2020高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文

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(课标专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形教师用书文(PDF,含解析)

注意三角形中的常用结论：（１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ π．（２）ａ＞ｂ⇔Ａ＞Ｂ⇔ｓｉｎＡ＞ｓｉｎＢ．（３）ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ，ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－ｃｏｓＣ．（４）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
考点二解三角形及其应用
高频考点
１．已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．２．已知两边及其一边的对角，用正弦定理，也可用余弦定理．
Ｃ
＝
ａｓｉｎ
Ａ
＝
２Ｒ
ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２；２ｂｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝
ａ２
＋ｃ２－２ａｃ
ｂ
２
；
ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ
解决的问
题
已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；已知两边和其中一边的对角，求其他角和边
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）（如图ｄ，ｉ为坡比）．
第四章三角函数４７
对应学生用书起始页码Ｐ８１
一、判断三角形形状的方法
��
（２）若Ｄ为ＢＣ边上的点，ＢＤ＝２ＤＣ，且∠ＡＤＢ＝２∠ＡＣＤ，ａ＝

高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲正余弦定理的应用举例分层演练文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲正余弦定理的应用举例分层演练文一、选择题1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )A．10 km B．10 kmC．10 km D．10 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝10(km)．3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( ) A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选B.依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )A．8 km/h B．6 km/hC．2 km/h D．10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )A．20m B．20(1＋)mC．10(＋)m D．20(＋)m解析：选B.如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20m.所以CD＝20(1＋)m.故选B.二、填空题7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．答案：638.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，所以AB＝1 000，所以BC＝＝1 000.答案：1 0009．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝＝10(m)．答案：10310．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m，依题意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80 m.答案：80三、解答题11.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝.12.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B 的海拔高度分别为AM＝100 米和BN＝200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P 处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100，连接QM，在△PQM 中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，所以BQ＝100，cos θ＝.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，所以BA＝100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100米．。

【数学】2020届高考数学一轮复习：第四章三角函数、解三角形

第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋·360°，∈}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sinθ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P⎝⎛⎭⎫sin5π6，cos5π6，则tan α＝________.答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系Oy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝π－π4(∈)，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当＝2m ＋1(m ∈)时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当＝2m (m ∈)时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，＝k2·180°＋45°＝·90°＋45°＝(2＋1)·45°，2＋1是奇数；而N 中，＝k4·180°＋45°＝·45°＋45°＝(＋1)·45°，＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3，可以发现它与轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2π＋π＜α＜2π＋3π2(∈)，所以π＋π2＜α2＜π＋3π4(∈)，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定α，αk (∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出α或αk 的范围；(3)然后根据的可能取值讨论确定α或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即＝52或＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |. 当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系Oy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AO ＝30°，∠BO ＝120°，设点B 坐标为(，y )，所以＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.4．已知角α＝2π－π5(∈)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2π－π5(∈)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0，即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋·360°＜α＜180°＋·360°(∈)，则180°－(180°＋·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋·360°)(∈)，即－·360°＜180°－α＜90°－·360°(∈)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系Oy 中，角α与角β均以O 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________．解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (，－2)(≠0)，且cos α＝36. (1)求的值；(2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P (，－2)，且cos α＝36，所以有x x 2＋2＝36. 因为≠0，所以2＋2＝12，解得＝±10.(2)若＝10，则P (10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若＝－10，则P (－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5. 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式组序一二三四五六角 2π＋α(∈) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值．解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(π＋θ)(∈)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(π＋θ)(∈)＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125 C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程32－2＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( )A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cosα)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f ()＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3. 3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( )A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1. 5．若sin α是52－7－6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由52－7－6＝0，得＝－35或＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程42＋2m ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52. 答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f ()＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈)．(1)化简f ()的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2(∈)时， f ()＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2；当n 为奇数，即n ＝2＋1(∈)时， f ()＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2，综上得f ()＝sin 2.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin ，∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos ，∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中∈). 函数 y ＝siny ＝cosy ＝tan图象定义域 R R⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎪ x ∈R ，且x⎭⎬⎫≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎡2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2为增；[ 2k π ⎦⎤＋π2，2k π＋3π2为减 [2π－π，2π]为增；[2π，2π＋π]为减⎝⎛ k π－π2，k π⎭⎫＋π2为增对称中心 (π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴＝π＋π2＝π[小题体验]1．①y ＝cos 2; ②y ＝sin 2; ③y ＝tan 2; ④y ＝|sin | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ω＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－)，∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2－π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin ≤12，解得2π＜≤2π＋π6或2π＋5π6≤＜2π＋π，∈，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2)＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤＜－π2或0＜＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2)＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤≤9，∴－π3≤π6－π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y ma ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f ()＝2cos 2＋5sin －4的最小值为________，最大值为________．解析：f ()＝2cos 2＋5sin －4＝－2sin 2＋5sin －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin ≤1，所以当sin ＝－1时，f ()有最小值－9；当sin ＝1时，f ()有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin －cos ＋sin cos ，∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin －cos ，则t 2＝sin 2＋cos 2－2sin cos ，即sin cos ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y ma ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f ()＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f ()∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin 和cos 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ω＋φ)＋的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin 、cos 、sin cos 或sin ±cos 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2＋sin ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin ，∵||≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y ma ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2＋sin ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( )A ．6B ．－6C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f ()＝2sin(ω＋φ)，∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f ()的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f ()的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2π＋π12，∈. 又|φ|＜π，∴取＝0，得φ＝π12. 角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．＝π12B ．＝5π12C ．＝π3D ．＝π6解析：选A 由题可得，令2＋π3＝π＋π2，∈，得＝k π2＋π12，∈.所以当＝0时，函数f ()的图象的一条对称轴方程为＝π12. 4．函数y ＝cos(3＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3＋φ)是奇函数，故φ＝π＋π2(∈)．答案：π＋π2(∈)角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f ()在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f ()在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f ()在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f ()在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f ()的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f ()是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以 f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2，所以函数f ()在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f ()＝A sin(ω＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f ()＝A sin(ω＋φ)为偶函数，则当＝0时，f ()取得最大或最小值；若f ()＝A sin(ω＋φ)为奇函数，则当＝0时，f ()＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ω＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线＝0或点(0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f ()＝sin(φ－)是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f ()是奇函数，所以φ＝π(∈)．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ω(ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________. 解析：f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ω＝12sin ω＋32cos ω＋sin ω＝32sin ω＋32cos ω＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f ()相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2. 答案：π23．函数y ＝|tan |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin cos B ．y ＝sin 2 C ．y ＝tan 2D ．y ＝sin 2＋cos 2解析：选A y ＝sin 2为偶函数；y ＝tan 2的周期为π2；y ＝sin 2＋cos 2为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2π(∈)，解得ω＝π6＋π(∈)，∵ω＞0，∴当＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(∈)C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(∈) D ．R解析：选C ∵cos －32≥0，得cos ≥32， ∴2π－π6≤≤2π＋π6，∈.4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin ＋3cos ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2π－π2≤＋π6≤2π＋π2(∈)，得－2π3＋2π≤≤π3＋2π(∈)，又∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．解析：∵∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2＋π3＝π2，即＝π12时，f ()ma ＝1.当2＋π3＝4π3，即＝π2时，f ()min ＝－32，∴f ()∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f ()＝sin ω(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f ()在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f ()ma ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2－π3＝k π2，∈，得＝k π4＋π6，∈.当＝0时，＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．函数f ()＝2sin(ω＋φ)(ω＞0)对任意都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f ()＝2sin(ω＋φ)对任意都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)，∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f ()的最小正周期为6π，且当＝π2时，f ()取得最大值，则( )A ．f ()在区间[－2π，0]上是增函数B ．f ()在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f ()在区间[3π，5π]上是减函数D ．f ()在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f ()的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当＝π2时，f ()有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2π(∈)，φ＝π3＋2π(∈)， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2π≤x 3＋π3≤π2＋2π，∈，得－5π2＋6π≤≤π2＋6π，∈，故f ()的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，∈，令＝0，得∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜＜π得π2ω＋π4＜ω＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f ()＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即＜π＜2.又∈N ，所以＝2或＝3.答案：2或37．已知函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f ()的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f ()的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(0,0)成中心对称，0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又20＋π6＝π(∈)，0＝k π2－π12(∈)，而0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0＝5π12.答案：5π129．已知函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f ()为偶函数时φ的值；(2)若f ()的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f ()的单调递增区间．解：∵f ()的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f ()＝sin(2＋φ)．(1)当f ()为偶函数时，φ＝π2＋π，∈，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f ()的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f ()＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2π－π2≤2＋π3≤2π＋π2，∈，得π－5π12≤≤π＋π12，∈. ∴f ()的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，∈. 10．已知函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f ()图象的对称轴方程； (2)求函数f ()的单调递增区间；(3)当∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f ()的最大值和最小值．解：(1)令2＋π4＝π＋π2，∈，得＝k π2＋π8，∈.所以函数f ()图象的对称轴方程是＝k π2＋π8，∈.(2)令2π－π2≤2＋π4≤2π＋π2，∈，得π－3π8≤≤π＋π8，∈.。

