三角形内角和和外角课件
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《三角形的内角和外角》课件
解答分析
根据题目给出的两个角度，可以确定第三个角度的大小，再根据正弦定理计算出各边长， 最后根据余弦定理得出答案
总结
此题考察了三角形内角和定理及正余弦定理的应用，需要学员们有一定的数学思维和计算 能力。
06
教学反思与展望
教学的收获与不足
• 收获 • 学生掌握了三角形内角和定理及其推论，并能够运用这些定理解决一些实际问题。 • 学生通过实践操作，增强了动手能力和探究能力，激发了对数学的兴趣。 • 教师的教学水平得到了提高，对三角形内角和定理及其推论有了更深入的认识和理解。 • 不足 • 部分学生对于一些重要的概念和定理的理解还不够深刻，需要进一步加强。 • 在实践操作环节中，有些学生没有认真参与，需要教师加强指导和督促。
解答分析
首先根据题意画出图形，根据已知条件角A等于角B，可得出两条 边相等，进而证明出三角形ABC是等腰三角形。
总结
此题考察了等腰三角形判定定理的运用，同时培养学员分析问题 的能力，逐步提高学员的几何推理能力。
高阶习题分析与解答
高阶习题3
已知三角形ABC中，角A等于30度，角B等于45度，求三角形ABC三个内角的大小。
教学背景
知识背景
学生在小学阶段已经对三角形有了一定的了解，知道一些基 本的几何概念和测量方法。在初中阶段，学生开始学习更复 杂的几何知识，本课程作为衔接课程，旨在帮助学生更好地 适应这一转变。
教学难点
如何引导学生通过实践、探究和应用来深入理解三角形的内 角和外角的概念，并解决实际问题。
教学目标
1 2 3
三角形内角和等于外角和
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle A + \angle B + \angle C$
根据题目给出的两个角度，可以确定第三个角度的大小，再根据正弦定理计算出各边长， 最后根据余弦定理得出答案
总结
此题考察了三角形内角和定理及正余弦定理的应用，需要学员们有一定的数学思维和计算 能力。
06
教学反思与展望
教学的收获与不足
• 收获 • 学生掌握了三角形内角和定理及其推论，并能够运用这些定理解决一些实际问题。 • 学生通过实践操作，增强了动手能力和探究能力，激发了对数学的兴趣。 • 教师的教学水平得到了提高，对三角形内角和定理及其推论有了更深入的认识和理解。 • 不足 • 部分学生对于一些重要的概念和定理的理解还不够深刻，需要进一步加强。 • 在实践操作环节中，有些学生没有认真参与，需要教师加强指导和督促。
解答分析
首先根据题意画出图形，根据已知条件角A等于角B，可得出两条 边相等，进而证明出三角形ABC是等腰三角形。
总结
此题考察了等腰三角形判定定理的运用，同时培养学员分析问题 的能力，逐步提高学员的几何推理能力。
高阶习题分析与解答
高阶习题3
已知三角形ABC中，角A等于30度，角B等于45度，求三角形ABC三个内角的大小。
教学背景
知识背景
学生在小学阶段已经对三角形有了一定的了解，知道一些基 本的几何概念和测量方法。在初中阶段，学生开始学习更复 杂的几何知识，本课程作为衔接课程，旨在帮助学生更好地 适应这一转变。
教学难点
如何引导学生通过实践、探究和应用来深入理解三角形的内 角和外角的概念，并解决实际问题。
教学目标
1 2 3
三角形内角和等于外角和
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle A + \angle B + \angle C$
9.三角形的内角和与外角和PPT课件(华师大版)(1)
2.已知：三角形三个内角的度数之比 为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得 x+3x+5x=180° 解得 x=20°
所以三个内角度数分别为 20°,60°,100°。
比比谁最快
3.求出下列图中x的值:
x =450
x
x
x x =600
C
（三角形内角和定理）
B
1
Байду номын сангаас
D
E2
∠1= ∠2 （对顶角相等） P
所以∠ B=∠P +∠D (等量代换）
5.三角形的三个外角之比为2:3:4，
则与它们相邻的内角分别为（C ）
A. 80˚ 120˚ 160 ˚
B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
xx
2x
┐
x
x =300
4、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD
交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在
一定的大小关系？ 他们是怎样的，并加以证明？
证明：因为 AB ∥CD
所以 ∠1 + ∠ B =1800
A
(两直线平行，同旁内角互补）
因为∠2+ ∠P +∠D=1800
2. 三角形的内角和与外角和
情境导入
在一个直角三角形里住着三个内 角，平时，它们三兄弟非常团结可是 有一天，老二突然不高兴，发起脾气 来，它指着老大说：“你凭什么度数最 大，我也要和你一样大！”“不行啊！” 老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起了……”“为什 内角三兄弟之争 么？” 老二很纳闷。
三角形内角和ppt课件完整版
度或边长。
