复变函数与积分变换课后习题答案详解

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复变函数与积分变换

（修订版）主编：马柏林

（复旦大学出版社）

/

——课后习题答案

习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

π/43513

;

;(2)(43);711i i e i i i i i

-++++

++.

①解i 4

πππ2222e cos isin i i 442222

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=

+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭ ②解： ()()()()

35i 17i 35i 1613i

7i 1

1+7i 17i 2525

+-+==-++-

③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：

()31i 13

35=i i i 1i 222

-+-+=-+

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )

(z a a z a -∈+); 3

3

31313;;;.22n i i z i ⎛⎫⎛⎫

-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

① ：∵设z =x +iy

则

()()()()()()()22

i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y

-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴

()222

2

2

Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,

()22

2Im z a xy z a x a y

-⎛⎫

= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵

()()()()()

()()()3

2

3

2

2

222222

3223i i i 2i i 22i

33i

z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴

()332

Re 3z x xy =-,

()323Im 3z x y y =-．

③解： ∵

()

()()()(){

}3

3

2

3

2

1i 31i 3113133133288-+⎛⎫-+⎡

⎤⎡⎤==

--⋅-⋅+⋅-⋅-

⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎣⎦

⎝⎭

()1

80i 18

=

+=

∴1i 3Re 12⎛⎫

-+= ⎪ ⎪⎝⎭

, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭． ④解：

∵

()

()()

()()2

3

3

23

1313

3133i 1i 328

⎡⎤--⋅-⋅-+⋅-⋅-

⎛⎫

⎢⎥-+⎣

⎦

= ⎪ ⎪⎝⎭

()1

80i 18

=

+=

∴1i 3Re 12

⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝

⎭

, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭

． ⑤解： ∵()()1,

2i 211i,

k

n

k

n k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．

∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当

21n k =+时，

()Re i 0

n =，

()()Im i 1k

n =-．

3.求下列复数的模和共轭复数

12;3;(2)(32);

.2

i

i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=．

2i 2i -+=--

②解：33-=

33-=-

③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=⋅=．

()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-

④解：

1i 1i 2

222

++== ()1i 11i

222i ++-⎛⎫=

= ⎪⎝⎭

4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．

证明：若z z =，设i z x y =+，

则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．

若z =x ，x ∈，则z x x ==．

∴z z =．

命题成立．

5、设z ,w ∈，证明： z w z w ++≤

证明∵()()()()

2

z w z w z w z w z w +=+⋅+=++

(

)()

2

2

2

2

2Re z z z w w z w w

z zw z w w z w

z w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅

()

22

2

2

2

22z w z w

z w z w z w ++⋅=++⋅=+≤

∴z w

z w ++≤

．

6、设z ,w ∈，证明下列不等式． ()

2

2

2

2Re z w z z w w +=+⋅+ ()

2

2

2

2Re z w z z w w -=-⋅+

(

)22

22

2z w z w z w

++-=+

并给出最后一个等式的几何解释．

证明：()

2

2

2

2Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．

下面证()

2

2

2

2Re z w z z w w -=-⋅+．

∵()()()()

22

2

z w z w z w z w z w z z w w z w

-=-⋅-=--=-⋅-⋅+

()

2

2

2Re z z w w =-⋅+．从而得证．

∴(

)

2

2

22

2z w z w z w

++-=+

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边

的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3

352π2π;;1;8π(13);.cos sin 7199i i i i i +⎛

⎫--+ ⎪+⎝

⎭ ①解：

()()()()

35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-

3816i 198i 17e 5025i θ⋅--=

=其中8

πarctan 19

θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2

θ=．

π2

e i i =

③解：ππi i 1e e -==

④解：()

2

8π13i 16ππ3

θ-==-.

∴()

2πi 3

8π13i 16πe

--+=⋅

⑤解：3

2π2πcos isin 99⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭ 解：∵3

2π2πcos isin 199⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭．

∴3

2

2π

i π.3i 93

2π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭

8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 33i

的平方根.

⑴i 的三次根． 解：

()1

3

3

ππ

2π2πππ22i cos sin cos

isin 0,1,22233

+

+

⎛

⎫+=+= ⎪⎝

⎭k k i k

∴1ππ31

cos

isin i 662

=+=+z ．

25531

cos πisin πi 662

=+=z

39931cos πisin πi 662

=+=-z

⑵-1的三次根 解：

()()1

3

32π+π2ππ

1cos πisin πcos

isin 0,1,233

k k k +-+=+=

∴1ππ13cos isin 3

3

2

=+=z

2cos πisin π1=+=-z

35513

cos πisin π332=+=-z

33i 的平方根．