2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质讲义(含解析)

第三节三角函数的图象与性质突破点一三角函数的定义域和值域[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的最大值为1.( )(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为x ≠－π4.( )(3)函数y ＝cos x 的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)2．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为________．解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3<2.∴函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为(－1,2)．答案：(－1,2) 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)[全析考法]考法一三角函数的定义域[例1] (2019·德州月考)x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π[解析] 法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2.故选C.法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案] C [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．考法二三角函数的值域(最值)[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52， ∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1][方法技巧] 三角函数值域或最值的3种求法[集训冲关]1.[考法一]函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)．答案：(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)2.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x ＋55sin x＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)，故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 答案： 53.[考法二]求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2， 2 ]，∵对称轴t ＝－13∈[－2， 2 ]，∴y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y max ＝f (2)＝32＋ 2.突破点二三角函数的性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 答案：2 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)3．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 答案：3π2[全析考法]考法一三角函数的单调性考向一求三角函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝|tan x |；(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.(2)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12 ]，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[方法技巧] 求三角函数单调区间的2种方法数自身的定义域．考向二已知单调性求参数值或范围[例2] (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(2)(2019·绵阳诊断)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.(2)f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4.[答案] (1)B (2)(－∞，－4] [方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法[例3] (2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π[解析] 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.[答案] C[方法技巧] 三角函数周期的求解方法[例4] (1)(2018·枣庄一模)函数y ＝1－2sin 2( x －3π4 )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3[解析] (1)y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x＝－sin 2x ，故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A. (2)因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.[答案] (1)A (2)C [方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．考法四三角函数的对称性(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.[例5] (1)(2019·南昌十校联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A ．(－π，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0(2)(2019·合肥联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝11π12C ．x ＝－2π3D ．x ＝7π12[解析] (1)令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，0，k ∈Z. 当k ＝－1时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.故选B.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x＝1112π. [答案] (1)B (2)B[方法技巧] 三角函数对称性问题的2种求解方法1.[考法一·考向一]已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 解析：选D 依题意，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D. 2.[考法一·考向二]若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( ) A ．a ＝1，θ＝π3B ．a ＝－1，θ＝π3C ．a ＝1，θ＝π6D ．a ＝－1，θ＝π6解析：选B ∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2,2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z)．又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去．当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在[ －512π，π12 ]上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－56π＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π3(k ∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B. 3.[考法一、二、三]下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 解析：选C y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C. 4.[考法四]已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为( )A.π6 B ．－π6 C.π3 D ．－π3解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.。

2020高考全国一轮数学理科第四章三角函数与解三角形

二解答题
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2020高考数学(理)大一轮复习考点与题型全归纳：第四章三角函数

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限． [课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ，令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2.答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72，所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3；当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时三角函数的单调性考点一求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________．解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________．解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同，当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3.答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2，又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________．解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ，因为函数f (x )为奇函数，所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3。

2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图像与性质课件文北师大版

考点1
考点2
考点3
解析: (1)由 2sin x-1≥0,得 sin x≥12,
故 2kπ+π6≤x≤2kπ+56π(k∈Z).
(2)因为
x∈
0,
π 2
,所以
2x-π6
∈
-
π 6
,
5π 6
,
所以 sin
2��-
π 6
∈
-
1 2
,1
,
所以
3sin
2��-
π 6
∈
-
3 2
,3
,
所以函数
f(x)在区间
-6-
知识梳理考点自诊
1.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T=2|ω��|,函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 T=|ω�� |. 2.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
π 2
,0
,
(π,-1)
,
3π 2
,0
,(2π,1).
知识梳理考点自诊
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质
函数
y=sin x
y=cos x
图象
定义域
值域周期性奇偶性
R
[-1,1] 2π 奇函数
R
[-1,1] 2π
偶函数
-3-
y=tan x
�� x∈R,且 x≠kπ+π2,k∈Z R
π 奇函数

