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D ．将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知()44cossin 22x xf x =+，则下列说法错误的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为（） A ．5π12B ．5π6 C ．π2D ．π2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ），其图象相邻两条对称轴的距离为π2，且对任意x ∈R ，都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则在下列区间中，()f x 为单调递减函数的是（） A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·江苏南通·高三期中）已知112tan sin =-αα，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．17-C ．19D ．436．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（） ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭， A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题，正确的有（）个（1）它的最小正周期是π2（2）π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心（3）π6x =是它的一条对称轴（4）它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，给出下列命题①()f x 是偶函数；②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ω是奇数；④ω的最大值为3；其中正确的命题有（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、多选题9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B ．()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D ．曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．直线7π6x =是()fx 的对称轴B ．点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C ．()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设()()sin f x x ωϕ=+（其中ω为正整数，π2<ϕ），且()f x 的一条对称轴为π12x =-；若当0ϕ=时，函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则下列结论正确的是（） A ．2ω=B ．()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D ．将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半，得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2，且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A ．该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；B ．函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位，得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于原点对称，则b 的最小值为π3.14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称；②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π； ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若1sin cos 2θθ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______．16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数()sin ||f x x x =，若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是_________．四、解答题17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<，且_____．从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1[0,]2x π∈，存在2[0,]2x π∈，()()21m g x f x =-成立?若存在，求实数m的取值范围;若不存在，请说明理由．19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()32g x f x =-在区间（0，π）上恰有2个零点()1212,x x x x <，求()12cos x x -的值．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 图象，再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象，求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式；(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.。

高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（）（A）（B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

高考数学三角函数的性质与应用选择题

高考数学三角函数的性质与应用选择题1. 下列关于三角函数的性质中，正确的是（）A. 正弦函数是周期函数，其周期为πB. 余弦函数是奇函数，奇函数的图像关于原点对称C. 正切函数的定义域为(-∞,+∞)D. 三角函数的值域为[-1,1]2. 已知角α的终边与角β的终边相同，则角α和角β的关系是（）A. α=βB. α+β=πC. α-β=0D. α=π-β3. 已知角α的正弦值为0.5，则角α可能是（）A. 30°B. 150°C. 210°D. 330°4. 已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 已知函数f(x)=cos(2x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定6. 已知角α的正弦值为1，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π8. 已知角α的正切值为-1，则角α可能是（）A. 120°B. 240°C. 30°D. 330°9. 已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π10. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定11. 已知角α的正弦值为-1，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π13. 已知角α的正切值为1，则角α可能是（）A. 45°B. 135°C. 225°D. 315°14. 已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π15. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定16. 已知角α的正弦值为0，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限17. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π18. 已知角α的正切值为-1，则角α可能是（）A. 135°B. 225°C. 315°D. 45°19. 已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π20. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定21. 已知角α的正弦值为1，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限22. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π23. 已知角α的正切值为1，则角α可能是（）A. 45°B. 135°C. 225°D. 315°24. 已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π25. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定26. 已知角α的正弦值为0，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限27. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π28. 已知角α的正切值为-1，则角α可能是（）A. 135°B. 225°C. 315°D. 45°29. 已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π30. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定31. 已知角α的正弦值为-1，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限32. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π33. 已知角α的正切值为1，则角α可能是（）A. 45°B. 135°C. 225°D. 315°34. 已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π35. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定36. 已知角α的正弦值为0，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限37. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π38. 已知角α的正切值为-1，则角α可能是（）A. 135°B. 225°C. 315°D. 45°39. 已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π40. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定41. 已知角α的正弦值为1，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限42. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π43. 已知角α的正切值为1，则角α可能是（）A. 45°B. 135°C. 225°D. 315°44. 已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则函数的周期为（）A. πB. 2πD. 8π45. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定46. 已知角α的正弦值为0，则角α的终边可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限47. 已知函数f(x)=tan(x)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π48. 已知角α的正切值为-1，则角α可能是（）B. 225°C. 315°D. 45°49. 已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则函数的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π50. 已知函数f(x)=cos(x)，则函数的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定。

三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题09 三角函数(解析版)

