最新测量平差-中国地质大学-北京-复习资料01
中国地质大学(北京)测量学模拟题C版
《测量学》模拟题（补）一.名词解释1.参考椭球体：答：为了表示地球形状，用来代替大地体所选择的一个具有微小扁率、非常接近于大地体的又可用数学式表示的几何形体，通常称为参考椭球体。
2.绝对高程：答：地面某点至大地水准面的垂直距离称为该点的绝对高程或海拔。
3.等高线：答：将地面上高程相等的相邻各点连接而成的闭合曲线称为等高线。
4.比例尺精度：答：相当于图上0.1mm的实地水平距离，称为比例尺精度。
5.误差传播定律：答：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间的关系的定律，称为误差传播定律。
6.大地水准面：答：大地水准面是由静止海水面并向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。
7.相对高程：答：地面某点至任一假定水准面的垂直距离，称为该点的相对高程或假定高程。
8.观测条件：答：仪器、外界条件和观测者三个方面的因素是产生观测误差的主要根源。
通常把这三个方面的因素综合起来，称为观测条件。
二．单项选择题1. 水准测量时在后视点A上的读数为1.226，在前视点B上的读数为1.737，则A、B两点之间的高差h AB为D。
A. 1.226mB. 1.737C. 0.511mD. -0.511m2. 水准测量原理是利用水准仪提供一条水平视线，借助竖立在地面点的水准尺，直接测定地面上各点间的A，然而根据其中一点的已知高程，推算其他各点的高程。
A. 高差B. 高程C. 距离D. 角度3. 下列各种比例尺的地形图中，比例尺最大的是D。
A. 1∶5000B. 1∶2000C. 1∶1000D. 1∶5004.导线测量角度闭合差的调整方法是A。
A. 反符号按角度个数平均分配B. 反符号按角度大小比例分配C. 反符号按边数平均分配D.反符号按边长比例分配5. 水准测量中应使前后视距B。
A. 越大越好B. 尽可能相等C. 越小越好D. 随意设置6. 一组测量值（距离除外）的中误差越小，表明测量精度越A。
A. 高B. 低C. 精度与中误差没有关系D. 无法确定7. 某地图的比例尺为1：1000，则图上6.82厘米代表实地距离为B。
测量平差-中国地质大学-北京-复习资料01
一、填空题 （共20分，每空 2 分）1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为ABCDEL 1L 2L 3L 4L 52、测量是所称的观测条件包括 、观测者、3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0.15.05.00.2XXQ 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。
（10分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XXQ 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：⎩⎨⎧+++=+++=n n nn L L L y L L L x βββαααΛΛ22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。
（15分） 1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。
四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。
（20分）用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；C五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
(20分)A六、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。
（15分）1）试在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差，并说明；3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且︒=52F ϕ,试计算方位角为102º的PB边的中误差。
中国地质大学北京硕士研究生测量平差考试大纲
中国地质大学（北京）硕士研究生《测量平差》考试大纲科目名称：测量平差代码：846一、考试性质本门课程考试的主要内容是误差的基本理论知识和经典测量平差原理与方法。
它的评价标准是使高校优秀本科毕业生能达到及格或及格以上水平。
二、考试形式与试卷结构1.答卷方式：闭卷、笔试2.答卷时间：180分钟3.题型比例：满分150分，填空题3-5题（占总分10%－20%），应用题与证明题1－2题（占总分10%－20%），其余题型全为计算题。
三、考查要点1、观测值的精度指标2、随机变量与随机向量的数字特征3、广义误差传播定律4、最小二乘原理5、条件平差、间接平差和附有条件的间接平差方法6、附有参数的条件平差以及概括平差的数学模型的建立7、误差椭圆和相对误差椭圆计算---条件平差法怎样计算？8、误差分布的假设检验9、秩亏自由网平差原理四、参考资料误差理论与测量平差基础,武汉大学测绘学院测量平差组编,武汉大学出版社，2007年7月.中国地质大学（北京）硕士研究生《土地资源学》考试大纲科目名称：土地资源学代码：847一、考试性质本门课程考试的主要内容是土地资源学的基本概念、基础理论和基本方法，以及理论、方法、技术、政策在土地资源管理中的应用。
注重考察考生对土地资源的形成与演变、类型与分布、数量与质量，以及土地资源的开发、利用、整治、保护与管理等诸问题的掌握和理解，以及各部分内容的融会贯通。
它的评价标准是使高校优秀本科毕业生能达到及格以上水平，选拔优秀人才。
二、考试形式与试卷结构4.答卷方式：闭卷、笔试5.答卷时间：180分钟6.题型比例：满分150分，简述题分值为80分，论述题分值为70分。
三、考查要点1.绪论土地与土地资源的概念、土地的属性和功能、土地资源学的理论体系、土地资源学研究内容和研究方法、土地资源学的发展历史、发展前景与研究重点。
2.土地资源构成要素分析土地资源的气候要素及对土地利用的影响、土地资源的地学要素及对土地利用的影响、土地资源的水文要素及对土地利用的影响、土地资源的土壤要素及对土地利用的影响、土地资源的生物要素及对土地利用的影响、土地资源的社会经济及对土地利用的影响3.土地类型及土地资源分类土地类型的概念、土地类型的形成与地域分异、土地类型的结构与演替、土地利用分类。
测量平差-中国地质大学-北京-复习资料01