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的 比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比 值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式 进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题， 避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义 三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明 可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度 的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例， 如直角三角形中，30度角所对的直角边等 于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的 设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方 向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要 注意底和高的对应关系，避免
《三角形的内角和外角》课件
激发探索精神
通过进一步研究，激发学 生对数学研究的兴趣和探 索精神。
THANK S感谢观看
在日常生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，三角形是一种非常常用的几何形状，因 为它的稳定性非常好。例如，在建造桥梁时，三角形是 一种非常常用的结构形式。
测量工具
在日常生活中，很多测量工具都是利用三角形的内角和 外角性质来设计的。例如，量角器、水平仪等都是利用 三角形的内角和外角性质来测量角度的。
05
详细描述
通过测量三角形各个边的长度和角度，计 算出外角的度数。此方法简单易行，但受 测量误差影响较大，结果不够精确。
通过几何证明计算外角
总结词
严谨、准确、理论性
详细描述
根据三角形内角和定理以及三角形外角的定 义，通过几何证明的方式得出外角的度数。 此方法结论准确，但过程较为复杂。
通过三角函数计算外角
和解决几何问题时非常有用。
在物理学中的应用
要点一
光的反射定律
在物理学中，光的反射定律可以用三角形的内角和外 角性质来解释。反射角等于入射角，也就是说反射角 等于光线与法线之间的夹角，这个夹角可以通过三角 形的内角和外角性质来计算。
要点二
力的平行四边形法则
在物理学中，力的平行四边形法则可以用三角形的内 角和外角性质来解释。合力等于分力的平行四边形对 角线的长度，这个对角线的长度可以通过三角形的内 角和外角性质来计算。
直角三角形与黄金分割
直角三角形
有一个角为90度的三角形，其中直角相对的一边称为“斜边”。
黄金分割
将一条线段分成两部分，使其中一部分与原线段的比例等于另一部分与这部分的 比例，这种分割称为黄金分割。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ，且直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
认识三角形三角形PPT优秀课件
三角形稳定性及应用
三角形稳定性
当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，这 种性质叫做三角形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 例如，在建筑中，常常使用三角形框架来支撑建筑物，以增加其抗震能力。
02
特殊三角形类型及特点
等腰三角形性质与判定
四边形的分类
根据四边形的边长和角度特征，四边形可分为平行四边形 、矩形、菱形、正方形等。
多边形的定义和性质
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的 封闭图形。多边形的内角和为（n-2）×180度，其中n为 多边形的边数。
多边形的对角线
多边形中任意两个不相邻的顶点之间的连线称为多边形的 对角线。n边形的对角线总数为n(n-3)/2条。
定义：两个三角形如果它们的三边及三 角分别相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的面积和周长都相等。 对应角相等。
性质 对应边相等。
相似和全等条件比较
相似之处
01
02
都涉及三角形的角和边的关系。
都有对应的判定定理。
03
04
不同之处
相似仅要求对应角相等，而全等要求对应 边和对应角都相等。
05
06
相似的条件较为宽松，全等的条件更为严 格。
直角三角形中的特殊性质
勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形的射影定理等。
三角形中的最值问题
通过三角形的性质和判定条件，解决与三角形有关的最值问题，如 最短路径、最大面积等。
拓展延伸：四边形等多边形知识
四边形的定义和性质
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组 成的封闭图形。四边形的内角和为360度，且任意三个角 之和大于第四个角。
沪科版数学八年级上册13.2.4三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质课件(共15张PPT)
新知引入
知识点2 三角形内角和定理的推论3
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和推论3：
例题示范
典例
求下列各图中∠1的度数.