专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0fx x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C 3D 5【答案】B 【解析】2s i n 2c o αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又s i n 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x=的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，再根据函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 8．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.函数()sin (0,0)y A x B A =++>>ωϕω的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T =πω(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2，π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x bω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.13．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．【名师点睛】关于sin()y A x ωϕ=+的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或ϕ的值、函数最值、取值范围等． 14．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 15．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x取得最小值，此时sin x x == 所以()min2222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.19．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-= 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.23．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75．【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 24．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2．（2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值．（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin 32π=，21cos 32π=-，22211()(()()32222f π=---⨯-．得2()23f π=．（2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.28．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()+=αβ．（1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．【答案】（1）725-；（2）211-. 【解析】（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα．因为22sin cos 1+=αα，所以29cos 25=α，因此，27cos 22cos 125=-=-αα．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()5+==αβ，因此tan()2+=-αβ．因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（1）2ω=；（2）最小值为32-.【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-13(sin )2x x ωω=-π)3x ω=-.由题设知π()06f =，所以πππ63k -=ω，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π3π[,]44x ∈-，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。

三角函数综合应用

解 (1)m·n＝ 3sin x4·cos x4＋cos2x4
＝
3 2 sin
x2＋1＋c2os
x 2＝sinx2＋π6＋12，
∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12. cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12， cos23π－x＝－cosx＋π3＝－12. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
[4 分]
(2)解 |b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋
16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)
＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，
最大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
[9 分]
(3)证明由 tan αtan β＝16，得 sin αsin β＝16cos αcos β，
答题模板
平面向量与三角函数的结合问题
(14 分)设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
因为 α 是第一象限角，故 sin α＝1123.
所以，cossin4απ＋＋π42α＝sicnoαs ＋2απ4
＝2cos
2 α－sin
α＝－1134
2.
三角形中的三角恒等变换
例 2 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，a＝2bsin A. (1)求 B 的大小； (2)求 cos A＋sin C 的取值范围．
变式训练 1

高考100题三角函数：8 三角函数的图象与性质的综合应用

k x (k Z ) 2 6 k （ C ） x (k Z ) 2 12 k x (k Z ) 2 12
【答案】B
k (k Z ) 2 6
【解析】由题意，将函数 y 2sin 2 x 的图象向左平
个单位得 y 2sin 2( x ) 2sin(2 x ) ， 12 12 6 则平移后函数的对称轴为 2 x k , k Z ， 6 2 k 即x , k Z ，故选 B． 6 2
②由题意得 ymax
高考的一个常考点．【思路方法】灵活选择三角公式化为形式
y Asinx B
或
再讨论相关性质． y Acosx B ，
2 2 ， ymin 2 2 ．
II．考场精彩·真题回放【例 2】【2016 高考新课标 1 卷】已知函数【命题意图】本题主要考查三角函数的
当 x 2k k 时，
ymax 1 ；
当 x 2k k 时，既无最大值也无最小值
ymax 1 ；当 x 2k
k 时， ymin 1 ．
周期性奇偶性在 2 k 单调性奇函数
ymin 1 ．
I．题源探究·黄金母题【例 1】已知 y sin x cos x 2cos x ．
2 2
精彩解读【试题来源】人教版 A 版必修 4 第 147 页第 9 题．【母题评析】本题综合考查三角恒等变
①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值．【解析】
2
y sin x cos x 2 cos 2 x 1 2sin x cos x 1 cos 2x 换与三角函数的图像与性质，是历年来

