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【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复习题2一.单项选择题1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是()(A)),(y x u 在),(00y x 处连续(B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为()(A)3-(B)2-(C)1-(D)13.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件4.下列命题中,正确的是()(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x (B)若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析(D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析5.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()(A)iπ2-(B)0(C)iπ2(D)iπ46.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ()(A)1sin -(B)1sin (C)1sin 2i π-(D)1sin 2i π7.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)仅在零点不解析(D)处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是()(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数10.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是()(A)i +-43(B)i +43(C)i -43(D)i --4311.ii 的主值为()(A)0(B)1(C)2πe(D)2eπ-12.ze 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)有可导点,且在可导点集上解析(D)处处解析13.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是()(A))(z f 在复平面上处处解析(B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --=(D))(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i 6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i 6561+15.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()(A)2iπ(B)2i π-(C)0(D)(A)(B)(C)都有可能16.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()(B)i π2-(B)0(C)iπ2(D)iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦().A .()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦().A .()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()(A)0(B)i π2(C)10(D)5i π20.积分21sin z z zdz ==⎰()(A)0(B)61-(C)3i π-(D)iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A .一B .二C .三D .四22.下列等式成立的是().A .Lnz Lnz 77=;B .)1arg()1(r =g A ;C .112=i;D .)z z Re(z z =。

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1. z0 为函数 f z 的 m 阶零点;
2. z0 为函数 f z 的 m 阶极点;

Res
z
f f
z z
,
z0

ez2
六.(15 分)写出函数
的幂级数展开式至含项为止,并指出其收敛范围。
cos z
七.(10 分)求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题(15 分,每空 3 分)
1. ln 2 i 。2. i 。3. 2 z 3 3 。4. 半平面 Re w 1 R。5.0。
4
2
三.(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件,先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷(B)
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式:闭卷
专业年级:电子科学与技术 总分 100 分,占总评成绩 70 %
注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上
三、单项选择题(15 分,每小题 3 分)
1.A。2. B 。3. A。4. C。5.C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz

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(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A)1.1 -i⼀.填空题(每⼩题3 分,共计15 分)的幅⾓是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1);3.f (z) =1 +z 2,z - sin z f (5)(0) =();f (z) =1,4.z = 0 是z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();⼆.选择题(每⼩题3 分,共计15 分)1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;(C) f '(z) =ux+ivy ;(D) f '(z) =u y +iv x.2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 .3;(B)3(z -1);(C)3(z -1);(D)3.n=1(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点⼀定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点⼀定解析;得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ?C f (z )dz = 0(C )如果 ?C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析;(D )函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是().(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共计 40 分)(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .z(2).计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;得分zd z (3)计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数;(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞五.(本题 10 分)⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、(本题 6 分)求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换,并由此证明:costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准⼀.填空题(每⼩题 3 分,共计 15 分)得分3 的幅⾓是( 2k Ln (-1 + i ) ee 1. 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.的主值是( 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 , f(5)(0) = ( 0),4. z = 0 是1 z4的(⼀级)极点;5. f (z ) = z, R e s [ f (z ),∞] =(-1);⼆.选择题(每题 3 分,共 15 分)1----5B DC B D三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共 40 分)(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, , a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。

(完整版)北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案

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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷(B )学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一.(1) 方程()t i 1z +=(t 为实参数)给出的曲线是 ; (2) 复数3i 1+的指数形式是 ; (3) 函数()224z z 1z +-,z=0为 级极点,2i z ±=为 级极点;(4)(5) 若∑==0n n n2nz )(z f ,则其收敛半径 ;(6) 计算留数:⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ;(7) 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为;(8) 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ;(9) C 为以a 为圆心,r 为半径的圆周,计算()⎰-Cna z dz(n 为正整数); (10) 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题(25分,每小题各5分) (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为:①连接由原点到1+i 的直线段;②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知:()()3z e 1zsinzz f -=求:]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r(4)、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-,其中2||=z C 为正向圆周:。

(5)计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-(7分)四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=,已知()233x y x y ,x u -= ,且()i 0f =.(7分)五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程,即0,0=∆=∆ψϕ;其中22y x ∂∂+∂∂=∆, 并求以此为虚部的解析函数()z f .(8分)六、(8分)求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式(1).1|1|0<-<z (2)0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线(8分) 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换(7分)一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为:z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ); 2.)1(i Ln +-的主值是( i 432ln 21π+ ); 3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ), 4.0=z 是 4sin zzz -的( 一级 )极点; 5.zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为(B ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=⎰Cz z f . (A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(C )(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( B )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰Cdz z f(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( D ).的可去奇点;为、z A 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题及答案