95°
85°
130°
知识点3 三角形内角和定理的推论4
新知引入
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
问题：你能用文字描述你的发现吗？
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
E
C
B
A
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
新知引入
三角形的外角的性质
如图，外角∠BCD与△ABC的内角有什么关系呢？
性质：三角形的外角与它相邻的内角互补.
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明13.2.4 三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质；2.能够利用学过定理证明三角形外角的性质；3.能够灵活运用三角形外角的性质解决数学问题.
பைடு நூலகம்堂练习
如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若∠A=40°，∠BDC=55°，求∠AED的度数.
练习
解：∵∠A=40°，∠BDC=55°，∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=30°.∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=30°.
∠1＞∠A ∠1＞∠B
如图 ，你能用”＞”或“＜”表示∠1和∠A、∠1和∠B的大小吗？
知识点2 三角形内角和定理的推论3
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和推论3：
例题示范
典例
求下列各图中∠1的度数.
95°
85°
130°
知识点3 三角形内角和定理的推论4
新知引入
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
问题：你能用文字描述你的发现吗？
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
E
C
B
A
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
新知引入
三角形的外角的性质
如图，外角∠BCD与△ABC的内角有什么关系呢？
性质：三角形的外角与它相邻的内角互补.
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明13.2.4 三角形内角和定理的推论——三角形外角的性质
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质；2.能够利用学过定理证明三角形外角的性质；3.能够灵活运用三角形外角的性质解决数学问题.
பைடு நூலகம்堂练习
如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若∠A=40°，∠BDC=55°，求∠AED的度数.
练习
解：∵∠A=40°，∠BDC=55°，∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°.∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=30°.∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=30°.
∠1＞∠A ∠1＞∠B
如图 ，你能用”＞”或“＜”表示∠1和∠A、∠1和∠B的大小吗？
《三角形的内角和》优质ppt课件
角之比为1:2:3，求这个三角形
的最大内角。
02
题目3：判断下列各组角能否
构成一个三角形的内角，并说
明理由。
03
A. 30°, 40°, 110°
04
B. 60°, 60°, 60°
05
C. 20°, 50°, 120°
06
学生自主思考、提问及讨论环节
01
02
03
问题1
三角形的内角和为什么是 180°？
应用举例
例1
计算五边形的内角和。
解
五边形可以划分为3个三角形，因此五边形的内角和 = 3 × 180° = 540°。
例2
计算正六边形的内角和。
解
正六边形可以划分为4个三角形，因此正六边形的内角 和 = 4 × 180° = 720°。
例3
已知一个多边形的内角和为1080°，求这个多边形的边 数。
有助于培养逻辑思维和空间想象能力
预习下一讲内容：《全等三角形》
了解全等三角形的定 义和性质
通过实例和练习加深 对全等三角形相关知 识的理解和应用
掌握全等三角形的判 定方法
谢谢您聆听
THANKS
《三角形的内角和》优质ppt 课件
CONTENTS
• 三角形基本概念与性质 • 三角形内角和定理推导 • 三角形内角和定理应用举例 • 拓展：多边形内角和计算方法
探讨 • 练习题与课堂互动环节 • 课程小结与预习提示
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形。
已知三角形一个内角及相邻两边，求另一 个内角的大小。
已知三角形三边长度，利用余弦定理求任 一内角的大小。
三角形的内角和(PPT课件)2024新版
忽视三角形形状的多样性，认为只有某些特殊形状的三角 形才具有内角和为180度的性质。实际上，所有三角形的内 角和均为180度，与形状无关。
拓展延伸：多边形内角和探讨
多边形的定义及分类
由三条或三条以上的线段首尾顺 次连接所组成的平面图形叫做多 边形。按照边数可分为三边形、 四边形、五边形等。
