复变函数名校讲解

2
2
2 1
+ z2
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， 易见， z = x + iy ↔ 一对有序实数 ( x , y ),
在平面上取定直角坐标 系，则 任意点 P ( x , y ) ↔ 一对有序实数 ( x , y ) ⇒ z = x + iy ↔ 平面上的点 P ( x , y )
证明 设
将复数z 逆时针方向旋转一个角度 几何意义 将复数 1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到 2|倍。 ，再将其伸缩到|z 倍 y (z)
z1 z2
θ2 θ1
z2
z1
x
o
θ2
֠
定理1可推广到 个复数的乘积。 定理1可推广到n 个复数的乘积。
例1.设z1 = −1, z 2 = i , 则 z1 z 2 = − i
x + y ≥0
2 2
z1 = z2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 , 其中 1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 z z = 0 ⇔ Re(z) = Im z) = 0 (
֠ 一般, 任意两个复数不能比较大小。 一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 的和、 积和商为： 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
1+ i 例2 : 求 1− i
4
1+ i =i 1− i
例3.证明若 z是实系数方程
a n x n + a n -1 x n −1 + L + a1 x + a 0 = 0
的根 , 则 z也是其根 . (实多项式的零点成对出 现 )
=2( z
例4.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2
课程简介
课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 复变函数》
西安交通大学高等数学教研室 编
总 学 时 教师姓名
32学时
__唐丽 唐丽__ 唐丽
对
复变函数（自变量为复数的函数） 象 复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系， 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 具体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 共形映射等。
例3. 求 (1) 1 + i ( 2) i ( 3) − 3 (4) − 1 − 3i 的模 , 辐角及辐角主值 .
−π
2
例4. 求 (1) e ( 2) 3e ( 3) e
2i
−i
2
的模 , 辐角.
例5. 将z = sin
π
5
+ i cos
π
5
化为三角形式与指数形 式.
§3 复数的乘幂与方根 复数的乘幂 乘幂与
∴ 复数 z = x + iy可用平面上坐标为 ( x， y )的点 P表示 .
x 此时， 此时， 轴 — 实轴 y轴 — 虚轴 平面 — 复平面或 z平面
点的表示： 点的表示：z = x + iy ↔复平面上的点 ( x， ) P y
֠
同义. 数z与点z同义.
2. 向量表示法
Qz = x + iy ↔点 ( x， ) ↔OP = {x, y} P y OP z ∴可用向量 表示 = x + iy .
z1 x1 x 2 + y1 y2 x 2 y1 − x1 y2 z= = +i 2 2 z2 | z2 | | z2 | ( z 2 ≠ 0)
•运算规律 运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 与实数相同） （与实数相同）即， z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； ； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
Argz1 = π + 2m π m = 0, ± 1, ± 2, L
Argz 2 =
π
2
+ 2 nπ
n = 0, ± 1, ± 2, L
π Arg ( z1 z 2 ) = − + 2kπ k = 0, ± 1, ± 2,L 2 π 3π 代入上式 + 2(m + n )π = − + 2kπ 2 2
֠ ֠ ֠
当z落于一,四象限时，不变。 落于一,四象限时，不变。
π。 落于第三象限时， 当z落于第三象限时，减 π 。
当z落于第二象限时，加 落于第二象限时，
y π − < arctan < 2 x 2
π
由向量表示法知
z 2 − z1 — 点z1与z 2之间的距离
由此得 : z 2 + z 1 ≤ z 2 + z1 z 2 − z1 ≥ z 2 − z1
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 1789-1866)和K.Weierstrass(1815A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(18151897)分别应用积分和级数研究复变函数 分别应用积分和级数研究复变函数， 1897)分别应用积分和级数研究复变函数， (1826-1866)研究复变函数的映照性 G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性 他们是这一时期的三位代表人物。 质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的 巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗 巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论， 透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体 力学和电学等方面也得到了很多的应用。 力学和电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来， 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理 论物理、弹性理论和天体力学等方面， 论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其 它分支的联系也日益密切。 它分支的联系也日益密切。
L z1 z z2
(j=1,2)的直线； 的直线；
（2）中心在点(0, -1), ） 的圆。 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) ） （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 什么图形？ 解 设 z = x + iy
1. 复数的乘积与商 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 复数的乘幂 3.复数的 3.复数的方根 复数的方根
1. 乘积与商
定理1 定理 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
3.共轭复数 共轭复数
的共轭复数. 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数 •共轭复数的性质
(1) ( z1 ± z 2 ) = z1 ± z 2
( z1 z 2 ) = z1 z 2
(conjugate)
(2) z = z
1 z (3)zz = Re(z) + Im z) = x + y ⇒ = 2 ( z | z|
y
(z)
z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
x = r cosθ 由 得 y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r(cosθ + i sinθ )
z = re
Hale Waihona Puke iθ引进复数的几何表示， 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 或不等式）表示；反之， 或不等式）来确定它所表示的平面图形。 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。 y (z) 用复数方程表示: 例1 用复数方程表示 （1）过两点 zj=xj+iyj ）
2 2 2 2
z1 z1 ( )= z2 z2
(4)z + z = 2 Re(z ) z − z = 2i Im(z )
例1 : 设z1 = 5 − 5i , z 2 = −3 + 4i , z1 z1 , ( )及它们的实部 , 虚部 . 求 z2 z2
z1 5 − 5i 7+i 解: = = z 2 − 3 + 4i −5
第一讲 复数
CH1 §1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数 共轭复数
1. 复数的概念