南昌大学2008~2009学年第一学期期末考试试卷Q(z) f(z)=复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模,幅角。

2.-8i 的三个单根分别为: , , 。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.z z f =)(的解极域为:。

5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7.指数函数的映照特点是: 。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若)(ωF =F [f (t )],则)(t f = F )][(1ω-f。

10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2) 1.⎰=-2||)1(z z z dz2.⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、(10分)求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z六、证明以下命题:(5分×2)(1))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1. 22942ln π+ ,ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6. 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解:∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += (5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=(2分)三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1.解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i,)1(1Re 221 (3分) z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0(2分)2.解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-==1ich π-五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)(11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(2分)2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i (2分) 六、1.解:∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(3分) ∴结论成立 (2)解:∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e(2分)∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i(2分)七、解:∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX(3分)S (2)-(1): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s (3分)∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。

复变函数与积分变换期末考试题

复变函数与积分变换期末考试题

一、单项选择题(每小题3分,共21分,将选择答案填入下列表格)1.函数在区域内可导是在区域内解析的()(A)充分不必要条件(B)充分必要条件(C)必要不充分条件(D)既非充分也非必要条件2.ln(-1的主值为()(A)无定义的(B)0(C)πi (D)(2k+1πi(k为整数3.是直线段,为原点,为, 则()(A)1+i (B)0(C)1 (D)以上答案都不对4. ()(A)i (B)2i(C)3i(D)4i5.下列级数中绝对收敛的级数为()(A)(B)(C)(D)6..以z=0为本性奇点的函数是()(A)(B)(C)(D)7.δ函数的傅氏变换F 为:()(A) -2(B) -1(C) 1 (D) 2二、填空题(每小题3 分,共21分,将答案填在空白处8.设函数,,,则的充要条件是_______________________。

9.若,则=__________________。

10.幂极数的收敛半径为__________________。

11.若,则__________________。

12.设f(z=,则Res[f(z,0]= __________________。

13.函数在z=0处的泰勒展开式为__________________。

14.设则 L[]=__________________。

三、计算题(15题12分,16题24分,17题12分,18题10分,共58分,要求写出详细过程15. 判定下列函数何处可导?何处解析?(1); (2)。

16.计算积分 (1 , 其中为的任何复数, C为正向圆周|z|=1,(2 , C为正向圆周|z|=2,(3 , C为正向圆周|z|=2。

(第三小题要求用留数做17.求在圆环域和内的罗朗级数展开式。

18.求微分方程的解。

一、单项选择题(每小题3分,共21分,将选择答案填入下列表格)1.不等式所表示的区域为()(A)角形区域(B)圆环内部(C)圆的内部(D)椭圆内部2.在复平面上,下列关于正弦函数sinz的命题中,错误的是()(A)sinz是周期函数(B)sinz是解析函数(C)|sinz|(D)3.设C为正向圆周,则积分为()(A)(B)1(C)-1 (D)04.复数列的极限为()(A)-1(B)0(C)1 (D)不存在5. δ函数的傅氏变换为()(A)-2 (B)-1(C)1 (D)26.z=0不为可去奇点的函数是()(A)(B)(C)(D)7.下列函数中,为解析函数的是()(A)(B)(C)(D)二、填空题(每小题3 分,共21分,将答案填在空白处8.的指数表示式___________。

复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题及答案

南昌大学2008~2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模,幅角。

2.-8i 的三个单根分别为: , , 。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.z z f =)(的解极域为:。

5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7.指数函数的映照特点是: 。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若)(ωF =F [f (t )],则)(t f = F )][(1ω-f。

10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2) 1.⎰=-2||)1(z z z dz2.⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、(10分)求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z六、证明以下命题:(5分×2)(1))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1. 22942ln π+ ,ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6. 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解:∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += (5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=(2分)三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1.解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 (3分) z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0(2分)2.解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-==1ich π-五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)(11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(2分)2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i (2分) 六、1.解:∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(3分) ∴结论成立 (2)解:∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e(2分)∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i(2分)七、解:∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX(3分)S (2)-(1): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s (3分)∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1)

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1)

«复变函数与积分变换»期末试题(A)一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i-的幅角是( );2.)1(iLn+-的主值是();3。