多边形内角和的计算 公式
在建筑设计中，需要测量建筑物的各个角度，以确保建筑物的稳定性和
美观性。三角形内角和的原理可以帮助建筑师快速准确地计算角度。
02
屋顶角度设计
屋顶的角度设计对于建筑物的排水、采光和保温等方面都有重要影响。
利用三角形内角和的原理，建筑师可以设计出合理的屋顶角度。
03
楼梯角度计算
在楼梯设计中，需要计算楼梯的倾斜角度，以确保人们上下楼梯时的舒
艺术创作
在艺术创作中，艺术家经常需要运用几何原理来构图和设计。三角形内角和的原理可以帮 助艺术家创造出具有美感和平衡感的作品。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和的验证方法
02
通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形的内角和为180度。
可以通过三角形内角和定理和 邻补角的性质来证明三角形外 角和定理。
03
三角形外角性质与计算
三角形外角定义及性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角。
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。此外，三角 形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
方法二：通过撕拼法 证明
从而得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
拓展延伸：多边形内角和探讨
多边形的定义及分类
由三条或三条以上的线段首尾顺 次连接所组成的平面图形叫做多 边形。按照边数可分为三边形、 四边形、五边形等。
多边形内角和的计算 公式
在建筑设计中，需要测量建筑物的各个角度，以确保建筑物的稳定性和
美观性。三角形内角和的原理可以帮助建筑师快速准确地计算角度。
02
屋顶角度设计
屋顶的角度设计对于建筑物的排水、采光和保温等方面都有重要影响。
利用三角形内角和的原理，建筑师可以设计出合理的屋顶角度。
03
楼梯角度计算
在楼梯设计中，需要计算楼梯的倾斜角度，以确保人们上下楼梯时的舒
艺术创作
在艺术创作中，艺术家经常需要运用几何原理来构图和设计。三角形内角和的原理可以帮 助艺术家创造出具有美感和平衡感的作品。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和的验证方法
02
通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形的内角和为180度。
可以通过三角形内角和定理和 邻补角的性质来证明三角形外 角和定理。
03
三角形外角性质与计算
三角形外角定义及性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角。
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。此外，三角 形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
方法二：通过撕拼法 证明
从而得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2024版《三角形的内角和》完整版课件
全等三角形条件判断及证明方法论述
SSS全等条件
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS全等条件
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
ASA全等条件
两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等。
AAS全等条件
两角和一角的对边分别相等的两个三 角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
三角形的一个内角与它相邻的外角之和等于180°。
内外角之差关系
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角之差等于180°。
应用场景
内外角关系在解决三角形的问题中有着广泛的应用，如计算三角形的 内角和、判断三角形的形状、证明三角形的全等或相似等。
04
三角形面积计算公式推导与应 用
基于底和高计算面积公式推导
勾股定理内容：在直角三 角形中，直角边的平方和 等于斜边的平方。
已知直角三角形的两条直 角边，求斜边长度。
应用举例
已知直角三角形的一条直 角边和斜边，求另一条直 角边长度。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个 锐角为30°时
邻边（较长的直角边） 与斜边的比值为√3:2。
THANKS
对边（较短的直角边） 与斜边的比值为1:2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为45°时（等腰直角三角形） 两直角边相等。
对边与斜边的比值为1:√2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为60° 时
对边（较短的直角边）与斜边 的比值为1:2。
特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合 一（底边上的中线、高线和顶角
《三角形的内角和外角》PPT课件
高所在的直线是否相交
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个 三角形这边的中线.
