复变函数与积分变换课后习题答案详解

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复变函数与积分变换(赵建从黄文亮著)课后习题答案华东理工大学出版社

解： z z 2 (z z )(z z )
12
1 21 2
z1 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z2
＝ z 2 z 2 2 Re(z z )
1
2
21
z 2 z 1
2 2 2 z1
z2
( z1 z2 ) 2
6. 设 z1,z2 是两个复数，试证明.
z1 z 2
2 z 1 z
华东理工大学复变函数与积分变换作业（第 1 册）
第一次作业
教学内容：1.1 复数及其运算
1.2 平面点集的一般概念
1．填空题：
（1） 1 的实部 3 2i
模
辐角
虚部
共轭复数
解
：
（2） i8 4i 21 i 的实部
模解
辐角
虚部
共轭复数
（3） x
, y
解：
时， x 1 i( y 3) 1 i 。 5 3i
2
2
2(
z
2 1
z
2
)2
.
并说明此等式的几何意义.
证左式=( z1 z2 )( z1 z2 )+( z1 z2 )( z1 z2 ) =( z1 z2 )( z1 z2 )+( z1 z2 )( z1 z2 )
= z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z 2 z2 z1 z2 z1 z 2
a 1, z 1,单位圆外部，无界，多连通
a
1,
z
1,单位圆内部，有界，单连通
a ＝1，z不存在。
(4) arg(z 2i) 且 z 2.
6
2
z 2i x ( y 2)i

《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

复变函数与积分变换习题解答

练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i ii i 524321----；解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后习题答案

习题七1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有⎰+∞⋅=0d sin )()(ωωωt b t f其中()⎰+∞⋅=0tdt sin π2)(ωωt f b当f (t )为偶函数时，则有⎰+∞⋅=0cos )()(ωωtd w a t f其中⎰+∞⋅=02tdt c f(t))(ωωos a证明：因为ωωωd G t f t i ⎰+∞∞-=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换()()()(cos sin )i tG f t edt f t t i t dt ωωωω+∞+∞--∞-∞==⋅-⎰⎰()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞+∞-∞-∞=⋅-⋅⎰⎰当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω⋅为奇函数，从而⎰+∞∞-=⋅0tdt cos f(t)ωt sin f(t)ω⋅为偶函数，从而⎰⎰+∞∞-+∞⋅=⋅0.sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω故.sin f(t)2)(0tdt iG ωω⋅-=⎰+∞有)()(ωωG G -=-为奇数。

ωωωωπωωπωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+⋅=⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=01()sin d ()sin d 2ππi G i t G t ωωωωωω+∞+∞-∞⋅=⋅⎰⎰ 所以，当f(t)为奇函数时，有2()b()sin d .b()=()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞+∞=⋅⋅⎰⎰其中同理，当f(t)为偶函数时，有()()cos d f t a t ωωω+∞=⋅⎰.其中02()()cos πa f t tdt ωω+∞=⋅⎰ 2.在上一题中，设()f t =21,0,1t t t ⎧<⎪⎨≥⎪⎩.计算()a ω的值.解:1200111220012012011200222()()cos d cos d 0cos d πππ221cos d d(sin )ππ122sin sin 2d 0ππ2sin 4(cos )π2sin 4cos cos π2sin 4co a f t t t t t t t t t t t t t t t t t tt d t t t tdt ωωωωωωωωωωωωωωπωωωωωπωωπω+∞+∞=⋅=⋅+⋅=⋅=⋅=⋅⋅-⋅=⋅+⋅⎡⎤=+⋅-⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23s 4sin ωωπωπω-3.计算函数sin ,6π()0,6πt t f t t ⎧≤⎪=⎨≥⎪⎩的傅里叶变换. 解:[]6π6π6π6π6π02()()d sin d sin (cos sin )d 2sin sin d sin 6ππ(1)i t i t F f f t e t t e tt t i t ti t t t i ωωωωωωωω+∞---∞--=⋅=⋅=⋅-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰4.求下列函数的傅里叶变换 (1)()tf t e -=解： []||(||)0(1)(1)2F f ()()d d d 2d d 1i t t i t t i t t i t i f te t e e t e te t e t ωωωωωωω+∞+∞+∞----+-∞-∞-∞+∞--+-∞==⋅==+=+⎰⎰⎰⎰⎰(2)2()t f t t e-=⋅解：因为22222/4F[].()(2)2.t t t t e ee e t t e ω-----==⋅-=-⋅而所以根据傅里叶变换的微分性质可得224()F()tG t e e ωω--=⋅=(3)2sin π()1tf t t =- 解：222202200sin π()F()()d 1sin π(cos sin )d 11[cos(π)cos(π)]sin πsin 2d 2d 11cos(π+)cos(π-)d d ()11sin ,||π20,|i tt G f e t t tt i t t t t t t t i t i t t t t t i t i t t t iωωωωωωωωωωωωω+∞--∞+∞-∞+∞+∞-∞+∞+∞==⋅-=⋅---+--⋅=-=---=----≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用留数定理当当|π.⎧⎪⎨⎪≥⎩(4)41()1f t t=+ 解:4444401cos sin ()d d d 111cos cos 2d d 11i tt t G e t t i t t t t t t t t t t ωωωωωω+∞+∞+∞--∞-∞-∞+∞+∞-∞==-+++==++⎰⎰⎰⎰⎰令41R(z)=1z +，则R(z)在上半平面有两个一级极1)i i +-+. R()d 2π[R())]2π[R()1)]i t i z i z t e t i Res z e i i Res z e i ωωω+∞-∞⋅=⋅⋅++⋅⋅-+⎰故.|244cos ||||d Re[d ]sin )1122i t t e t t t t ωωωωω+∞+∞--∞-∞=+++⎰⎰(5) 4()1tf t t =+ 解:4444()d 1sin cos d d 11sin d 1i t tG e t t t t t t t i t t t t t i tt ωωωωω+∞--∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞=⋅+⋅=⋅-++⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 同(4).利用留数在积分中的应用,令4R()=1zz z +则44|sin d ()Im(d )11sin22i tt tt e i t i t t t ie ωωωω+∞+∞-∞-∞-⋅⋅-=-++=-⋅⋅⎰⎰.5.设函数F (t )是解析函数，而且在带形区域Im()t δ<内有界.定义函数()L G ω为/2/2()()e d .L i t L L G F t t ωω--=⎰证明当L →∞时，有1p.v.()e d ()2πi t L G F t ωωω∞-∞→⎰ 对所有的实数t 成立.(书上有推理过程) 6.求符号函数 1,0sgn 1,0||t t t t t -<⎧==⎨>⎩的傅里叶变换. 解: 因为1F (())π().u t i δωω=+⋅把函数sgn()t 与u(t)作比较.不难看出 sgn()()().t u t u t =-- 故：[]11F[sgn()]F(())F(())π()[π()]π()22π()()t u t u t i i i i δωδωωδωδωωω=--=+⋅-+⋅--=+--=7.已知函数()f t 的傅里叶变换()00F()=π()(),ωδωωδωω++-求()f t解:[]000-100000001()F (F())=π()()d 2πF(cos )=cos d d 2π[()()]()cos i ti t i t i t i tf t e t t e te e e tf t tωωωωωωδωωδωωωωωδωωδωωω+∞-∞+∞--∞-+∞--∞=⋅++-⋅+=⋅=++-=⎰⎰⎰而所以8.设函数f (t )的傅里叶变换()F ω，a 为一常数. 证明1[()]().f at F a a ωω⎛⎫=⎪⎝⎭1F[()]()()d ()d()i t i t f at f at e t f at e at a ωωω+∞+∞---∞-∞=⋅=⋅⎰⎰解:当a >0时,令u=at .则11F[()]()()d u i a f at f u e u F a a a ωωω-+∞-∞⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⎰当a <0时,令u=at ,则1F[()]()F()f at a aωω=-. 故原命题成立.9.设()[]();F F f ωω=证明()()[]()F f t ωω=--F .证明：()[]()()()()()[]()[]()()[]()()e d e d e d e d e d .i t i u i i u u i t F f t f uf t u t f u f uu u f t F t ωωωωωωω+∞+∞--∞-∞+∞+∞--⋅-⋅--∞-∞+∞-⋅--∞=⋅=-⋅--=⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰10.