第一章 复变函数和解析函数
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《复变函数》第1章
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
第一章复变函数
z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
复变函数的可导与解析
复数的方根：
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
第一章 复变函数和解析函数解析
f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
复变函数第一章 1-2
复变函数论的全面发展是在十九世纪， 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直 接扩展统治了十八世纪的数学那样， 接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的 分支统治了十九世纪的数学。 分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函 数论是最丰饶的数学分支， 数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 他们都是创建这门学科的先驱。 他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 了大量的研究工作， 了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领 为这门学科的发展做出了贡献。 域，为这门学科的发展做出了贡献。
共轭复数的运算性质：
z = x + iy, 称 x − iy 为复数 z 的共轭复数，记为 z
(1)
z=z
z1 ± z 2 = z1 ± z 2
z1 = z ( z 2 ≠ 0) 2
z+z z−z (5) Re z = , Im z = 2 2i
(6) zz = [Re z ] 2 + [Im z ] 2 (7)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数ppt第一章
y
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
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2015-1-19
7
2015-1-19
• 莱昂哈德· 保罗· 欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数学 家和物理学家，近代数学先驱之 一，他一生大部分时间在俄罗斯 帝国和普鲁士度过。 • 欧拉在数学的多个领域，包 括微积分和图论都做出过重大发 现。他引进的许多数学术语和书 写格式，例如函数的记法"f(x)"， 一直沿用至今。此外，他还在力 学、光学和天文学等学科有突出 的贡献。 • 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国数 学家皮埃尔-西蒙· 拉普拉斯曾这 样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 8 上，他都是我们的大师”
2015-1-19
两个复数相乘等于它们的 模相乘，幅角相加
17
除法
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 z2 x2 iy2 x 2 y2 x22 y22
x
2
iy2 0
1 exp[i(1 2 )] 2
z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
=(x1± x2) +i(y1± y2 )
乘法
z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ) 1 2 exp[i(1 2 )]
2015-1-19
x2 y2.
19
注意:
z 2 ( x 2 y 2 ) i 2 xy
共轭复数的性质:
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
( 2) z z;
(3) z z Re( z ) Im( z ) x 2 y 2 ;
x 3x 1
3
令 x u u
1 3
1 3
代入上述方程有： u 2 u 1 0 其根为 从而
x e
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i 3
1 3
u
i 3 1 3
1 2
1 i 3 e
i 9
i 3
e e e 2cos
y 如图： 复矢量的长度OP称为复数的模 或绝对值
z = ρ= x2 + y2 .
y
P(x,y)
z
o
x
x
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z,
y z,
z x y.
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量 oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角, 记作 arg z .
e 2 iz 1 e 2 iz e 2ni z n.
(n 0, 1, 2, )
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e e , 称为双曲正弦函数 . 定义 shz 2 z z e e chz , 称为双曲余弦函数 . 2 有理整函数(多项式) w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
n次幂 n次根幂
z e
n
n n
i
i
n
e
n in
z e n eΒιβλιοθήκη i n eni
n
0 2 k
, k 0,1, 2,
, n 1
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逼近
z z0 x x0 , y y0
共轭 共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相 反的两个复数称为共轭复数.
实的正、 余弦函 数
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sin z tan z 称为正切函数 . cos z cos z 余切函数 cot z , sin z 1 正割函数 secz , cos z 1 余割函数 csc z . sin z 例1.3 解方程 sin z 0
解
e iz e iz e 2 iz 1 sin z 0 iz 2i 2ie
1.0问题的提出
负数有对数吗？
d( x) dx ln( x) ln x Bernoulli：负数的对数是实数 x x dx Leibniz ：不可能有负数的对数 x d ln x 只对正数成立
ln(-x)与ln(x)间存在联系吗？
Euler： 在1747年指出
ln( x), ln x 差一特殊的数 y 2 cos x 和
ln x
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z eiargz x xe i i 2 k
ln xe i 2 k
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ln x ln e i i 2 k ln x i 2ik
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符) 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：
y e
1x
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
1743年，发表了Euler公式
Euler把 1 作为特 2015-1-19殊的数
答疑教室：钱伟长楼220室
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课程讲授计划
• • • • • • • • • • • 第一章 复变函数和解析函数（4） 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（4） 第三章 复变函数级数 泰勒维数和洛朗级数（6） 第五章 定积分的计算（2） 第七章 傅里叶变换（6） 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） 第九章 数学物理方程的定解问题（4） 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（8） 第十一章 积分变换法（4） 第十二章 球坐标下的分离变量法（6） 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（4）
1x
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1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式 考虑解方程：
x 2 1。
显然，此方程在实数集中是无解的。 为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单位. 欧拉公式 对虚数单位的规定:
i 1 方程的解: x 11 i 1= i 2015-1-19
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y
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
y
P(x,y)
z
0
如果0 是其中一个幅角,
o
x
x
那么 z 的全部幅角为
arg z 0 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z 0 时, z 0, 幅角不确定.
幅角主值的定义: 在z(≠0)的幅角中，把位于０< <2π的 称为 arg 0 z的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系
8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
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学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导
必要条件、掌握解析函数的概念、函数
解析的充要条件、复势的概念。 教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件； 教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
指数函数
ex
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1 复变函数及其导数
(1)初等解析函数： 指数函数 这里的ex是实 指数函数
定义 设z x iy . z x 称e e (cos y i sin y )为z的指数函数 . 三角函数
定义
iz e e sin z , 称为正弦函数 . 2i iz iz e e cos z , 称为余弦函数 . 2 iz
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复变函数论（theory of complex functions）的目的：
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意 义。
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主要内容:
1 复变函数和解析函数
2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等
4 解析函数（自学） 5 定积分的计算 6 δ函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学） 7 傅立叶变换和色散
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1
教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京 大学出版社，2002年7月 二、主要的参考书：
于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2007年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70%
联系方式：zyx@
i 9
9
1.88(m)
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1.2 复变函数及其导数 柯西—黎曼条件
在实数域，我们已熟悉下列初等函数
ix e e , 称为正弦函数 . 三角函数 sin x 2i e ix e ix cos x , 称为余弦函数 . 2 sin x tan x 称为 正切函数 . cos x 双曲函数 x x e e shx , 称为双曲正弦函数 . 2 x x e e chx , 称为双曲余弦函数 . 2015-1-19 2 ix
i2=–1
1 ix ix cos x e e 2 1 ix ix sin x e e 2i