A
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线
∴<A+<B+<ACB=180°（等量代换）
例1 在△ABC中，<A=30°,<B=65°,求
<C的度数。
A
解：∵< A=30°,<B=65°(已知)
B
C
又∵< A+<B+<C=180°(三角形三
内角之和等于180°)
∴<C=180°-< A-<B =180°-30°-65° =85°
例2 如图，<BCD=92°,<A=27°,
三角形的高、中线与角平分线
相关知识回顾
1.垂线的定义：当角两是条直直角线时相，交就所说成这的两四条个直角线中互，相有垂一直个，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。 3.角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
,
∠2 ∠4
1 ∠ABC 2
A
F
E
A F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
拓展练习
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部 直角顶点 三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个 三角形这边的中线.
A
三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中线
∴<A+<B+<ACB=180°（等量代换）
例1 在△ABC中，<A=30°,<B=65°,求
<C的度数。
A
解：∵< A=30°,<B=65°(已知)
B
C
又∵< A+<B+<C=180°(三角形三
内角之和等于180°)
∴<C=180°-< A-<B =180°-30°-65° =85°
例2 如图，<BCD=92°,<A=27°,
三角形的高、中线与角平分线
相关知识回顾
1.垂线的定义：当角两是条直直角线时相，交就所说成这的两四条个直角线中互，相有垂一直个，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。 3.角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
,
∠2 ∠4
1 ∠ABC 2
A
F
E
A F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
拓展练习
三角形的内角和与外角和ppt课件
A P
C
34
在△ABC中，∠A=８０°， ∠ ＡBＣ和∠Ａ ＢC的平分线相交于Ｏ， （１）求∠ＢＯＣ的度数。 （２） 将∠A换个度数，那求出是多少？你能体会∠A和∠ＢＯＣ有什么关系吗？
１ ∠ＢＯＣ＝９０ ° + ∠Ａ
２
１ C
A
Ｏ ２ 35B
2、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。 你能找出∠E与∠A有什么关系吗？
D ∠ACD> ∠ B
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
20
3.什么是三角形的外角和？
21
三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角 相加所得的和，叫做三角形的外角和。
思考：三角形的内角和等于180°，那么三角形的外角和等于多少度？ 返回22
3321papbpcabacbcpapbpcabbcac34abcceacd如图d是abcbc上一点abd的外角三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的三角形的内角和为180等式的性质37在求角的度数时常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系
2.1.3三角形的内角和外角
1
学习目标： 1. 熟练运用三角形的内角和定理 2.理解并掌握三角形的外角性质 3. 熟练运用三角形的外角和定理
14
如图,如果你从A走到B,再转向C走,能画出你转弯的角吗?
C
不相邻的 内角
相邻的 内角
你能说出∠CBD的边与△ABC的 边的三关角系形吗的? 外角
A
B
D
不相邻的 BC是△ ABC的边
BD是AB的延长线
《三角形的内角和与外角和》课件
06
练习题及拓展思考题
基础知识巩固练习题
已知三角形的两个内角分别为30°和60° ，求第三个内角的大小。