设()[]()F F f ωω=，证明：()[]()()()0001cos 2F f t F F t ωωωωωω⋅=-++⎡⎤⎣⎦以及()[]()()()0001sin .2F f t F F t ωωωωωω⋅=--+⎡⎤⎣⎦ 证明：()[]()()()()()0000000e +e cos 21e e 22212i t i t i t i t F f t F t f t F F f f t t F F ωωωωωωωωω--⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤=+⋅⋅⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭=-++⎡⎤⎣⎦同理：()[]()()(){}()()0000000e e sin 21e e 212i t i t i t i t Ff t F f t t i F F f f t t i F F i ωωωωωωωωω--⎡⎤-⋅=⋅⎢⎥⎣⎦=-⎡⎤⎡⎤⋅⋅⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤⎣⎦ 11.设()()π0,0sin ,0t 200e ,t t t f g t t t -⎧<⎧≤≤⎪==⎨⎨≥⎩⎪⎩，其他计算()*f g t . 解：()())*(d f y g y t f g t y +∞-∞-=⎰当t y o -≥时，若0,t <则()0,f y =故()*f g t =0.若0,0,2t y t π<≤<≤则()()()0()d sin d *t ty f y g y e y t f g t y t y -=⋅--=⎰⎰若,0..222t t y t y t πππ>≤-≤⇒-≤≤则()()2sin d *ty t e y t f g y t π--⋅-=⎰故()()()20,01,0sin cos e *221e .1e 22t t t t t t f g t t πππ--<⎧⎪⎪<≤-+=⎨⎪⎪>+⎩12.设()u t 为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.()()()0e sin 1at f t u t t ω-=⋅()()()()()()()00000000002002e sin e e sin e e e e e 211e d d d d e 2d 2at i t at i t i t i t ati ta i t a i t ttG F t u f t t t i i i t t a i ωωωωωωωωωωωωωωωω+∞-∞+∞+∞+∞+--------+--++⎡⎤⎡⎤⎣∞⎣⎦⎦=====-=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅++⎰⎰⎰⎰⎰解：习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)()sin cos f t t t =⋅，(2)4()etf t -=，(3)2()sin f t t= (4)2()f t t =， (5)()sinh f t bt=解: (1) 1()sin cos sin 22f t t t t =⋅=221121(())(sin 2)2244L f t L t s s ==⋅=++(2)411(())(e )24tL f t L s -==+(3)21cos 2()sin 2t f t t -==221cos21111122(())()(1)(cos2)222224(4)t L f t L L t s s s s -==-=⋅-⋅=++(4)232()L t s = (5)22e e 111111(())()(e )(e )22222bt bt bt bt bL f t L L L s b s b s b ---==-=⋅-⋅=-+-2.求下列函数的拉普拉斯变换.（1）2,01()1,120,2t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)cos ,0π()0,πt t f t t ≤<⎧=⎨≥⎩解: (1) 1220011(())()e 2e e (2e e )st st st s s L f t f t dt dt dt s +∞-----=⋅=⋅+=--⎰⎰⎰(2)πππ2011e (())()e cos e (1e )1s ststsL f t f t dt t dt s s -+∞---+=⋅=⋅=+++⎰⎰3.设函数()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅,其中函数()u t 为阶跃函数, 求()f t 的拉普拉斯变换.解:20222(())()e cos ()e sin ()e cos ()e sin e 11cos e 1111st st st st st stt L f t f t dt t t dt t u t dtt t dt t dts t s s s δδ+∞+∞+∞---+∞+∞---∞-==⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅-=-=+++⎰⎰⎰⎰⎰4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解：2()e 1(())1e (1e )Tst T T as as f t dt as aL f t s s ---⋅+==---⎰5. 求下列函数的拉普拉斯变换.(1)()sin 2tf t lt l=⋅ (2)2()e sin5t f t t -=⋅(3)()1e t f t t =-⋅ (4)4()e cos4t f t t-=⋅(5()(24)f t u t =- (6()5sin 23cos 2f t t t =-(7) 12()e t f t t δ=⋅ (8) 2()32f t t t =++解:(1)222222221()sin [()sin ]221()(())(sin )[()sin ]22112()22()()tf t lt t lt l lt F s L f t L lt L t lt l ll ls s l s l l s l s l =⋅=--⋅==⋅=--⋅-'=-=-⋅=+++(2)225()(())(e sin 5)(2)25t F s L f t L t s -==⋅=++21(3)()(())(1e )(1)(e )(e )1111()1(1)t t t F s L f t L t L L t L t ss s s s ==-⋅=-⋅=+-⋅'=+=--- (4)424()(())(ecos 4)(4)16ts F s L f t L t s -+==⋅=++ (5)1,2(24)0,t u t >⎧-=⎨⎩其他22()(())((24))=(24)e 1=e =e st stsF s L f t L u t u t dtdt s∞-∞--==--⋅⎰⎰(6)222()(())(5sin 23cos2)5(sin 2)3(cos2)210353444F s L f t L t t L t L t s ss s s ==-=--=⋅-⋅=+++ (7)12332213(1)()22()(())(e )()()t F s L f t L t s s δδδΓ+Γ==⋅==-- (8)2221()(())(32)()3()2(1)(232)F s L f t L t t L t L t L s s s ==++=++=++6.记[]()()L f s F s =，对常数0s ，若00Re()s s δ->，证明00[e ]()()s t L f s F s s ⋅=-证明:00000()()00[e ]()e ()e ()e()e ()s t s tsts s ts s t L f s f t dtf t dt f t dt F s s ∞-∞∞---⋅=⋅⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰7 记[]()()L f s F s =，证明:()()[(t)()]()n nF s L f t s =-⋅证明：当n=1时,0()()e st F s f t dt +∞-=⋅⎰0()[()e ][()e ]()e (())st stst F s f t dt f t dt t f t dt L t f t s+∞--+∞+∞-''=⋅∂⋅==-⋅⋅=-⋅∂⎰⎰⎰所以，当n=1时, ()()[(t)()]()n nFs L f t s =-⋅显然成立。