一、填空题 （共20分，每空 2 分）1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为ABCDEL 1L 2L 3L 4L 52、测量是所称的观测条件包括 、观测者、3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0.15.05.00.2XXQ 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。
（10分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XXQ 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：⎩⎨⎧+++=+++=n n nn L L L y L L L x βββααα 22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。
（15分） 1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。
四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。
（20分）用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；ACBDh 1h 2h 3h 4h 5E h 6高差观测值/m 对应线路长度/km已知点高程/mh 1= -1.348 h 2= 0.691 h 3= 1.265 h 4= -0.662 h 5= -0.088 h 5= 0.7631 1 1 1 1 1H A =23.000 H B =23.564 C B =23.663五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
中石大大地测量学基础复习提纲(牟)
第三章 协方差传播律及权
1.协方差（和协因数）的定义？什么是协方差（和协因数）传播律 ？有何用途？主要有哪几个公式？试写出这些公式的推导过程。 2.当观测值的函数为非线性形式时，应用协方差（和协因数）传播 律应注意哪些问题？试举例说明。 3.简述协方差（和协因数）传播律的计算步骤。 4.水准测量中两种计算高差中误差的公式为
1.什么是观测值的真值和真误差、最或是值（最或然值、平差值） 和改正数？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？同一量的双 观测值之差是不是真误差？ 2.在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？ 3.什么是精度？衡量精度的指标有哪些？它们各自是怎样定义的？ 如何计算？ 4.什么是准确度？什么是精确度？精度、准确度和精确度三者有何 区别与联系？ ＊5.什么是测量数据的不确定性和不确定度？评定不确定度的关键 是什么？ 6.相关观测向量X的协方差阵是怎样定义的？试说明DXX中各元素的 含义。若X向量中各个分量相互独立时，其协方差阵有何特点？ 7.两个独立观测值是否可称为不相关观测值？而两个相关观测值是 否就是不独立观测值呢？
2 2 2
W 1 e sin B
3.参数间的相互关系
V 1 e'2 cos2 B
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
1.椭球面上的常用坐标系
①大地坐标系 ②空间直角坐标系 ③子午面直角坐标系 ④地心纬度坐标系和归化纬度坐标系 ＊⑤大地极坐标系
⑥高程异常与大地水准面差距
2.各种坐标系之间的相互关系
八、将地面观测值化算至平面
归算
正算 反算
第五章 大地测量基本技术与方法
1.建立国家平面大地控制网的方法与基本原则。 2.控制网技术设计的一般步骤。 3.国家高程控制网的方法布设原则 4.工程测量控制网的分类 5.工程平面控制网的布设原则 6.工程平面控制网的特点 7.工程高程控制网的布设方法
测量平差复习题答案
测量平差复习题答案一、单项选择题1. 在测量平差中，观测值的改正数与观测值的符号相反，说明该观测值是（）。
A. 正误差B. 负误差C. 系统误差D. 偶然误差答案：B2. 测量平差中，观测值的中误差是指（）。
A. 观测值的标准差B. 观测值的均值C. 观测值的偏差D. 观测值的最大误差答案：A3. 测量平差中，单位权中误差的计算公式为（）。
A. σ0 = √(Σσ²) / nB. σ0 = Σσ² / nC. σ0 = √(Σσ²) / ΣnD. σ0= Σσ² / Σn答案：A二、多项选择题1. 测量平差中，下列哪些因素会影响观测值的精度（）。
A. 观测者的技能水平B. 观测仪器的精度C. 观测环境D. 观测时间答案：ABCD2. 在测量平差中，下列哪些方法可以提高观测精度（）。
A. 增加观测次数B. 采用高精度仪器C. 改进观测方法D. 延长观测时间答案：ABC三、填空题1. 测量平差中，观测值的中误差是用来衡量观测值的______。
答案：精度2. 测量平差中，单位权中误差是用来衡量观测值的______。
答案：精度3. 在测量平差中，观测值的改正数是用来______观测值的系统误差。
答案：消除四、简答题1. 简述测量平差中，观测值的中误差与观测值的精度之间的关系。
答案：观测值的中误差是观测值精度的一种度量，中误差越小，说明观测值的精度越高。
2. 测量平差中，如何通过观测值的改正数来判断观测值的误差性质？答案：观测值的改正数与观测值的符号相反，说明该观测值是负误差；如果改正数与观测值的符号相同，则说明该观测值是正误差。
五、计算题1. 已知一组观测值的方差分别为2、3、4，计算该组观测值的单位权中误差。
答案：σ0 = √(2+3+4) / 3 = √9 / 3 = √32. 假设在一次测量中，观测者得到了一组观测值，其改正数分别为-0.1、0.2、-0.3，计算该组观测值的平均改正数。
中国地质大学北京)-测量学试题及答案a版
《测量学》习题及其参考答案（第1～11章共79题）习题11．什么叫大地水准面?它有什么特点和作用? 2．什么叫绝对高程、相对高程及高差?3．测量上的平面直角坐标系和数学上的平面直角坐标系有什么区别? 4．什么叫高斯投影？高斯平面直角坐标系是怎样建立的?5．已知某点位于高斯投影6°带第20号带，若该点在该投影带高斯平面直角坐标系中的横坐标y ＝-306579.210m ，写出该点不包含负值且含有带号的横坐标y 及该带的中央子午线经度0L 。