211)(zzf+=,=)0()5(f();4.0=z是4sinzzz-的()极点;5.zzf1)(=,=∞]),([Re zfs( );二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为();(A)yxiuuzf+=')(; (B)yxiuuzf-=')(;(C)yxivuzf+=')(;(D)xyivuzf+=')(。

2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf(),则0d)(=⎰C zzf.(A)23-z;(B)2)1(3--zz; (C)2)2()1(3--zz; (D)2)2(3-z。

3.如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z+=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰Cdz z f(C)如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A ) 的可去奇点;为z1sin ∞(B ) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)(1)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a (2).计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ; (3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级。

复变函数与积分变换期末试题附有答案

复变函数与积分变换期末试题附有答案

复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -2.)1(i Ln +-的主值是();3. 211)(z z f +=,=)0()5(f( 0 ),4.0=z 是4sin z z z -的( 一级 )极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰Cz z f .(A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ;3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z+=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换期末试题(附有答案),DOC

复变函数与积分变换期末试题(附有答案),DOC

复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2.)1(i Ln +-的主值是(i 432ln 21π+);3.211)(z z f +=,=)0()5(f (0),4.0=z 是4sin z z z -的(一级)极点;5.zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1); 二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为();(A )y x iu u z f +=')(;(B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(;(D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f (),则0d )(=⎰Cz z f . (A )23-z ;(B )2)1(3--z z ;(C )2)2()1(3--z z ;(D )2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛;(B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛;(D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是()(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰C dz z f(C )如果0)(=⎰C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)的可去奇点;为z1sin ∞(B)的本性奇点;为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞(D).sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a 解:因为)(z f 解析,由C-R 条件,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模,幅角。

2.-8i 的三个单根分别为: , , 。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.z z f =)(的解极域为:。

5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7.指数函数的映照特点是: 。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若)(ωF =F [f (t )],则)(t f = F )][(1ω-f。

10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2) 1.⎰=-2||)1(z z z dz2.⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、(10分)求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z六、证明以下命题:(5分×2)(1))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1. 22942ln π+ ,ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6. 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解:∵yu x x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=(5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0 c =0 (3分)∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=(2分)三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1.解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221(3分) z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 (2分)2.解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-==1ich π-五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)(11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(2分)2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i (2分) 六、1.解:∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰ (3分) ∴结论成立(2)解:∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e(2分)∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i(2分)七、解:∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX (3分)S (2)-(1): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s (3分)∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解:①定义; ②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试补考试卷考试时间: 年 月 类型:闭卷 时间:120分钟 总分:100分 专业:信工一、填空题(3'1030'⨯=)1、i +1的模和副角主值分别为___2____,______4π_____。

2、3i 副角主值是____2π________________。

3、设(32)(25)13,_____,______i x i y i x y ++-=-==4、f(z)=21(4)z z -的孤立奇点是 _-2_______,______2i_____,______-2i______。

5、2Re ,1(1)(1)zs z z ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦ 2i π , 6、(33)i e+=_______3(cos3sin 3)e i +。

7、⎰=22z dz z =_________________。

8、()311i -的解是_____)12sin 12(cos 26ππi -___,_____)127sin 127(cos26ππi +______,_____)1215sin 1215(cos 26ππi -_______。

9、⎰=231cos z dz z z =___12iπ_____。

10、级数∑∞=12n n 的敛散性是发散(填:发散,条件收敛,绝对收敛) 二、选择题 (3186=⨯)1、下列复数中,位于第Ⅱ象限的复数是( C )A.1+iB. .-1+i C 1-i D.-1-i2、设,11iiz +-=则 =z z ( C ). (A) i ; (B) i -; (C) 1 ; (D) 1-C 、0,()aa =≠∞∞D 、0⋅∞=∞3、对于幂级数,下列说法正确的是( A ) A 、在收敛圆内绝对收敛 B 、在收敛圆内条件收敛C 、在收敛圆周上处处收敛D 、在收敛圆周上处处发散 4、级数∑∞=-0n n )i (的和为( B )A.0B.不存在C.iD.-i5、z=0是zzz f sin )(=的哪类孤立奇点( B ) A 、极点 B 、可去奇点 C 、本性奇点 D 、不能确定6、ϕϕsin cos 1+-(πϕ<<0)的三角形式是(A )A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin 22cos 2sin 2ϕπϕπϕi C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2cos 2sin 2sin 2ϕϕϕi三、解答题(共6题,共计52分)1、(12分)计算积分z =1dz z(z-3)⎰ 和||221(1)z z dz z z =--⎰, (3)利用留数求积分⎰=-4|41z dz z z解:z =1dz z(z-3)⎰=01lim 2(33223z iz iππ→--=-分)(分)||221(1)z z dz z z =--⎰=||21z dz z =⎰+||21(1)z dz z =-⎰(3分)=4i π(2分)(3)解:孤立奇点分别为、i i --,,1,1,且为简单极点院系: 专业班级: 姓名: 学号:装 订 线 内 不 准 答 题装 订 线⎰=-4|41z dz z z=0 (4分)2、(8分)已知f(z)=u+iv 是解析函数,xy y x u +-=22,且满足0)0(=f 求f(z) 解:写出柯西黎曼方程 2分y x yvx u +=∂∂=∂∂2 2分 x y yu x v -=∂∂-=∂∂2 )2(2)(x y i y x z f -++='=iz z -22分f(z)= c iz z +-2221 又因为 0)0(=f ,f(z)=2221iz z -所以2分3、(8分) 将函数)(z f =2)1(1z z -在圆环0<z 10<z 11<-<和内展成洛朗级数。