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ①：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos isin i 662=+=+z ． 2551cos πisin πi 662=+=z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解大学数学学院（主编：王忠仁静）高等教育习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。

如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。

所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。

1.2 求下列各式的值：（1）5)i ；（2）6(1)i +；（3；（4）13(1)i -。

解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。

（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

复变函数与积分变换全套课后答案

1 4
1 π
k 0,1
i π π ∴ z1 6 4 cos i sin 6 4 e 8 8 8 πi 9 9 z2 6 4 cos π i sin π 6 4 e 8 ． 8 8 1 1 9
9.设 z e
3 2 2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y x y 2x y i
x3 3xy 2 3x 2 y y 3 i
∴ Re z 3 x 3 3xy 2 ,
Im z 3 3x 2 y y 3 ．
z w z 2 Re z w w z w z 2 Re z w w
zw zw 2 z w
2 2
2
2

2
2
2

2

2
2

2
并给出最后一个等式的几何解释．证明： z w z 2 Re z w w 在上面第五题的证明已经证明了．下面证 z w z 2 Re z w w ． ∵ z w z w z w z w z w
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
④解：
1 i 1 i 2 2 2 2
1 i 1 i 1 i 2 2 2 4、证明：当且仅当 z z 时，z 才是实数．

z z z w w z w w z zw z w w z w
≤
2
2
2
2
2 Re z w

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析

{ } { } Re i8 − 4i21 + i = 1, Im i8 − 4i21 + i = −3
网 c ⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1+ 3i ，| i8 − 4i21 + i |= 10 案 . ( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1− 3i)+ 2kπ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根（2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解（1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+

复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a yz a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()R e in=，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==．∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi4e⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin0,122k kk⎛⎫++⎪=⋅+=⎪⎝⎭∴π11i8441ππ6cos isin6e88⎛⎫=⋅+=⋅⎪⎝⎭z911πi8442996cosπisinπ6e88⎛⎫=⋅+=⋅⎪⎝⎭z．9.设2πe,2inz n=≥. 证明：110nz z-+++=证明：∵2πie nz⋅=∴1nz=，即10nz-=．∴()()1110nz z z--+++=又∵n≥2．∴z≠1从而211+0nz z z-+++=11.设Γ是圆周{:},0,e.iz r r a c rz cα=>=+-令:Im0z aL zbβ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,其中e ibβ=.求出Lβ在a切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为Lβ={z: Imz ab-⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥Lβ．过C作直线平行Lβ，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以Lβ在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.(1)argπ;(2);1(3)1|2;(4)Re Im;(5)Im1 2.zz zz iz zz z==-<+<>><且解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=12．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（含答案）复变函数与积分变换习题解析2

（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。

《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案

所以
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
答
= −arctan3 + 2kπ
2．如果等式解：由于
ww
w.
解得 x = 1, y = 11 。 4．证明
比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5 x + 3 y − 4 = 34 ⎧ 5 x + 3 y = 38 或⎨ ⎨ ⎩− 3x + 5 y − 18 = 34 ⎩− 3x + 5 y = 52
3．证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。
பைடு நூலகம்
kh
1) | z |2 = zz # 6) Re( z ) =
x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
da
2
课
后
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i
⎛ 1 3i ⎞ ⎛ 1 3i ⎞ Arg⎜ − ⎟ = arg⎜ − ⎟ + 2kπ ⎝ i 1− i ⎠ ⎝ i 1− i ⎠
5 = − arctan + 2kπ , k = 0,±1,±2, " . 3 (3 + 4i )(2 − 5i ) = (3 + 4i )(2 − 5i )(− 2i ) = (26 − 7i )(− 2i ) （3） (2i )(− 2i ) 2i 4

复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案

3 2 2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y x y 2x y i
③解： 2 i 3 2i 2 i 3 2i 5 13 65 ．
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
2
2

2
2

2
的平方根. ⑴i 的三次根．解：
3
并给出最后一个等式的几何解释．证明： z w z 2Re z w w 在上面第五题的证明已经证明了．下面证 z w z 2Re z w w ． ∵ z w z w z w z w z w
π i 4
3 5i 1 3 . ; (2 i)(4 3i); 7i 1 i 1 i
1 i 3 ∴ Re 1, 2
④解： ∵
3
1 i 3 Im 0． 2
2 2 2 2 π π cos isin i i 2 4 4 2 2 2
π 4 映射成 w 平面内虚
5、Imz>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二
w z 1 z 下圆周 | z | 2 的像.
w u iv 则
π ,0 r 2 4 映成了 w 平面 π 0 4,0 . 2 上扇形域，即
i (2) 记 w e ，则

ie2
i
π
③解： 1 eiπ eπi
2 ④解： 8π 1 3i 16π π . 3
z z z w w z w w z zw z w w z w

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