高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修4 P146A 组T6(3)改编)已知sin 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A ． B.59 C ．D.79解析：选 D.因为sin 2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4 P147A 组T12改编)已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＋sin xcos －cos xsin ＋cos x ＋a ＝sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋)＋a ，所以f(x)max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A.3．(必修4 P69A 组T8改编)已知tan α＝3，则sin 的值为( ) A ． B ．－210 C ．D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝＝＝＝，cos 2α＝＝＝＝－，所以sin ＝(sin 2α＋cos 2α)＝＝－.选B.4．(必修4 P58A 组T2(3)改编)如图是y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sinB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sinD ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D.由题图知＝－＝.所以T ＝π，所以ω＝＝2.当x ＝－时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以，所以φ＝，A ＝2.所以y ＝2sin.故选D.5．(必修5 P18练习T1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S△ABC＝2，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D.17解析：选B.由已知得×2×3×sin C＝2，所以sin C ＝.由于C ＜90°，所以cos C ＝＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×＝9，所以c ＝3，故选B.6．(必修5 P18练习T3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3acos A ＝bcos C ＋ccos B ，b ＝2，则asin B ＝( )A ． B.232 C ．D ．62解析：选C.因为3acos A ＝bcos C ＋ccos B ，即3acos A ＝b·＋c·＝a ，所以cos A ＝，又0＜A ＜π.所以sin A ＝. 又b ＝2，所以asin B ＝bsin A ＝2×＝.故选C. 二、填空题7．(必修4 P146A 组T5(1)改编)－＝______．解析：－＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝＝4sin （60°－80°）sin 160°＝＝－4. 答案：－48．(必修5 P20A 组T11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝，则b ＋c ＝________．解析：由题意得，即，所以b2＋c2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P56练习T3改编)关于函数f(x)＝sin(x －)的下列结论： ①f(x)的一个周期是－8π； ②f(x)的图象关于x ＝对称； ③f(x)的图象关于点对称； ④f(x)在上单调递增；⑤f(x)的图象可由g(x)＝cosx 向右平移个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f(x)的最小正周期T ＝＝4π.所以f(x)的一个周期为－8π.①正确．f ＝0，故②错误．③正确．由2k π－＜x －＜2k π＋，k∈Z，得 4k π－＜x ＜4k π＋π.令k ＝0得，－＜x ＜π.⊆.故④正确．g(x)＝cosx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2 ＝sin ，f(x)＝sin ＝sin ，所以g(x)的图象向右平移－(－π)＝π即可得到f(x)的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④三、解答题10．(必修4 P147A组T10改编)已知函数f(x)＝4sin(ωx－)·cos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝－，求cos α.解：(1)f(x)＝4sin·cos ωx＝2sin ωx·cos ωx－2cos2ωx＝(sin 2ωx－cos 2ωx)－＝2sin－，由于f(x)在x＝处取得最值，因此2ω·－＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝2k＋，因为ω∈(0，2)，所以ω＝，因此，f(x)＝2sin－，所以T＝.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到h(x)＝2sin－＝2sin－的图象，再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin －的图象，故g(α)＝2sin－＝－，可得sin＝，因为α为锐角，所以－＜α－＜，因此cos＝＝，故cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.11．(必修5 P20A组T13改编)D为△ABC的边BC的中点．AB＝2AC＝2AD＝2.(1)求BC的长；(2)若∠ACB的平分线交AB于E，求S△ACE.解：(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.设BD＝DC＝m.在△ADB与△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，①1＋m2＋2mcos∠ADB＝1.②①＋②得m2＝，所以m＝，即BC＝.(2)在△ACE与△BCE中，由正弦定理得AE＝，＝，sin∠ACE由于∠ACE＝∠BCE，且＝，所以＝＝.所以BE＝AE，所以AE＝(－1)．又cos ∠BAC＝＝22＋12－（6）22×2×1＝－，所以sin ∠BAC＝，所以S△ACE＝AC·AE·sin ∠BAC＝×1×(－1)×＝.。

2020版高考数学一轮总复习第四单元三角函数与解三角形课时6三角函数的图象与性质(二)教案文(含解

三角函数的图象与性质(二)1．进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．2．会判断简单函数的奇偶性,会求简单函数的单调区间及其周期．知识梳理基本初等三角函数的图象与性质（以下k∈Z）函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴x＝kπ＋错误!x＝kπ对称中心(kπ,0)(kπ＋错误!，0）(错误!,0）递增区间［2kπ－错误!，2kπ＋错误!][2kπ－π，2kπ](kπ－错误!，kπ＋错误!）递减区间[2kπ＋错误!,2kπ＋错误!］[2kπ，2kπ＋π]1．对称与周期（1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f（x)＝A sin(ωx＋φ)（A,ω≠0),则(1）f(x)为偶函数的充要条件是φ＝错误!＋kπ(k∈Z)；(2)f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z)．热身练习1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f（x）＝sin（2x＋错误!）的最小正周期为(C）A．4π B．2πC．π D。

错误!函数f(x)＝sin（2x＋π3)的最小正周期T＝错误!＝π。

2．若函数f(x)＝sin（2x＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(B) A．π B．－错误!C．－π4D．－π8因为f（x）＝sin（2x＋φ)是偶函数，所以f(x)＝sin(2x＋φ）＝±cos 2x，所以φ＝kπ＋错误!，k∈Z.k＝－1时，φ＝－错误!.3．已知函数f(x）＝sin(x－π2)（x∈R)，下面结论错误．．的是（D）A．函数f（x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0,错误!]上是增函数C．函数f（x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x）是奇函数由于f（x)＝sin（x－π2）＝－cos x，所以函数f（x）的最小正周期为2π，函数f(x）在区间［0，错误!］上是增函数，函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，函数f(x)是偶函数．4．同时具有：①最小正周期为π；②图象关于点(错误!，0)对称的一个函数是(D）A．y＝cos(2x－错误!) B．y＝sin(2x＋错误!)C．y＝sin(错误!＋错误!) D．y＝tan（x＋错误!）由T＝π,排除C；把x＝π6代入A，B,函数值均不为零，排除A,B；再验证D符合题意．5．下列函数中，周期为π，且在［错误!，错误!]上为减函数的是(A)A．y＝sin(2x＋错误!) B．y＝cos（2x＋错误!）C．y＝sin（x＋错误!) D．y＝cos(x＋错误!)因为函数的周期为π,所以排除C,D.因为函数在[错误!，错误!］上是减函数，所以排除B，故选A。

