一章复变函数和解析函数
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第一章 复变函数和解析函数解析
f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
一章复变函数和解析函数
2020/4/29
2
课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
(3)复数的指数函数表示
复数的三角函数表示式
z(cosisin)
利用欧拉公式 eicosisin,
复数可以表示成
z ei 复数的指数表示式
2020/4/29
16
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
注意 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
2020/4/29
26
例1.4 求 (3)5和 21i 的 值 .
e 解 (3) 5 e 5ln(3)
5(ln3i2ki)
3 5 [c o s5 (2 k 1 ) is in5 (2 k 1 )],
Euler把 1 作为特 殊的数 2020/4/29
2
sin x 1 e 1x e 1x 2 1
9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
第一章复变函数
9
3）积： 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。 内点的定义， 内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。 外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称 为点集E的外点。 为点集E的外点。
19
（4）境界点与境界线： 境界点与境界线： 境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点 的境界点。 有不属于E的点。 有不属于E的点。点 Z 0称为该点集 的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
17
§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域： 复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义： 、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律 按照一定的规律， 与之相对应， 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为 的宗量。定义域为E 则称 为Z的函数--复变函数,z称为 的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。
3）积： 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。 内点的定义， 内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。 外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称 为点集E的外点。 为点集E的外点。
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（4）境界点与境界线： 境界点与境界线： 境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点 的境界点。 有不属于E的点。 有不属于E的点。点 Z 0称为该点集 的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
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§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域： 复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义： 、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律 按照一定的规律， 与之相对应， 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为 的宗量。定义域为E 则称 为Z的函数--复变函数,z称为 的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。
《复变函数》第1章
实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1
复变函数的基本概念及运算
定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数，因此复函数将具有独特的性质。
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
复变函数(1.2.1)--复变函数及其极限与连续性
v
x, y
= v0
证明 必要性
lim
zﾮ z0
f
(z)
=
A
�
"e > 0, $d > 0, (u + iv) - (u0 +
当0< (x iv0 ) < e ,
+
iy) -
( x0
+
iy0 )
<
d
时,
(u - u0 ) + i(v - v0 ) < e , u - u0 < e , v - v0 < e ,
定理 1.1 （极限计算定理）
设 函 数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + iy0
( ) ( ) ( ) lim f
z ﾮ z0
z
= A � lim u x, y
xﾮ yﾮ
xy00
=
u0 ,
lim
xﾮ yﾮ
xy00
故
lim
x y
xy00
u(
x,
y)
=
u0
,
lim
x y
xy00
v(
x,
y)
=
v0
.
充分性
.若
lim
x y
xy00
u( x,
y)
=
u0 ,
lim
x y
xy00
v(
x,
y)
=
v0
,
那么当 0 < ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 < d 时,
复变函数论第1章
实轴：x 轴 虚轴：y 轴 实轴上的点表示实数； 虚轴上的点表示纯虚数(除了原点外)
向量表示： Oz (由原点引向点z的向量)
向量表示方式建立了复数集C与平面向量 Oz 所成的集合的一一对应
复数z的模：向量 Oz 的长度，记为 |z| 或r .
2 2 r a b 0 z
Re z z ,
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2 .
复数相乘：模相乘，辐角相加 .
17
z1 w z1 wz2 z2
z1 w z2
z1 z1 | w | z2 z2
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域 D( z0 , ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点. z0为E的边界点：z0的任意邻域内，既有 属于E中的点，
10
极坐标：(r, ） a = rcos, b = rsin, r = |z| 复数z的辐角：正实轴与从原点O到z 的射线的夹角，记为 Argz
主辐角（或辐角主值）：满足 π π 的辐角， 记为 = argz， 于是有Argz = argz+2k, k=0,±1,±2,…
2) ( z w) z w,
3) zw z w .
zw z w,
z z ( ) ( w 0). w w
4)
z z . w w
向量表示： Oz (由原点引向点z的向量)
向量表示方式建立了复数集C与平面向量 Oz 所成的集合的一一对应
复数z的模：向量 Oz 的长度，记为 |z| 或r .
2 2 r a b 0 z
Re z z ,
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2 .
复数相乘：模相乘，辐角相加 .