6．什么叫直线定线？标准方向有几种？什么是坐标方位角？7．某宾馆首层室内地面±0.000的绝对高程为45.300m ，室外地面设计高程为-l.500m ，女儿墙设计高程为+88.200m ， 问室外地面和女儿墙的绝对高程分别为多少?8．已知地面上A 点的磁偏角为-3°10′，子午线收敛角为+1°05′，由罗盘仪测得直线AB 的磁方位角为为63°45′，试求直线AB 的坐标方位角=AB α? 并绘出关系略图。
答案：1．通过平均海水面的一个水准面，称大地水准面，它的特点是水准面上任意一点铅垂线都垂直于该点的曲面，是一个重力曲面，其作用是测量工作的基准面。
2．地面点到大地水准面的垂直距离，称为该点的绝对高程。
地面点到假设水准面的垂直距离，称为该点的相对高程。
两点高程之差称为高差。
3．测量坐标系的X 轴是南北方向，X 轴朝北，Y 轴是东西方向，Y 轴朝东，另外测量坐标系中的四个象限按顺时针编排，这些正好与数学坐标系相反。
4、假想将一个横椭圆柱体套在椭球外，使横椭圆柱的轴心通过椭球中心，并与椭球面上某投影带的中央子午线相切，将中央子午线附近（即东西边缘子午线范围）椭球面上的点投影到横椭圆柱面上，然后顺着过南北极母线将椭圆柱面展开为平面，这个平面称为高斯投影平面。
所以该投影是正形投影。
在高斯投影平面上，中央子午线投影后为X 轴，赤道投影为Y 轴，两轴交点为坐标原点，构成分带的独立的高斯平面直角坐标系统。
测量平差复习资料
测量平差复习资料一、证明题
1、Z与W的协方差
（1）
2、告诉条件平差公式告诉(1)条件平差的公式；推论出Q VV 及Q LL
(2)间接平差
3、水准测量（1）按测站
（2）按路线
二、推导题
（1）
（2）
填空题
1、u = 0 条件平差；u = t 间接平差；u<t 附有参数的条件平差；u>t 附有限制条件的间接平差（注：t为必要观测，u为参数的个数）
2、正态分布参数μ、σ，μ确定了曲线中心位置，σ越小f(x)值越大曲线越陡峭。
3网中只有一个已知高程点称为自由网，其必要观测为网中水准点的总数减一。
符合水准网，网中已知高程点大于等于2个，其必要观测为网中待测水准点的个数。
（p69）
3、测量误差的种类主要平定那种误差
粗差、系统误差、偶然误差（主要平定的误差）
4、精度（p15）精确度（p19）
5、偶然误差的特性：有界性聚中性对称性、抵偿性
6、协方差p27
计算题
P67(例5-1) p99(例6-1) p109(例6-4)。
中国地质大学(北京)地概(地球科学概论)复习资料(整理收集全面版本)
地大北京地概考研复习总结名词解释1. 地质灾害（12、10、06、05、04）由于地质营力或人类活动而导致地质环境发生变化，并由此产生各种危害或严重灾害，使生态环境受到破坏、人类生命财产遭受损失的现象或事件2. 地层层序律（11、10、09、06）地层形成的原始产状一般是水平或近水平，并总是先形成的地层在下，后形成的盖在上面，这种正常的地层叠置关系叫地层层序律3. 化石层序律（00）不同时代的地层中具有不同的古生物化石组合，相同时代的地层中具有相同或相似的古生物化石组合；古生物化石组合的形态、结构越简单，则底层的时代越老 4. 自然环境人类在地球上赖以生存和发展的必要的物质基础，是人类周围各种自然因素的总和，如阳光、空气、土地、能源等5. 地质环境（08、04）围绕生物体外部的空间及所包容的一切因素的总和。
即固体地球表层地质体的组成、结构和各类地质作用与现象给人类所提供的环境6. 生态系统（09、06、05、04、02）一定空间和时间内生物和非生物的总和，并具有自我调节和自我组织的能力7. 生态平衡（08、07、04）生态系统中，能量流动和物质循环总是不断进行，一定时间、空间内，生产者、消费者、分解者之间都保持着一种动态的稳定，此状态叫做——8. 重力异常实测重力值与理论重力值之间的差值，差值为正叫正异常，差值为负叫负异常9. 成岩作用（11、10）由松散的沉积物转变为沉积岩的过程，主要方式有压实、胶结和重结晶作用三种10. 压实作用沉积物在上覆水体和沉积物的负荷压力下，水分排出，孔隙度降低及体积缩小的过程11. 胶结作用从孔隙溶液中沉淀出的矿物质（即胶结物）将松散的沉积物粘结成沉积岩的过程12. 重结晶作用指在压力增大、温度升高的情况下，沉积物中的组分部分发生、溶解和再结晶，使非晶质变为晶质，细粒晶变为粗粒晶，从而使沉积物固结成岩的过程13. 节理岩石受力的作用超过岩石的强度时，就会破裂形成断裂构造，断裂两侧岩块无明显滑动者叫节理，有明显滑动者叫断层14.剪节理由剪应力产生的破裂面15.张节理由张应力产生的破裂面16.解理矿物受力后沿一定方向规则裂开的性质（12、06、99、00、02、03）17.断口矿物受敲击后沿任意方向裂开成凹凸不平的断面18. 岩石天然形成的、由固体矿物或岩屑组成的集合体19.岩石的矿物成分不同类型的岩石具有的不同的矿物共生组合20. 岩石的结构组成岩石的矿物或碎屑的结晶程度、颗粒大小、形态特征和它们之间的相互关系21. 岩石的构造（04）岩石中的矿物（或岩屑）颗粒在空间上的分布和排列方式特点22. 岩石圈（12、06、02）软流圈之上的固体地球的刚性圈层23. 岩浆地壳深部或上地幔局部地段中形成的一种炽热的、粘度较大且富含挥发成分的硅酸盐熔融物质24. 岩浆作用（06、00）岩浆沿构造软弱带上升到地壳上部或喷溢出地表，在上升、运移过程中由于物化条件改变，岩浆成分不断发发生变化，最后冷凝成岩石的复杂过程25. 侵入作用岩浆上升到一定位置时，由于上覆岩层的外压力大于岩浆的内压力，迫使岩浆在地壳中冷凝而结晶的作用26. 矿产（矿产资源）（07、06、02）自然界里一切埋藏在地下或分布于地表的可供人类利用的矿物或岩石资源27. 矿床（07）地壳中由地质作用形成的，其中所含某些物质成分的质和量符合一定的经济技术条件要求，并能为国民经济所利用的综合地质体28. 矿石矿体的主要组成部分。
中国地质大学北京 地球科学概论 考研资料
《地球科学概论》复习资料名词解释：1.地温梯度：通常把地表常温层以下每向下加深100m所生高的温度成为地热增温率或地温梯度。
2.历史比较法：通过各种地质事件遗留下来的地质现象与结果，利用现今地质作用的规律，反推古代地质事件发生的条件、过程及其特点。
3.差异风化：在相同的条件下，不同矿物组成的岩块由于风化速度不等，岩石表面凹凸不平；或由于不同岩性组成的岩层，抗风化能力弱的岩层形成相互平行的沟槽，如砂岩、页岩互层，页岩呈沟槽。
4.莫霍面：出现的深度在大陆之下平均为33km，在大洋之下平均为7km。
在该界面附近，纵波的速度以7.0km/s左右突然增加到8.1km/s左右；横波的速度也从4.2km/s突增到4.4km/s。
5.矿物解理：矿物受力后沿一定方向规则裂开的性质。
6.石林：如果灰岩的层理水平，又发育有垂直的裂隙，在地面流水和地下水沿裂隙溶蚀作用下，使溶沟加深，石芽增长，形成巨型石林。
7.洪积面：8.岩石的结构：组成岩石的矿物的结晶程度、颗粒大小、形状及其相互关系。
