复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数

1-6 题中：

（1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析

（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。

（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。

（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。

解析函数求导： f ( z) u x iv x

4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。

（1）f z 0

z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。

令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即

u

v , u

v

f (z) u i

v

0 。

x y y x x y

由复数相等的定义得：u v u v

x y

0, 0 。

y x

所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为

常数。

5、证明函数在z

平面上解析，并求出其导数。

（1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明：设 f z u x, y

iv x, y

=

e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y).

则 u ,

y

x

( x cos y y sin y ) ， v

x, y x

x e

e ( y cos y x sin y)

u e x ( x cos y ysin y) e x

cos y

v e x cos y y sin ye

x

x cos ye x x

；

y

u

e x ( x sin y sin y y cos y)

；

v e x ( y cos y x sin y sin y)

y

x

满足

u

v , u

v 。

x

y y

x

即函数在 z

平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z

平面上

解析。

f (z)

u i

v

e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y)

x

x

8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z)

u iv u x 2 y 2

xy f (i )

1 i

。

，

，

解： u

x 2x y, u y 2 y x

由于函数解析，根据 C-R 条件得

u x v y 2x y

于是

y 2 v

2xy

(x)

2

其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得

v x

2y

( x)

u y 2y

x ，

x 2

所以

(x)

x ，即

(x)

c 。

2

于是

v

y 2 x 2 c

2xy

2

2

又因为 f (i )

1 i ，所以当 x

0, y 1 ，时 u

1 1 1 ， v

c 1得 c

2

2

所以

2

2 1

f (z) x

2 y 2

y

x

)

xy i(2xy

2 2 。

2

9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和

函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。

10、提示：求出实部和虚部对 x ，y 的一阶偏导，若不满足

C-R 条件

则肯定不是解析函数， 若满足 C-R 条件，同时满足一阶偏导存在且连

续则为解析函数。

14. 若 z x iy ，试证：（1） sin z sin xchy i cosxshy 。 证： sin z

sin( x iy ) sin xcosiy cos x sin iy

sin x e iiy e i (iy ) cos x e iiy e iiy

= 2

2i

sin x e y e y

e i (iy )

e y

2

i cos x

2

=

sin xchy i cos xshy

18、解方程

（1） e z 1 i 3

解： e z 1 i 3

i ( 2 k

)

其中 k 0, 1, 2,......

2e 3

则

z i ( 2 k )

ln 2 i(

2k ) Ln[2e

3

]

3

（2） ln z i

。

2

解：

ln z ln z

i arg z 0

i

2

即