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z1 w z1 wz2 z2
z1 w z2
z1 z1 | w | z2 z2
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域 D( z0 , ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点. z0为E的边界点：z0的任意邻域内，既有 属于E中的点，
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极坐标：(r, ） a = rcos, b = rsin, r = |z| 复数z的辐角：正实轴与从原点O到z 的射线的夹角，记为 Argz
主辐角（或辐角主值）：满足 π π 的辐角， 记为 = argz， 于是有Argz = argz+2k, k=0,±1,±2,…
2) ( z w) z w,
3) zw z w .
zw z w,
z z ( ) ( w 0). w w
4)
z z . w w
第一章第二节复变函数
b0 b1z b2 z2 ... bm zm
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
f(z)Ae
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
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2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
数学物理方法第一章-复变函数导论
24
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
复变函数-解析函数
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
复变函数理论与解析函数的性质
复变函数理论与解析函数的性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复变量的函数。
复变函数与实变函数有着明显的区别，它们的性质和行为也有很大的不同。
本文将探讨复变函数理论的一些基本概念和解析函数的性质。
一、复变函数的定义和基本性质复变函数是指定义在复数域上的函数。
复数可以表示为实部与虚部的和，即z = x + iy，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。
一个复变函数可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部的函数。
复变函数的定义域是复平面上的一个开集。
复变函数的基本性质包括解析性、连续性和可微性。
解析性是指函数在其定义域内处处可导，即函数的导数存在。
连续性是指函数在其定义域内连续。
可微性是指函数在某一点处可导。
对于复变函数来说，解析性和可微性是等价的，即函数在某一点处可导当且仅当函数在该点处解析。
二、解析函数的性质解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它具有许多重要的性质。
首先，解析函数是无穷可微的，即它的导数、二阶导数、三阶导数等都存在。
这个性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁场的分析和量子力学中的波函数描述等。
其次，解析函数满足柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部满足柯西-黎曼方程的偏导数条件。
这个方程表明解析函数的实部和虚部是相互独立的，它们的变化是相互约束的。
柯西-黎曼方程的满足使得解析函数具有一定的几何性质，例如保角性和共形映射等。
此外，解析函数还具有唯一性定理和辐角原理等重要性质。
唯一性定理指出，如果两个解析函数在某个区域内的实部和虚部都相等，那么它们在该区域内是相等的。
辐角原理是指解析函数的辐角的变化是连续的，且在某个区域内的辐角变化总和为零。
三、解析函数的应用解析函数在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，解析函数常用于复积分、级数和变换等问题的求解。
在物理学中，解析函数常用于电磁场的分析、流体力学中的势函数描述等。
复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数
|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
成绩：
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
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1743年，发表了Euler公式 cos x 1 e 1x e 1x
Euler把 1 作为特 殊的数 2019/7/26
2
sin x 1 e 1x e 1x 2 1
9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式
考虑解方程： x2 1。 显然，此方程在实数集中是无解的。
( 4 ) z z 2 R e ( z ) ,z z 2 i I m ( z ) .
以上各式证明略.
2019/7/26
20
• 例1.2 某化工厂计划修建两个深度相同的方池， 甲池面积为3平方米，乙池为立方池，其容积比甲 池大1立方米。问方池的深度应为多少？
解：设方池的深度为x。按设计要求有
为了求出方程的解 cos x 1 e ix e ix 2
i 1 i2=–1
sin x 1 eix e ix 2i
2019/7/26
10
定义
i-虚数单位 满足：i2=-1
对于" x, y R, 称 z x iy 为复数
18
共轭 共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相 反的两个复数称为共轭复数.
z的 共轭复数记为 z,
若 z x iy , 则 z x iy . 例1.1 计算共轭复数 z x yi 与 z x yi 的积.
解 (xiy)(xiy)x2 (iy)2 x2y2.
1.2 复变函数及其导数 柯西—黎曼条件
1 复变函数及其导数 (1)初等解析函数
指数函数
这里的ex是实 指数函数
定义 设z x iy. 称ez e x (cos y i sin y)为z的指数函数.