9.苦湖：湖泊沉积到了氯化物阶段，湖水进一步浓缩，残余湖水便能成为可供直接开采的，以氯化钠为主的天然卤水，因带苦味，所以称为苦湖。
10.分选性：颗粒大小趋向均一的程度。
磨圆度：碎屑颗粒在搬运过程中，棱角磨碎而接近圆形的程度。
11.海蚀凹槽：在基岩海岸的海水面附近，由于海水拍岸浪的机械冲击和海水所携带沙石的磨蚀作用以及化学溶蚀作用，该部位的岩石不断遭受破碎，被掏空，形成向陆地方向锲入的凹槽。
12.球形风化：如果岩石的矿物分布均匀，并发育有三组近于相互垂直的裂隙，把岩石切成形状大小不等的立方体岩块，在岩块的棱角处自由表面积大，易受温度、水溶液、气体等因素的作用而风坏破坏，经一段时间风化后，岩块棱角消失，在岩石表面形成大大小小的球体或椭球体。
13.波切台：海蚀崖不断向陆地方向节节后退，在海岸带形成一个向上微凸并向海洋方向微倾斜的平台。
14.三角洲：当河流进入河口时，水域骤然变宽，再加上海水或湖水对河流的阻挡作用，流速减小，机械搬运物大量沉积下来，所形成的沉积体形态，从平面上看像三角。
测量平差复习题答案
测量平差复习题答案一、选择题1. 平差的目的是什么？A. 确定测量数据的准确度B. 消除测量误差C. 计算未知点的坐标D. 以上都是2. 测量平差中，观测值的权值与什么有关？A. 观测值的精度B. 观测条件C. 测量仪器的精度D. 观测者的经验3. 测量误差的来源主要包括哪些？A. 仪器误差B. 人为误差C. 环境误差D. 所有以上4. 测量平差中，最小二乘法的基本原理是什么？A. 误差平方和最小B. 误差绝对值和最小C. 误差乘积最小D. 误差平均值最小5. 测量平差中，如何确定观测值的权？A. 根据观测者的经验和直觉B. 根据观测值的精度C. 根据测量仪器的精度D. 根据观测条件二、填空题6. 平差过程中，测量误差的改正数通常用________表示。
7. 测量平差中，权的概念是指________。
8. 测量误差的类型包括系统误差和________。
9. 最小二乘法中，观测值的权值通常与________成反比。
10. 测量平差中，常用的权函数有________和________。
三、简答题11. 简述测量平差中，最小二乘法的计算步骤。
12. 说明测量平差中，如何确定观测值的权值。
13. 描述测量平差中，误差传播的概念及其重要性。
四、计算题14. 假设有一组观测数据，其观测值为：x1=100.2mm, x2=100.3mm, x3=100.1mm。
已知观测误差的标准差为σ=0.1mm，试计算这组数据的平均值及其标准误差。
五、论述题15. 论述测量平差在工程测量中的重要性及其应用。
【答案】1. D2. A3. D4. A5. B6. 改正数7. 观测值的相对重要性8. 随机误差9. 观测误差的方差10. 倒数权函数，倒数平方权函数11. 略（根据最小二乘法的基本原理和计算步骤回答）12. 略（根据观测值的精度和误差方差来确定权值）13. 略（描述误差传播的概念，以及在测量平差中的重要性）14. 平均值 = (100.2 + 100.3 + 100.1) / 3 = 100.2mm；标准误差= σ / √3 = 0.1 / √3 mm15. 略（根据测量平差在工程测量中的重要性和应用进行论述）【结束语】测量平差是确保测量结果准确性的重要手段，通过本复习题的练习，希望能够帮助大家更好地理解和掌握测量平差的基本理论、方法和应用。
测量平差复习题及答案
测量平差复习题及答案一、综合题1．已知两段距离(de)长度及中误差分别为cm m 5.4465.300±及cm m 5.4894.660±,试说明这两段距离(de)真误差是否相等他们(de)精度是否相等答：它们(de)真误差不一定相等；相对精度不相等,后者高于前者.2．已知观测值向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121L L L (de)权阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=32313132LL P ,现有函数21L L X +=,13L Y =,求观测值(de)权1L P ,2L P ,观测值(de)协因数阵XY Q .答：12/3L P =；22/3L P =；3XY Q =3．在下图所示三角网中,A ．B 为已知点,41~P P 为待定点,已知32P P 边(de)边长和方位角分别为0S 和0α,今测得角度1421,,,L L L 和边长21,S S ,若按条件平差法对该网进行平差：（1）共有多少个条件方程各类条件方程各有多少个（2）试列出除图形条件和方位角条件外(de)其它条件方程（非线性条件方程不要求线性化）答：（1）14216,6,10n t r =+=== ,所以图形条件：4个；极条件：2个；边长条件：2个；基线条件：1个；方位角条件：1个 （2）四边形14ABPP (de)极条件（以1P 为极）： 34131241314ˆˆˆˆsin()sin sin 1ˆˆˆˆsin sin sin()L L L L L L L L +⋅⋅=+ 四边形1234PP P P (de)极条件（以4P 为极）： 10116891167ˆˆˆˆsin()sin sin 1ˆˆˆˆsin sin sin()L L L L L L L L +⋅⋅=+ 边长条件（1ˆAB S S - ）：123434ˆˆˆˆˆˆsin()sin()AB S S L L L L L =+++ 边长条件（12ˆˆS S - ）：1121314867ˆˆˆsin ˆˆˆˆˆsin()sin sin()S L S L L L L L ⋅=++ 基线条件（0AB S S - ）：02101191011ˆˆˆˆˆsin()sin()S S L L L L L =+++4．A ．B ．C 三点在同一直线上,测出了AB ．BC 及AC(de)距离,得到4个独立观测值,m L 010.2001=,m L 050.3002=,m L 070.3003=,m L 090.5004=,若令100米量距(de)权为单位权,试按条件平差法确定A ．C 之间各段距离(de)平差值Lˆ.答：ˆ[200.0147,300.0635,300.0635,500.0782]T L=5．在某航测像片上,有一块矩形稻田.为了确定该稻田(de)面积,现用卡规量测了该矩形(de)长为cm L 501=,方差为22136.0cm =σ,宽为cm L 302=,方差为22236.0cm =σ,又用求积仪量测了该矩形(de)面积231535cm L =,方差为42336cm =σ,若设该矩形(de)长为参数1ˆX ,宽为参数2ˆX ,按间接平差法平差：（1）试求出该长方形(de)面积平差值；（2）面积平差值(de)中误差.