2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设函数f(x)=Acos(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π2.（5分）数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC，b=2，则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.（5分）某干燥塔的底面是半径为1的圆面O，圆面有一个内接正方形ABCD框架，在圆O的劣弧BC上有一点P，现在从点P出发，安装PA，PB，PC三根热管，则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.（5分）现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离AB(AB大于2m)，在草坪坛边缘找到点C与D，已知∠ACD=90∘，且tan∠ADB=−2√2，测得AC=1.2m，CD=0.9m，BD=1m，则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1+x2的值为（)A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：经长期观观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.（5分）为迎接校运动会的到来，学校决定在半径为20√2m，圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.（5分）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时)，那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t（s）的函数关系式为s=6sin(2πt+π6（）A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.（5分）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.（5分）瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3，则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.（5分）设y =f(t)是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中0⩽t ⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A. y =12+3sin π6t,t ∈[0，24] B. y =12+3sin(π6t +π2)，t ∈[0，24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2)，t ∈[0,24] 二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32，则它的运动周期为_______________，相位是_______________.14.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点P 以每秒π2的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示，则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________；为了得到g(x)=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.（5分）已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表：经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据，可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位：℃)与时间t(单位：月)的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.（12分）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系：f(t)=12−3sin(π12t+π3)，t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？20.（12分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少?(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远?21.（12分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.22.（12分）如果α为小于360°的正角，且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合，则这样的角α是否存在?23.（12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（A＞0，ω＞0）.（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差公式，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于较难题．先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA，由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解：因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC，所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA，由正弦定理可得：c=√3a，代入面积公式可得：S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3，所以当a=2时，−14(a2−4)2+3取得最大值3，所以△ABC面积S的最大值为√3，故选：A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用，属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ)，利用三角函数的性质即可求解.解：如图，设∠PAC=θ，θ∈[0,π4]，可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ)，其中tanφ=3+2√2，φ∈(π4,π2 )，所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3，由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用，考查数学运算的核心素养与应用意识，属于中档题.由题意可得AD=1.5m，利用tan∠ADB，求出cos∠ADB，进一步进行求解即可.解：因为∠ACD=90∘，AC=1.2m，CD=0.9m，所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2，所以cos∠ADB=−13，所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属基础题.通过排除法进行求解，由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解：排除法：∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象，∴由T=12可排除C、D，将(3,15)代入，排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．解：如图所示，在Rt △ACD 中，∠CAD =45°，CD =256，所以AD =256，在Rt △ABD 中，∠BAD =60°，所以BD =ADtan∠BAD =256√3，所以BC =BD −CD =256√3−256，即塔高BC 为256(√3−1)米．故选：B.8.【答案】D;【解析】如图所示，连接OC ，设∠COA =θ，作DF ⊥OP ，CE ⊥OP ，垂足分别为F ，E ．根据平面几何知识可知，AB =CD =EF ，DF =OF =CE ，∴CE =20√2sinθ，EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ．故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积，即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400，其中θ∈(0,π4)．所以当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，S max =400(√2−1)，即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2．故选D ．9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα，即可得结果. 解：由题设，PC =PB′sinα=PAsinα，而PC =PA −1，所以PA −1=PAsinα，可得PA =11−sinα米.故选：C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解答该题的关键，考查空间立体感、学科素养和运算能力，属于中档题．作出示意图，过点B 作BC ⊥OA 于C ，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．解：根据题意作出如下示意图，其中tanα=32，β=θ=π3，AB =20m ，过点B 作BC ⊥OA 于C ，设OH =3x ，则OA =OH tanα=2x ，OB =OH tanβ=√3x ，在Rt △ABC 中，因为AB =20，θ=π3，所以AC =AB ×cos π3=10，BC =AB ×sin π3=10√3，所以OC =OA −AC =2x −10，在Rt △OBC 中，由勾股定理知，(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2，化简得x 2−40x +400=0，解得x =20，所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选：A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，属于综合题.解：由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t，所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t)，当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π，所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π])，综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识，试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅，然后求解解析式即可.解：由表中数据，知周期T=12，∴ω=2πT =2π12=π6，由t=0，y=1.5，得A+b=1.5；由t=3，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5，b=1，∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=，又因为f （0）=2，故ϕ=-πt所以f （16）=8sin(π- ．故答案为：14．18.【答案】解：根据图象可知，当t =1时，y 有最小值15;当t =8时，y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14， ∴y =6sin(π7t −9π14)+21，周期T =2πω=2ππ7=14，振幅A =6.气温在1月份时达到最低，在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题．当t =8月份时平均气温达到最大值25℃，当t =1月份时，平均气温达到最小值15℃，列出方程组，结合周期与振幅，从而可得函数解析式．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(t)=12−3sin(π12t +π3)，t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1，所以f(t)max=15,f(t)min=9，可得f(t)max−f(t)min=6，则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意，令f(t)>10.5，即12−3sin(π12t+π3)>10.5，即sin(π12t+π3)<12，因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角函数模型的应用，属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1，求得f(t)max=15,f(t)min=9，进而求得这一天的最大温差；(2)根据题意，令f(t)>10.5，得到sin(π12t+π3)<12，利用正弦型函数的性质，求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcosθ=20cosθ，且θ∈(0,π2).因为A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2)，所以2θ∈(0,π)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A，D距离圆心O为10√2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40cosθ，所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4)，又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40√2(m)，此时AO=DO=10√2(m)，即当A，D距离圆心O为10√2m时，步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的最值，是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg)，p(t)min =115−25=90(mmHg)，即收缩压为140mmHg ，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ，在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题，属于一般题.22.【答案】解：由题意，有7α=k·360°＋α(k ∈Z)，即α=k·60°．又由于0°＜α＜360°，即0°＜k·60°＜360°(k ∈Z)，则k 取1，2，3，4，5，所以α的值可取60°，120°，180°240°，300°．; 【解析】略.23.【答案】【解析】（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13，最小值为7，所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12，因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)（2）要想船舶安全，必须f （t ）≥11.5，即3sin π6t +10≥11.5，所以sin π6t ≥12，所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ，解得12k+1≤t≤5+12k ，k ∈Z ，当k=0时，1≤t≤5；当k=1时，13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1：00至5：00，13：00至17：00，共8个小时.; 【解析】略。