实的正、 余弦函数
三角函数
定义 sin z eiz eiz ,称为正弦函数. 2i
利用欧拉公式 eicosisin,
复数可以表示成
z ei 复数的指数表示式
2019/7/26
16
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
y x
o
那么复数（复矢量）可以表示为
xx
z= x iy= c o s isin . 复数的三角表示式
复矢量的长度称为复数的模或绝对值
z =ρ= x2 +y2 .
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z, y z, z x y .
2019/7/26
14
y
y
z
复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或 一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚 轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。
复数的矢量表示法
y
y
P(x,y)
z
o
xx
2019/7/26
13
y
如图：
y
P(x,y)
xcos x2 y2
z
y sin
arctan
对复平面内的所有点 z 都是连续的;
有理分式函数 wRzP(z), Qz0
Q(z)
其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
2019/7/26在复平面内分母不为零的点是连续的.
24
对数函数
对数函数定义为：
ln z ln e i ln i
lni02ki (k0 , 1 ,2 , ).
2019/7/26
1
教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京
大学出版社，2019年7月
二、主要的参考书： 于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2019年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70% 联系方式：
z2 x2iy2
x22y22
x22y22
1exp[i(12)] 2
x2iy2 0
n次幂
znei
n
nein
n次根幂
n z n ei n ein
i02k
n e n ,
k0,1,2,
,n1
逼近
2019/7/26
z z0 x x0,y y0
cos z eiz eiz ,称为余弦函数.
2
2019/7/26
22
tan z sin z 称为正切函数. cos z
余切函 cozt 数 cozs, sizn
正割函 sezc数 1 , cozs
余割函 cszc 数1 . sizn
例1.3 解方程 sin z0
解
2019/7/26
设：z1=x1+i·y1 z2=x2+i·y2
z1= z2 x 1x2,y1y2
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时 等于0.
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说:
复数不能比较大小!!!
2019/7/26
12
（2）复平面表示与复数三角式
2019/7/26
7
2019/7/26
• 莱昂哈德·保罗·欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数 学家和物理学家，近代数学先驱 之一，他一生大部分时间在俄罗 斯帝国和普鲁士度过。
• 欧拉在数学的多个领域，包括 微积分和图论都做出过重大发现。 他引进的许多数学术语和书写格 式，例如函数的记法"f(x)"，一直 沿用至今。此外，他还在力学、 光学和天文学等学科有突出的贡 献。
注意 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
2019/7/26
26
例1.4 求 (3)5和 21i 的 值 .
e 解 (3) 5 e 5ln(3)
5(ln3i2ki)
3 5 [c o s5 (2 k 1 ) is in5 (2 k 1 )],
(k0,1,2, ,)
27
例1.5 解方 ez 1 程 3 i 0 . 解 因ez为 13 i,
所以zln(1 3i)
ln1 3ii 32k ln2i32k
结论：两个共轭复数的积是实数
即 ： zzz2 x2y2.
注意: 2019/7/26
z2(x2y2)i2xy
19
共轭复数的性质:
(1 )z1 z2 z1 z2; z1z2z1z2;
z1 z2
z1 z2
;
(2)zz;
( 3 )z z R e ( z ) 2 I m ( z ) 2 x 2 y 2 ;
2019/7/26
5
2019/7/26
6
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。
教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；
教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
P(x,y)
在 z 0的情况下, 以正实轴为始边 , 以o 表示 x x
z 的向量oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角,
记作 arg z .
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
如果 是其中一个幅角, 那么 z 的全部幅角为
arg z 2kπ (k为任意整数).
x3 3x1
令
1
xu3
u13
代入上述方程有： u2u10
其根为
u1 21i 3ei3
从而
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x e i 31 3 e i 3 1 3 e i 9 e i 9 2 c o s 9 1 .8 8 ( m ) 21
Leibniz ：不可能有负数的对数
d(x)dx ln(x)lnx x x
d x d ln x 只对正数成立
x
Euler： 在1747年指出
ln(x), lnx 差一常数
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y2cosx 和 ye 1x e 1x 是同一个微分方程的解，因此应该相等
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课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
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实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
C {z | z x iy, x, y R}称为为复数集
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 别相等.
• 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国 数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾 这样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 上，他都是我们的大师” 8