已知等腰三角形的一个底角为40°，求其 顶角的大小。
一个三角形的内角和是多少度？请说明 理由。
在直角三角形中，已知一个锐角为35°， 求另一个锐角的大小。
提高能力拓展思考题
请用多种方法证明三角形的 内角和为180°。
外角和为360度。
实际应用举例
例子一
在几何图形中，利用三角形外角和定理求解角度问题。例如 ，在一个五角星中，可以通过三角形外角和定理计算出五角 星的内角和。
例子二
在实际生活中，利用三角形外角和定理解决一些与角度有关 的问题。例如，在建筑设计中，可以利用三角形外角和定理 来计算出建筑物的某些角度，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
连接三角形的一个 顶点和它所对边的 中点的线段。
三角形性质总结
三角形的两边之和大于第 三边，两边之差小于第三 边。
三角形的三个内角之和等 于180度。
等腰三角形的两腰相等， 两底角相等。
等边三角形的三边相等， 三个内角都相等且每个角 都是60度。
直角三角形的两个锐角互 余，且斜边的平方等于两 直角边的平方和（勾股定 理）。
已知四边形ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D，求证： 四边形ABCD是平行四边形
。
在一个五边形中，已知四个 内角的大小，求第五个内角
的大小。
已知一个多边形的边数增加 1，其内角和增加多少度？
请说明理由。
01
02
03
04
05
答案解析与讨论
01
基础知识巩固练习题答案解析
通过三角形内角和定理及等腰三角形、直角三角形的性质求解各题，强
三角形的内角和与外角和课件
在绿茵场上，足球队员在A处受到阻挡需要传 球，请帮助作出选择，应传给在C处的球员还是B 处的球员，其射门不易射偏，请说明理由。（不 考虑其他因素）
B
A
C
D
E
一、复习提问： 1、三角形三个内角的和等于多少度？
三角形的内角和等于180度
2、三角形的外角：
A 三角形内角的一边与另一 边的反向延长线组成的角．
B
E A
125°
55°
60° 65°
115°
CD
在一张白纸上画出如图所示的图形，然后把∠１、 ∠ ２剪下拼在一起，放到∠ ４上，看看会出现 什么结果？
发现： ∠１＋∠２＝∠４
探究:你能用推理的方法来论证∠ACD=
∠B+ ∠ A吗？你能用几种方法呢？相信你 一定能行！
A
B
CD
如图，∠ACD是△ABC的外角；试说∠ACD=∠A+∠B；
解：（1）方法一： ∵∠ACB+___∠_A_+__∠__Ｂ_=180°(三角形内角和定理)，
∠ACB+∠ACD=180°(平角的定义)， ∴∠ACD=___∠__A__+___∠__Ｂ___(等量代换)，
A
D
B
C
解：过C作CE∥AB
因为： CE∥AB
方法二
所以：∠1= ∠B（两直线平行，同位角相等）
变式题
3、在如求图角，的∠度A=数90时°，，常∠可B=利20用°三， ∠ C角找=形 数30的 量°内 关∠B角系O和；C=及涉—外及1—1角图0．。的形性时质，来 可
先把已知条件尽可能的在图A中 标出来，有助于直观分析题9意0º 。D
110°
20º O B
三角形第3课时三角形的内角和与外角和-华师大版七年级数学下册课件
3.已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5， 求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得 x+3x+5x=180° 解得 x=20°
所以三个内角度数分别为 20°,60°,100°。
比比谁最快
4.求出下列图中x的值:
x =450
x
x
x x =600
归纳
定理：三角形的三个内角和是180°
讨论 一个三角形中能有两个直角吗？ 一个三角形中能有两个钝角吗？ 三个内角都能小于600吗？
探索新知：外角性质
如图∠A+∠C+∠ABC=180°，
C
∠CBD+∠ABC=180°，从上面两个结
论中，你能得出什么结论？ ∠CBD=∠A+∠C.
AB
D
大家通过测量∠A、∠C、∠CBD的大小来验证结
证明：∠1+∠2+∠3=180°.
A
1
B2
3 C
定理证明
A
如图，已知△ABC，分别用∠1、
1
D
∠2、∠3表示△ABC的三个内角.
证明：∠1+∠2+∠3=180°. B 2
3
C
E
证明：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上
侧作∠DCE=∠2，则CD∥BA.
因为CD∥BA，
所以∠1=∠ACD.