答：（1）令0111ˆX X x =+,0222ˆX X x =+,011X L =,022X L =,误差方程式为： 1122312ˆˆ305035v xv xv v v ===+-令：10013050B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0035L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,单位权方差为2036σ=,则法方程为：T TB PBX B PL=,可得：120.30.5x X x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则0111ˆ50.3X X x =+=,0222ˆ30.5X X x =+= 所以面积平差值为2312ˆˆˆ50.3*30.51534L X X cm ===（2）2200.35T V PVcm rσ== ()12112212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆdXdS X dX X dX X X dX ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,所以ˆˆ98.94SS Q =则2ˆ 3.4814S cm σσ==±6．如图水准网中,A 为已知点,高程为10.000A H m =,观测高差及路线长度为：m h 563.21=,km S 11=；m h 326.12-=,km S 12=；m h 885.33-=,km S 23=；m h 883.34-=,km S 24=；若设参数12334ˆˆˆˆˆˆˆTTBX X X X H h h ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦,定权时C= 2 km ,试列出：（1）、误差方程和限制条件； （2）、法方程式.答：（1）误差方程为：112231243ˆˆˆˆ4ˆv xv x v x x v x=⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=⎩ 限制条件为：13ˆˆ20xx --= （2）法方程为：1234ˆ31004ˆ130140ˆ00110ˆ01102x x xx-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 7．设对某量进行了两组观测,得到观测值(de)真误差如下： 第一组：3,-3,2,4,-2,-1,0,-4,3,-2 第二组：0,-1,-7,2,1,-1,8,0,-3,1 试回答如下问题：（1）两组值(de)平均误差1ˆθ、2ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ（2）这两组观测值(de)精度,哪一组精度高,为什么答：（1）1ˆθ=,2ˆθ=；1ˆσ=,2ˆσ=（2）两组观测值(de)平均误差相同,而中误差不同,由于中误差对大(de)误差反应敏感,故通常采用中误差作为衡量精度(de)指标,本题中1ˆσ<2ˆσ,故第一组观测值精度高.8．设对丈量10km(de)距离同精度丈量10次,令其平均值(de)权为5,现以同样等级(de)精度丈量(de)距离.问丈量此距离一次(de)权是多少.（问答题,10分）答：一次观测值(de)权倒数1025N C P === ,所以每次丈量10km 距离(de)权为：100.5P =长度为i S 距离(de)权为：1i i C P S = ,则112.510,2.510C C P P == ,所以15C = 故12.522.5C P == 9．下列各式中(de)()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值,其中误差为σ,试求下列函数(de)中误差：(1)()12312X L L L =++；(2)321L L L Y =答：（1）x σ= （2）3x σ=10．在图一所示测角网中,A 、B 、C 为待定点,同精度观测了1L 、2L 、3L 和4L 共四个角度观测值.设平差后BAC ∠为参数Xˆ. （1）试指出采用何种平差模型； （2）写出函数模型和法方程.答：采用附有参数(de)条件平差模型；平差方程为：123ˆˆˆ1800L L L ++-= 34ˆˆ3600L L +-= 1ˆˆ0L X -= 则条件方程为：12313421300ˆ0v v v w v v w v x w +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ ,其中闭合差方程为1123234031w L L L w L L w L X ⎧=++⎪=+⎨⎪=-⎩,建立法方程为： 1122333110120001011ˆ0100k w k w k w x⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11.有水准网如下图,网中A ．B 为已知水准点,高程m H A 013.12+=．m H B 013.10+=可视为无误差,C ．D 为待定点,共观测了四个高差,高差观测值及相应水准路线(de)距离为：km S 21=,m h 004.11-=,km S 12=,m h 516.12+=,km S 23=,m h 512.23+=,km S 5.14=,m h 520.14+=.试用条件平差法求C 和D 两点高程(de)平差值.答：4,2n t == ,所以2r = ,条件方程如下：12324ˆˆˆ0ˆˆ0A Bh h h H H h h ⎧+-+-=⎪⎨-=⎪⎩ 以ˆi i ih h v =+ 代入上式,可得上述方程(de)最终形式为： 123411100001014v v v v ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ,以1km 观测高差为单位权观测,则法方程为： 1212502.540k k k k +=⎧⎨+-=⎩ ,解得120.35, 1.74k k =-= 进而求得()0.74 1.40.7 2.6TV mm =--观测值(de)平差值为：1234ˆˆˆˆ1.0047, 1.5174, 2.5127, 1.5174L m L m L m L m =-=== 则C 、D 两点(de)平差高程为：11.0083,12.5257C D H m H m ==12.设在三角形ABC 中,观测三内角321,,L L L ,将闭合差平均分配后得到(de)各角之值为014489ˆ,025050ˆ,030140ˆ321'''='''='''= L L L ,如下图.它们(de)协方差阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=633363336LLD ,已知边长m S 000.15000=（无误差）,试求ba S S ,(de)长度和它们(de)协方差SS D .