2020版高考数学一轮总复习第四单元三角函数与解三角形教案全集含解析

任意角的三角函数1．了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域．3．掌握扇形的弧长公式及面积公式．知识梳理1．角的概念(1)任意角：角可以看作平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，射线的端点O叫做角的顶点.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} 或{β|β＝2kπ＋α，k∈Z} ，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0 .(2)度与弧度的换算关系：180°＝πrad，1°＝π180rad,1 rad＝180π度．(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝Rα，S＝12lR.3．任意角的三角函数设α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：sin α＝ y ；cos α＝ x ，tan α＝ yx(x ≠0)．4．三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .1．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r (r >0)，那么： sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 2．三角函数值的符号规律可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．热身练习1．角－870°的终边所在的象限是(C) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限因为－870°＝－3×360°＋210°，而210°的终边在第三象限，所以－870°的终边在第三象限．2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(A) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．8 cm 2D ．2π cm 2因为l ＝r θ，所以r ＝42＝2，所以S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(D) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45因为r ＝－2＋32＝5，所以由三角函数的定义知cos α＝－45.4．若sin α<0且tan α>0，则α是(C) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是(B)A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]利用三角函数线，画出单位圆可知，选B.角的概念已知α＝1690°.(1)把α表示成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式，则α＝____________； (2)α所在的象限为____________．(1)α＝1690°＝1690×π180＝16918π＝8π＋2518π.所以α＝4×2π＋2518π.(2)因为α＝4×2π＋2518π，又π<2518π<32π，所以α在第三象限．(1)4×2π＋2518π (2)第三象限(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180°＝π rad 这一关系． (2)判断一个角所在的象限，关键是在[0,2π)内找到与该角终边相同的角．1．已知sin α>0，cos α<0，则12α所在的象限是(C)A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，即2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z ，当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角．任意角的三角函数的定义(2018·河南洛阳三月模拟)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α＝ .因为角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，所以r ＝5.所以cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45.所以cos α－sin α＝－35＋45＝15.15(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义．(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．2．(2018·海淀区期中)角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝(C)A ．－43 B.43C ．－34 D.34因为角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35＝y 16＋y2，所以y ＝－3. 所以tan θ＝y 4＝－34，故选C.弧度制的应用一扇形的周长为40 m ．求使扇形面积最大时，扇形的半径、圆心角和扇形的面积．设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝－r 2＋20r ＝－(r －10)2＋100. 当r ＝10时，S max ＝100(m 2)，此时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2(弧度)．所以当扇形圆心角θ＝2，半径为10 m 时，扇形面积最大，最大面积为100 m 2.只要确定扇形的半径r ，弧长l 和圆心角α三个中的两个，这个扇形就确定了．这三个量间的关系是l ＝|α|r .3．(2018·河北五校高三联考)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 16－34π.由题意，设圆心为C ，圆与x 轴的交点为A ，B ，则∠ACB ＝π3，该点落在x 轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为π3扇形减去一个等边三角形的面积．因为S 扇形＝12rl ＝12r 2α＝12×22×π3＝2π3，S △ACB ＝12×2×2sin π3＝3，所以弓形的面积为2π3－3，又圆的面积为4π，所以该点落在x 轴下方的概率为2π3－34π＝16－34π.1．要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特别要注意它们的区别与联系．求与α终边相同的角的集合时，先找出0～2π范围内与α终边相同的角，再加上2k π即可．2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用．掌握弧长公式l ＝|α|r ，扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2，并注意其中角α为圆心角的弧度数．3．三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以及后续内容学习的基础．根据三角函数的定义可知：①一个角的三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角α与β＝2k π＋α(k ∈Z )的同名三角函数值相等；②|x |≤r ，|y |≤r ，故有|sin α|≤1，|cos α|≤1，这是三角函数中最基本的一组关系．同角三角函数的基本关系与诱导公式1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式． 2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1 ；商数关系： tan α＝sin αcos α .2．诱导公式公式一：(其中k ∈Z )sin(2k π＋α)＝ sin α ，cos(2k π＋α)＝ cos α ，tan(2k π＋α)＝ tan α . 公式二：sin(－α)＝－sin α ，cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝－tan α . 公式三：sin(π－α)＝ sin α ，cos(π－α)＝－cos α ， tan(π－α)＝－tan α . 公式四：sin(π＋α)＝－sin α ，cos(π＋α)＝－cos α ， tan(π＋α)＝ tan α . 公式五：sin(π2－α)＝ cos α ，cos(π2－α)＝ sin α .公式六：sin(π2＋α)＝ cos α ，cos(π2＋α)＝－sin α .1．同角关系的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 2．诱导公式的记忆(1)2k π＋α (k ∈Z )，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)π2±α，3π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．热身练习1．已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝(A)A ．－2B ．2C.12 D ．－12因为cos α＝－1－sin 2α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2.2．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝(D)A.15 B ．－15 C.513 D ．－513(方法一)因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513.(方法二)因为tan α＝－512，且α是第四象限角，所以可设y ＝－5，x ＝12，所以r ＝x 2＋y 2＝13，所以sin α＝y r ＝－513.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝(A)A ．－79B ．－29C.29D.79因为sin α－cos α＝43，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，所以sin 2α＝－79.4．若sin(π＋α)＝－45，则cos(32π－α)＝(A)A ．－45B ．－35C.45D.35因为sin(π＋α)＝－sin α＝－45，所以cos(3π2－α)＝－sin α＝－45.5．(2016·四川卷)sin 750°＝ 12 .sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.诱导公式的应用(1)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为 .(2)cos(－173π)的值为____________．(1)原式＝－sin αα－sin αα＝tan α. 根据三角函数的定义得tan α＝－34.故原式的值为－34.(2)cos(－173π)＝cos 17π3＝cos(2×2π＋5π3)＝cos 5π3＝cos(2π－π3)＝cos π3＝12.(1)－34 (2)12(1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．1．(1)(2018·深圳一模)已知sin(π6－x )＝12，则sin(19π6－x )＋sin 2(－2π3＋x )的值为(A)A.14B.34 C ．－14 D ．－12(2)sin(－176π)的值为－12.(1)(方法一：采用角的配凑)原式＝sin[3π＋(π6－x )]＋sin 2[－π2－(π6－x )]＝－sin(π6－x )＋cos 2(π6－x )＝－sin(π6－x )＋1－sin 2(π6－x )＝－12＋1－14＝14.(方法二：采用换元法)设π6－x ＝θ，则sin θ＝12，x ＝π6－θ，所以原式＝sin(3π＋θ)＋sin 2(－π2－θ)＝－sin θ＋cos 2θ＝－sin θ＋1－sin 2θ ＝－12＋1－14＝14.(2)sin(－176π)＝－sin 176π＝－sin(2π＋56π)＝－sin 56π＝－sin(π－π6)＝－sin π6＝－12.同角三角关系的应用已知tan α＝12，则：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝________；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝________.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2) sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2α＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tan α＋2tan2α＋1＝122＋12＋2122＋1＝135.(1)－53(2)135(1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理．