复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

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复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)

4.有界整函数必为常数. ( )
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列收敛，则与都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设，则 .
2.若，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数与在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程在单位圆的零点个数为________.
8.设，则的孤立奇点有_________.
9.函数的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是在D解析.

复变函数积分变换复习卷及答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 $ z = a + bi $（其中 $ a, b $ 为实数），则$ \bar{z} $ 表示（）A. $ a - bi $B. $ -a + bi $C. $ -a - bi $D. $ a + bi $答案：A2. 对于复变函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，以下说法正确的是（）A. $ u $ 和 $ v $ 都是调和函数B. $ u $ 和 $ v $ 都是解析函数C. $ u $ 和 $ v $ 都是连续函数D. $ u $ 和 $ v $ 都是可微函数答案：A3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可导，则下列说法中正确的是（）A. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析B. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处连续C. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可微D. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数为0答案：C4. 已知 $ f(z) $ 是解析函数，且 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有孤立奇点，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的留数是（）A. 0B. $ \infty $C. 1D. $ -1 $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ z = x + yi $，且 $ |z| = 2 $，则 $ x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ $。

答案：42. 设 $ f(z) = z^2 $，则 $ f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ $。

答案：-5 + 12i3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数 $ f'(z_0) $ 等于 \_\_\_\_\_。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

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-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f . ( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数考试卷试题及答案

应用数理统计应用数理统计试题试题第 1 页共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1．设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域）单连通区域（B ）多连通区域）多连通区域（C ）开集非区域）开集非区域（D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3．下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4．设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（）。

()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5．设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（）。

()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

(完整版)复变函数试题及答案

C是复数其实部等于1D是复数其模等于1
2、下列命题正确的是（）
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是（）
A函数在平面上处处连续
B 如果存在,那么在解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式的值之一是（）
1、的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1，则积分
4、若是的共轭调和函数，那么的共轭调和函数是
5、设为函数 = 的m阶零点，则m =
6、设为函数的n阶极点，那么 =
7、幂级数的收敛半径R=
8、是函数的奇点
9、方程的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
1 2 3 4 5
四计算题（每小题6分，共36分）
1解： , 分
…5分
解得: 分
2解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解：
= …4分
（ <2）…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式
有m个，则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为（）
A B
C D
8、在下列函数中，的是（）
A B
C D
9、设a ，C： =1，则（）

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、证明题、(20分) 1、函数)(z f 在区域D 内解析、证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、《复变函数》考试试题(一)参考答案一．判断题1.×2.√ ３.√ ４.√ ５.√ 6.√ ７.×８.×９.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、四、证明题、1、证明设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、所以()f z =2π、由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、有界整函数必为常数、 ( )5、如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、填空题、 (20分)1、设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、函数e z 的周期为__________、7、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、三、计算题、 (40分)1、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、在复平面上取上半虚轴作割线、试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、证明题、 (20分)1、设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ ２.×３.√ ４.√ ５.×6.×７.×８.√ ９.×10.×、二、填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、三、计算题1、解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、解令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、证明题、1、证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、则0x y y x u v u v ====、即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根、而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、填空题、 (20分)1、设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、函数e z的周期为_________、3、若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、设1-=ze ,则___=z 、9、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、计算题、 (40分)1、将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、证明题、 (20分) 1、函数)(z f 在区域D 内解析、证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数试题库(含答案)

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是（ B ）(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7．argz 1z 2=( A )..A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是（ B ）.A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周；D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处（ A ）. A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ） A 解析； B 某邻域内处处解析； C.不解析。

复变函数考试题和答案

复变函数考试题和答案****一、选择题（每题5分，共30分）1. 复数 $ z = a + bi $ 的共轭复数为（）。

A. $ a - bi $B. $ a + bi $C. $ -a + bi $D. $ -a - bi $**答案：A**2. 复数 $ z = a + bi $ 的模长为（）。

A. $ \sqrt{a^2 + b^2} $B. $ \sqrt{a^2 - b^2} $C. $ \sqrt{a^2 + b} $D. $ \sqrt{a + b^2} $**答案：A**3. 函数 $ f(z) = \frac{1}{z} $ 在 $ z = 0 $ 处的性质是（）。