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案,推荐文档

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案,推荐文档
一、单项选择题(本大题共 15 小题,每小题 2 分,共 30 分) 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( )
A. 1 2i
B. 1 2i
C. 1 2i
D. 1 2i
2. 下列等式中,不成立的等式是( )
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题(共 4 小题,每题 8 分,共 32 分)
2
25. 计算
1 d.
0 5 4 cos
26. 求分式线性映射 f (z) ,使上半平面映射为单位圆内部并满足条件 f (2i) 0 , arg f (0) 1.
dt
0
0
0
2
1 e(3is)t dt 1 e dt (3is )t
20
20
1 1 1 s .
2 s 3i s 3i s2 9




At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

复变函数和积分变换期末考试试题

复变函数和积分变换期末考试试题

复变函数与积分变换期末考试试题一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分。

)(1)的主值是。

(2)已知为解析函数,那么= ,,= 。

(3)若是的Taylor级数为,那么该级数的收敛半径为。

(4)设,那么Res。

(5)设则。

二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分。

)(1)假设,那么()(A)。

(B)(为任意整数)。

(C)。

(D)(为任意整数)。

(2)设曲线为单位圆,取正向,那么积分()(A)0.(B)。

(C)。

(D)。

(3)若是级数在点处收敛,那么该级数必在()(A)点处绝对收敛。

(B)点处条件收敛。

(C)点处收敛。

(D)点处发散。

(4)将平面上的曲线映射成平面上的曲线()(A)。

(B)。

(C)。

(D)。

(5)是函数的()(A)本性奇点。

(B)可去奇点。

(C)一级极点。

(D)二级极点三、(10分)已知调和函数,求调和函数,使成为解析函数,并知足。

四、(25分)计算以下积分:(1),其中是从到的直线段;(2),正向(3),正向(4);(5)。

五、(15分)将函数别离在以下圆环域内展开成Laurent级数。

(1);(2);(3)。

六、(5分)已知函数(),求的Fourier变换。

七、(10分)应用Laplace变换解微分方程:八、(5分)若是是区域内的解析函数,那么在内是不是必然也是解析函数?什么缘故?参考答案一、(1);(2)1,-3,-3;(3)1;(4);(5)二、(1)D;(2)A;(3)A;(4)A;(5)C三、由知,。

由方程知,因此.又,故有,因此。

因此.由可得,因此.四、(1)在曲线上,..(2)是在内的二级极点, 是在内的一级极点.ResRes原式=.(3)原式=.(4).别离是在上半平面内的两个一级极点.ResRes原积分=(5)令,那么原式==是在内部的2级极点,是在内部的一级极点.原式=五、(1)时,(2)(3)六、。

..七、令。

方程两边取Laplace变换,得.即.解得.是的二级极点,是的一级极点Res.Res八、因为是内的解析函数,由方程,,(1)若是也是内的解析函数,那么,. (2)为使(1),(2)同时成立,当且仅当.因此(为常数).因此,只有当在内为常数时,才能在内解析,不然不解析.。