(2)注意“1”的运用，如1＝sin2α＋cos2α或1＝(sin2α＋cos2α)2等．2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝(D)A．－45B．－15C.15D.45因为cos 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ，又因为tan θ＝－13，所以cos 2θ＝1－191＋19＝45.同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用已知sin α＋cos α＝23(π2<α<π)．求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin3(π2－α)＋cos3(π2＋α)．因为sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，又π2<α<π，所以sin α>0，cos α<0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－(－79)＝169，所以sin α－cos α＝43.(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos αsin α＋sin 2α) ＝－43×(1－718)＝－2227.(1)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可“知一求二”，即已知其中一个式子的值，可求出另外两个式子的值．(2)注意符号的选取，如由sin α＋cos α求sin α－cos α时，到底取“＋”还是取“－”要根据α的取值范围确定．3．已知sin(π－α)＋sin(π2＋α)＝15，α∈(0，π)，求tan α的值．条件可化为sin α＋cos α＝15，①平方得sin αcos α＝－1225，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.因为α∈(0，π)，sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝75，②联立①②得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断，求任意角的三角函数值的问题，都可通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，其步骤是“去负——脱周——化锐”，从而求出值来．2．掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“见角知值，见值知角”，如：3.同角关系的主要应用(1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．要特别注意符号的选取．(2)关于sin α，cos α的齐次式可化为正切处理．(3)对于sin αcos α，sin α＋cos α，sin α－cos α，借助方程思想可知一求二．两角和与差的三角函数1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式． 4．熟悉公式的正用、逆用、变形应用．知识梳理1．两角和与差的余弦C (α±β)cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β . cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β . 2．两角和与差的正弦S (α±β)sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β . sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β . 3．两角和与差的正切T (α±β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.1．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.2．T (α±β)的常用变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)． tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)．热身练习1．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β的值为(A)A.12B.13 C.15 D.115因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35，②①×3－②得2cos αcos β＝4sin αsin β，即tan αtan β＝12.2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(D) A ．－32 B.32C ．－12 D.12原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于(A)A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7因为α∈(π2，π)，sin α＝35，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34.所以tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.4.1＋tan 15°1－tan 15°的值为(A)A. 3B.33C ．1 D.121＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°) ＝tan 60°＝ 3.5．sin 15°＋sin 75°的值是 62. sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62.两角和与差公式的正用已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan(α＋π3)的值；(2)求cosβ的值．(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437，所以tan α＝sin αcos α＝437×7＝43，于是tan(α＋π3)＝tan α＋tanπ31－tan αtanπ3＝43＋31－43×3＝－5311.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 运用两角和与差的公式求值时，要注意：(1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目标和方向．(2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系，将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋π3＝(α＋β)－(β－π3)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． (3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的象限确定函数值的符号．1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝32.(方法一：利用正切的差角公式展开求解) tan(α－5π4)＝tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.(方法二：利用角的配凑求解) 因为α＝(α－5π4)＋5π4.所以tan α＝α－5π4＋tan 5π41－α－5π45π4＝15＋11－15×1＝32.(方法三：利用换元法进行求解)设θ＝α－5π4，则α＝θ＋5π4，且tan θ＝15，所以tan α＝tan(θ＋5π4)＝tan θ＋11－tan α＝15＋11－15＝32.两角和与差公式的逆用与变用(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． (2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°的值为__________．(1)f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5(255cos x ＋55sin x )，设sin α＝255，cos α＝55，则f (x )＝5sin(x ＋α)，所以函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.(2)原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40° ＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.(1) 5 (2) 3(1)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)实质是两角和的正弦公式的逆用，这一公式应用广泛，应熟练掌握．(2)两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β联系了tan α＋tan β与tan α·tan β，涉及tan α＋tan β与tan α·tan β的有关问题，常常要对正切公式进行如下变用：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)．2．(经典真题)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝－255.f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )，设15＝cos α，25＝sin α，则f (x )＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)， (方法一)因为x ∈R ，所以x －α∈R ，所以f (x )max ＝ 5. 又因为x ＝θ时，f (x )取得最大值，所以f (θ)＝sin θ－2cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.(方法二)因为x ＝θ时，f (x )取到最大值，所以θ－α＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以θ＝α＋2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos θ＝cos(α＋π2)＝－sin α＝－255.两角和与差公式的整体运用已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，则cos(α－β)的值为__________．⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，平方相加得：sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＋cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝116＋19，所以2＋2cos(α－β)＝25144，故cos(α－β)＝－263288.－263288要注意从整体上把握公式的结构特点，本题通过平方相加就将问题得到顺利解决．3．设α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值为－π3.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin γ＝sin β－sin α， ①cos γ＝cos α－cos β， ②①2＋②2，得1＝2－2(cos αcos β＋sin αsin β)，即cos(α－β)＝12.因为sin α＋sin γ＝sin β，且α，β，γ∈(0，π2)，所以sin α<sin β，故α<β，所以α－β＝－π3.1．对公式的掌握，既要能正用，还要进行逆用及变形使用．记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β的变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tanβ)等．2．明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件可对角进行一些变换，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＋π3＝(α＋β)－(β－π3)等等，再根据条件确定角的范围，计算有关函数值．3．要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减)，有利于简化复杂的三角运算．倍角公式及简单的三角恒等变换1．能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用． 2．能运用两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换．3．能根据三角函数式的结构特点选择公式变形，培养灵活选择和运用公式的能力．