复变函数经典习题及答案

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复变函数习题及答案解释

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第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.(1) 72)52)(43(ii i −+;(2) .4218i i i +−2. 当x ,y 等于什么实数时,等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立?3.证明:(1);2z z z = (2)1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值: (1)();35i −(2)().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ,证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围:(1);65=−z(2);12≥+i z(3).i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域,并指出它是有界的还是无界的: (1);32≤≤z(2).141+<−z z9.将方程tt z 1+=(t 为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题(1)设iy x z +=,y x ≠||,4z 为实数,则( ).A .0=xy B.0=+y x C .0=−y x D.022=−y x(2)关于复数幅角的运算,下列等式中正确的是( ). A .Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C .2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += (3)=+31i ( ).A .ie 62πB.ie 62π−C .ie 62π± D.i e62π±(4)2210<++<i z 表示( ). A .开集、非区域 B.单连通区域 C .多连通区域 D.闭区域(5)z i z f =−1,则()=+i f 1( ).A .1 B.21i+ C .21i− D.i −1 (6)若方程1−=z e ,则此方程的解集为( ).A .空集 B.π)12(−=k z ,(k 为整数) C .i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立?3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −,)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−,i i e41π+,i 3和ii )1(+值.第二章 导数1.下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域,并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f(3)(),dcz baz z f ++=(d c ,中至少有一个不为0).3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数,试确定l 、m 、n 的值.4.证明:如果()z f 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,那么是常数. (1)()z f 恒取实值. (2))(z f 在区域D 内解析. (3)()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在?(1)())Re(z z f =;(2)())Im(z z f =.6.证明;,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题(1)函数()z f w =在点0z 可导是可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(2)函数()z f w =在点0z 可导是连续的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(3)函数()),(),(y x iv y x u z f +=,则在()00,y x 点,v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(4)函数()22ix xy z f −=,那么( ). A .()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C .()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导(5)若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ,,),(xy y x v =()iv u z f +=,则()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C .()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微(6)若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=, 那么()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C .()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ (7)函数()z z z f = ,则( ). A .()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C .()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导(8)设()34−=′z z f ,且()i i f 31−=+,则()=z f ( ).A . i z z −−322 B. i z z 3322+− C .i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域,并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点,而()z g 在0z 解析,那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数,那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .(1)自原点至1+i 的直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i ;(3)自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫,其中C 为正向圆周,2=z .4.计算下列积分 ,其中C 为正向圆周,1=z . (1);21dz z C ∫− (2);4212dz z z C ∫++(3);cos 1dz zC ∫ (4);211dz z C∫−(5);dz ze Cz ∫(6)().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分:(1)dz z C ∫−21,C :12=−z ;(2)dz a z C ∫−221,C: a a z =−;(3),3dz z zC ∫− C :2=z ;(4)()()dz z z C∫++41122,C :23=z ;(5)dz zzC ∫sin ,C :1=z ; (6)dz z zC∫−22sin π,C :2=z .6.计算下列各题: (1)∫−ii z dz e ππ32;(2)∫−iizdz ππ2sin ;(3).)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分:(1)dz i z z C ∫+++2314,C :4=z ,正向; (2)dz z iC ∫+122,C :61=−z ,正向; (3),cos 213dz z zC C C ∫+= 1C :2=z ,正向,2C :3=z ,负向;(4)dz i z C ∫−1,C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形; (5)()dz a z eC z∫−3;其中a 为1≠a 的任何复数,C :1=z ,正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线,a 为不等于0的任何复数,试就a 与a −跟C 的各种不同位置,计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.(1)设C 为θi e z =,θ从2π−到2π的一段,则=∫Cdz z ( ).A .i B.2i C .-2i D.- i(2)设C 是从0=z 到i z +=1的直线段,则=∫Cdz z ( ).A .1+i B.21i+ C .i e4π− D. ie 4π(3)设C 为θi e z =,θ从0到π的一段,则=∫Czdz arg ( ).A .i 2−−π B. π− C .i 2+π D. i 2−π(4)设C 为t i z )1(−=,t 从1到0的一段,则=∫Cdz z ( ).A .1 B.-1 C .i D.- i(5)设C 为1=z 的上半部分逆时针方向,则=−∫Cdz z )1(( ).A .2i B.2 C .-2i D.- 2(6)设C 为θi e z 21=,正向,则=−∫C z dz e e zsin ( ).A .sin1 B.e i 1sin 2π C .e i 1sin 2π− D.0(7)=++∫=dz z z z 12221( ).A .i π2 B.i π2− C .0 D.π2 (8)设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度,则=+∫C dz z )1sin(( ).A .0 B.2cos − C .12cos − D. 12cos − (9)=++∫=+dz z z e z z 232)1(232( ). A .0 B.i π32C .i π2 D. i π2−(10)=++∫=dz z z zz 121682cos π( )A .0 B.i π C .i π− D. i π2.(11)=+∫=dz z zz 221( ).A .0 B.i π2 C .i π2− D. i π(12)=∫=dz z e z z12( ).A .i π2 B. i π C .0 D. π (13)1322z z z e dz ==∫( ).A .i π2 B. i π16 C .i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12,其中Γ是圆环域:221≤≤z 的边界.3.(1)证明:当C 为任何不经过原点的闭曲线时,则;012=∫dz zC(2)沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C(3)沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C :2=z ,试求()i f ,()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C :.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ,求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径:()为正整数);p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径: ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径: ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内;在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题:()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛,能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型,如果是极点,指出它的阶数:()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向).();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点?并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值,如果:求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分,C 为正向圆周:()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分:();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题:()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型,并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题:(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为(). (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).A. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 B. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题:1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章:,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.(1)以z =5为圆心,6为半径的圆;(2)以z =-2i 为圆心,1为半径的圆周及圆周的外部;(3)i 和i 两点的连线的中垂线. 8.(1)圆环形闭区域,有界; (2)中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域,无界. 9.xy =1。