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23∞ «复变函数与积分变换»期末试题(A)1.1 -i一.填空题(每小题3 分,共计15 分)的幅角是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1);3.f (z) =1 +z 2,z - sin z f (5)(0) =();f (z) =1,4.z = 0 是z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();二.选择题(每小题3 分,共计15 分)1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;(C) f '(z) =ux+ivy ; (D) f '(z) =u y +iv x.2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则⎰C f (z)d z = 0 .3;(B)3(z -1);(C)3(z -1);(D)3.(A)z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛,则级数在n=1(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点一定解析;得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ⎰C f (z )dz = 0(C ) 如果 ⎰C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析;(D ) 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是().(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为 的孤立奇点. sin z三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共计 40 分)(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .z(2).计算 ⎰Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;得分zd z (3)计算⎰ 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(4) 函数 f (z ) =z (z 2 -1)(z + 2)3 (z - 3)2(sin z )3在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分⎩ 数;(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ⎨y (0) = y '(0) = 1得分六、(本题 6 分)求 f (t) e t(0) 的傅立叶变换,并由此证明:costt2 2 d 2 e 0«复变函数与积分变换»期末试题(A )答案及评分标准一.填空题(每小题 3 分,共计 15 分)得分3 的幅角是( 2k Ln (-1 + i ) ee 1. 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.的主值是( 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =1);3.1+ z 2 , f(5)(0) = ( 0),4. z = 0 是1 z4的( 一级)极点;5. f (z ) = z, R e s [ f (z ),∞] =(-1);二.选择题(每题 3 分,共 15 分)1----5B DC B D三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共 40 分)(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件∂u = ∂v∂x ∂y ∂u = -∂v∂y ∂x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, , a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。

z (2).计算 ⎰C(z - 1)2zd z 其中 C 是正向圆周:解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数 f (z ) = e z(z - 1)2 z在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2= 1 ,分别以z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内z⎰C (z - 1)2 z d z = ⎰C e z (z - 1)2 zd z + ⎰Ce z z 2 (z - 1)2d z1zz →0 z z ⎰ = 2i ( e z ' + 2i e )z z =1(z -1)2 z =0= 2i无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。

(3. ⎰ 15z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3 d z解:设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在: z < 3 内,由留数定理15⎰z =3 (1 + z 2 ) 2 (2 + z 4 )3 d z = -2i Re s [ f (z ), ∞]-----( 5 分) = 2 1 1 ]----(8 分) i Re s [ f ( 1 z ) z 21 1 ( )15 1 f ( ) = zz z 21 1 (1+ 1 )2 (2 + ( 1)4 z 2 z1 )3 z2 f ( ) = 有唯一的孤立奇点z = 0, z z 2 z (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)31 1 1 1 1 Re s [ f ( ) z2 ,0] = lim zf ( ) z →0z 2 = lim (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3 = 1∴ z 15 z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3d z = 2i --------(10 分)(4)函数 f (z ) =z (z 2 -1)(z + 2)3(sin z )32(z - 3) 在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级. 解:z (z 2 - 1)(z + 2)3 (z - 3)2f (z ) = (sin z )3的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ,∞(1)z k , k 0 1 2 3, 为(sin z )3 0的三级零点,(2) z0,z 1,为f (z 的二级极点, z 2是f (z 的可去奇点,(3) z = 3为f (z )的一级极点(4)z = 2,-3,±4 ,为f (z )的三级极点 (5)为f (z 的非孤立奇点。

zzn =0∞⎩ ∞ 备注:给出全部奇点给 5 分 ,其他酌情给分。

四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级数;(1) 0 <z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞解:(1)当0 <f (z ) = z - 1 < 11 z 2(z - 1) 1= - 1 (z -1) ∞[ 1 ]' (z - 1 + 1) 而[(z - 1 + 1) ]' = [∑ (-1)n (z - 1)n ]' ∞= ∑(-1)n n (z - 1)n -1n =0f (z ) = ∑(-1)n +1 n (z - 1)n -2n =0-------6 分(2)当0 < z < 1f (z ) =1= -11 ∞z nz 2 (z - 1)= -∑ z n -2n =0z 2 (1 - z ) =2∑n =0-------10 分(3)当1 < z < ∞f (z ) = 1= 11z 2 (z - 1) z 3 (1 - )1 ∞ f (z ) = z 1 n =∞1 ∑z 3 ∑( )z zn +3------14 分每步可以酌情给分。