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝ 2sin α·cos α ；cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝1－ 2sin 2α ＝ 2cos 2α －1； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．三角恒等变换 (1)三角函数求值①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值．②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． (2)三角函数化简三角函数化简的几种常用思路：①角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角． ②函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切等手段，实现异名化同名．③常数的变换：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4，32＝sin π3等．④次数变换：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角余弦公式及其逆向使用．如 sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2等．⑤结构变换：通过重组、移项，或变除为乘，或求差等实现结构的变换． (3)三角恒等式的证明证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变形，然后化繁为简、左右归一，或用变更命题的方法，使两端化异为同．1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. 3．半角公式：sin 2α2＝1－cos α2， cos 2α2＝1＋cos α2； tan2α2＝1－cos α1＋cos α， tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.热身练习1．(2018·湖北宜昌模拟)设θ为第二象限角，sin θ＝45，则sin 2θ＝(D)A.725 B.2425C ．－725D ．－2425因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－35，则sin 2θ＝2sinθcos θ＝－2425.2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝(B)A.89B.79 C ．－79 D ．－89因为sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.3．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于(B)A.63 B ．－63 C.33 D ．－33因为cos 2α2＝1＋cos α2＝1＋132＝23，又α∈(π，2π)，α2∈(π2，π)，所以cos α2＝－63.4.3－sin 70°2－cos 210°＝(C) A.12 B.22 C ．2 D.32原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°·2＝2.5．化简(sin 2α＋tan α·tan α2＋cos 2α)·sin 2α2cos α的结果为(B)A.1tan αB ．tan αC ．sin αD ．cosα原式＝(1＋tan αtan α2)·sin α＝(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)sin α＝sin αcos α＝tan α.三角函数的求值(1)4cos 50°－tan 40°＝ A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)(2018·临沂期中)若sin(π6－α)＝63，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－23B ．－13C.23D.13(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4s in 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝－－sin 40°cos 40°＝＋－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.(2)(方法一)因为sin(π6－α)＝63，所以cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－1＋2sin 2(π6－α)＝13. (方法二：换元法)设π6－α＝θ，则sin θ＝63，且α＝π6－θ， cos(2π3＋2α)＝cos[2π3＋2(π6－θ)]＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝－(1－2sin 2θ)＝－[1－2×(63)2]＝13.(1)C (2)D(1)“角”是三角函数的“灵魂”，三角变换中首先要考虑角的变换与统一，通过角的变换进行函数名称及函数式的结构变换．(2)给角求值问题一般思路是通过变换凑出特殊角并设法创造将非特殊角消去(抵消或约分)的机会．(3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．(4)给值求值问题，如灵活运用“换元法”，常能避免角的有关变换，能得到简便的求解方法．1．(1)1sin 10°－3sin 80°的值为 4 .(2)已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)的值为－1 .(1)原式＝sin 80°－3sin 10°sin 10°sin 80°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝12cos 10°－32sin 20°＝－sin 20°＝－sin 20°＝4sin 20°sin 20°＝4.(2)因为1－cos 2αsin αcos α＝1，所以2sin2αsin αcos α＝2tan α＝1，所以tan α＝12，又tan(β－α)＝－13，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝β－α－tan α1＋β－αα＝－13－121＋－1312＝－1.三角函数的化简(2018·湖南长沙一模)化简：π－θ＋sin 2θcos2θ2＝________.π－θ＋sin 2θcos2θ2＝2sin θ＋2sin θcos θ1＋cos θ2＝4sin θ＋cosθ1＋cos θ＝4sin θ.4sin θ化简时要有整体意识，合理变形，为公式应用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽可能少．2．化简2cos2α－1π4－α2π4＋α的结果为(C)A．tan α B．tan 2αC．1 D．2原式＝2cos2α－1π4－απ4－α·cos 2π4－α＝2cos2α－1π4－απ4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.三角恒等式的证明设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2本题实质是条件等式的证明问题，由题设条件证明选择支中的某一个等式是成立的．由于目标不是十分明确，因此，可从条件入手进行推证．(方法一)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.(方法二)tan α＝1＋sin βcos β＝β2＋sin β22cos 2β2－sin2β2＝cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tan(π4＋β2)，因为β∈(0，π2)，所以π4＋β2∈(π4，π2)，又因为α∈(0，π2)，且tan α＝tan(π4＋β2)，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.B(1)证明角的恒等式(或已知值求角)这类问题的求解，其基本步骤为： ①根据题设条件求角的某一三角函数值； ②讨论角的范围；③根据角的范围和函数值确定角的大小．(2)讨论角的范围时，必要时需要根据已知三角函数值缩小角的范围．确定角的范围要结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，特别要注意一些隐含条件，尽量使角的范围最小，避免出现增根．3．已知tan α＝17，tan β＝13，α，β为锐角，则α＋2β的值是(A)A.π4B.5π4 C.π4或5π4D ．πtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12，tan(α＋2β)＝tan(α＋β＋β)＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝12＋131－12×13＝1，而tan α＝17＜1，tan β＝13＜1，所以0＜α＜π4，0＜β＜π4，所以0＜α＋2β＜3π4，所以α＋2β＝π4.1．三角恒等变形是以同角三角函数的基本关系，诱导公式，和、差、倍角公式为基础的．一般可从变换角、变换函数和变换运算结构三方面着手．(1)角度变换：利用“和差倍半”“互余互补”．既要注意角的和、差、倍、半的相对性，又要注意题目中所给各角之间的关系．(2)函数变换：常采用“异名化同”“化弦”“化切”“常数‘1’的代换”等． (3)结构变换：改变运算结构的主要方法有代数中的配方、拆项、消元，因式分解等及三角中的升幂、降次等．2．三角函数式恒等变换的常用策略(1)发现差异：观察角、函数名称运算结构间的差异，即进行“差异分析”． (2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． (3)合理转化：选择恰当公式，促使差异的转化． 3．几个重要的三角变换(1)sin αcos α可凑倍角公式． (2)1±sin α＝(sin α2±cos α2)2.(3)1±cos α可用升幂公式；1±sin α也可化为1±cos(π2－α)后再用升幂公式．(4)引入辅助角可化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a，这一公式应用广泛，应熟练掌握．三角函数的图象与性质(一)1．熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值． 2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．知识梳理1．用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)y ＝sin x 图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,0)， (π2，1) ，(π，0)，(3π2，－1) ，(2π，0)．(2)y＝cos x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,1)，(π2，0)，(π，－1) ，(3π2，0)，(2π，1) .2．三角函数的图象与性质 (其中k∈Z)热身练习1．函数f(x)＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是图中的(B)由五点法知图象应经过(0,1)，(π2，0)，(π，1)，(3π2，2)，(2π，1)，可知应选B.2．函数y ＝11－cos x的定义域为(A)A ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠(2k ＋1)π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋3π2，k ∈Z }由cos x ≠1，得x ≠2k π，k ∈Z ，故定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }．3．当x ∈[－π2，π2]时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为(D)A ．[－1,1]B ．[－12，1]C ．[－2,2]D ．[－1,2]y ＝2sin(x ＋π3)，－π6≤x ＋π3≤5π6，－12≤sin(x ＋π3)≤1，所以－1≤y ≤2.4．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 1 .f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ ＝sin(x －φ)≤1. 所以f (x )max ＝1.5．函数y ＝8cos x －2sin 2x 的最大值为 8 .y ＝－2(1－cos 2x )＋8cos x ＝2cos 2x ＋8cos x －2，令cos x ＝t ，－1≤t ≤1，y ＝2t 2＋8t －2＝2(t ＋2)2－10，故t ＝1时，y max ＝8.三角函数的定义域函数y ＝2sin x －1的定义域为____________．由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，即π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π(k ∈Z )．