因为∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
探索新知：外角和
三角形外角和的概念： 与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这 两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中 分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
9.1.2三角形内角和与外角和(公开课课件)
C
解：∠3
> ∠1
E 1 B A 2
3
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1 ∴∠3 >∠1
D
拓
展
A
4、如图，计算∠BOC
51
20
B
O
30
C
A
A
51
51
20
B
O
30
C
20
B
O
30
C
（四）三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻 的两个外角中取一个，这样取得的三个外 角相加所得的和，叫做三角形的外角和。
A
3、在直角三角形中，∠B =900，
900 则∠A+∠C=_________
B
C
（三）三角形外角与内角的关系
1、什么是三角形的外角？
A
B
C
D
三角形中内角的一边与另一边的反向延 长线组成的角，叫做三角形的外角。
2、三角形外角与内角的关系
相邻的内角 A
D
（1）位置关系
外角
（2）数量关系
B
C
不相邻的内角
三角形的三个外角之比为2:3:4，则与它们相邻 的内角分别为（ C）
A. 80˚ 120˚ 160 ˚ B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k， 根据三角形的外角和等于360 ˚ ，有 2k+3k+4k= 360 ˚ ， 可解得k=40 ˚,三个外角 则相邻的内角分 分别为80˚ 120˚ 160 ˚ ， 别为100 ˚ 60 ˚ 20 ˚ 故选 C
解：∠3
> ∠1
E 1 B A 2
3
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1 ∴∠3 >∠1
D
拓
展
A
4、如图，计算∠BOC
51
20
B
O
30
C
A
A
51
51
20
B
O
30
C
20
B
O
30
C
（四）三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻 的两个外角中取一个，这样取得的三个外 角相加所得的和，叫做三角形的外角和。
A
3、在直角三角形中，∠B =900，
900 则∠A+∠C=_________
B
C
（三）三角形外角与内角的关系
1、什么是三角形的外角？
A
B
C
D
三角形中内角的一边与另一边的反向延 长线组成的角，叫做三角形的外角。
2、三角形外角与内角的关系
相邻的内角 A
D
（1）位置关系
外角
（2）数量关系
B
C
不相邻的内角
三角形的三个外角之比为2:3:4，则与它们相邻 的内角分别为（ C）
A. 80˚ 120˚ 160 ˚ B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k， 根据三角形的外角和等于360 ˚ ，有 2k+3k+4k= 360 ˚ ， 可解得k=40 ˚,三个外角 则相邻的内角分 分别为80˚ 120˚ 160 ˚ ， 别为100 ˚ 60 ˚ 20 ˚ 故选 C
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求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数.
B
70°
A
80°
D
C
判断题：
1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ） 2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ） 3.三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ）
【例题】
【例】已知:国旗上的一个五角星如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
1
50°
三角形的外角与内角的关系
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角的和.
推论是由定理直接推出的结论.和定理一 样，推论可以作为进一步推理的依据.
2.如图，D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°, ∠BAC=70°.
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和等于180°)， ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式的性质).
A
10。
38。
100。
B
D
C
E
三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三
角形的外角． A
B
C
D
归纳
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个,它们互为 对顶角度数相等.
注：每个外角与相应的内角互为补角．
1.求下列各图中∠1的度数.
1
60°
1
30°
45°
120°
35°
A
B
H 2 1F
E
C
D
【解析】设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角
和定理来求解.
【解析】∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
三角形的内角和
三角形内角和定理:三角形内角和180度
A E
B
C
F
直角三角形两个锐角互余
如图:
A
C
B
已知BD,CE是△ABC的高,直线BD,CE相交所 成的角中有一个角为50度,则∠BAC等于____
如图:
A
E
D
B
CBΒιβλιοθήκη DACE在△ABC中∠ABC=38度,∠ACB=100度，AD平分 ∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE的度数
B
70°
A
80°
D
C
判断题：
1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ） 2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ） 3.三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ）
【例题】
【例】已知:国旗上的一个五角星如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
1
50°
三角形的外角与内角的关系
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角的和.
推论是由定理直接推出的结论.和定理一 样，推论可以作为进一步推理的依据.
2.如图，D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°, ∠BAC=70°.
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和等于180°)， ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式的性质).
A
10。
38。
100。
B
D
C
E
三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三
角形的外角． A
B
C
D
归纳
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个,它们互为 对顶角度数相等.
注：每个外角与相应的内角互为补角．
1.求下列各图中∠1的度数.
1
60°
1
30°
45°
120°
35°
A
B
H 2 1F
E
C
D
【解析】设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角
和定理来求解.
【解析】∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
三角形的内角和
三角形内角和定理:三角形内角和180度
A E
B
C
F
直角三角形两个锐角互余
如图:
A
C
B
已知BD,CE是△ABC的高,直线BD,CE相交所 成的角中有一个角为50度,则∠BAC等于____
如图:
A
E
D
B
CBΒιβλιοθήκη DACE在△ABC中∠ABC=38度,∠ACB=100度，AD平分 ∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE的度数