复变函数第二章解析函数的概念

z 如果函数 f (z) 在区域 D内处处可导, 我们 就称 f (z) 在区域内D 可导.
4
例1 求f (z) z2的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z) 2z. z0
(z2 ) 2z
5
例2 讨论f (z) Im z的可导性.
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 1,
z0 z z0
z
y0 x iy i
x0
当点沿不同的方向使z 0时,极限值不同,
故f (z) Im z在复平面上处处不可导.
注：讨论函数在某点的可导性与讨论极限是否存在的方法类似.
解 f f (z z) f (z) Im( z z) Im z
z
z
z
Im z Im z Im z Im z
z
z
Im( x iy) y , x iy x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
6
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
因为 lim (z) 0, z0
所以
lim
x0
1
lim
x0
2
0,
y0
y0
32
由此可知 u( x, y) 与 v( x, y) 在点( x, y) 可微, 且满足方程 u v , u v . x y y x
(2) 充分性. 由于 f (z z) f (z) u( x x, y y) u( x, y)
第二章 解析函数(6学时)
基本要求：
1、正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析 两概念之间的关系，弄清复变函数可导与其实部、虚部作为 二元函数可微之间的联系与差别.
2、能运用C-R条件判别给定函数的解析性.
3、熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函 数的求导公式 .
4、要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函 数u和v，求解析函数u+iv.
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z)与z (w)是 ( w )
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
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4.微分的概念:
复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数w f (z)在 z0 可导, 则 w f (z0 z) f (z0 ) f (z0 ) z (z)z, 式中 lim (z) 0, (z)z 是 z 的高阶无穷
故有 u v , u v x y y x
上式称为柯西－黎曼方程。
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注：柯西－黎曼方程是可导的必要条件，例:
f (z) u(x, y) iv(x, y),其中
u(x,
y)
v(x,
y)
x2
xy y2
,
x2
y2
0
0
, x2 y2 0
在点（0，0）处满足柯西－黎曼方程，但不可导。
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定理 (1) 在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析. (2) 设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [g(z)] 在 D内解析.
5、要记住自变量取复值时初等函数的定义和它们的一些重 要性质.
1
2.1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考
2
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f (z) 定义于区域 D, z0 为D中的一
点,点 z0 z 不出 D 的范围,
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在,
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
31
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
于是 u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
11
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f (z)g(z) f (z)g(z)
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g2(z)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
f (z0 )
,
令 (z)
f (z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
9
则 lim (z) 0, z0
因为 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
所以
lim
z0
f (z0 z)
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
[证毕]
例 f (z) z 在z 0 处连续但不可导。 f (z) Re z 在C上处连续但不可导。
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析. 如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称
f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
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2. 奇点的定义
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
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例4 研究函数 f (z) z2, g(z) Im z 和 h(z) z 2的解析性.
解 由本节例1和例2知: f (z) z2 在复平面内是解析的;
g(z) Im z 处处不可导，所以不解析。 而 h(z) z 2 仅在z 0可导, 所以处处不解析。
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例5 研究函数 w 1 的解析性. z
设函数若 f (z)解析，则
f (z) lim f (z Δ z) f (z) lim Δ u i Δ v
Δ z0
Δz
Δx0 Δ x i Δ y
y0
z沿x轴方向趋于0
u(x, y) x
i v(x, y) x
ux
ivx
z沿y轴方向趋于0
i
u(x, y
y)
v(x, y
y)
iuy
vy
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证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的 z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
z0
x
故f (z)在z 0可导，在其他点均不可导.
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2.可导与连续:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 根据在 z0 可导的定义,
0, 0, 使得当0 | z | 时,
有
f
( z0
z) z
f
(z0 )
y 0
x iy
, 1 ik
与方向有关.
x0
20
所以 lim f (z z) f (z) 不存在.
z0
z
即当 z 0时, f (z) 不可导,
因此 f (z) 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都不 可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
课堂练习 研究函数 w 1 的解析性. z
答案 处处不可导,处处不解析.
以上定理的证明, 可利用求导法则.
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根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
(2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为 Q(z)
零的点的区域内是解析的, 使分母为零的点是 它的奇点.
例7：求函数f
(z)
z5 z 的解析性区域及导函数。 4z2 1
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三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法.
z0
z
那末就称 f (z) 在z0可导.这个极限值称为 f (z) 在 z0
的导数,
记作
f (z0 )
dw dz zz0
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 ) .
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在定义中应注意: z0 z z0(即z 0)的方式是任意的. 即z0 z在区域D内以任意方式趋于z0时, 比值 f (z0 z) f (z0 )都趋于同一个数.
f (z) 在点 z0 解析必在 z0 可导, 反之不对. 例如 f (z) z 2 在 z0 0 处可导,
但在 z0 0 处不解析.
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2.1.2 函数解析的充要条件
设函数若 f (z) u(x, y) iv(x, y)解析
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
i[v( x x, y y) v( x, y)] u iv, 又因为 u( x, y) 与 v( x, y) 在点( x, y) 可微,
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于是
u
u x x
u y
y
1x
2y,
解 因为 w 1在复平面内除 z 0 处处可导, z
且
dw dz
1 z2
,
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点.
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选讲： 例6 研究函数 f (z) z Re(z)的可导性与解析性.
解 (1) z 0,
lim f (0 z) f (0) lim z Re(z) 0,
dw dz f (z0 ) z z,
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
f (z)在区域 D内可微.
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二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.
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思考题
复变函数 f (z) 在点 z0 可导与在 z0 解析有无区别?
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思考题答案
z0
z
z0 z
故 f (z) z Re(z) 在 z 0 处可导.
(2) z 0,
f (z z) f (z) (z z)Re(z z) z Re(z)
z
z
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Re(z) Re(z) z Re z z
令 z x iy ,
Re z
x
,
令 y kx ,
z x iy
x
1
lim
z0
小, f (z0 ) z 是函数 w f (z)的改变量 w 的 线性部分. f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
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如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
特别地, 当 f (z) z 时,
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3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函
数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
(2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
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掌握讨论复变函数在一点处不可导的方法。
例3：讨论f (z) | z |2 在复平面的可导性。
解：f (z0 z) f (z0 ) | z0 z |2 | z0 |2
z
z
z
( z0
z x
)(z z)
z yi 1
z0z0
y x
i
1
z0 ki
z
z0
z z
z x yi 1 y i 1 ki
一、主要定理
定理一 设函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域
D 内, 则 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 并且在该 点满足柯西－黎曼方程
u v , u v . x y y x