故定义域为{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }．{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }(1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式和三角方程，可借助三角函数的图象来求解．(2)解简单三角不等式的步骤：如sin x >a . 第一步，作出y ＝sin x 的图象；第二步，作直线y ＝a ，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y ＝a 上方的图象；第三步，确定sin x ＝a 的x 值，写出解集．1．函数y ＝1tan x －1的定义域为 {x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z } .由tan x －1≠0，得tan x ≠1. 所以x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，故定义域为{x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．三角函数的值域或最值求函数y ＝4－3sin 2x －4cos x 的值域，其中x ∈[－π3，2π3]．y ＝4－3sin 2x －4cos x ＝4－3(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.因为x ∈[－π3，2π3]，所以cos x ∈[－12，1]．而23∈[－12，1]，所以当cos x ＝23时，y min ＝－13. 当cos x ＝－12时，y max ＝3×(－12)2－4×(－12)＋1＝154.所以所求函数的值域为[－13，154]．三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型，一种是化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)，另一种是化为关于sin x ，cos x 或tan x 的二次函数．第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得，第二种类型可换元转化为二次函数，借助二次函数的性质求得．不管哪种类型，都要注意角的范围．2．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos(2x －π3)－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12，所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.三角函数的值域或最值的应用在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为____________．要求AB ＋2BC 的最值，首先要将其表达式求出来．在△ABC 中，∠B 和边AC 是确定的，AB ，BC 是变化的，但∠C 一定，则边AB ，BC 就确定了，可见，AB ＋2BC 随着∠C 的变化而变化，从而可建立AB ＋2BC 关于∠C 的函数关系．在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝2R ＝332＝2，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(2π3－C )＝4sin C ＋23cos C＝27sin(C ＋φ)，C ∈(0，2π3)，所以AB＋2BC 的最大值为27.27利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是： (1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答．其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值．3．如图，半径为1的扇形的圆心角为π3，一个矩形的一边AB 在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D 分别在弧和另一条半径上，求此矩形ABCD 的最大面积．连接OC ，设∠BOC ＝α，0<α＜π3，设矩形ABCD 的面积为S ，则BC ＝sin α，在△OAD 中，AD AO ＝tan π3，所以OA ＝13sin α，所以AB ＝OB －OA ＝cos α－13sin α，所以S ＝AB ·BC ＝(cos α－13sin α)sin α＝cos αsin α－13sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝33sin(2α＋π6)－36. 故α＝π6时，S max ＝36.故矩形ABCD 的最大面积为36.1．求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解． 2．求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t的二次函数求值域(最值)．换元法是求三角函数最值的重要方法，通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值，这时要特别注意新元的范围．3．利用三角函数的最值解决有关问题时，关键是引入角α，建立目标函数，然后根据目标函数的特点进行求解．三角函数的图象与性质(二)1．进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．知识梳理基本初等三角函数的图象与性质(以下k ∈Z )1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．热身练习1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期为(C)A ．4πB ．2πC ．π D.π2函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝2π2＝π.2．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(B) A ．π B ．－π2C ．－π4D ．－π8因为f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)＝±cos 2x ，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .k ＝－1时，φ＝－π2.3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误．．的是(D) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数由于f (x )＝sin(x －π2)＝－cos x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数，函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )是偶函数．4．同时具有：①最小正周期为π；②图象关于点(π6，0)对称的一个函数是(D)A ．y ＝cos(2x －π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(x 2＋π6)D ．y ＝tan(x ＋π3)由T ＝π，排除C ；把x ＝π6代入A ，B ，函数值均不为零，排除A ，B ；再验证D 符合题意．5．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是(A)A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)因为函数的周期为π，所以排除C ，D.因为函数在[π4，π2]上是减函数，所以排除B ，故选A.三角函数的周期性(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C ．πD ．2πy ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)，T ＝2π2＝π.C(1)涉及三角函数的性质问题，首先应考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式．(2)掌握一些简单函数的周期：如： ①y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|；②y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|；③y ＝|sin x |的周期为π； ④y ＝|tan x |的周期为π.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则(B) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4因为f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2 ＝1＋cos 2x －1－cos 2x2＋2＝32cos 2x ＋52，所以f (x )的最小正周期为π，最大值为4.三角函数的单调性(经典真题)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z(方法一)由五点法作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π，φ＝π4.所以f (x )＝cos(πx ＋π4)，令2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z .故f (x )的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z .(方法二)由图象可知T ＝2(54－14)＝2，当x ＝14＋542＝34时，f (x )取得最小值，因为T ＝2，所以34－1＝－14取到最大值．于是得到f (x )的一个单调递减区间为(－14，34)，所以f (x )的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z .D(1)方法一是求单调区间的通法；方法二充分利用了单调性的图象特征． (2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但若ω＜0，则应利用诱导公式将x 的系数化为正数再处理．(3)求函数的单调区间应遵循先化简的原则，并注意运用复合函数的单调性规律“同增异减”．2．(2018·新课程卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是(A)A.π4B.π2 C.3π4D ．π(方法一：利用复合函数的单调性)f (x )＝cos x －sin x＝－2(sin x ·22－cos x ·22) ＝－2sin(x －π4)，当x ∈[－π4，34π]，即x －π4∈[－π2，π2]时，y ＝sin(x －π4)单调递增，y ＝－2sin(x －π4)单调递减．因为函数f (x )在[－a ，a ]是减函数，所以[－a ，a－π4，34π]，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(方法二：利用复合函数的单调性)f (x )＝2cos(x ＋π4)，当x ∈[－π4，3π4]，即x ＋π4∈[0，π]时，y ＝2cos(x ＋π4)单调递减，所以[－a ，a－π4，34π]，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(方法三：换元，化归为基本函数的单调性)f (x )＝2cos(x ＋π4)，令t ＝x ＋π4，f (x )＝2cos t ，因为x ∈[－a ，a ]，所以t ＝x ＋π4∈[π4－a ，π4＋a ]，因为y ＝cos t 在[0，π]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π4－a ≥0，π4＋a ≤π，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(方法四：利用导数研究单调性)f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0，得2sin(x ＋π4)≥0，所以2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，又f (x )在[－a ，a ]单调递减，所以[－a ，a－π4＋2k π，3π4＋2k π]，k ∈Z ，易知k ＝0，所以a 取最大值π4.三角函数性质的综合应用(2018·汕头模拟)将偶函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象向右平移θ个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )在[－π4，π6]上的最小值是( )A ．－2B ．－1C ．－ 3D ．－12f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，因为f (x )是偶函数，所以θ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，因为0＜θ＜π，所以θ＝π3，。