答：013023ˆˆˆˆsin /sin 967.679,sin /sin 1150.573a b S S L L m S S L L m ==== 对函数式取自然对数,并微分得：331213231323ˆˆˆˆcos cos cos cos ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆsin sin sin sin a b a b dS L dS L L L dL dL dL dL S S L L L L ====即1132233ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆa a a b b b dLdS S ctgL S ctgL dS dL dS S ctgL S ctgL dL ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则23263311460114604 1.860.7713630962096250.77 1.32(20610)33645SS D cm --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎪--⨯⎝⎭⎝⎭⎪⎪----⎝⎭⎝⎭。
误差理论与测量平差(专升本) 地质大学期末开卷考试题库及答案
误差理论与测量平差(专升本)判断题1. 在间接平差中，直接观测量可以作为未知数，但是间接观测量则不能作为未知数_____。
(2分)参考答案：正确2. 无论是水准网还是三角高程网最大秩亏数一定是1__ ___。
(2分)参考答案：正确3. 定权时可任意给定，它仅起比例常数的作用____ _。
(2分)参考答案：正确4. 对于特定的平面控制网，如果按条件平差法解算，则条件式的个数是一定的，形式是多样的_____。
(2分)参考答案：错误5. 观测值精度相同，其权不一定相同_____。
(2分)参考答案：错误6. 误差椭圆的三个参数的含义分别为：--位差极大值方向的坐标方位角；E—位差极大值方向；F—位差极小值的方向_____。
(2分)参考答案：正确7. 平差值是观测值的最佳估值_____。
(2分)参考答案：正确8. 偶然误差与系统误差的传播规律是一致的_____。
(2参考答案：错误9. 当观测值个数大于必要观测数时，该模型可被唯一地确定_____。
(2分)参考答案：错误10. 具有无偏性、一致性的平差值都是最优估计量____ _。
(2分)参考答案：正确名词解释11. 偶然误差(4分)参考答案：在一定的观测条件下作一系列的观测，若误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差成为偶然误差。
12. 平均误差(4分)参考答案：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差的绝对值的数学期望称为平均误差。
13. 点位误差曲线(4分)参考答案：以不同的和为极坐标的点的轨迹为一闭合曲线，则任意方向上的向径就是该方向上的位差，这个曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，这条曲线称为点位误差曲线（或点位精度曲线）14. 精确度(4分)参考答案：精确度是精度和准确度的合成，是指观测结果与其真值之间的接近程度，包括观测结果与其期望接近程度和数学期望与其真值的偏差。
误差理论与测量平差(专升本) 中国地质大学开卷参考资料题库及答案
误差理论与测量平差(专升本)阶段性作业2
总分：100分得分：0分
一、单选题
1. 已知观测向量 的协因数阵为 ,则向量 的协因数为。(3分)
(A) 7
(B) 33
(C) 73
(D) 80
参考答案：C
2. 某段水准路线共测20站，若取C=100个测站的观测高差为单位权观测值，则该段水准线路观测高差的权为________。 (3分)
(D) 平差值相同
(E) 观测值相同
参考答案：B,C
3. 衡量精度的指标有很多种，常用的精度指标有。(4分)
(A) 中误差
(B) 平均误差
(C) 或然误差
(D) 权
(E) 协因数
参考答案：A,B,C,D,E
4. 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现一定的规律，下列说法正确的是。(4分)
(A) 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值
正确错误
参考答案：错误
解题思路：
8. 相关观测值权逆阵 的对角线元素 与权阵 的对角线元素 之间的关系为 。(2分)
正确错误
参考答案：错误
解题思路：
9. 观测值 与其偶然真误差 必定等精度。(2分)
正确错误
参考答案：正确
解题思路：
10. 系统误差可用平差的方法进行减弱或消除。(2分)
正确错误
参考答案：错误
二、多选题
1. 已知 ， ，则下列说法正确的有。(4分)
(A) 中误差相等
(B) 极限误差相等
(C) 观测精度相等
(D) 相对误差相等
(E) 真误差相等
参考答案：A,B
2. 对某一角度进行了n次同精度观测，对于该组观测值，下列说法正确的有。(4分)
测量平差 中国地质大学 北京 复习资料02
7BC α6 5 4 32 1 D C B A 576 243 12 P 2(1.732,3.000) P 1(1.732,1.000) A(0,0)B(0,2)一. 已知观测值向量21L 的协方差阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3112LLD ，又知协因数5112-=Q ，试求观测值的权阵LL P 及观测值的权1L P 和2L P 。
（10分）二. 在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设对A ∠观测4测回的权为1，则对B ∠观测9个测回的权为多少？（10分） 三. 在图一所示测角网中，A 、B 为已知点，BC α为已知方位角，C 、D为待定点，721,,,L L L 为同精度独立观测值。
若按条件平差法对该网进行平差：(1).共有多少个条件方程？各类条件方程各有多少个？(2).试列出全部条件方程（非线性条件方程要求线性化）。
（15分）图一四. 某平差问题有以下函数模型)(I Q =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=+-+=--0ˆ03060515443121xv v v v v v vv试问：(1). 以上函数模型为何种平差方法的模型？(2). 本题中，=n ，=t ，=r ，=c ，=u ，=s 。