n =0 n =0 五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题:⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x⎨y (0) = 1 = y '(0) = 1解:对 y (x ) 的 Laplace 变换记做L (s ) ,依据 Laplace 变换性质有z-1整理得s 2 L (s ) - s - 1 - 5(sL (s ) - 1) + 4L (s ) =1s + 1…( 5 分)L (s ) =1 +(s + 1)(s - 1)(s - 4) 1s - 1= 1 10(s + 1) = 1 10(s + 1) -1 6(s -1) + 5 6(s -1) + 1 + 15(s - 4) +1 15(s - 4) 1 s -1 …(7 分)y (x ) = 1 e -x + 5e x + 1 e 4 x…(10 分)10 6 15六、(6 分)求 f (t) et(0) 的傅立叶变换,并由此证明:costt2 2d2 eF ()eietd t(0)--------3 分F () eiedte iedt( 0)e (i )tdte(i )tdt(0)e (i )ti(0)F () 11 2(0) ------4 分i i22f (t )e i F ()d (0)2- -------5 分1e i2d(0) 2221(cos i sin)d(0)222 cos di sind( 0)2222e(i )ti解: 0f (t ) 2 cos d(0), ------------6 分0 2 2costt2d2e«复变函数与积分变换»期末试题(B)1. 填空题(每小题 3 分,共计 15 分)2.1. 1 - i 的幅角是();2. Ln (- + i ) 的主值是 2();3.a =(),f (z ) = x 2 + 2xy - y 2 + i (ax 2 + 2xy + y 2 ) 在复平面内处处解析.4.z = 0 是z - sin z 的()极点;5.z3f (z ) = 1z ,Re s [ f (z ),∞] =();二.选择题(每小题 3 分,共计 15 分)1.解析函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 的导函数为( );(A ) f '(z ) = u y + iv x ; (B ) f '(z ) = u x- iu y ;(C)f '(z ) = u x + iv y ; (D) f '(z ) = u x + iu y . 2.C 是正向圆周 z = 2 ,如果函数 f (z ) = (),则⎰C f (z )d z = 0 .(A )3z - 1; (B ) 3zz - 1 ; (C ) 3z(z - 1)2 ; (D ) 3. (z -1)2∞3. 如果级数∑c n n =1z n在 z = 2i 点收敛,则级数在(A ) z = -2 点条件收敛 ; (B ) z = -2i 点绝对收敛; (C ) z = 1 + i 点绝对收敛; (D ) z = 1 + 2i 点一定发散. 4.下列结论正确的是( )(A ) 如果函数 f (z ) 在 z 0 点可导,则 f (z ) 在 z 0 点一定解析;(B)如果⎰C f (z)dz = 0 ,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z) 在C 所围成的区域内一定解析;(C)函数f (z) 在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数,而且展开式是唯一的;(D)函数 f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u(x, y) 、v(x, y) 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)、lnz是复平面上的多值函数;(B)、cosz是无界函数;(C)、sin z是复平面上的有界函数;(D)、e z是周期函数.三.按要求完成下列各题(每小题8 分,共计50 分)(1)设f (z) u( x, y) i( x2 g( y))) 是解析函数,且f (0) 0 ,求g( y),u( x, y), f (z) .(2).计算⎰ zd z .其中 C 是正向圆周z = 2 ;C(z+21)(z-i)2得分1(3).计算 ⎰ z 2C (1 - z )e 1z d z ,其中 C 是正向圆周 z =(4.利用留数计算 ⎰C(z - 1)(z - 2)2d z .其中 C 是正向圆周 z = 3 ;2 ;(5)函数f (z ) z (z 2 1)(z 2)3 (sin z )3在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如 果有极点,请指出它的级.四、(本题 12 分)将函数 f (z ) =1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗 (1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞级数;得分⎩五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ⎨y (0) = y '(0) = 1得分六、(本题 8 分)求 f (t) e t(0) 的傅立叶变换,并由此证明:costt22 d2e 0得分得分z 2«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准(B)填空题(每小题3 分,共计15 分)1.1-i 的幅角是(2Ln(-1 -i) 的主值是(1 ln 2 --+ 2k,k = 0 ±1,±2,4);2.1i );3. f (z) =2 4 1 +z2 ,f (7) (0) =( 0 );4. f (z) =z - sin zz 3 ,Re s[ f (z),0] =(0);5. f (z) = 1 ,Re s[ f (z),∞] =(0 );二.选择题(每小题3 分,共计15 分)1-------5 A A C C C三.按要求完成下列各题(每小题10 分,共计40 分)(1)求a,b, c, d 使f (z) =x2 +axy +by 2 +i(cx2 +dxy +y 2 )是解析函数,解:因为f (z) 解析,由 C-R 条件∂u=∂v∂x ∂y ∂u=-∂v ∂y ∂x2x +ay =dx + 2y ax + 2by =-2cx -dy,a = 2, d = 2, ,a=-2c,2b =-d ,c =-1, b =-1,给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。

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