复变函数14套题目和答案

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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则Cz f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz __________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re nz ze s ________,其中n 为自然数.9.zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=Cd zz f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0R e 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0R e 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)1、 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nnf .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10.____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分) 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若nn ni nn z )11(12++-+=,则=∞→nz n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nz ze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-Czz z z e )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时nz M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数课后习题答案(全)

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创作编号:BG7531400019813488897SX创作者:别如克*习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+ ==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cossin22iii e πππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-(5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4.设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解:12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k i z i ei π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4个根分别为:(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,zx iy =+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y =≤+;创作编号:BG7531400019813488897SX创作者: 别如克*其次,因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。

完整版)复变函数测试题及答案

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完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

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习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i(2)1-+(3)(sin cos)r iθθ+(4)(cos sin)r iθθ-(5)1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解:(1)2cossin22ii i e πππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+-(5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k i z i ei π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,z x iy =+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y =≤+;其次,因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。

复变函数课后习题答案(全)

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复变函数课后习题答案(全)习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (3) 13i(4).8 21 .i 4i ii 1 i13 2i 解: (1) z3 2i 131 3i .3 3i 3 5i(3) z -ii 1 i2 2 因此, Rez 35 Im z532(4).8 z i 4i 21 i1 4i i1 3i因此, Rez 1, Im z 3,2.将下列复数化为二角表达式和指数表达式:(1)i (2) 1 Vi (3)r(si ni cos )(4) r(cosisin )( 5) 1 cos i sin(02 )解: (1) i cosi sin - —i-e 22 22一i(2) 1 2(cosi..2 isin32e 3 (3) r(sin icos ) r[cos (-i sin(-)](1)13~2\(2) \ (\ 1)(\ 2)因此:Rez3 13 Im z2 13(2)zi (i 1)(i 2)i 1 3i 3 i 10因此,Rez3 10Im z 1 10(4) r(cos isin ) r[cos( ) i sin( )] re(5) 1 cos isin 2sin 2i sin — cos-2 23.求下列各式的值:(1) (\3 i)5(2)(1 100i) (1 100i)(3) (1 \3i)(cos(1 i)(cos isin )i sin ) 2(cos5 isin5 )3(cos3 isin 3(5) (6) d i解: (1) (七i)5[2(cos(舌)isin( -))]5 6(2) (1 100i) (1 100 50i) (2i) (2i)502(2)50251(3) (1 i sin ) (1 i)(cos isin )(4)2 (cos5 isin5 )(cos3 isin3 )3(5) cos— isin —2 2\ 2(cos —isin )44.设z-ii,试用三角形式表示z1z2与-ZZ2解:z1 cos i sin , z24 42[cos( ) i sin()],所以6 6弓勺2[cosq g is"(4 6)]5.解下列方程:(1) (z i)5 1 (2) z4 a40 (a 0) 解:(1)z i 51,由此从而z由此,左端=右端,即原式成立。