A. 可导B. 连续C. 可微D. 奇点**答案：D**4. 函数 $ f(z) = z^2 $ 在复平面上是（）。

A. 单叶函数B. 多叶函数C. 常数函数D. 线性函数**答案：A**5. 函数 $ f(z) = \sin(z) $ 是（）。

A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**6. 函数 $ f(z) = e^z $ 在复平面上是（）。

A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**二、填空题（每题5分，共20分）1. 复数 $ z = 3 + 4i $ 的共轭复数是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：3 - 4i**2. 复数 $ z = 1 + i $ 的模长是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：$ \sqrt{2} $**3. 函数 $ f(z) = z^3 $ 在 $ z = 1 $ 处的导数是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：3**4. 函数 $ f(z) = \frac{1}{z-1} $ 的奇点是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个函数在全平面上是解析的？A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案：B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案：C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数，其中r和θ是极坐标系下的变量。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案：A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若u和v满足柯西-黎曼方程，则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案：A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若f(z)在实轴上是解析的，则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案：C二、填空题（每空5分，共30分）1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数，则它的共轭函数为________。

答案：f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数，且满足柯西-黎曼方程的实部形式，则函数f(z)可表示为f(z) = ________。

复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数复习考卷及其答案好!

复变函数复习考卷及其答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）1. 下列函数中，哪个是全纯函数？（）A. f(z) = zB. f(z) = |z|C. f(z) = z^2 + 1D. f(z) = ln|z|2. 复变函数f(z)在z=0处解析，则下列结论正确的是？（）A. f'(0) = 0B. f(0) = 0C. f(z)在z=0的某个邻域内可展开成幂级数D. f(z)在z=0的某个邻域内不可导3. 复变函数f(z)在区域D内解析，则下列说法正确的是？（）A. f(z)在D内必定有极值B. f(z)在D内必定有零点C. f(z)在D内必定满足柯西黎曼方程D. f(z)在D内必定是单调函数4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且f'(z) ≠ 0，则f(z)在D 内？（）A. 必定有极值B. 必定是单调函数C. 必定是双值函数D. 必定是一一映射5. 下列级数中，哪个是收敛的？（）A. ∑(n=1 to ∞) z^n / nB. ∑(n=1 to ∞) (1/z)^nC. ∑(n=1 to ∞) sin(nz)D. ∑(n=1 to ∞) n^2 z^n二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）1. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y) = x^2 y^2，v(x, y) = 2xy，则f'(z) = _______。

2. 若f(z) = e^z，则f'(z) = _______。

3. 复变函数f(z)在z=0处解析，且f(0) = 1，f'(0) = i，则f(z)在z=0处的泰勒展开式为 _______。

4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且满足|f(z)| ≤ M，则f(z)在D内满足 _______。

5. 复变积分∮(C) (1/z) dz中，C为以原点为中心，半径为R的圆，则该积分的值为 _______。

(完整版)复变函数试题及答案

2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解： f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …６分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ，使符合条件 L i 0 ， L i 0

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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f . ( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）一. 判断题. (20分)1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件. （）2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （）3. 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （）4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f .（）5. 若)(lim 0z f zz →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （）6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （）7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz →一定不存在. （）8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （）9. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （）10. 若)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （）二. 填空题. (20分)1. 设iz -=11，则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn ...lim 21______________.3. 函数e z 的周期为__________.4. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________. 7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10.=)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分)1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3..))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （）2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数. （） 3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （） 5. 若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （） 6. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （）7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （）9. 若0z 是)(z f 的一级极点，则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→. （）10. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （）二. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时，z e 为实数.3. 设1-=ze ，则___=z .4.z e 的周期为___.5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。