(10分) 五. 在图二所示测角网中，已知A 、B 两点的坐标和P 1、P 2两待定点的近似坐标值（见图二，以“km ”为单位），以及0000330001'''=BP α，000030002'''=BP α，km S BP 0.201=，km S BP 0.202=，721,,,L L L 为同精度观测值，其中65955906'''=L 。
若按坐标平差法对该网进行平差，试列出观测角6L 的误差方程(设5102⨯=ρ，xˆ、 图二 yˆ以dm 为单位)。
(10分)A ABP 2h 5h 4h 1h 3h 2P 1h 5 h 4h 1 h 3h 2CDB六. 有水准网如图三所示，网中A 、B 为已知点，C 、D 为待定点，51~h h 为高差观测值，设各线路等长。
测量平差复习资料03[1]
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《测量平差》复习题 第一章： 绪论1、观测量的真值：任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、观测误差：观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、观测条件：仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类：根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、误差公理：在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理6、观测条件与观测质量之间的关系：观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务：⑴ 求观测值的最或是值（平差值）；⑵ 评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法： ⑴ 列表法；⑵ 绘图法；⑶ 密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？ ⑴ 制定测量限差的依据；⑵ 判断系统误差(粗差)的依据。
4、精度：精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有：(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差：在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的？是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤：(1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
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一、填空题 （共20分，每空 2 分）1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为ABCDEL 1L 2L 3L 4L 52、测量是所称的观测条件包括 、观测者、3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0.15.05.00.2XXQ 二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。
（10分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25.015.015.036.0XXQ 三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：⎩⎨⎧+++=+++=n n nn L L L y L L L x βββαααΛΛ22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。
（15分）1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。
四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。
（20分）用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；C五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
(20分)A六、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。
（15分）1）试在误差曲线上作出平差后P A边的中误差，并说明；2）试在误差椭圆上作出平差后P A方位角的中误差，并说明；ϕ,试计算方位角为102º的PB 3）若点P点位误差的极大值E＝5mm，极小值F＝2mm，且︒=52F边的中误差。
参考答案及评分标准一、填空题 （共20分，每空 2 分）1：2、3、4、12：测量仪器、外界环境22.5º（或202.5º）、112.5º（292.5º） 3：cm cm 818.222或、2 4：157.5º或337.5º、1.78二、解：5.025.0*36.015.0)*(*)*(*0020-=-====yy xx xy yy xx xyyx xy Q Q Q Q Q Q σσσσσσρ三、解：（1）L 向量的权阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛO ΛM M ΛΛp 则L 的协因数阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000100011ΛO ΛM M ΛΛp Q LL （2分） （3分）（3分）（2分）（2分）()2531115253555253555253)(*52535212122112211+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++++=++++=+=n n n n n n L L L A AL AL AL L L L L L L x T M ΛΛΛΛαααααα()6711112671222671222671)(*26712212122112211+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++++=++++=+=n n n n n n L L L B BL BL