高一数学一元二次不等式解法练习题及答案.doc

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01
a
[ ]
A a x
B x a
．＜＜
．＜＜11
a
a
C x a
D x x a
．＞或＜．＜或＞x a
a
1
1
分析比较与的大小后写出答案． a 1
a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．
选．
0a 1a a x A 11
a a
例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．
例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知
-=-+=-=-=-⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪b
a
a
()()1211122×得
a b ==-1212
，．
例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
(4)3x 2-+-
-+-3132
511
3
122x x x x x x ＞＞()()
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x ＜2或x ＞4}
(2){x|1x }≤≤3
2
(3)∅
(4)R (5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
例不等式＋＞
的解集为5 1x 1
1-x
[ ]
A ．{x|x ＞0}
B ．{x|x ≥1}
C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1
或x ＝0}
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
解不等式化为＋－＞，
通分得＞，即＞，
1x 0001
111
22
----x
x x x x
∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
例与不等式≥同解的不等式是6 0x x
--3
2
[ ]
A ．(x －3)(2－x)≥0
B ．0＜x －2≤1
C ．
≥23
0--x
x D ．(x －3)(2－x)≤0
解法一原不等式的同解不等式组为≥，
≠． ()()x x x ---⎧⎨
⎩
32020 故排除A 、C 、D ，选B ．
解法二≥化为＝或－－＞即＜≤
x 3
20x 3(x 3)(2x)02x 3--x
两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．
例不等式
＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax
x -1
[ ]
A a
B a
C a
D a ．＜
．＞
．＝
．＝－
1212
1
21
2
分析可以先将不等式整理为
＜，转化为 0()a x x -+-11
1
[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}
可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 111
2
a -
答 选C ．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
例解不等式
≥．8 237
23
2x x x -+-
解 先将原不等式转化为
37
23
20
2
x
x x
-
+-
-≥
即≥，所以≤．
由于＋＋＝＋＋＞，
---
+-
++
+-
21
23
21
23
1
4
7
8
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
00
2x x12(x)0
22
∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，
即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2 ≤，若，求的范围．
0}B A a
⊆
分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．
B A a
⊆
解易得A＝{x|1≤x≤4}
设y＝x2－2ax＋a＋2(*)
(1)B B A0
若＝，则显然，由Δ＜得
∅⊆
4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．
(2)B(*)116
若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：
∅
应有≤≤≤≤从而
{x|x x x}{x|1x4}
12
⊆
12a 12042a 4a 2014
12a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a
--⎧
⎨⎪⎪⎩
⎪⎪22187
综上所述得的范围为－＜≤
．a 1a 18
7
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式
(x －2)(ax －2)＞0．
分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；
2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解
集为
22
a a
{x|2
a
x 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解
集为
22
a a
{x|x 2x }＜或＞；2
a
4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；
5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
22
a a
{x|x x 2}＜或＞．2
a
从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；
a 0{x|2
a
x 2＜时，＜＜｝；
0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2
a
a ＝1时，{x|x ≠2}；
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2
a
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：
－＝α＋β，＝α·β．b
a
c a
⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．b
a c a
()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．
又
×，b a a c b c
= ∴
＝－α＋β①
由＝α·β，∴＝α·β②
b c c a a c (1)111
对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c a
c
由①②得
α，β是＋＋＝两个根且α＞β
＞，1111
x x 002b c a c
∴＋
＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β
．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，
∴＋＋＜的解集为＞
α或＜β
．cx bx a 0{x|x x } 211
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
例解关于的不等式：
＜－∈．12 x 1a(a R)x
x -1
分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
解原不等式变为
－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111
进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．
(1)当a ＞0时，不等式化为
(x )(x 1)01{x|a 1a x
1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；
a a a a ---11
(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；
(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－
·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．
a a a a
a a
---11
1
综上所述，原不等式解集为：
当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1
a
x 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a
1
例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．
由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅
答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．
例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x
－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则
[ ] A．(U A)∩B＝R
B．A∪(U B)＝R
C．(U A)∪(U B)＝R
D．A∪B＝R
分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即
B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．
答选D．
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查。