复变函数-解析函数

7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
= z
23
例6 设复变函数f(z)= u(x, y)+iv(x, y),且u(x, y)
和v(x, y)都有偏导数，试证(形式地)：对于f(z),
柯西 -黎曼方程可以写成：
17
例2 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ),
问常数a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解 析?
解 记u( x, y) x2 axy by2, v( x, y) cx2 dxy y2
u 2x ay, x
u ax 2by, y
价的.
4
证明： 事实上，复变函数在区域内解析 显然在该区域内可导.
反过来，设 f (z)在区域 D内可导， 则 z D, 必存在 z 的某个邻域 U , 使得 U D, 由 f (z)在区域 D内可导，必有 f (z)在 U内可导， 即 f (z)点 z 处解析，由 z 的任意性，得证.
5
例 7 研究函数 f (z) z 2 的解析性.
x
x
由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), y
于是 f (z) c ic2 (常数).
20
参照以上例题可以证明: 如果 f (z) 在区域 D 内解析, 并且满足下列条件之一，
则 f (z) 在 D 内为常数.
(1) f (z)恒取实值;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
z0 x0 y0i
*
u v x y
u v y x
当 f (z在) z可 导z0 时，它在该点的导数为
f '(z) u v i v u i x x y y
条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.— R.方 程）．
教材P 54-55
11
由该定理，可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z0 x0 iy0 处的导数公式:
此时 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
u v , u v . 且四个偏导数均连续 x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析. 且 f (z) e x (cos y i sin y) f (z) ez .
偏导函数在点 均连续并且z满足 C-R 方 程，则 在点 处可导f (z。) z
由于复变函数在区域内解析与在该区域内可导是 等价的，我们有
定理2 函数f (z) = u( x, y) + iv( x, y)在其定义区
域D内解析的充分条件是：u( x, y)与v( x, y)的一阶偏
导数在D内连续，并且满足C-R方程。
解 f (z0 z) f (z0 ) z0 z 2 z0 2
z
z
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z
z0
z
z0
z z
当 z0 0 时,
lim f (z0 z) f (z0 ) 0
z0
z
6
当 z0 0 时,
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
u v y x
当 f (z在) z 可z0导时，它在该点的导数为
f '(z) u v i v u i x x y y
条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.— R.方 程）．
教材(P 52-53)
10
定理2 复变函数 f (z) u(x, 点y) v(x, y)i 可导的充分必要条件是： ⑴函数 u( x与, y) v在( x, y) 可z0微 x．0 y0i ⑵ 在该点满足方程
8
（5） 函数解析的充要条件
Cauchy-Rieman方程
9
*
定理1 复变函数 f (z) u(x, y点) v(x, y)i z0 x0 y0i
可导（可微）的必要条件是：
⑴函数 u( x,与y) v在( x, y) 存z0 在= x0偏+ y导0i 数
⑵ 在该点满足方程
u v x y
解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象。 这里首先介绍复变函数导数的概念，然后 讨论复变函数在解析的概念和充要条件， 最后介绍几个常见初等函数的解析性。
1
一个函数的导数定义为一个特殊的极限
f '(a) lim f ( x) f (a) xa x a
形式上可以认为该极限式与变量是实的还是复的无关，对
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (7) v u2;
(6) Im[ f (z)] 常数; (8) arg f (z) 常数.
21
例5 试证函数f(z)=ln|z|+iargz 在角形域
-π<arg(z)<π解析，且在该区域内有f'(z)= 1.
z
解 由题意:u(x,y)= 1ln(x2 + y2 ),v(x, y)= arctan y(x >0),
2
§2-1 解析函数的定义与柯西-黎 曼方程
一 解析函数的概念 (1) 导数的定义链接-导数定义.ppt
(2) 可导与连续及可微的关系 链接-可导与连续.ppt (3) 求导法则链接-求导法则.ppt (4) 解析函数的定义
3
(4) 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 的某个邻域内处处可导,
1 2
i
v x
i
v y
0
由此可见，解析函数是以 f = 0为其特征。因此我们说一个
z
解析函数与z无关，而是z的函数
25
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式或求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在，则可直 接断定 f (z) 在 D内解析. (2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u, v 在 D内 的各一阶偏导数连续(因而 u( x, y), v( x, y)在 D 内可微)，且满足 Cauchy Riemann 方程, 则 由解析函数的充要条件断定 f (z) 在 D内解析.