BL L L L L L L y F M ΛΛΛΛββββββ （2分）依协因数传播定律 则函数T 的权倒数为：()()225)1115(**11151nA A Q A Q p T LL TT T===ΛΛ则：2251nA p T = （3分）则函数F 的权倒数为：()()24)1112(**11121nB B Q B Q p T LL FF F===ΛΛ 则：241nB p F = （3分）（2）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+++=n n n n L L L B BL BL BL L L L y M ΛΛΛ21212211111βββ （1分）依协因数传播定律()()nABB Q A Q T LL Ty 5)111(**1115==ΛΛ（2分）()()nAB B Q A Q T LL TF 10)1112(**1115==ΛΛ（2分）四、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；选D 、E 平差值高程为未知参数21ˆˆX X 、 （2分） 则平差值方程为：1615142322211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆX H h H X hH X h H X h H X h X X h A AB A B -=-=-=-=-=-= （2分）则改正数方程式为：6165154143232221211ˆˆˆˆˆˆˆl xv l xv l x v l xv l x v l x xv --=-=-=-=-=--= （1分）取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、令C=1，则观测值的权阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10111101P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010*********B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7551000)()()()()()()(016015014023022020110654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B（4分）组法方程0ˆ=-W xN ，并解法方程： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==3114PB B N T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==107Pl B W T⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-311074113111ˆ1W N x （4分） 求D 、E 平差值：m x X X H m x X X H D C 258.24ˆˆˆ906.22ˆˆˆ20221011=+===+== （1分） 2）求改正数：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=664734ˆl xB v 则单位权中误差为：mm r pv v T 36.64162ˆ0±=±=±=σ （2分）则平差后D 、E 高程的协因数阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-41131111ˆˆNQ X X （2分） 根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为：mmmm Q mm mm Q E D 84.311229ˆˆ32.322669ˆˆ220110±=±==±=±==σσσσ（2分）五、证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ；设每公里中误差为单位权中误差，则h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)/(100/1T S T P （4分）平差值条件方程式为：0ˆˆ21=+h h 则 A=( 1 1 ) （3分）S A AP N T ==-1由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1ˆˆ--=则高差平差值的协因数阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-1111)(1ˆˆS T S T AQ N A Q Q Q LL T LLLL L L （3分）则平差后P 点的高程为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=211ˆˆ01ˆh h H h H H A A P （2分） 则平差后P 点的权倒数（协因数）为ST S T f AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )(1-=-=- （3分） 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则 02=-STS T=S/2 （3分） 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。
（2分）六、解：1）在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差；连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后P A 边的中误差Pa PA =σˆ （3分） 2）在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差；作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，垂足为c 点，则Pc长度为平差后P A则平差后P A ρρσσα=''≈PAPAu S Pc S PAPAˆˆ图共4分，每作对一个，得2分 3）因为︒=52F ϕ 则：︒=142E ϕ则：︒-=︒-︒=-=ψ40142102E ϕα （2分） 所以：323.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ˆˆ22222222=︒-+︒-=ψ+ψ==ψF E σσϕ 方位角为102º的PB 边的中误差：mm 04.4ˆˆ±==ψσσϕ （3分）。