2020高考数学(理)大一轮复习考点与题型全归纳：第四章三角函数

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ，令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin xcos x＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72，所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3；当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时三角函数的单调性考点一求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________．解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________．解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同，当函数y ＝sin t 单调递减时，2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________． [解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎩⎨⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2B ．3C.3＋2 D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2，又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________．解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ，因为函数f (x )为奇函数，所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3考点三三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．。

2020届高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.3三角函数的图象与性质教师用书理(PDF,含解析)

图象
对应学生用书起始页码Ｐ６５续表
ｙ＝ｃｏｓｘ
ｙ＝ｔａｎｘ
值域
［－１，１］
［－１，１］
Ｒ
对称性周期
单调性
对称轴：ｘ＝ｋπ ＋ π ２（ｋ∈Ｚ）；对称中心：（ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ）
２π
单调增区间：
[ ２ｋπ －
π ２
，２ｋπ
＋
]π
２（ｋ∈Ｚ）；
单调减区间：
ω
ω ２ω
ω
２ω ω
ω
π
３π
０
π
２π
２
２
ｙ＝Ａｓｉｎ（ ωｘ＋φ）
０
Ａ
０
－Ａ
０
２．ｙ＝Ａｓｉｎ（ ωｘ＋φ）的有关概念
ｙ＝Ａｓｉｎ（ ωｘ＋ φ）（Ａ＞０， ω ＞０），ｘ ∈ ［０，＋∞ ）表示一个振动量时
振幅周期
Ａ
Ｔ
＝
２π ω
频率
ｆ＝
１Ｔ
＝ω ２π
３４
π
＋２０，ｘ∈［６，１４］，故
选Ａ．
１－２（２０１９江西吉安五校１月联考，７）函数ｆ（ｘ）＝
( ) Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）
π 其中Ａ＞０，｜ φ ｜＜２
的图象如图所示，为了得到
ｇ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ的图象，只需将ｆ（ｘ）的图象
π
单调增区间：
( ｋπ －
π ２
，ｋπ ＋
)π
２（ｋ∈Ｚ）
奇偶性
奇
偶
奇
２．求三角函数的最值常见的函数形式

高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文

第4章三角函数与解三角形章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修4 P 146A 组T 6(3)改编)已知sin 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．49B.59C ．23 D.79解析：选D.因为sin 2θ＝23，所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×49＝79.故选D.2．(必修4 P 147A 组T 12改编)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋π6)＋a ，所以f (x )max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A. 3．(必修4 P 69A 组T 8改编)已知tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×31＋32＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－321＋32＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210.选B. 4．(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D.由题图知T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4.所以T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.当x ＝－π12时，y ＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0A sin φ＝1，所以φ＝π6，A ＝2.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.5．(必修5 P 18练习T 1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S △ABC ＝22，则c ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.17解析：选B.由已知得12×2×3×sin C ＝22，所以sin C ＝223.由于C ＜90°，所以cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×13＝9，所以c ＝3，故选B.6．(必修5 P 18练习T 3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3a cos A＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则a sin B ＝( )A ．43B.232 C ．423D ．6 2解析：选C.因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，即3a cos A ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a ，所以cos A ＝13，又0＜A ＜π.所以sin A ＝223.又b ＝2，所以a sin B ＝b sin A ＝2×223＝423.故选C.二、填空题7．(必修4 P 146A 组T 5(1)改编)3sin 80°－1cos 80°＝______．解析：3sin 80°－1cos 80°＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 80°－12sin 80°12sin 160°＝4sin （60°－80°）sin 160°＝－4sin 20°sin 20°＝－4.答案：－4 8．(必修5 P 20A 组T 11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝1543，则b ＋c ＝________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72，即⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15b 2＋c 2＋bc ＝49，所以b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8. 答案：89．(必修4 P 56练习T 3改编)关于函数f (x )＝23sin(12x －π4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π； ②f (x )的图象关于x ＝π2对称；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增；⑤f (x )的图象可由g (x )＝23cos 12x 向右平移π8个单位得到．其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.所以f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故②错误．③正确．由2k π－π2＜12x －π4＜2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π2＜x ＜4k π＋32π.令k ＝0得，－π2＜x ＜32π.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2.故④正确．g (x )＝23cos 12x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12()x ＋π， f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，所以g (x )的图象向右平移π2－(－π)＝32π即可得到f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④ 三、解答题10．(必修4 P 147A 组T 10改编)已知函数f (x )＝4sin(ωx －π4)·cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若α为锐角，g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2ωx ＝2(sin2ωx －cos 2ωx )－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－2，由于f (x )在x ＝π4处取得最值，因此2ω·π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝2k ＋32，因为ω∈(0，2)，所以ω＝32，因此，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－2，所以T ＝2π3. (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6－2的图象，再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－2的图象，故g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，因为α为锐角，所以－π6＜α－π6＜π3，因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，故cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝53×32－23×12＝15－26. 11．(必修5 P 20A 组T 13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ，求S △ACE . 解：(1)由题意知AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .即1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，①1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②①＋②得m 2＝32，所以m ＝62，即BC ＝ 6. (2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AEsin ∠ACE＝EC sin ∠EAC ，BE sin ∠BCE ＝ECsin ∠CBE，由于∠ACE ＝∠BCE ，且BCsin ∠BAC ＝AC sin ∠CBA ，所以AE BE ＝AC BC ＝66.所以BE ＝6AE ，所以AE ＝25(6－1)．又cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14，所以sin ∠BAC ＝154，所以S △ACE ＝12AC ·AE ·sin ∠BAC＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。

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