v 2cx dy, x 欲使 u v ,
x y
v dx 2 y, y u v , y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
18
例3 如果 f(z) 在区域 D 内解析，且| f(z)| 是一个常数,
z z
x x
iy iy
1 i y
1
i
x y
1 ik 1 ik
x
由于 k 的任意性, z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim f (z0 z) f (z0 )不存在
z0
z
因此, h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析.
13
由该定理，可得解析函数 f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) 在 点 区域D内 的导函数公式:
f (z) = u + i v = 1 u + v . x x i y y
14
例题
例 1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w =| z |; (2) f (z) = e x (cosy + isiny); (3) f (z) = z 2 .
则f(z) 在区域 D 内为一常数.
证 由已知得：| f (z) |2 u2 ( x, y) v2 ( x, y) c
对上式两边分别对x,y求偏导得：
2uux 2vvx 0, 2uuy 2vvy 0
从而 ux uy
=
vx vy
, 结合ux
=
vy ,uy
=
-v
得：
x
ux2
+ u2y
=
0,vx2
16
(3) f (z) = z 2 = x2 - y2 - 2xyi,
此时 u = x2 - y2 , v = -2xy,
u = 2x, u = -2 y,
x
y
v = -2 y, v = -2x.
x
y
仅当 x 0时, 满足Cauchy Riemann方程 ,
故函数 w z 2 仅在直线 x 0 上可导, f (z) z 2 在复平面内不解析.
f
(z0 )
u x
i
v x
1 i
u y
v y
.
解析函数的第二等价定理 P126 解析函数的第三等价定理 P128
12
由于一个二元实函数在某点可微的充 分条件是：它的两个一阶偏导数在该点 不仅存在，而且是连续。由此可得：
推论 设 f (z) u(x, y。) 若v(x, y)i 和 u(的x, 四y) 个v一( x,阶y)
2
x
或
v(x,
y)=
arccos[x
/
(x2
+
y2
1
)2 ](y
1
> 0)
,
-arccos[x /(x2 + y2)2](y <0)
通过求偏导数的计算，不论为哪种形式，均有
u'x = v'y = x / ( x2 + y2 ), u'y = -v'x = y / ( x2 + y2 )
22
从而f(z)在所给区域内解析,并且有
+
v
2 y
=
0
所以 u 常数, v 常数,
因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
19
例4 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在区域D内解
析, 并且v u2 , 求 f (z).
解
u v 2u u ,
(1)
x y y
u v 2u u , (2)
y x
x
将(2)代入(1)得 u (4u2 1) 0, u 0,
(3) 解析函数是以 f = 0为其特征。因此我们 z
说一个解析函数与z无关，而是z的函数
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容易得到
在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析.
设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
于求导的四则运算和复合运算也都有效。 实的自变量与复的自变量之间到底有无区别呢? 例如：1）设f(z)为在z=a处可导的复变量的实函数，由上述
定义可得f(z)在a处不可导或导数为0. 2）一个实变量的复函数可以转化为实的情形 3）复变量的复函数的导数的存在对函数的结构 性质有着新而深远的意义---复函数论的重要主题
f = u + i v = 0 z z z 证明 二元函数u(x, y),v(x, y)有偏导数，可以
写成z = x + iy及z的函数：
从而
u=u( z + z , z - z ),v=v( z + z , z - z )
2 2i
2 2i
u z
=

u x
x z
+
u y
y z
1
2
u x
i
u
y
24
u=u( z + z , z - z ),v=v( z + z , z - z )
2 2i
2 2i
从而
u z
=
u x
x z
+
u y
y z
1 2
u x
i
u y
同理
v z
1
2
v x
i
v y
,
v z
1
2
v x
i
v y
利用柯西---黎曼方程，综合以上得
u z
i
v z
1
2
u x
i
u y