三角函数在高考中的应用

研学交流211三角函数在高考中的应用★张鹏飞三个函数是高考的一个常考点，一个重点，也是一个热点。

从这几年的高考试题来看，除了以大题的形式出现以外，还有选择题和填空题，在整套试卷中，所占的分值比较大。

三角函数所涉及到的公式及内容很多，但难度不大。

纵观这几年的高考试题，下列几种形式命题居多。

一、以三角形为载体，与正余弦定理、二倍角公示、辅助角公式等的综合运用。

例题1：（2019全国卷Ⅲ）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．解：（1）根据题意：sin sin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=。

即sin sin 2B B π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos 12sin 022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，022B π<<，所以1sin 22B =，从而 263B B ππ==，（2）因为V ABC 是锐角三角形，又由（1）3B π=，,62A C ππ<<，A B C π++=得到23A C π+=，又应用正弦定理sin sin a cA C=及三角形面积公式有222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A S ac B c B c B c C Cπ∆-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 22333(sincot cos )cot sin 338C CC C C ππππ--=又因62C ππ<<33cot cot 8286ABC S ππ∆<ABC S ∆故ABC S ∆的取值范围是二、以平面向量为背景，向量的坐标以三个角函数的形式给出，结合平面向量的坐标运算进行考察。

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三角函数的综合应用2019年1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．2010-2018年一、选择题1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．42．（2016年浙江）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为A B C D6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为A ．B ．C ．D ．7．（2015湖南）已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π= 二、填空题8．（2016年浙江）已知22cos sin 2sin((>0)x x A x b A ωϕ+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是． 10．（2014陕西）设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，，，a b ，若∥a b ，则=θtan _______．11．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．三、解答题12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．NM POAB CD(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．14．（2015山东）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02Af =，1a =，求△ABC面积的最大值．15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cossin 1212f t t t =--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？16．（2014陕西）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，．（I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；（II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值． 17．（2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．答案 2019年1.解析解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM ==，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+2010-2018年1．C 【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于21cos2()sin sin sin 2xf x x b x c b x c -=++=++．当0b =时，()f x 的最小正周期为π；当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数． 3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4xπ或54π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2x x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x 或1x =-时，212x ，而|1|x 由两个值，故C 错误，选D ．5．B 【解析】由于(0)2,()15,()22()424f f f f πππ，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，2()tan 4tan (0)4f x BP APxx x π≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，排除A ．6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,]2x π∈时，1()sin cos sin 22f x x x x ==；当(,]2x ππ∈时，1()cos sin sin 22f x x x x =-=-，故选C ． 7．A 【解析】由223301sin()cos()|cos cos 02x dx x ππϕϕϕϕϕ-=--=+=⎰，得tan ϕ=()3k k Z πϕπ=+∈，所以()sin()()3f x x k k Z ππ=--∈，由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=--与sin()3y x π=-的图象的对称轴相同，令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56x π=，选A ． 81【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b ==9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．11．（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，2）时cos36πωω=∴=；（2）曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为πω，由图知222T AC ππωω===， 122ABCSAC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=，故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==．令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈．当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >，则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．令()0f θ'=，得π6θ=，当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数；当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数，因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为107AC =，40AM =．所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=．记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足，则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=.设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；由ππππk x k 223222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈)；所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）；单调递减区间是]43,4[ππππk k ++（Z k ∈）．（Ⅱ）1()sin 022A f A =-=，1sin 2A ∴=，由题意A 是锐角，所以 cos 2A =．由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，可得2212b c bc =+≥32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．2sin 4bc A ∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+．15．【解析】（Ⅰ）因为1()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ--+--+，又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ，当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-，又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温. 16．【解析】（1）c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1217．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x <<，所以sin cos2sin cos2x x x x >>．问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意．（Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈ 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=．当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππ内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。