复变函数解析函数
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件
复变函数解析的条件是指函数在某个区域内能够解析（即可导）。
在复平面上，复数可以表示为z=x+iy，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数是指将复数映射到其他复数的函数。
复变函数解析的条件包括以下几个方面：
1. 实部和虚部的偏导数存在且连续：如果一个复变函数在某个区域内的实部和虚部的一阶偏导数都存在且连续，那么该函数在这个区域内是解析的。
也就是说，函数对于复平面上的每个点都是可导的。
2. 柯西—黎曼方程：柯西—黎曼方程是解析函数的一个重要条件。
它要求函数的实部和虚部满足一定的关系。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个复变函数，如果f(z)在某个区域内解析，那么它的实部和虚部满足以下柯西—黎曼方程：
u/x = v/y
u/y = -v/x
这些方程表明了实部和虚部的偏导数之间的关系。
3. 单连通区域：如果一个区域是单连通的，那么在这个区域内的函数都是解析的。
单连通区域是指没有孔洞或环绕的区域，其中任意两点之间都可以通过一条连续的路径相连。
例如，一个圆形区域就是单连通的。
4. 几何性质：解析函数在某个区域内具有一些重要的几何性质，比如保持角度和保持面积。
总之，复变函数解析的条件包括实部和虚部的连续性、柯西—黎曼方程的满足、区域的单连通性以及几何性质的保持。
这些条件保证了函数在区域内的解析性质，使得我们可以进行复变函数的分析和计算。
复变函数2
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数
u x, y x y xy ,
2 2
求一解析函数 f z u iv 使 f 0 0. 解： （法一） ux 2x y , u y 2 y x
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v
2 x y dy
2
1 2 2 xy y c x vx 2 y c x , 2 1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c ,
u与v是区域D内的调和函数 证明：f ( z)在D内解析 u x v y , vx u y ,
u xx vxy , u yy vxy uxx u yy 0. 同样可得 vxx v yy 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv 不一定是解析函数 .
2
2
lim (2 z Δ z ) 2 z .
Δ z 0
所以 f '(z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。）
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f ( z z ) f ( z ) [解] 这里 lim z 0 z ( x x) 2( y y )i x 2 yi x 2yi lim lim z 0 z 0 x yi x yi x 2yi x lim 1. 取z x 0, lim z 0 x yi z 0 x x 2yi 2y 取z iy 0, lim lim 2. z 0 x yi z 0 y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中一个非常重要的分支，也是其它自然科学中涉及到复数的问题所必须掌握的基础知识。
它的研究对象是由复变量组成的函数，在复平面上有非常丰富的性质和应用。
解析函数是复变函数中的一个重要概念，是指在某个区域内可导的复变函数，它在物理、工程、数学等领域中有着广泛的应用。
一、复变函数基础复数包含实数和虚数两个部分，即 $z=a+b i$，其中 $a$ 和$b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复平面可使用一个点 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b i$，其中向上为正方向，向右为正方向。
我们可以将复平面分为实轴和虚轴两部分，实轴上的点是实数 $a$，虚轴上的点是复数 $b i$。
对于一个复变量 $z=x+y i$，可以分别表示为实部 $x$ 和虚部$y$，即 $x=Re(z), y=Im(z)$。
其中，共轭复数（conjugate complex）的实部不变、虚部相反，即 $z^* = x - yi$。
绝对值定义为模长（modulus）或者复数的模数（magnitude）：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。
表示复数 $z$ 在复平面上到原点的距离。
二、复变函数的概念在实数域上，函数是由一个或多个自变量构成的表达式或规则，对应一个或多个因变量。
像$y=f(x)$ 这样的表达式就是一个函数。
在复数域上，一个函数 $f(z)$ 由一个复变量 $z=x+y i$ 构成，可看作 $(x,y)$ 上的某种标量函数。
即对于 $x,y \in \mathbb{R}$，$z=x+y i \in \mathbb{C}$，$f(z)$ 可以表示为$f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ 的形式，其中 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是实函数。
我们可以把 $\mathbb{C}$ 中的点 $z$ 对应到复平面上，把点$z$ 对应的函数值 $f(z)$，对应到复平面上的另一个点 $w$。
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，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
实函数 , f(x中 )x2在( , )内可; 导 复函数 , f(z中 )z2的可导 ? 性
7
例2 已f知 (z)(z25z)21，f'求 (z)
z1
解 f(z)2(z25z)2 (z5)(z 11)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
9
(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
10
(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
均是D内的解析函数。
13
由 以 上 讨论 P(z)a0 a1zanzn是整个复平面上函的数解； R(z) P(z)是复平面 (除上分母0点 为外 )的解析函 . 数
Q(z)
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值
证明 lim(zz)Rez(z)zRez
z0
z
z Rez( z) zRez
lim
z0
z
lzi m 0zR z ez0 lim (Rze(z)z
z0时 x )不 存 ! 在 z0时
z 0
xiy
lz i0 m x xiy 1 0 当 当 x y 0 0,, x y 0 0时 时 不 存
12
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)
11
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
?
证明:若f (z
f
(z0
z) z
f
(z0)
f
(z0)
,
令z
f (z0 z) z
f (z0)
f (z0),则lzi m0z 0,
由此可得 f (z0 z) f (z0) f (z0)z zz,
lim
z0
f (z0
z)
f (z0),所 以f (z)在z0连 续
zz0 z zz0 zz0
lim(zz0)(zn1 zz0
zn2z0 zz0
z0n1)
n
zn1
0
5
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f(z)' f'(z)g (z)f(z)g '(z)
16
一. 解析函数的充要条件
设函 w数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在点 zxiy可,导 则
f(zz)f(z) z
[u (x x ,y y ) i(x v x ,y y ) [ ] u (x ,y ) i(x v ,y )] x i y
17
若沿平行于实轴z的 方 z式 z(y0)
g (z)
g2(z)
,(g (z)0 )
由以上讨论 P(z) a0 a1zanzn在整个复平面上导 处； 处 R(z) P(z)在复平面上（除0分 外母 ）为 处处可 . 导
Q(z)
6
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1
当 z取 当 z取
纯 实虚 数 0时 0,时 数 趋 f,f趋 于 z z 1于 ;0; lzim0 fz
不
存
在 .
4
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有
limlimzn z0n
解 limf(zz) f(z)
z0
z
xx2(yy)i (x2yi)
lim
z0
xiy
lz i0 m x x 2 y yi i 1 2当 当 x y 0 0,, x y 0 0时 时 不存 ! 故 函f(数 z)x2y处 i 处 不. 可 导
8
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
第二章 解析函数
1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 limf(z0z)f(z0)存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 f'(z0)d dw z zz0 lz i0m f(z0 zz )f(z0)
f(z)limf(zz)f(z)
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。
3
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1 证明 : f(z)Rez在平面上的任何可点导 .都不
证:明 f Rze(z)Rze)(
z
z
x x x x x iy x iy
集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
14
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2.举例
15
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？