七年级下册示范教案一1.7.2平方差公式(二)

第十二课时

●课题

§1.7.2 平方差公式(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.了解平方差公式的几何背景.

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

3.体会符号运算对证明猜想的作用.

(二)能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

(三)情感与价值观要求

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.

2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.

●教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用.

●教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.

●教学方法

启发——探究相结合

●教具准备

一块大正方形纸板，剪刀.

投影片四张

第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)

第二张：例3，记作(§1.7.2 B)

第三张：例4，记作(§1.7.2 C)

第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.

这个正方形的面积是多少？

［生］a2.

［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23

［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).

［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.

(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)

［生］老师，我们拼出来啦.

［师］讲给大伙听一听.

［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).

图1－24

［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.

［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.

［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.

［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.

［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.

Ⅱ.讲授新课

［师］出示投影片(§1.7.2 A)

想一想：

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］(1)中算式算出来的结果如下

［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1.

［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.

［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

(同学们惊讶，然后讨论)

［生］a可以代表任意一个数.

［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.

［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

(陷入沉思)

［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.

［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.

我们不妨再做几个类似的练习.

出示投影片(§1.7.2 B)

［例3］用平方差公式计算：

(1)103×97 (2)118×122

［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.

［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.

118=120－2,122=120+2

118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.

［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.

［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).

［例4］计算：

(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).

分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)

=(2x)2－52－(4x2－6x)

=4x2－25－4x2+6x