(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -. 6. 2k i π,()k z ∈. 7. 0; 8. i ±; 9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数经典习题及答案

复变函数经典习题及答案

于是 z 2i 9i
3
cos
π 2
2kπ
π i sin 2
2kπ
,
2
2
k 0,1
故z132来自223
2
2
i
,
z2
3 2
2 2 3 2 i. 2
3
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) Im (z) 0;
解 Im (z) 0是实数轴,不是区域.
使C1和C2也在C内,且C1与C2互不相交,互不包含,
据复合闭路定理有
y
ez
C z(1 z)3 dz
C1
ez z(1
z)3dz
ez C2 z(1 z)3 dz
C1
C

O 1x C2
30
而积分
C1
ez z(1
z)3dz即为2)的结果2i,
而积分
C2
ez z(1
z)3dz
即为3)的结果
x
y
x
y
由于 f (z) 解析,所以 u v , u v x y y x
即 2bxy 2cxy b c,
3ay2 bx2 3x2 cy2 3a c,b 3 故 a 1, b 3, c 3.
11
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
1( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
6
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练习题
一、选择、填空题
1、下列正确的是( A );
A 1212()Arg z z Argz Argz =+;
B 1212()arg z z argz argz =+;
C 1212()ln z z lnz lnz =+;
D 10z Ln Ln Lnz Lnz z
==-=. 2、下列说法不正确的是( B );
A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件;
B lim 0n n z →∞=是级数1
n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件;
D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ),
主值为( 4
5(arctan )3
ln i π+- ). 4、2|2|1
cos z i z dz z -=⎰ =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑
在1(1)2z =
+处收敛,那么该级数在45
z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ).
6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z
∞=∑ ),收敛域为( 1z < );
7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点;
8、函数221
(1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点;
二、计算下列各值
1.3i e π+; 2.tan()4i π
-; 3.(23)Ln i -+; 4
. 5.1i 。

解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13
三、问函数23()2f z x y i =+在何处可导?何处解析?并求(3)f i '+,(32)f i '+。

提示:满足C-R 方程
四、试证下列各函数为调和函数,并求出相应的解析函数()f z u iv =+
(1) u xy =
五、如果函数()f z u iv =+在区域D 内解析,并且满足条件892003u v +=,试证()f z 在
D 必为常数。

提示:见教科书中36页 例2.5
六、 计算(21)(2)C zdz I z z =+-⎰ ,其中C 是(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; (3)
1|1|2
z -=
; (4)||3z = 提示:见教科书中97页 例4.13,4.15 七、把1()32
f z z =-分别在0z =和2z =展开为泰勒级数。

提示:同上六 八、求1()1z f z e z
=-在区域(1)||1z <,(2)0|1|z <-<+∞的幂级数展开式。

提示:同上六 九、将函数 2
1()4f z z =+分别在24z i +<与2z <<∞内展开成洛朗级数。

提示:(1)11111()2(2)(2)24(2)4214i f z z i
z i z i z i i z i z i i -===+-++-++- 012424n n i z i z i i ∞=+⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑,24z i +< (2)2222022111114()4411()n
n f z z z z z z z
∞=⎛⎫===- ⎪⎝⎭+--∑,2z <<∞ 十、求幂级数的收敛半径(1)21n n z n ∞=∑(2)0!n n z n ∞=∑(3)0!n n n z ∞=∑。

提示:比值或根值判别法 十一、用留数计算积分5
5||21(3)(1)z dz z z =--⎰ ; 提示:5
555||21112Re [,3]2Re [,](3)(1)(3)(1)(3)(1)
z dz i s i s z z z z z z ππ==--∞------⎰ 而211Re [(),]Re [(),0]s f z s f z z
∞=-⋅ 十二、用留数计算积分
||252(1)z z dz z z =--⎰ ;提示:20,1z z z ===内都是一阶极点,由留
数定理得: ||25252522Re [,0]2Re [,1](1)(1)(1)z z z z dz i s i s z z z z z z ππ=---=+---⎰ .。

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